資源簡介

9.2　用樣本估計總體
9.2.1　總體取值規律的估計
第1課時　頻率分布表和頻率分布直方圖
【學習目標】
　　1.結合實際問題,理解頻率分布表、頻率分布直方圖的特點及差異,體會頻率分布直方圖在統計中的重要作用.
　　2.能夠在不同情境中,體會合理使用頻率分布直方圖的重要性.
　　3.結合具體實例,認識樣本與總體的關系,逐步建立用樣本估計總體的思想,嘗試運用統計語言描述總體的特征.
◆ 知識點一　總體取值規律的估計
選擇頻率分布表和　　　　　　　來整理和表示數據,進而估計總體的取值規律.
◆ 知識點二　畫頻率分布直方圖的步驟
(1)求極差:極差為一組數據中　　　　與　　　　的差.
(2)決定組距與組數:當樣本量不超過100時,常分成　　　　組.為方便起見,一般取等長組距,并且組距應力求“取整”.
(3)將數據分組:分組時,第一組的左端點略小于數據中的最小值,最后一組的右端點略大于數據中的最大值,分組區間一般是“前閉后開”.
(4)列頻率分布表:可以分四列,分組、頻數累計、頻數、　　　　.
其中頻數合計應是樣本量,頻率合計是　　　　.
(5)畫頻率分布直方圖:橫軸表示分組,縱軸表示.
小長方形的面積=組距×=　　　　,各小長方形的面積的總和等于1.
【診斷分析】 1.判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)頻率分布直方圖中小長方形的高表示該組中的數據在樣本觀測數據中出現的頻率與組距的比值.(　 )
(2)頻率分布直方圖中小長方形的面積表示該組的數據個數. (　 )
(3)頻率分布直方圖中所有小長方形的面積之和為1. (　 )
(4)畫頻率分布直方圖時,分組越多越好. (　 )
2.一個容量為32的樣本,已知某組樣本的頻率為0.125,則該組樣本的頻數為　　　　.
◆ 探究點一　頻率分布直方圖的繪制
例1 一個農技站為了了解某種麥穗生長長度的分布情況,在一塊試驗田里抽取了100株麥穗,量得長度如下(單位:cm):
6.5　6.4　6.7　5.8　5.9　5.9　5.2　4.0　5.4　4.6
5.8　5.5　6.0　6.5　5.1　6.5　5.3　5.9　5.5　5.8
6.2　5.4　5.0　5.0　6.8　6.0　5.0　5.7　6.0　5.5
6.8　6.0　6.3　5.5　5.0　6.3　5.2　6.0　7.0　6.4
6.4　5.8　5.9　5.7　6.8　6.6　6.0　6.4　5.7　7.4
6.0　5.4　6.5　6.0　6.8　5.8　6.3　6.0　6.3　5.6
5.3　6.4　5.7　6.7　6.2　5.6　6.0　6.7　6.7　6.0
5.6　6.2　6.1　5.3　6.2　6.8　6.6　4.7　5.7　5.7
5.8　5.3　7.0　6.0　6.0　5.9　5.4　6.0　5.2　6.0
6.3　5.7　6.8　6.1　4.5　5.6　6.3　6.0　5.8　6.3
根據上面的數據列出頻率分布表,繪制出頻率分布直方圖,并估計在這塊試驗田里長度在5.75~6.35 cm之間的麥穗所占的百分比.
變式 《國家體質健康標準》的測試類別分為身體形態、身體機能、身體素質三大類,其中身體形態類的項目包括身高、體重.在針對某校學生體質健康的抽樣檢測中,檢測組對參與檢測的女生的身高(單位:cm)數據進行整理后列出了如下頻率分布表:
分組 頻數 頻率
[149.5,153.5) 2 0.04
[153.5,157.5) 10 0.2
[157.5,161.5) 20 0.4
[161.5,165.5) 14 0.28
[165.5,169.5] a b
合計 M N
(1)求出表中a,b,M,N所表示的值;
(2)畫出頻率分布直方圖;
(3)估計身高小于161.5 cm的女生占全部女生人數的百分比.
[素養小結]
繪制頻率分布直方圖時應注意的問題:
(1)在列出頻率分布表后,畫頻率分布直方圖的關鍵就是確定小矩形的高.一般地,頻率分布直方圖中兩坐標軸上的單位長度是不一致的,合理的定高方法是先確定“一個恰當的單位長度”(沒有統一規定),然后以各組的“”所占的比例來定高.
(2)數據要合理分組,組距要恰當選取,在頻率分布直方圖中,各個小長方形的面積等于各組的頻率,小長方形的高與頻數成正比,各組頻數之和等于樣本量,頻率之和為1.
◆ 探究點二　頻率分布直方圖的應用
例2 從參加環保知識競賽的1200名學生中抽出60名,將其成績(均為整數,單位:分)整理后畫出的頻率分布直方圖如圖所示,觀察圖形,回答下列問題:
(1)[79.5,89.5)這一組的頻數、頻率分別是多少
(2)估計這次環保知識競賽的及格率(60分及以上為及格).
(3)若準備取成績最好的300名學生發獎,則估計獲獎學生的最低成績約為多少分
變式 (1)某市通過統計50個大型社區產生的日均垃圾量(單位:噸),繪制了如圖所示的頻率分布直方圖,數據的分組依次為[4,6),[6,8),[8,10),[10,12),[12,14),[14,16),[16,18].為了實施垃圾分類回收,某部門決定將日均垃圾量不少于14噸的社區劃定為試點社區,則樣本中的試點社區個數是(　 )
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.4 B.10 C.19 D.40
(2)某研究小組調查了某城市100戶居民的月平均用電量(單位:度),發現這100戶居民的月平均用電量均在[160,300]內,將統計數據分成7組:[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300],并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.
①求頻率分布直方圖中x的值,并估計這100戶居民中,月平均用電量不低于220度的有多少戶
②從月平均用電量在[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]內的四組居民中,用比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取11戶居民,則應從月平均用電量在[220,240)內的居民中抽取多少戶
[素養小結]
頻率分布直方圖的性質:
(1)因為小矩形的面積=組距×=頻率,所以各小矩形的面積表示相應各組的頻率.這樣,頻率分布直方圖就以面積的形式反映了數據落在各個小組內的頻率大小.
(2)在頻率分布直方圖中,各小矩形的面積之和等于1.
(3)樣本量=.
9.2　用樣本估計總體
9.2.1　總體取值規律的估計
第1課時　頻率分布表和頻率分布直方圖
【課前預習】
知識點一
頻率分布直方圖
知識點二
(1)最大值　最小值　(2)5~12　(4)頻率　1　(5)頻率
診斷分析
1.(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　[解析] (2)頻率分布直方圖中小長方形的面積表示該組的頻率.
(4)組數越多,組距越小,保留了較多的原始數據信息,但由于小長方形較多,有時圖形會變得非常不規則,不容易從中看出總體數據的分布特點.
2.4　[解析] 已知樣本容量為32,某組樣本的頻率為0.125,并且頻率=,所以該組樣本的頻數為0.125×32=4.
【課中探究】
探究點一
例1　解:(1)求極差:7.4-4.0=3.4.
(2)決定組距與組數:若取組距為0.3,由≈11.3可知,分為12組較合適,所以取組距為0.3,組數為12.
(3)將數據分組:將數據以組距0.3分為12組:[3.95,4.25),[4.25,4.55),[4.55,4.85),…,[7.25,7.55].
(4)列頻率分布表:
分組 頻數 頻率
[3.95,4.25) 1 0.01
[4.25,4.55) 1 0.01
[4.55,4.85) 2 0.02
[4.85,5.15) 5 0.05
[5.15,5.45) 11 0.11
[5.45,5.75) 15 0.15
[5.75,6.05) 28 0.28
[6.05,6.35) 13 0.13
[6.35,6.65) 11 0.11
[6.65,6.95) 10 0.10
[6.95,7.25) 2 0.02
[7.25,7.55] 1 0.01
合計 100 1.00
(5)繪制頻率分布直方圖如圖所示.
從表中看到,樣本數據落在[5.75,6.35)內的頻率是0.28+0.13=0.41,于是可以估計在這塊試驗田里長度在5.75~6.35 cm之間的麥穗占41%.
變式　解:(1)由頻率分布表得M==50,∴a=50-2-10-20-14=4.易知N=1,∴b=1-0.04-0.2-0.4-0.28=0.08.
(2)由題意知組距為4,則可畫出頻率分布直方圖如圖所示.
(3)由頻率分布表可知,身高小于161.5 cm的女生在樣本中出現的頻率為0.04+0.2+0.4=0.64,所以估計身高小于161.5 cm的女生占全部女生人數的64%.
探究點二
例2　解:(1)[79.5,89.5)這一組的頻率為0.025×10=0.25,頻數為60×0.25=15.
(2)估計這次環保知識競賽的及格率為(0.015+0.030+0.025+0.005)×10=0.75=75%.
(3)由頻率分布直方圖估計:這1200名學生中成績在[79.5,99.5)內的人數為(0.025+0.005)×10×1200=360,其中成績在[79.5,89.5)內的人數為0.025×10×1200=300,成績在[89.5,99.5)內的人數為0.005×10×1200=60,因此成績在[79.5,89.5)內的學生只有240名獲獎,故獲獎學生的最低成績為×10+79.5≈82(分).
綜上,若準備取成績最好的300名學生發獎,則估計獲獎學生的最低成績約為82分.
變式　(1)B　[解析] 由頻率分布直方圖可知,日均垃圾量不少于14噸的頻率為(0.06+0.04)×2=0.2,故樣本中的試點社區個數是0.2×50=10.故選B.
(2)解:①由題意得(0.002+0.002 5+0.005+x+0.009 5+0.011+0.012 5)×20=1,解得x=0.007 5.
估計這100戶居民中,月平均用電量在[220,240)內的有0.012 5×20×100=25(戶),月平均用電量在[240,260)內的有0.007 5×20×100=15(戶),月平均用電量在[260,280)內的有0.005×20×100=10(戶),月平均用電量在[280,300]內的有0.002 5×20×100=5(戶),
所以估計這100戶居民中,月平均用電量不低于220度的有25+15+10+5=55(戶).
②由題意得,應從月平均用電量在[220,240)內的居民中抽取11×=5(戶).第2課時　統計圖中的樣本數據的分布
【學習目標】
　　1.結合實際問題,理解扇形圖、折線圖的特點及差異.
　　2.能夠在不同情境中,選擇恰當的統計圖表對數據進行可視化描述,體會合理使用其他統計圖的重要性.
　　3.結合具體實例,認識樣本與總體的關系,逐步建立用樣本估計總體的思想,嘗試運用統計語言描述總體的特征.
◆ 知識點　其他統計圖
統計圖 主要應用
扇形圖 直觀描述各類數據占總數的比例
條形圖和直方圖 直觀描述不同類別或分組數據的頻數和頻率
折線圖 描述數據隨時間的變化趨勢
【診斷分析】 有直方圖、條形圖、折線圖、扇形圖四種統計圖,選擇適當的統計圖填空.
某飲料是由水、白砂糖、香精、賴氨酸等多種物質混合而成的,最能直觀地表示出這種飲料各成分含量百分比的統計圖是　　　　;反映某種股票的漲跌情況應選擇的統計圖是　　　　.
◆ 探究點一　折線圖與扇形圖
例1 如圖是根據某市3月1日至3月10日的最低氣溫(單位:℃)繪制的折線統計圖,試根據折線統計圖反映的信息,繪制該市3月1日至3月10日最低氣溫(單位:℃)的扇形統計圖.
變式 (1)雨季來臨,為了反映某市6,7月份各水位監測點的實時監測和記錄以及變化趨勢,最適合使用的統計圖是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.折線圖 B.條形圖
C.扇形圖 D.頻率分布直方圖
(2)某企業對目前銷售的A,B,C,D四種產品進行改造升級,經過改造升級后,企業營收實現翻一番,現統計了該企業改造升級前后四種產品的營收占比,得到如圖所示的扇形圖.
下列說法正確的是 (　 )
A.產品A升級后的營收是升級前的2倍
B.產品升級后,產品B的營收不變
C.產品升級后,產品C的營收減少
D.產品升級前后,產品B,D的營收總和占總營收的比例不變
[素養小結]
折線統計圖的讀圖方法:
(1)讀折線統計圖時,首先要清楚直角坐標系中橫、縱坐標表示的意義,其次要明確圖中的數量及其單位.
(2)在折線統計圖中,從折線的上升、下降可分析統計數量的增減變化情況;從陡峭程度上,可分析數據間相對增長、下降的幅度.
◆ 探究點二　統計圖的應用
例2 (1)某商戶收集并整理了2023年1月到8月線上和線下收入(單位:萬元)的數據,并繪制出如圖所示的折線圖,則下列說法錯誤的是 (　 )
A.該商戶這8個月中,收入最高的是7月
B.該商戶這8個月的線上總收入低于線下總收入
C.該商戶這8個月中,線上、線下收入相差最小的是7月
D.該商戶這8個月中,月收入不少于17萬元的頻率是
(2)(多選題)某企業不斷自主創新提升技術水平,積極調整企業旗下的甲、乙、丙、丁、戊5種系列產品的結構比例,近年來取得了顯著效果.據悉該企業2023年5種系列產品的年總收入是2021年的2倍,其中5種系列產品的年總收入構成比例如圖所示,則下列說法正確的是 (　 )
A.2023年甲系列產品的收入比2021年多
B.2023年乙和丙系列產品的收入之和比2021年的年總收入還多
C.2023年丁系列產品的收入是2021年丁系列產品收入的
D.2023年戊系列產品的收入是2021年戊系列產品收入的2倍
變式 (1)某統計機構對1000名擁有汽車的人進行了調查,對得到的數據進行整理并制成如圖所示的統計圖,下列說法正確的是 (　 )
A.這1000人中,40~45歲之間的人數最多
B.這1000人中,40~55歲之間的人群每年購買車險的總費用,比18~30歲之間和55歲以上人群購買車險的總費用之和還要多
C.這1000人中,55歲以上的人群每年購買車險的總費用最少
D.這1000人中,30歲以上的人數為720
(2)(多選題)某保險公司為客戶定制了5個險種:甲,一年期短險;乙,兩全保險;丙,理財類保險;丁,定期壽險;戊,重大疾病保險.各種保險按相關約定進行參保與理賠.該保險公司對5個險種的參保客戶(假設每位客戶只參保一個險種)進行抽樣調查,得出如圖所示的統計圖,根據統計圖,以下四個選項中說法正確的有 (　 )
A.54周歲及以上客戶人數最多
B.18~29周歲客戶參保總費用最少
C.丁險種更受客戶青睞
D.30周歲及以上的客戶占參保客戶的80%
[素養小結]
扇形統計圖中,用整個圓的面積代表全部數據,圓內的各個扇形面積的大小反映了部分數據占全部數據的百分比的大小.扇形統計圖能清楚地表示各部分數據在全部數據中所占的百分比.
第2課時　統計圖中的樣本數據的分布
【課前預習】
知識點
診斷分析
扇形圖　折線圖
【課中探究】
探究點一
解:由題圖知,該市3月1日至3月10日的最低氣溫(單位:℃)的情況如下表:
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
最低氣溫(℃) -3 -2 0 -1 1 2 0 -1 2 2
其中最低氣溫為-3 ℃的有1天,占10%;最低氣溫為-2 ℃的有1天,占10%;最低氣溫為-1 ℃的有2天,占20%;最低氣溫為0 ℃的有2天,占20%;最低氣溫為1 ℃的有1天,占10%;最低氣溫為2 ℃的有3天,占30%.作出扇形統計圖如圖所示.
變式　(1)A　(2)D　[解析] (1)根據統計圖的特點知,要反映某市6,7月份各水位監測點的實時監測和記錄以及變化趨勢,最適合使用的統計圖是折線圖.
(2)不妨設產品升級前的企業營收為1,則產品升級后的企業營收為2,故產品A升級前的營收為10%×1=0.1,升級后的營收為20%×2=0.4,即產品A升級后的營收是升級前的4倍,A錯誤;產品B升級前的營收為20%×1=0.2,升級后的營收為20%×2=0.4,即產品升級后,產品B的營收增多,B錯誤;產品C升級前的營收為50%×1=0.5,升級后的營收為40%×2=0.8,即產品升級后,產品C的營收增多,C錯誤;產品升級前,產品B,D的營收總和占總營收的40%,產品升級后,產品B,D的營收總和也占總營收的40%,故產品升級前后,產品B,D的營收總和占總營收的比例不變,D正確.故選D.
探究點二
例2　(1)B　(2)ABD　[解析] (1)對于A,該商戶1月到8月的收入依次為16萬元、13.5萬元、16萬元、17萬元、17萬元、16萬元、20萬元、17.5萬元,所以該商戶這8個月中,收入最高的是7月,故A中說法正確;對于B,該商戶這8個月的線上總收入為72萬元,線下總收入為61萬元,所以該商戶這8個月的線上總收入高于線下總收入,故B中說法錯誤;對于C,根據折線圖可知,該商戶這8個月中,線上、線下收入相差最小的是7月,故C中說法正確;對于D,該商戶這8個月中,月收入不少于17萬元的有4個月,頻率是,故D中說法正確.故選B.
(2)對于A,2023年甲系列產品的收入占年總收入的20%,2021年甲系列產品的收入占年總收入的30%,而該企業2023年5種系列產品的年總收入是2021年的2倍,所以2023年甲系列產品的收入比2021年多,故A正確;對于B,2023年乙和丙系列產品的收入之和占年總收入的55%,而該企業2023年5種系列產品的年總收入是2021年的2倍,所以2023年乙和丙系列產品的收入之和比2021年的年總收入還多,故B正確;對于C,2023年丁系列產品的收入占年總收入的5%,2021年丁系列產品的收入占年總收入的20%,而該企業2023年5種系列產品的年總收入是2021年的2倍,所以2023年丁系列產品的收入是2021年丁系列產品收入的,故C錯誤;對于D,2023年戊系列產品的收入占年總收入的20%,2021年戊系列產品的收入占年總收入的20%,而該企業2023年5種系列產品的年總收入是2021年的2倍,所以2023年戊系列產品的收入是2021年戊系列產品收入的2倍,故D正確.故選ABD.
變式　(1)B　(2)CD　[解析] (1)對于A,題圖中并沒有細分到40~45歲,所以無法得出這1000人中,40~45歲之間的人數最多,故A錯誤;對于B,這1000人中,40~55歲之間的人群每年購買車險的總費用為1000×40%×3900=1 560 000(元),18~30歲之間的人群每年購買車險的總費用為1000×18%×2800=504 000(元), 55歲以上的人群每年購買車險的總費用為1000×17%×3100=527 000(元),而1 560 000>527 000+504 000,故B正確;對于C,由B可知,這1000人中,55歲以上的人群每年購買車險的總費用,比18~30歲之間的人群每年購買車險的總費用多,故C錯誤;對于D,由1000×(1-18%)=820知,這1000人中,30歲以上的人數為820,故D錯誤.故選B.
(2)對于A,觀察參保人數比例扇形圖可知,54周歲及以上客戶人數占比為8%,是最少的,故A錯誤;對于B,折線統計圖顯示了人均參保費用,但參保人數比例不同,易知18~29周歲客戶參保總費用不是最少的,故B錯誤;對于C,由參保險種比例統計圖可知,丁險種參保比例最高,故C正確;對于D,18~29周歲的客戶占參保客戶的20%,所以30周歲及以上的客戶占參保客戶的80%,故D正確.故選CD.

展開更多......

收起↑