資源簡介

10.1.3　古典概型
【學習目標】
　　1.會計算古典概型中的簡單隨機事件的概率.
　　2.在解決問題的過程中,提升數學抽象、數學建模、數學運算素養.
◆ 知識點一　古典概型的概念
1.事件的概率
對隨機事件發生可能性大小的　　　　(數值)稱為事件的概率,事件A的概率用　　　　表示.
2.古典概型
我們將具有以下兩個特征的試驗稱為古典概型試驗,其數學模型稱為古典概率模型,簡稱古典概型.
(1)有限性:樣本空間的樣本點只有　　　　;
(2)等可能性:每個樣本點發生的可能性　　　　.
【診斷分析】 1.判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)古典概型中每一個樣本點出現的可能性相等. (　 )
(2)古典概型中的任何兩個樣本點都是互斥的.(　 )
(3)“在適宜條件下種下一粒種子,觀察它是否發芽”是古典概型. (　 )
(4)袋中裝有大小均勻的四個紅球、三個白球和兩個黑球,那么每種顏色的球被摸到的可能性相等.(　 )
2.某同學隨機地向一靶心進行射擊,這一試驗的所有可能結果只有有限個:命中10環、命中9環、…、命中1環和脫靶.你認為這是古典概型嗎 為什么
◆ 知識點二　古典概型的概率計算
1.計算公式
一般地,設試驗E是古典概型,樣本空間Ω包含n個樣本點,事件A包含其中的k個樣本點,則定義事件A的概率P(A)=　　　　=.其中,n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點　　　　.
2.計算樣本點個數時要注意兩個區別
(1)“無序”與“有序”的區別:“無序”指取出的元素沒有先后次序,常用“任取”表述,“有序”指取出的元素有先后次序,常用“依次取出”表述,但是“任取”樣本空間中樣本點的個數可以按沒有次序去計算,也可以按有次序去計算;
(2)“有放回”與“無放回”的區別:“有放回”中取出的元素可以重復,“無放回”中取出的元素不可以重復.
【診斷分析】 判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)拋兩枚質地均勻的硬幣,該試驗的樣本點有“兩枚都正面朝上”“兩枚都反面朝上”“一枚正面朝上、一枚反面朝上”,共3個. (　 )
(2)古典概型的概率公式為P(A)=,其中k為事件A包含的樣本點個數,n為樣本空間Ω包含的樣本點個數. (　 )
(3)從甲、乙、丙三人中任選兩名代表,甲被選中的概率為. (　 )
◆ 探究點一　古典概型的判定
例1 袋中有大小相同的3個白球,2個紅球,2個黃球,每個球有一個區別于其他球的編號,從中隨機摸出1個球.
(1)把每個球的編號看作一個樣本點建立的概率模型是不是古典慨型
(2)把球的顏色作為劃分樣本點的依據,有多少個樣本點 以這些樣本點建立的概率模型是不是古典概型
變式 下列問題是古典概型的是 (　 )
A.小楊種下一粒種子,求種子能長出果實的概率
B.求任意的一個正整數平方的個位數字是1的概率,將取出的正整數作為樣本點
C.在甲、乙、丙、丁4名志愿者中,任選一名志愿者參加跳高項目,求甲被選中的概率
D.拋擲一枚質地均勻的硬幣至首次出現正面為止,拋擲的次數作為樣本點
[素養小結]
判斷試驗是不是古典概型,關鍵看是否符合兩大特征:有限性和等可能性.
◆ 探究點二　古典概型的概率
例2 將一枚質地均勻的骰子先后拋擲2次,觀察向上的點數,事件A=“兩數之和為8”,事件B=“兩數之和是3的倍數”,事件C=“兩個數均為偶數”.
(1)寫出該試驗的樣本空間Ω,并求事件A發生的概率;
(2)求事件B發生的概率;
(3)求事件A與事件C至少有一個發生的概率.
變式1 擲一枚質地均勻的骰子,出現3點或5點的概率為　　　　.
變式2 [2024·河南南陽六校高一期末] 某學校開設了街舞、圍棋、武術三個社團,三個社團參加的人數如下表所示:
社團 街舞 圍棋 武術
人數 48 42 30
為調查社團活動開展情況,學校社團管理部采用比例分配的分層隨機抽樣的方法從中抽取一個樣本,已知從圍棋社團抽取的同學比從街舞社團抽取的同學少1人.
(1)求三個社團分別抽取的人數;
(2)已知從圍棋社團抽取的同學中有2名女同學,若從圍棋社團被抽取的同學中隨機選出2人擔任該社團活動監督的職務,求至少有1名女同學擔任監督職務的概率.
[素養小結]
1.求古典概型的基本方法:
首先,判斷每個樣本點發生的可能性是否相等,并用字母A表示所求事件;其次,求出樣本空間Ω包含的樣本點的個數n及事件A包含的樣本點的個數k;最后,利用公式P(A)==,求出事件A發生的概率.
2.求概率時,若事件可以表示成有序數對的形式,則可以把全體樣本點用平面直角坐標系中的點表示,也可以采用數形結合法用圖表表示,使問題變得更為直觀.
◆ 探究點三　較復雜的古典概型
例3 袋子中有5個大小、質地完全相同的球,其中紅球3個,白球2個.
(1)從中有放回地依次隨機摸出2個球,求第一次摸到白球的概率;
(2)從中無放回地依次隨機摸出2個球,求第二次摸到白球的概率;
(3)若同時隨機摸出2個球,求至少摸到一個白球的概率.
變式 袋中有形狀、大小完全相同的4個小球,4個小球的標號分別為1,2,3,4.
(1)從袋中一次隨機摸出2個小球,求摸出的2個小球的標號之和為奇數的概率.
(2)從袋中每次隨機摸出1個小球,有放回地摸兩次.甲、乙約定:若兩次摸出的小球的標號之和為奇數,則甲勝,反之,則乙勝.你認為此游戲是否公平 說明你的理由.
[素養小結]
解題時要注意是“有放回抽取”還是“不放回抽取”,若是“有放回抽取”,則在每次抽取之前,產品種類及個數都不發生變化,因此某件產品被抽到的概率也不變;若是“不放回抽取”(假設每次抽取的結果都可知),則在每次抽取之前,所剩產品種類及個數都在發生變化,因此某件產品被抽到的概率也在不斷變化.
拓展 袋中裝有6個形狀、大小完全相同的球,其中黑球2個、白球2個、紅球2個,規定取出1個黑球記0分,取出1個白球記1分,取出1個紅球記2分,抽取這些球的時候,誰也無法看到球的顏色.首先由甲取出3個球,并不再將它們放回原袋中,然后由乙取出剩余的3個球,規定取出球的總得分多者獲勝.
(1)求甲、乙成平局的概率;
(2)從概率的角度分析取球的順序是否影響比賽的公平性.
10.1.3　古典概型
【課前預習】
知識點一
1.度量　P(A)
2.(1)有限個　(2)相等
診斷分析
1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　[解析] (1)∵古典概型中具有等可能性,∴每一個樣本點出現的可能性相等,故正確.
(2)∵古典概型中的任何兩個樣本點都不能同時發生,∴都是互斥的,故正確.
2.解:不是古典概型.雖然試驗的所有可能結果只有11個,但命中10環、命中9環、…、命中1環和脫靶的出現不是等可能的,所以不滿足古典概型的等可能性.
知識點二
1.　個數
診斷分析
(1)×　(2)√　(3)×
【課中探究】
探究點一
例1　解:(1)是古典概型,因為樣本點個數有限,而且每個樣本點發生的可能性相等,所以是古典概型.
(2)把球的顏色作為劃分樣本點的依據,可得到“取得1個白球”“取得1個紅球”“取得1個黃球”3個樣本點.樣本點個數有限,但“取得1個白球”的可能性與“取得1個紅球”或“取得1個黃球”的可能性不相等,即不滿足等可能性,故不是古典概型.
變式　C　[解析] A選項,種子長出果實,不長出果實的發生不是等可能的,故A選項不是古典概型;B選項,取出的正整數不滿足“有限性”,所以B選項不是古典概型;C選項,在甲、乙、丙、丁4名志愿者中,任選一名志愿者參加跳高項目,樣本空間的樣本點是有限的,且每個樣本點的發生是等可能的,所以C選項是古典概型;D選項,拋擲的次數不滿足“等可能性”,所以D選項不是古典概型.故選C.
探究點二
例2　解:(1)將一枚質地均勻的骰子先后拋擲2次,觀察向上的點數,
該試驗的樣本空間Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},共有36個樣本點.
事件A=“兩數之和為8”包含的樣本點為(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),共5個,
∴事件A發生的概率P(A)=.
(2)∵事件B=“兩數之和是3的倍數”,∴事件B包含的樣本點有12個,分別為(1,2),(1,5),(2,1),(2,4),(3,3),(3,6),(4,2),(4,5),(5,1),(5,4),(6,3),(6,6),∴事件B發生的概率P(B)==.
(3)事件A與事件C至少有一個發生包含的樣本點有11個,分別為(2,2),(2,4),(2,6),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,3),(6,2),(6,4),(6,6),∴事件A與事件C至少有一個發生的概率為P(A∪C)=.
變式1　　[解析] 出現3點或5點的概率P==.
變式2　解:(1)設抽樣比為x,則由比例分配的分層隨機抽樣法可知,街舞、圍棋、武術三個社團抽取的人數分別為48x,42x,30x.由題意得48x-42x=1,解得x=,
故街舞、圍棋、武術三個社團抽取的人數分別為48×=8,42×=7,30×=5.
(2)由(1)知,從圍棋社團抽取的同學有7人,其中2名女同學記為A,B,5名男同學記為C,D,E,F,G.
從7人中隨機選出2人擔任該社團活動監督的職務,則樣本空間Ω={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(A,G),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(B,G),(C,D),(C,E),(C,F),(C,G),(D,E),(D,F),(D,G),(E,F),(E,G),(F,G)},共包含21個樣本點.
記事件M=“至少有1名女同學擔任監督職務”,則M= {(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(A,G),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(B,G)},共包含11個樣本點,所以P(M)=,
故至少有1名女同學擔任監督職務的概率為.
探究點三
例3　解:(1)記3個紅球的編號分別為1,2,3,2個白球的編號分別為4,5,則在有放回情況下,
第一次摸球時有5種等可能的結果,對應第一次摸球的每個可能結果,第二次摸球時都有5種等可能的結果.將兩次摸球的結果配對,組成25種等可能的結果.
如表1所示.
表1
第一次 第二次
1 2 3 4 5
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5)
第一次摸到白球的可能結果有10種,見表中后兩行.　　
記A= “第一次摸到白球”,則P(A)==.
(2)在無放回情況下,第一次摸球時有5種等可能的結果,對應第一次摸球的每個可能結果,第二次摸球時都有4種等可能的結果.將兩次摸球的結果配對,組成20種等可能的結果,如表2所示.
表2
第一次 第二次
1 2 3 4 5
1 × (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)
2 (2,1) × (2,3) (2,4) (2,5)
3 (3,1) (3,2) × (3,4) (3,5)
4 (4,1) (4,2) (4,3) × (4,5)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) ×
第二次摸到白球的可能結果有8種,見表中后兩列.
記B= “第二次摸到白球”,則P(B)==.
(3)“同時摸出2個球”的可能結果有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10種,
其中至少摸到一個白球包含的可能結果有(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共7種,
記C= “至少摸到一個白球”,則P(C)=.
變式　解:(1)從袋中一次隨機摸出2個小球,該試驗的樣本空間Ω1={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},共包含6個樣本點,
設事件A=“摸出的2個小球的標號之和為奇數”,則 A={(1,2),(1,4),(2,3),(3,4)},共包含4個樣本點,
故P(A)==.
(2)從袋中每次隨機摸出1個小球,有放回地摸兩次,則該試驗的樣本空間Ω2={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},共包含16個樣本點,
設事件B=“兩次摸出的小球的標號之和為奇數”,則B={(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,1),(4,3)},共包含8個樣本點,所以P(B)==,
同理得兩次摸出的小球的標號之和為偶數的概率為,所以甲、乙獲勝的概率均為,故此游戲公平.
拓展　解:(1)記黑球為1,2,白球為3,4,紅球為5,6,甲從中取出3個球,樣本空間Ω={123,124,125,126,134,135,136,145,146,156,234,235,236,245,246,256,345,346,356,456},共包含20個樣本點,當甲、乙成平局時,甲取出的3個球是1個黑球、1個白球、1個紅球,共包含8個樣本點,故甲、乙成平局的概率P1==.
(2)甲獲勝時,得分只能是4分或5分,即取出的是2個紅球、1個白球或1個紅球、2個白球或2個紅球、1個黑球,共包含6個樣本點,故甲獲勝的概率P2==,同理,乙獲勝的概率P3==,所以P2=P3,故取球的順序不影響比賽的公平性.

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