資源簡(jiǎn)介

10.2　事件的相互獨(dú)立性
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
　　1.結(jié)合具體實(shí)例,了解兩個(gè)隨機(jī)事件獨(dú)立性的含義.
　　2.在熟悉的情境中,能夠?qū)⒐诺涓判团c事件獨(dú)立性相結(jié)合,計(jì)算簡(jiǎn)單問(wèn)題的概率.
◆ 知識(shí)點(diǎn)一　兩個(gè)事件相互獨(dú)立
1.定義:對(duì)任意兩個(gè)事件A與B,如果P(AB)=　　　　　成立,則稱(chēng)事件A與事件B相互獨(dú)立,簡(jiǎn)稱(chēng)為獨(dú)立.
2.事件A與事件B相互獨(dú)立,即事件A(或B)是否發(fā)生,對(duì)事件B(或A)發(fā)生的概率　　　　　.
【診斷分析】 1.判斷下列說(shuō)法的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)必然事件Ω、不可能事件 都與任意事件相互獨(dú)立. (　 )
(2)運(yùn)動(dòng)員甲射擊一次,事件“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”相互獨(dú)立. (　 )
(3)若P(E)=0.3,P(F)=0.4,P(EF)=0.12,則事件E與事件F相互獨(dú)立. (　 )
2.籃球比賽中罰球兩次時(shí),事件A表示“第一球罰中”,事件B表示“第二球罰中”,試問(wèn)事件A與事件B是否相互獨(dú)立
◆ 知識(shí)點(diǎn)二　事件相互獨(dú)立的性質(zhì)
1.如果事件A與B相互獨(dú)立,那么　　　　　,　　　　,　　　　也都相互獨(dú)立.
2.一般地,如果事件A1,A2,…,An相互獨(dú)立,那么這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的　　　　.
【診斷分析】 判斷下列說(shuō)法的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)若事件A,B相互獨(dú)立,則P( )=P()·P(). (　 )
(2)若事件A與B相互獨(dú)立,則B與相互獨(dú)立. (　 )
(3)對(duì)于兩個(gè)相互獨(dú)立的事件A與B,若P(A)=0.3,P(B)=0.4,則P(A)=0.18. (　 )
◆ 探究點(diǎn)一　事件相互獨(dú)立的判斷
例1 判斷下列各對(duì)事件是不是相互獨(dú)立事件:
(1)甲組有3名男生,2名女生,乙組有2名男生,3名女生,現(xiàn)從甲、乙兩組中各選1名同學(xué)參加演講比賽,“從甲組中選出1名男生”與“從乙組中選出1名女生”;
(2)容器內(nèi)盛有5個(gè)白球和3個(gè)黃球,“從8個(gè)球中任意取出1個(gè),取出的是白球”與“從剩下的7個(gè)球中任意取出1個(gè),取出的還是白球”;
(3)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次,“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”與“出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)”.
變式 (1)一袋中裝有5個(gè)白球、3個(gè)黃球,有放回地每次隨機(jī)摸出1個(gè)球,若A1=“第一次摸到的是白球”,A2=“第二次摸到的是白球”,則事件A1與是(　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.相互獨(dú)立事件 B.不相互獨(dú)立事件
C.互斥事件 D.對(duì)立事件
(2)(多選題) 設(shè)A,B為兩個(gè)隨機(jī)事件,若P(A)=,P(B)=,則下列說(shuō)法中正確的是 (　 )
A.若A B,則P(A∪B)=
B.若P(A∩B)=,則A,B相互獨(dú)立
C.若A與B相互獨(dú)立,則P(A∪B)=
D.若A與B相互獨(dú)立,則P(∩)=
[素養(yǎng)小結(jié)]
判斷兩事件是否具有獨(dú)立性的方法
(1)定義法:直接判定兩個(gè)事件發(fā)生是否相互影響.
(2)公式法:檢驗(yàn)P(AB)=P(A)P(B)是否成立.
需要注意的是,不要把相互獨(dú)立事件與互斥事件、對(duì)立事件的概念混淆.
◆ 探究點(diǎn)二　相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算
例2 甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行投籃比賽,甲投籃一次命中的概率為,乙投籃一次命中的概率為,在每次投籃中,甲和乙投籃是否命中相互沒(méi)有影響.
(1)甲、乙各投籃一次,求恰好有1人命中的概率;
(2)甲、乙各投籃一次,求至少有1人命中的概率.
變式1 甲 乙兩人獨(dú)立破譯一個(gè)密碼,他們譯出的概率分別為和.求:
(1)兩人都譯出的概率;
(2)兩人中至少有一人譯出的概率;
(3)兩人中至多有一人譯出的概率.
變式2 現(xiàn)有甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽,比賽采用7局4勝制,每局11分制,每贏一球得1分,選手只要得到至少11分,并且領(lǐng)先對(duì)方至少2分(包括2分),即贏得該局比賽.在一局比賽中,每人只發(fā)2個(gè)球就要交換發(fā)球權(quán),如果雙方比分為10∶10后,每人發(fā)一個(gè)球就要交換發(fā)球權(quán).
(1)若在本場(chǎng)比賽中,前三局甲贏兩局,乙贏一局,在后續(xù)比賽中,每局比賽甲獲勝的概率為,乙獲勝的概率為,且每局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立,求甲、乙兩人只需要再進(jìn)行兩局比賽就能結(jié)束本場(chǎng)比賽的概率;
(2)若某局比賽中雙方比分為8∶8,且接下來(lái)兩球由甲發(fā)球,若甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為,乙發(fā)球時(shí)乙得分的概率為,各球的結(jié)果相互獨(dú)立,求該局比賽甲得11分獲勝的概率.
[素養(yǎng)小結(jié)]
1.準(zhǔn)確理解互斥事件、相互獨(dú)立事件的含義,靈活利用概率的加法和乘法公式解題.
2.利用“正難則反”解題,若所求事件的概率正面計(jì)算較煩瑣時(shí),可以從對(duì)立面入手求解.
拓展 [2024·江西上饒高一期末] 甲、乙兩人組成“博學(xué)隊(duì)”參加“博學(xué)少年”比賽,每輪比賽由甲、乙各猜一個(gè)數(shù)學(xué)名詞,已知甲每輪猜對(duì)的概率為,乙每輪猜對(duì)的概率為.在每輪比賽中,甲和乙猜對(duì)與否互不影響,各輪結(jié)果也互不影響.
(1)求甲兩輪至少猜對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)名詞的概率;
(2)求“博學(xué)隊(duì)”在兩輪比賽中猜對(duì)三個(gè)數(shù)學(xué)名詞的概率.
10.2　事件的相互獨(dú)立性
【課前預(yù)習(xí)】
知識(shí)點(diǎn)一
1.P(A)P(B)　2.沒(méi)有影響
診斷分析
1.(1)√　(2)×　(3)√
2.解:事件A與事件B相互獨(dú)立.
知識(shí)點(diǎn)二
1.A與　與B　與　2.乘積
診斷分析
(1)√　(2)×　(3)√
【課中探究】
探究點(diǎn)一
例1　解:(1)“從甲組中選出1名男生”這一事件是否發(fā)生,對(duì)“從乙組中選出1名女生”這一事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響,所以它們是相互獨(dú)立事件.
(2)“從8個(gè)球中任意取出1個(gè),取出的是白球”的概率為,
若這一事件發(fā)生,則“從剩下的7個(gè)球中任意取出1個(gè),取出的還是白球”的概率為,若前一事件沒(méi)有發(fā)生,則后一事件發(fā)生的概率為,故前一事件是否發(fā)生,對(duì)后一事件發(fā)生的概率有影響,所以?xún)烧卟皇窍嗷オ?dú)立事件.
(3)記事件A=“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”,B=“出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)”,則A={2,4,6},B={3,6},AB={6},故P(A)==,P(B)==,P(AB)=,所以P(AB)=P(A)P(B),即事件A與B相互獨(dú)立.
變式　(1)A　(2)BD　[解析] (1)由題意可得=“第二次摸到的不是白球”,即=“第二次摸到的是黃球”,由于每次都是有放回地摸球,故每次摸球的結(jié)果互不影響,故事件A1與是相互獨(dú)立事件.
(2)對(duì)于A,若A B,則P(A∪B)=P(B)=,A錯(cuò)誤;對(duì)于B ,因?yàn)镻(A)=,P(B)=,所以P(A)P(B)==P(A∩B),故A,B相互獨(dú)立,B正確;對(duì)于C,因?yàn)锳與B相互獨(dú)立,所以,也相互獨(dú)立,則P(A∪B)=1-P(∩)=1-P()P()=1-×=,C錯(cuò)誤;對(duì)于D,若A與B相互獨(dú)立,則,也相互獨(dú)立,則P(∩)=P()P()=×=,D正確.故選BD.
探究點(diǎn)二
例2　解:(1)由題意,甲投籃一次命中的概率為,乙投籃一次命中的概率為,且甲和乙投籃是否命中相互沒(méi)有影響,
所以甲、乙各投籃一次,恰好有1人命中的概率為×+×=.
(2)甲、乙各投籃一次,兩人均沒(méi)有命中的概率為×=,所以甲、乙各投籃一次,至少有1人命中的概率為1-=.
變式1　解:(1)甲、乙兩人獨(dú)立破譯一個(gè)密碼,他們譯出的概率分別為和,則兩人都譯出的概率為P1=×=.
(2)兩人中至少有一人譯出的概率為P2=×+×+×=.
(3)兩人中至多有一人譯出的概率為P3=1-×=.
變式2　解:(1)設(shè)事件A=“甲、乙兩人只需要再進(jìn)行兩局比賽就能結(jié)束本場(chǎng)比賽”,若兩局比賽就能結(jié)束本場(chǎng)比賽,則只能甲連勝兩局,所以P(A)=×=.
(2)設(shè)事件B=“該局比賽甲得11分獲勝”,甲得11分獲勝有兩類(lèi)情況:甲連得3分,則甲11∶8獲勝;甲得3分,乙得1分,則甲11∶9獲勝,此時(shí)有三種情況,每球得分方分別為乙甲甲甲,甲乙甲甲,甲甲乙甲,
所以P(B)=××+×××+×××+×××=.
拓展　解:(1)設(shè)事件F=“甲兩輪至少猜對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)名詞”,
則 P(F)=2××+=+=.
(2)設(shè)事件A=“甲第一輪猜對(duì)”,B=“乙第一輪猜對(duì)”,C=“甲第二輪猜對(duì)”,D=“乙第二輪猜對(duì)”,
E=“‘博學(xué)隊(duì)’在兩輪比賽中猜對(duì)三個(gè)數(shù)學(xué)名詞”,
所以P(A)=P(C)=,P(B)=P(D)=,P()=P()=,P()=P()=,則E=BCD∪ACD∪ABD∪ABC,由事件的獨(dú)立性與互斥性,得P(E)=P(BCD)+P(ACD)+P(ABD)+P(ABC)=
P()P(B)P(C)P(D)+P(A)P()P(C)P(D)+P(A)P(B)P()P(D)+P(A)P(B)P(C)P()=×××+×××+×××+×××=,
故“博學(xué)隊(duì)”在兩輪比賽中猜對(duì)三個(gè)數(shù)學(xué)名詞的概率為.

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