資源簡介

10.1.4　概率的基本性質
【學習目標】
　　1.體會概率的概念,能夠探索出概率的性質.
　　2.掌握隨機事件概率的運算法則.
◆ 知識點　概率的基本性質
性質1　對任意的事件A,都有　　　　.
性質2　必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即P(Ω)=　　　　,P( )=　　　　.
性質3　如果事件A與事件B互斥,那么P(A∪B)=　　　　　　.
推廣:如果事件A1,A2,…,Am兩兩互斥,那么事件A1∪A2∪…∪Am發生的概率等于這m個事件分別發生的概率之和,即P(A1∪A2∪…∪Am)=　　　　　　　　　　　　.
性質4　如果事件A與事件B互為對立事件,那么P(A)=　　　　,P(B)=　　　　.
性質5　如果A B,那么P(A)　　　　P(B).
推廣:對于任意事件A,因為 A Ω,所以0　　　　P(A)　　　　1.
性質6　設A,B是一個隨機試驗中的兩個事件,有P(A∪B)=　　　　　　　　.
【診斷分析】 1.判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若事件A與B互為對立事件,則P(A)=-P(B). (　 )
(2)若P(A)+P(B)=1,則事件A與B互為對立事件. (　 )
(3)在同一試驗中,對任意兩個事件A,B,P(A∪B)=P(A)+P(B). (　 )
2.已知P(A)=0.6,P(B)=0.1,若B A,則P(A∪B)=　　　　,P(AB)=　　　　.
◆ 探究點一　概率性質的直接應用
例1 (1)圍棋盒子中有多粒黑子和白子,已知從中取出2粒都是黑子的概率為,從中取出2粒都是白子的概率是,則從中任意取出2粒恰好是同一色的概率是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B. C. D.1
(2)從裝有質地、大小均相同的2個紅球和n個白球的口袋中隨機取出1個球,若取到紅球的概率是,則取到白球的概率為 (　 )
A. B. C. D.
(3)已知在一次隨機試驗E中,定義兩個隨機事件A,B,且P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(A∩B)=0.3,則P(A∪B)=　　　　.
變式 (1)給出下列說法,其中說法正確的是 (　 )
A.若A,B為一個隨機試驗中的兩個事件,則P(A∪B)=P(A)+P(B)
B.若事件A,B,C兩兩互斥,則P(A)+P(B)+P(C)=1
C.若A,B為互斥事件,則P(A)+P(B)≤1
D.若A B,則P(A)(2)已知隨機事件A和B互斥,A和C互為對立事件,且P(A∪B)=0.5,P(B)=0.2,則P(C)= (　 )
A.0.8 B.0.7
C.0.6 D.0.5
(3)(多選題)甲、乙兩人下棋,和棋的概率為,乙獲勝的概率為,則下列說法錯誤的是 (　 )
A.甲獲勝的概率是 B.甲不輸的概率是
C.乙輸的概率是 D.乙不輸的概率是
[素養小結]
1.在運用互斥事件的概率加法公式解題時,首先要分清事件之間是否互斥,同時要會把一個事件拆分成幾個互斥事件,做到不重不漏,然后再利用概率加法公式計算.
2.利用對立事件的概率公式求解時,必須準確判斷兩個事件確實是對立事件時才能應用.
◆ 探究點二　求解復雜事件的概率
例2 盒子里裝有紅、黑、白、綠四種顏色的球共12個,從中任取1個球.記事件A為“取出1個紅球”,事件B為“取出1個黑球”,事件C為“取出1個白球”,事件D為“取出1個綠球”.已知P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(D)=.
(1)求事件“取出1個球為紅球或黑球”發生的概率;
(2)求事件“取出1個球為紅球或黑球或白球”發生的概率.
變式 甲、乙兩人參加普法知識競賽,共有5個題,其中選擇題3個,判斷題2個,甲、乙兩人從中抽出2個題,每人抽1個題.
(1)甲、乙兩人中有一人抽到選擇題,另一人抽到判斷題的概率是多少
(2)甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少
[素養小結]
求復雜事件的概率通常有兩種方法:一是將所求事件的概率轉化為彼此互斥的事件的概率的和;二是先求對立事件的概率,再求所求事件的概率.
拓展 袋內共有100個除顏色外完全相同的紅球、白球和黑球,其中紅球有45個,從袋中任意摸出1個球,摸出白球的概率是0.23.
(1)求袋內黑球的個數;
(2)從袋中任意摸出1個球,求摸到的球是白球或黑球的概率.
10.1.4　概率的基本性質
【課前預習】
知識點
P(A)≥0　1　0　P(A)+P(B)　P(A1)+P(A2)+…+P(Am)　1-P(B)　1-P(A)　≤　≤　≤
P(A)+P(B)-P(A∩B)
診斷分析
1.(1)×　(2)×　(3)×
2.0.6　0.1　[解析] 因為P(A)=0.6,P(B)=0.1,B A,所以P(A∪B)=P(A)=0.6,P(AB)=P(B)=0.1.
【課中探究】
探究點一
例1　(1)B　(2)C　(3)0.4　[解析] (1)由題意知,從中任意取出2粒恰好是同一色的概率P=+=,故選B.
(2)“取到紅球”與“取到白球”互為對立事件,故所求概率P=1-=.
(3)由題意P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.4+0.3-0.3=0.4.
變式　(1)C　(2)B　(3)BCD　[解析] (1)對于A,當A,B為兩個互斥事件時,才有P(A∪B)=P(A)+P(B),當A,B不互斥時,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B),A選項錯誤;對于B,當事件A,B,C兩兩互斥,且A∪B∪C=Ω時,才有P(A)+P(B)+P(C)=1,B選項錯誤;對于C,當A,B為互斥事件時,P(A)+P(B)=P(A∪B)≤1,C選項正確;對于D,由概率的性質可知,若A B,則P(A)≤P(B),D選項錯誤.故選C.
(2)由隨機事件A和B互斥可知, P(A∪B)=P(A)+P(B),將P(A∪B)=0.5,P(B)=0.2代入計算可得P(A)=0.3,又A和C互為對立事件,所以P(A)+P(C)=1,解得P(C)=0.7.故選B.
(3)“甲獲勝”是“和棋或乙獲勝”的對立事件,所以“甲獲勝”的概率是1--=,故A中說法正確;設A=“甲不輸”,則事件A是“甲獲勝”和“和棋”這兩個互斥事件的并事件,所以P(A)=+=,故B中說法錯誤;“乙輸”的概率即“甲獲勝”的概率,為,故C中說法錯誤;設B=“乙不輸”,則事件B是“乙獲勝”和“和棋”這兩個互斥事件的并事件,所以P(B)=+=,故D中說法錯誤.故選BCD.
探究點二
例2　解:方法一(應用互斥事件的概率加法公式求概率):
(1)事件“取出1個球為紅球或黑球”發生的概率為P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=.
(2)事件“取出1個球為紅球或黑球或白球”發生的概率為P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=++=.
方法二(應用對立事件的概率公式求概率):
(1)“取出1個球為紅球或黑球”的對立事件為“取出1個球為白球或綠球”,即A∪B的對立事件為C∪D,
故“取出1個球為紅球或黑球”發生的概率為P(A∪B)=1-P(C∪D)=1-[P(C)+P(D)]=1-=.
(2)“取出1個球為紅球或黑球或白球”的對立事件為“取出1個球為綠球”,即A∪B∪C的對立事件為D,所以“取出1個球為紅球或黑球或白球”發生的概率為P(A∪B∪C)=1-P(D)=1-=.
變式　解:把3個選擇題記為x1,x2,x3,2個判斷題記為p1,p2,
則“甲抽到選擇題,乙抽到判斷題”包含的樣本點有(x1,p1),(x1,p2),(x2,p1),(x2,p2),(x3,p1),(x3,p2),共6個;
“甲抽到判斷題,乙抽到選擇題”包含的樣本點有(p1,x1),(p1,x2),(p1,x3),(p2,x1),(p2,x2),(p2,x3),共6個;
“甲、乙都抽到選擇題”包含的樣本點有(x1,x2),(x1,x3),(x2,x1),(x2,x3),(x3,x1),(x3,x2),共6個;
“甲、乙都抽到判斷題”包含的樣本點有(p1,p2),(p2,p1),共2個.
因此樣本點的總數為6+6+6+2=20.
(1)記事件A=“甲抽到選擇題,乙抽到判斷題”,則P(A)==;
記事件B=“甲抽到判斷題,乙抽到選擇題”,
則P(B)==.
故“甲、乙兩人中有一人抽到選擇題,另一人抽到判斷題”的概率為P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=.
(2)記事件C=“甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題”,則事件=“甲、乙兩人都抽到判斷題”,
由題意得P()==,故“甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題”的概率為P(C)=1-P()=1-=.
拓展　解:(1)設袋內有x個黑球,則白球有(100-45-x)個,由題可知=0.23,解得x=32,故袋內黑球的個數為32.
(2)因為白球和黑球共有100-45=55(個),所以從袋中任意摸出1個球,摸到的球是白球或黑球的概率為=0.55.

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