資源簡介

10.3　頻率與概率
10.3.1　頻率的穩定性
10.3.2　隨機模擬
【學習目標】
　　結合具體實例,會用頻率估計概率.
◆ 知識點一　頻率的穩定性
大量試驗表明,在任何確定次數的隨機試驗中,一個隨機事件A發生的頻率具有　　　　.一般地,隨著試驗次數n的　　　　,頻率偏離概率的幅度會　　　　,即事件A發生的頻率　　　　會逐漸穩定于事件A發生的概率P(A).稱頻率的這個性質為頻率的　　　　.可以用頻率fn(A)估計概率　　　　.
【診斷分析】 1.判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)事件的概率越大,在重復試驗中,相應的頻率一般也越大. (　 )
(2)概率能反映隨機事件發生可能性的大小. (　 )
(3)某種疾病治愈率為0.3,若前7個人沒有治愈,則后3個人一定能治愈. (　 )
(4)試驗次數n相同,頻率fn(A)可能不同,這說明隨機事件發生的頻率具有隨機性. (　 )
2.在相同條件下進行擲硬幣的試驗,若擲100次,記“正面向上”這一事件為A,此次試驗中,出現反面向上的次數為53,則nA=　　　　　,fn(A)=　　　　.
◆ 知識點二　隨機模擬
1.隨機數的定義
隨機數就是在一定范圍內隨機產生的數,并且得到這個范圍內的每一個數的機會　　　　.
2.產生隨機數的方法
(1)由試驗(如摸球或抽簽)產生隨機數
例:產生1~25之間的隨機整數.
①將25個大小形狀相同的小球分別標上1,2,…,24,25,放入一個袋中,充分攪拌.
②從中摸出1個球,這個球上的數就是隨機數.
(2)由計算器或計算機產生隨機數
計算器或計算機產生的隨機數是按照確定的算法產生的數,具有周期性(周期很長),它們具有類似隨機數的性質,但不是真正的隨機數,稱為偽隨機數.
稱利用隨機模擬解決問題的方法為蒙特卡洛方法.
【診斷分析】 判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)用計算機進行隨機模擬,可以在短時間內多次重復做試驗,應用很廣泛. (　 )
(2)用計算器或計算機產生隨機數,既能保證操作簡單、省時省力,又能保證等可能性. (　 )
◆ 探究點一　頻率與概率的關系
[探索] 小明說:“做10次拋硬幣試驗,正面向上的次數一定是5.”這個說法對嗎


例1 (1)容量為40的樣本觀測數據,分組后得到的頻數分布表如下:
分組 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70]
頻數 4 7 8 11 7 3
則樣本觀測數據落在區間[20,50)內的頻率為 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.0.35 B.0.45
C.0.55 D.0.65
(2)為了解某社區居民家庭人均月收入(百元)情況,調查了該社區80戶居民的家庭人均月收入,列出頻率分布表如下:
家庭人均 月收入 (百元) 第一組 [10,16) 第二組 [16,22) 第三組 [22,28) 第四組 [28,34) 第五組 [34,40) 第六組 [40,46]
頻率 0.1 0.2 0.15 a 0.1 0.1
則這80戶居民中, 家庭人均月收入在[28,34)內的有　　　　戶(用數字作答);假設家庭人均月收入在第一組和第二組的為中低收入家庭,現從該社區居民中隨機抽取1戶,估計該家庭為中低收入家庭的概率是　　　　.
(3)利用簡單隨機抽樣的方法抽查了某校500名學生,其中共青團員有320人,戴眼鏡的有365人,若在這個學校中隨機抽查1名學生,則估計他是共青團員的概率為　　　　,戴眼鏡的概率為　　　　.
變式 (1)甲同學在數學探究活動中做拋硬幣試驗,共拋擲了2000次,其中正面朝上的有1034次,則下列說法正確的是 (　 )
A.拋擲一枚硬幣,正面朝上的概率為0.517
B.甲同學的試驗中,反面朝上的頻率為0.483
C.拋擲一枚硬幣,反面朝上的概率小于0.5
D.甲同學的試驗中,正面朝上的頻率接近0.517
(2)魯班鎖是一種廣泛流傳于中國民間的智力玩具,相傳由春秋末期到戰國初期的魯班發明,它看似簡單,卻凝結著不平凡的智慧,易拆難裝,十分巧妙,每根木條上的花紋是賣點,也是制作的關鍵.某玩具公司開發了甲、乙兩款魯班鎖玩具,各生產了100件樣品,樣品分為一等品、二等品、三等品,根據銷售部市場調研分析,得到相關數據如下(單件成本利潤率=利潤÷成本×100%):
甲款魯班鎖玩具
一等品 二等品 三等品
單件成本利潤率 10% 8% 4%
頻數 10 60 30
乙款魯班鎖玩具
一等品 二等品 三等品
單件成本利潤率 7.5% 5.5% 3%
頻數 50 30 20
①用頻率估計概率,從這200件產品中隨機抽取一件,求該產品是一等品的概率;
②若甲、乙兩款魯班鎖玩具各生產100件的投資成本均為20 000元,且每件的投資成本是相同的,分別求投資這兩款魯班鎖玩具各100件所獲得的利潤.
[素養小結]
(1)頻率是事件A發生的次數m與試驗總次數n的比值,頻率本身是隨機變量,當n很大時,頻率總是在一個穩定值附近上下擺動,這個穩定值就是概率.
(2)解此類題目的步驟是:先利用頻率的計算公式依次計算出各個頻率值,然后根據概率的定義確定頻率的穩定值,即為概率.
◆ 探究點二　隨機模擬試驗
例2 (1)用隨機模擬的方法估計概率時,其準確程度取決于 (　 )
A.產生的隨機數的大小 B.產生的隨機數的個數
C.隨機數對應的結果 D.產生隨機數的方法
(2)天氣預報說,在今后的三天中,每一天下雨的概率均為40%,這三天中恰有兩天下雨的概率大概是多少 (用隨機模擬試驗來解決,并給出關鍵步驟)
變式1 天氣預報顯示,某地連續四天,每天下雨的概率為0.6,現用隨機模擬的方法估計四天中恰有三天下雨的概率:在0~9十個整數值中,假定0,1,2,3,4,5表示當天下雨,6,7,8,9表示當天不下雨.在隨機數表中從某位置按從左到右的順序讀取如下20組四位隨機數:
9533 9522 0018 7472 0018 3879 5869
3281 7890 2692 8280 8425 3990 8460
7980 2436 5987 3882 0753 8935
據此估計四天中恰有三天下雨的概率為 (　 )
A. B. C. D.
變式2 某射擊運動員每次擊中目標的概率都是80%,若該運動員連續射擊10次,用隨機模擬的方法估計其恰好有5次擊中目標的概率.
10.3　頻率與概率
10.3.1　頻率的穩定性
10.3.2　隨機模擬
【課前預習】
知識點一
隨機性　增大　縮小　fn(A)　穩定性　P(A)
診斷分析
1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
2.47　0.47　[解析] 由題意知nA=47,fn(A)==0.47.
知識點二
1.相等
診斷分析
(1)√　(2)√
【課中探究】
探究點一
探索 解:這個說法不對.因為每次試驗的結果都是隨機的,在試驗前不能確定正面向上的次數.
例1　(1)D　(2)28　0.3　(3)0.64　0.73　[解析] (1)樣本觀測數據落在[20,50)內的頻數為7+8+11=26,故所求頻率為=0.65,故選D.
(2)a=1-(0.1+0.2+0.15+0.1+0.1)=0.35,所以這80戶居民中,家庭人均月收入在[28,34)內的有80×0.35=28(戶).頻率分布表中第一組與第二組的頻率之和為0.3, 所以可估計所求概率為0.3.
(3)500名學生中有共青團員320人,即共青團員出現的頻率為=0.64,所以隨機抽查1名學生,估計他是共青團員的概率為0.64.500名學生中戴眼鏡的有365人,即戴眼鏡的學生出現的頻率為=0.73,所以隨機抽查1名學生,估計他戴眼鏡的概率為0.73.
變式　(1)B　[解析] 甲同學的試驗中,正面朝上的頻率為0.517,反面朝上的頻率為0.483,故B正確;拋擲一枚硬幣,正面朝上與反面朝上的概率均為0.5,為定值,故A,C錯誤;甲同學的試驗中,正面朝上的頻率就是0.517,而不是接近0.517,故D錯誤.故選B.
(2)解:①用頻率估計概率,從這200件產品中隨機抽取一件,該產品是一等品的概率為=.
②對于甲款魯班鎖玩具,一等品的利潤為×10%×10=200(元),二等品的利潤為×8%×60=960(元),三等品的利潤為×4%×30=240(元),故100件甲款魯班鎖玩具所獲得的利潤為200+960+240=1400(元).
對于乙款魯班鎖玩具,一等品的利潤為×7.5%×50=750(元),二等品的利潤為×5.5%×30=330(元),三等品的利潤為×3%×20=120(元),故100件乙款魯班鎖玩具所獲得的利潤為750+330+120=1200(元).
探究點二
例2　(1)B　[解析] 隨機數的個數越多,由頻率估計概率越準確,故選B.
(2)解:①設計模擬試驗
利用計算機(計算器)產生0~9之間的取整數值的隨機數,約定用0,1,2,3表示下雨,4,5,6,7,8,9表示不下雨,以體現下雨的概率是40%.連續產生三個隨機數為一組,作為三天的模擬結果.
②進行模擬試驗
例如:產生30組隨機數,這就相當于做了30次重復試驗.
③統計試驗結果
在一組數中,若恰有兩個數在{0,1,2,3}中,則表示三天中恰有兩天下雨,統計出這樣的隨機數的組數n,則在30次試驗中,三天中恰有兩天下雨的頻率為,故可估計所求概率為.
變式1　B　[解析] 由表中數據可得表示四天中恰有三天下雨的隨機數有9533,9522,0018,0018,3281,8425,2436,0753,共8組,所以估計四天中恰有三天下雨的概率為=.故選B.
變式2　解:用隨機模擬的方法估計其恰好有5次擊中目標的概率的步驟如下:
(1)用1,2,3,4,5,6,7,8表示擊中目標,用9,0表示未擊中目標,這樣可以體現擊中的概率為80%;
(2)利用計算機或計算器產生0到9之間的整數隨機數,每10個作為一組,統計組數n;
(3)統計這n組數中恰有5個數在{1,2,3,4,5,6,7,8}中的組數m;
(4)連續射擊10次恰好有5次擊中目標的概率的近似值為.

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