資源簡(jiǎn)介

10.1.2　事件的關(guān)系和運(yùn)算
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
　　1.結(jié)合具體實(shí)例,了解隨機(jī)事件的并、交與互斥的含義.
　　2.能結(jié)合實(shí)例用事件的并、交運(yùn)算表達(dá)隨機(jī)事件.
◆ 知識(shí)點(diǎn)　事件的關(guān)系和運(yùn)算
1.包含關(guān)系
(1)定義:一般地,若事件A發(fā)生,則事件B一定發(fā)生,就稱事件B　　　　事件A(或事件A包含于事件B).
(2)表示:　　　　(或　　　　).如圖①所示.
(3)相等事件的含義與表示:如果事件B包含事件A,事件A也包含事件B,即B A且A B,則稱事件A與事件B相等,記作　　　　.
2.并事件
(1)含義:一般地,事件A與事件B　　　　　　發(fā)生,這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)　　　　在事件A中,　　　　在事件B中,稱這個(gè)事件為事件A與事件B的并事件(或和事件).
(2)表示:　　　　(或　　　　).如圖②所示.
3.交事件
(1)含義:一般地,事件A與事件B　　　　發(fā)生,這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)既在事件A中,也在事件B中,稱這樣的一個(gè)事件為事件A與事件B的交事件(或積事件).
(2)表示:　　　　(或　　　　).如圖③所示.
4.事件互斥
一般地,如果事件A與事件B　　　　發(fā)生,也就是說(shuō)A∩B是一個(gè)不可能事件,即　　　　,則稱事件A與事件B　　　　(或互不相容).如圖④所示.
5.事件對(duì)立
(1)含義:一般地,如果事件A和事件B在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生,即A∪B=Ω,且　　　,那么稱事件A與事件B互為　　　　.
(2)表示:事件A的對(duì)立事件記為　　　　.如圖⑤所示.
6.多個(gè)事件的和事件及積事件
對(duì)于三個(gè)事件A,B,C,A∪B∪C(或A+B+C)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A,B,C中至少一個(gè)發(fā)生,A∩B∩C(或ABC)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A,B,C同時(shí)發(fā)生.對(duì)于多個(gè)事件的和事件及積事件以此類推.
【診斷分析】 1.判斷下列說(shuō)法的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)若兩個(gè)事件是互斥事件,則這兩個(gè)事件是對(duì)立事件. (　 )
(2)若兩個(gè)事件是對(duì)立事件,則這兩個(gè)事件也是互斥事件. (　 )
(3)若事件A∪B是必然事件,則事件A和B是對(duì)立事件. (　 )
(4)在擲骰子試驗(yàn)中,“出現(xiàn)5點(diǎn)”和“出現(xiàn)6點(diǎn)”的和事件是“出現(xiàn)大于或等于5點(diǎn)”. (　 )
2.擲一枚骰子一次,記事件A=“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為2”,事件C=“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”,事件D=“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于3”,則事件A,C,D三者之間有什么關(guān)系
◆ 探究點(diǎn)一　事件關(guān)系的表示與判斷
例1 在分別標(biāo)有號(hào)碼1~10的10張光盤(pán)中任取一張,設(shè)事件A=“抽得一張?zhí)柎a不小于5的光盤(pán)”,事件B=“抽得一張?zhí)柎a為偶數(shù)的光盤(pán)”,事件C=“抽得一張?zhí)柎a能被3整除的光盤(pán)”.
(1)寫(xiě)出試驗(yàn)的樣本空間及事件A,B,C(用集合形式表示).
(2)試將下列事件表示為樣本點(diǎn)的集合,并分別說(shuō)明下列事件的含義.
①AB;②A∪B;③;④.
變式 從某大學(xué)數(shù)學(xué)系圖書(shū)室中任選一本書(shū),設(shè)事件A={數(shù)學(xué)書(shū)},B={中文版的書(shū)},C={2022年以后出版的書(shū)}.問(wèn):
(1)A∩B∩表示什么事件
(2)在什么條件下,有A∩B∩C=A
(3) B表示什么意思
(4)如果=B,那么是否意味著圖書(shū)室中的所有的數(shù)學(xué)書(shū)都不是中文版的
[素養(yǎng)小結(jié)]
事件間的運(yùn)算方法:
(1)利用事件間運(yùn)算的定義.列出同一條件下的試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果,分析并利用這些結(jié)果進(jìn)行事件間的運(yùn)算.
(2)利用Venn圖.借鑒集合間運(yùn)算的思想,分析同一條件下的試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果,把這些結(jié)果在圖中列出,進(jìn)行運(yùn)算.
◆ 探究點(diǎn)二　互斥事件與對(duì)立事件
例2 從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球(球除顏色外其他均相同)的口袋中任取2個(gè)球,用集合的形式分別寫(xiě)出下列事件,并判斷每對(duì)事件是否互斥或?qū)α?
(1)“至少有1個(gè)白球”與“都是白球”;
(2)“至少有1個(gè)白球”與“至少有1個(gè)紅球”;
(3)“至少有1個(gè)白球”與“都是紅球”.
變式 (1)某小組有5名男生和4名女生,從中任選4名同學(xué)參加“教師節(jié)”演講比賽,則下列每對(duì)事件是對(duì)立事件的是 (　 )
A.“恰有2名男生”與“恰有4名男生”
B.“至少有3名男生”與“全是男生”
C.“至少有1名男生”與“全是女生”
D.“至少有1名男生”與“至少有1名女生”
(2)從1,2,3,4,5中有放回地依次取出兩個(gè)數(shù),則下列各組事件是互斥事件而不是對(duì)立事件的是 (　 )
A.“恰有一個(gè)是奇數(shù)”和“全是奇數(shù)”
B.“恰有一個(gè)是偶數(shù)”和“至少有一個(gè)是偶數(shù)”
C.“至少有一個(gè)是奇數(shù)”和“全是奇數(shù)”
D.“至少有一個(gè)是偶數(shù)”和“全是偶數(shù)”
(3)(多選題)一個(gè)不透明的袋中裝有黑、白兩種顏色的球(除顏色外其余均相同)各三個(gè),現(xiàn)從中任意取出兩個(gè)球.設(shè)事件P表示“取出的球都是黑球”,事件Q表示“取出的球都是白球”,事件R表示“取出的球中至少有一個(gè)黑球”,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 (　 )
A.P和R是互斥事件
B.P和Q是對(duì)立事件
C.Q和R是對(duì)立事件
D.Q和R是互斥事件,但不是對(duì)立事件
10.1.2　事件的關(guān)系和運(yùn)算
【課前預(yù)習(xí)】
知識(shí)點(diǎn)
1.(1)包含　(2)B A　A B　(3)A=B
2.(1)至少有一個(gè)　或者　或者　(2)A∪B　A+B
3.(1)同時(shí)　(2)A∩B　AB
4.不能同時(shí)　A∩B= 　互斥
5.(1)A∩B= 　對(duì)立　(2)
診斷分析
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2.解:A=C∩D,(A∩C) D等.
【課中探究】
探究點(diǎn)一
例1　解:(1)試驗(yàn)的樣本空間Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},事件A={5,6,7,8,9,10},B={2,4,6,8,10},C={3,6,9}.
(2)①AB={6,8,10},表示“抽得一張?zhí)柎a為不小于6的偶數(shù)的光盤(pán)”.
②A∪B={2,4,5,6,7,8,9,10},表示“抽得一張?zhí)柎a為偶數(shù)或不小于5的光盤(pán)”.
③={1,3,5,7,9},表示“抽得一張?zhí)柎a為奇數(shù)的光盤(pán)”.
④∵B∪C={2,3,4,6,8,9,10},
∴={1,5,7},表示“抽得一張?zhí)柎a為不能被3整除的奇數(shù)的光盤(pán)”.
變式　解:(1)A∩B∩={2022年或2022年以前出版的中文版的數(shù)學(xué)書(shū)}.
(2)在“圖書(shū)室中所有數(shù)學(xué)書(shū)都是2022年以后出版的且為中文版”的條件下,才有A∩B∩C=A.
(3) B表示2022年或2022年以前出版的書(shū)全是中文版的.
(4)是,=B意味著圖書(shū)室中的非數(shù)學(xué)書(shū)都是中文版的,而且所有的中文版的書(shū)都不是數(shù)學(xué)書(shū),同時(shí)=B又可化成=A,因而也可解釋為圖書(shū)室中所有數(shù)學(xué)書(shū)都不是中文版的,而且所有不是中文版的書(shū)都是數(shù)學(xué)書(shū).
探究點(diǎn)二
例2　解:給2個(gè)紅球編號(hào)為1,2,給2個(gè)白球編號(hào)為3,4,從口袋中任取2個(gè)球,用(x,y)表示取出的2個(gè)球,則試驗(yàn)的樣本空間Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}.設(shè)事件A=“至少有1個(gè)白球”,則A={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}.
(1)設(shè)B=“都是白球”,則B={(3,4)},所以B A,即A和B不互斥.
(2)設(shè)C=“至少有1個(gè)紅球”,則C={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)},因?yàn)锳∩C={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)},所以A和C不互斥.
(3)設(shè)D=“都是紅球”,則D={(1,2)},因?yàn)锳∪D=Ω,A∩D= ,所以A和D互為對(duì)立事件.
變式　(1)C　(2)A　(3)ABD　[解析] (1)“恰有2名男生”與“恰有4名男生”是互斥事件,但不是對(duì)立事件,排除A;“至少有3名男生”與“全是男生”可以同時(shí)發(fā)生,不是互斥事件,排除B;“至少有1名男生”與“全是女生”不可能同時(shí)發(fā)生,且必有一個(gè)發(fā)生,是對(duì)立事件,C正確;“至少有1名男生”與“至少有1名女生”可以同時(shí)發(fā)生,不是互斥事件,排除D.故選C.
(2)從1,2,3,4,5中有放回地依次取出兩個(gè)數(shù),在該試驗(yàn)中,設(shè)A=“兩個(gè)都是奇數(shù)”,B=“一個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)”,C=“兩個(gè)都是偶數(shù)”,則事件A,B,C兩兩互斥,且A∪B∪C=Ω(Ω為樣本空間).對(duì)于A,“恰有一個(gè)是奇數(shù)”和“全是奇數(shù)”分別是事件B和A,因?yàn)槭录嗀和事件B不可能同時(shí)發(fā)生,所以是互斥事件,因?yàn)槭录﨏發(fā)生時(shí),事件A與B都不發(fā)生,所以A和B不是對(duì)立事件;對(duì)于B,“恰有一個(gè)是偶數(shù)”和“至少有一個(gè)是偶數(shù)”分別是事件B和事件B∪C,顯然不互斥;對(duì)于C,“至少有一個(gè)是奇數(shù)”和“全是奇數(shù)”分別是事件B∪A和事件A,顯然不互斥;對(duì)于D,“至少有一個(gè)是偶數(shù)”和“全是偶數(shù)”分別是事件B∪C和事件C,顯然不互斥.故選A.
(3)由題可知,樣本空間Ω={(黑,黑),(黑,白),(白,白)},事件P={(黑,黑)},事件Q={(白,白)},事件R={(黑,黑),(黑,白)},所以P和R不是互斥事件,P和Q不是對(duì)立事件,Q和R是對(duì)立事件,故A,B,D中結(jié)論錯(cuò)誤,C中結(jié)論正確.故選ABD.

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