資源簡介

9.1.2　分層隨機抽樣
【學習目標】
　　1.通過具體實際問題情境體會分層隨機抽樣的必要性及特點,了解分層隨機抽樣的特點和使用范圍,掌握各層樣本量比例分配的方法.
　　2.經歷分層隨機抽樣的樣本平均數的推導過程,會求具體問題的分層隨機抽樣的樣本平均數,并能解釋它在實際問題中的意義.
◆ 知識點一　分層隨機抽樣的概念
1.分層隨機抽樣
一般地,按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體,每個個體屬于且僅屬于一個子總體,在每個子總體中獨立地進行　　　　　　　,再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為　　　　,這樣的抽樣方法稱為分層隨機抽樣,每一個子總體稱為　　　　.
2.比例分配
在分層隨機抽樣中,如果每層樣本量都與層的大小成　　　　,那么稱這種樣本量的分配方式為　　　　　.
3.分層隨機抽樣的優點
(1)在個體之間差異較大的情形下,只要選取的分層變量合適,使得各層間差異明顯、層內差異不大,分層隨機抽樣的組織實施效果一定好于簡單隨機抽樣,也好于其他抽樣方法.
(2)分層隨機抽樣除了能得到總體的估計外,還能得到每層的估計.
【診斷分析】 判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)在比例分配的分層隨機抽樣中,個體數量較少的層抽取的樣本數量較少,這是不公平的. (　 )
(2)從全班50名同學中抽取5人調查作業完成情況,適合用比例分配的分層隨機抽樣. (　 )
(3)某班有男生36人,女生18人,用比例分配的分層隨機抽樣的方法,從該班全體學生中抽取一個樣本量為9的樣本,則抽取的女生人數為3. (　 )
(4)采用比例分配的分層隨機抽樣的方法對甲、乙、丙三種個體進行抽樣調查,若甲、乙、丙的個體數之比為3∶1∶2,且抽取的甲的個體數為9,則樣本容量為30. (　 )
　　　　　 　　　　　 　　　　　
◆ 知識點二　分層隨機抽樣的平均數
在分層隨機抽樣中,如果層數分為2層,第1層和第2層包含的個體數分別為M和N,抽取的樣本量分別為m和n.用X1,X2,…,XM表示第1層各個個體的變量值,用x1,x2,…,xm表示第1層樣本的各個個體的變量值;用Y1,Y2,…,YN表示第2層各個個體的變量值,用y1,y2,…,yn表示第2層樣本的各個個體的變量值.
1.第1層的總體平均數和樣本平均數分別為==　　　　,==　　　　.
2.第2層的總體平均數和樣本平均數分別為==　　　,==　　　　.
3.總體平均數和樣本平均數分別為=,=.
4.由于用第1層的樣本平均數可以估計第1層的總體平均數,用第2層的樣本平均數可以估計第2層的總體平均數,因此我們可以用=+估計總體平均數.在比例分配的分層隨機抽樣中,==　　　　,可得+=+=.
【診斷分析】 判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)在分層隨機抽樣中,==. (　 )
(2)在比例分配的分層隨機抽樣中,可以直接用樣本平均數估計總體平均數. (　 )
◆ 探究點一　分層隨機抽樣的概念
例1 (1)為了保證比例分配的分層隨機抽樣中每個個體等可能地被抽取,必須要求 (　 )
A.每層不等可能抽樣
B.每層抽取的個體數相等
C.每層抽取的個體可以不一樣多,但必須滿足抽取ni=n·(i=1,2,…,k)個個體(其中k是層數,n是抽取的樣本量,Ni是第i層中個體的個數,N是總體中個體的個數)
D.只要抽取的樣本量一定,每層抽取的個體數沒有限制
(2)下列問題中,最適合用比例分配的分層隨機抽樣的方法抽樣的是 (　 )
A.某報告廳有32排座位,每排有40個座位,座位號是1~40,有一次報告會坐滿了聽眾,報告會結束以后為聽取意見,要留下32名聽眾進行座談
B.從10臺冰箱中抽出3臺進行質量檢查
C.某鄉農田有山地8000畝、丘陵12 000畝、平地24 000畝、洼地4000畝,現抽取農田480畝,估計全鄉農田平均產量
D.從50個零件中抽取5個進行質量檢驗
變式 (多選題)下列說法中正確的是 (　 )
A.從10名同學中抽取3人參加座談會,宜采用簡單隨機抽樣的方法
B.某高速公路有300個太陽能標志燈,其中進口的有30個,聯合研制的有75個,國產的有195個,為了掌握每個標志燈的使用情況,要從中抽取一個樣本量為20的樣本,宜采用比例分配的分層隨機抽樣的方法
C.某社區有500個家庭,其中高收入的家庭有125個,中等收入的家庭有280個,低收入的家庭有95個,為了了解生活購買力的某項指標,要從中抽取一個樣本量為100的樣本,宜采用比例分配的分層隨機抽樣的方法
D.從甲廠生產的100個零件和乙廠生產的200個零件中抽取6個,宜采用簡單隨機抽樣的方法
[素養小結]
用比例分配的分層隨機抽樣的方法應遵循的原則
(1)將相似的個體歸入一類,即為一層,分層要求每層的各個個體互不交叉,即遵循不重復、不遺漏的原則;
(2)為保證每個個體等可能入樣,需遵循在各層中進行簡單隨機抽樣,每層樣本數量與每層個體數量的比等于抽樣比.
◆ 探究點二　分層隨機抽樣的應用
例2 一個單位有職工500人,其中不到35歲的有125人,35歲至49歲的有280人,50歲及50歲以上的有95人.為了了解這個單位職工與年齡有關的某項指標,要從中抽取100名職工作為樣本,應該怎樣抽取
變式 (1)某市教育局想了解全市所有學生對某電影的評價,決定從全市所有學校中選取3所學校按學生人數用比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取一個樣本,若3所學校的學生人數之比為2∶3∶4,且從學生人數最少的一個學校抽出120人,則樣本量為 (　 )
A.560 B.540
C.450 D.400
(2)從某景區某日的游客中隨機抽取100人,對他們的出行方式進行統計,統計結果如下表:
出行方式 高鐵 自駕 飛機 其他
人數 27 16 28 29
若采用比例分配的分層隨機抽樣的方法再從這100人中抽取25人,則應從選擇飛機出行的人中抽取　　　　人.
[素養小結]
用比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取樣本的一般步驟:
◆ 探究點三　分層隨機抽樣中用樣本平均數估計總體平均數
例3 某學校高一年級有男生610人,高二年級有男生590人,李梅按照高一、高二年級進行分層,通過分層隨機抽樣的方法,得到高一年級男生、高二年級男生的平均身高分別為169 cm和171 cm.
(1)如果李梅是按比例分配的方式抽取的樣本,總樣本量為120,那么在高一、高二年級中分別抽取了多少名男生
(2)在(1)的情況下,請估計高一年級與高二年級全體男生的平均身高(結果保留兩位小數).
變式1 (多選題)某校高二年級有男生490人、女生510人,按性別進行分層,通過分層隨機抽樣的方法,得到男、女生的平均身高分別為170.2 cm和160.8 cm,則下列說法正確的是 (　 )
A.若采用比例分配的分層隨機抽樣的方法共抽取100人,則可用×170.2+×160.8≈165.4(cm)來估計總體均值
B.若從男、女生中分別抽取30人和70人,則可用×170.2+×160.8≈165.4(cm)來估計總體均值
C.若從男、女生中分別抽取30人和70人,則可用×170.2+×160.8≈163.6(cm)來估計總體均值
D.僅根據男、女生的樣本均值,無法計算出總體均值
變式2 在例3中,如果李梅從高一、高二年級男生中抽取的樣本量分別為40和80,那么在這種情況下,如何估計高一年級與高二年級全體男生的平均身高
[素養小結]
進行比例分配的分層隨機抽樣的相關計算時,常用到的三個關系如下:
(1)=;
(2)總體中某兩層的個體數之比等于樣本中這兩層抽取的個體數之比;
(3)樣本的平均數和各層的樣本平均數的關系為
=+=+.
9.1.2　分層隨機抽樣
【課前預習】
知識點一
1.簡單隨機抽樣　總樣本　層
2.比例　比例分配
診斷分析
(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　[解析] (1)比例分配的分層隨機抽樣是按比例抽取的,每個個體被抽到的可能性相同,這是公平的.
(2)沒有明顯的層,不適合用比例分配的分層隨機抽樣.
(3)抽取的女生人數為18×=3.
(4)依題意,樣本容量為=18.
知識點二
1.Xi　xi
2.Yi　yi　4.
診斷分析
(1)×　(2)√　[解析] (1)在比例分配的分層隨機抽樣中,才有==.
【課中探究】
探究點一
例1　(1)C　(2)C　[解析] (1)易知A,D不正確;對于B,由于每層中的個體數不一定相等,若每層抽取同樣多的個體數,則從整個總體來看,各層之間的個體被抽取的可能性就不一樣了,故B不正確;對于C,符合比例分配的分層隨機抽樣的特點,能夠保證每個個體等可能地被抽取,故C正確.故選C.
(2)A中的個體沒有呈現出較大差異,不適合用比例分配的分層隨機抽樣的方法;B和D中總體的個體數較小,用簡單隨機抽樣的方法比較方便;C中總體的個體數較大,且各類農田的差別很大,宜采用比例分配的分層隨機抽樣的方法.
變式　ABC　[解析] A中總體的個體無明顯差異且個體數較小,適合用簡單隨機抽樣的方法;B,C,D中總體的個體差異明顯,適合用比例分配的分層隨機抽樣的方法.故A,B,C正確,D錯誤.故選ABC.
探究點二
例2　解:用比例分配的分層隨機抽樣的方法來抽取樣本,步驟如下:
(1)分層,按年齡將500名職工分成三層:不到35歲的職工;35歲至49歲的職工;50歲及50歲以上的職工.
(2)確定每層抽取個體的個數,抽樣比為=,則在不到35歲的職工中抽取125×=25(人);在35歲至49歲的職工中抽取280×=56(人);在50歲及50歲以上的職工中抽取95×=19(人).
(3)在各層中分別按簡單隨機抽樣的方法抽取樣本.
(4)匯總每層抽取的樣本,組成總體的樣本.
變式　(1)B　(2)7　[解析] (1)設樣本量為n,依題意得=,解得n=540,即樣本量為540.故選B.
(2)由題意,應從選擇飛機出行的人中抽取25×=7(人).
探究點三
例3　解:(1)根據題意,在高一年級中抽取了×120=61(名)男生,在高二年級中抽取了×120=59(名)男生.
(2)估計高一年級與高二年級全體男生的平均身高為×169+×171=≈169.98(cm).
變式1　ABD　[解析] 對于A,由題意得樣本均值為×170.2+×160.8≈165.4(cm),由此可以估計總體均值約為165.4 cm,故A正確;對于B,C,可用×170.2+×160.8≈165.4(cm)來估計總體均值,故B正確,C錯誤;對于D,僅根據男、女生的樣本均值,可以估計出總體均值,但不能計算出準確的總體均值,故D正確.故選ABD.
變式2　解:因為高一年級和高二年級的男生人數分別是610與590,而抽取的樣本量分別為40和80,所以沒有按照比例分配的方式進行抽樣,不能直接用樣本平均數估計總體平均數,需要使用樣本平均數以及總體中各層的人數估計總體平均數,可估計高一年級與高二年級全體男生的平均身高為×169+×171=≈169.98(cm).

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