資源簡介

9.2.2　總體百分位數(shù)的估計
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
　　1.結(jié)合具體實(shí)例,理解百分位數(shù)的含義,并用樣本百分位數(shù)估計總體百分位數(shù),提高學(xué)生對統(tǒng)計意義的理解程度.
　　2.在樣本估計總體的過程中,逐步形成統(tǒng)計思維,提高學(xué)生數(shù)據(jù)分析能力和數(shù)據(jù)表達(dá)能力,逐步樹立用數(shù)據(jù)分析問題、解釋生活現(xiàn)象的意識.
◆ 知識點(diǎn)　百分位數(shù)
1.第p百分位數(shù)的定義
一般地,一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值,它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值,且至少有(100-p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.
2.計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟
第1步,按　　　　排列原始數(shù)據(jù).
第2步,計算i=　　　　.
第3步,若i不是整數(shù),而大于i的比鄰整數(shù)為j,則第p百分位數(shù)為第　　　　項(xiàng)數(shù)據(jù);若i是整數(shù),則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i+1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的　　　　.
3.四分位數(shù)
　　　　　　,　　　　　　,　　　　　　這三個分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份,因此稱為四分位數(shù).
其中第25百分位數(shù)也稱為　　　　　　或　　　　　等,第75百分位數(shù)也稱為第三四分位數(shù)或　　　　　等.
【診斷分析】 1.判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若一組樣本數(shù)據(jù)各不相等,則其第75百分位數(shù)大于第25百分位數(shù). (　 )
(2)若一組樣本數(shù)據(jù)的第10百分位數(shù)是23,則在這組數(shù)據(jù)中有10%的數(shù)據(jù)大于23. (　 )
(3)若一組樣本數(shù)據(jù)的第24百分位數(shù)是24,則在這組數(shù)據(jù)中至少有76%的數(shù)據(jù)大于或等于24. (　 )
(4)在1~100這100個整數(shù)中,上四分位數(shù)是75.5.(　 )
(5)中位數(shù)相當(dāng)于是第50百分位數(shù). (　 )
2.某組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)在此組數(shù)據(jù)中一定存在嗎 為什么
◆ 探究點(diǎn)一　百分位數(shù)的概念
例1 下列關(guān)于百分位數(shù)的說法中,正確的是 (　 )
A.百分位數(shù)一定是數(shù)據(jù)中的某一項(xiàng)
B.恰好有k%的數(shù)據(jù)比第k百分位數(shù)小
C.樣本的第k百分位數(shù)一定是總體的第k百分位數(shù)
D.一組數(shù)據(jù)中不同的百分位數(shù)可能相等
變式 15%分位數(shù)的含義是 (　 )
A.總體中任何一個數(shù)小于它的可能性是15%
B.總體中任何一個數(shù)小于或等于它的可能性是15%
C.總體中任何一個數(shù)大于它的可能性是15%
D.總體中任何一個數(shù)大于或等于它的可能性是15%
[素養(yǎng)小結(jié)]
百分位數(shù)是用于衡量數(shù)據(jù)的位置的量度,但它所衡量的不一定是中心位置.百分位數(shù)提供了有關(guān)數(shù)據(jù)如何在最小值與最大值之間分布的信息.
◆ 探究點(diǎn)二　由樣本數(shù)據(jù)求百分位數(shù)
例2 (1)從某果樹上隨機(jī)摘下11個水果,其直徑(單位:cm)為12,13,14,14,16,20,20,21,22,23,25,則這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為　　　　.
(2)求下列數(shù)據(jù)的四分位數(shù).
13,15,12,27,22,24,28,30,31,18,19,20.
變式 (1)某地區(qū)某年的月降水量如下表:
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
月降水量(單位:mm) 58 48 53 46 56 56 51 71 56 53 64 66
根據(jù)表中數(shù)據(jù),可知該地區(qū)該年月降水量的80%分位數(shù)是　　　　.
(2)5名學(xué)生期中考試的數(shù)學(xué)成績(單位:分)分別為98,120,105,110,m,若這5名學(xué)生成績的第60百分位數(shù)為111,則m=　　　　.
[素養(yǎng)小結(jié)]
設(shè)一組數(shù)按照從小到大的順序排列后為x1,x2,…,xn,要求這組數(shù)的第p百分位數(shù),先計算i=n×p%的值,如果i不是整數(shù),設(shè)i0為大于i的最小整數(shù),那么取為第p百分位數(shù);如果i是整數(shù),那么取為第p百分位數(shù).
◆ 探究點(diǎn)三　由頻數(shù)(頻率)分布表求百分位數(shù)
例3 某企業(yè)成立的黨史學(xué)習(xí)教育督查組為調(diào)研本單位的黨史學(xué)習(xí)情況,采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法從該企業(yè)抽取一個容量為100的樣本,經(jīng)過數(shù)據(jù)搜集與處理,得到如下頻數(shù)分布表:
周學(xué)習(xí)黨史時間(單位:分鐘) [0,30) [30,60) [60,90) [90,120) [120,150]
高層管理人員 0 0 1 0 2
中層管理人員 1 0 2 2 4
普通員工 9 12 45 20 2
(1)已知該企業(yè)的中、高層管理人員共有120人,求該企業(yè)普通員工的人數(shù);
(2)為激勵先進(jìn)、鞭策后進(jìn),督查組擬公布該企業(yè)全體人員的周學(xué)習(xí)黨史時間的平均數(shù)P(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表)、第25百分位數(shù)M及第75百分位數(shù)N,試求P,M,N的估計值(精確到0.1).
變式 (1)從某地區(qū)抽取100戶居民進(jìn)行月用電量調(diào)查,發(fā)現(xiàn)月用電量都在50~350 kW·h之間.將數(shù)據(jù)分組后得到如下所示的頻率分布表,據(jù)此估計此地區(qū)月用電量的第80百分位數(shù)為 (　 )
分組 [50, 100) [100, 150) [150, 200) [200, 250) [250, 300) [250, 300] 合計
頻率 0.12 0.18 0.30 0.25 0.10 0.05 1
A.230 B.235 C.240 D.245
(2)[2024·昆明部分學(xué)校高一期中] 某面包店記錄了最近一周A,B兩種口味的面包的銷售情況,如表所示:
A口味
星期 一 二 三 四 五 六 日
銷量(個) 16 12 14 10 18 19 13
B口味
星期 一 二 三 四 五 六 日
銷量(個) 13 18 10 20 12 9 14
①試比較最近一周A,B兩種口味面包的日銷量的第60百分位數(shù)的大小.
②該面包店店主將在下一周每天都制作n個A口味的面包,假設(shè)下一周A口味面包的日銷量和被記錄的這一周的日銷量保持一致,每個面包當(dāng)天售出可獲利6元,當(dāng)天未售出將損失5元,從n=14,15,16中,你認(rèn)為應(yīng)該選擇哪一個 請說明理由.
◆ 探究點(diǎn)四　由頻率分布直方圖求百分位數(shù)
例4 我國是一個嚴(yán)重缺水的國家,城市缺水問題較為突出.某市政府為了節(jié)約生活用水,計劃在本市實(shí)行居民生活用水定額管理,即確定一個居民用水量標(biāo)準(zhǔn)m噸,使得86%的居民生活用水不超過這個標(biāo)準(zhǔn).在本市居民中隨機(jī)抽取了100戶家庭,統(tǒng)計其某年的月均用水量(單位:噸),通過數(shù)據(jù)分析得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求a的值,并估計m的值;
(2)如果我們稱m為這組數(shù)據(jù)的86%分位數(shù),那么估計這組數(shù)據(jù)的50%分位數(shù).
變式1 根據(jù)例2中的頻率分布直方圖,估計月均用水量的15%分位數(shù).
變式2 [2024·上海黃浦區(qū)高一期末] 某營養(yǎng)學(xué)研究人員用隨機(jī)抽樣的方法獲得了某高校100名女大學(xué)生平均每日攝取的熱量(單位:千大卡,1千大卡=1000千卡),這組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)健康的成年女性每天需要攝取1.80~1.90千大卡(不含1.90千大卡)的熱量,試估計該校有百分之多少的女大學(xué)生攝取的熱量在此范圍之內(nèi);
(2)已知[1.9,2.0)內(nèi)的數(shù)據(jù)為1.9,1.9,1.91,1.91,1.91,1.93,1.94,1.94,1.95,1.95,1.96,1.96, 1.97, 1.98,1.99,若1.91是這100個樣本數(shù)據(jù)的第k百分位數(shù),求正整數(shù)k的值.
[素養(yǎng)小結(jié)]
根據(jù)頻率分布直方圖計算樣本數(shù)據(jù)的百分位數(shù),首先要理解頻率分布直方圖中各組數(shù)據(jù)頻率的計算,其次估計百分位數(shù)在哪一組,再利用方程的思想方法,設(shè)出百分位數(shù),解方程可得.
9.2.2　總體百分位數(shù)的估計
【課前預(yù)習(xí)】
知識點(diǎn)
2.從小到大　n×p%　j　平均數(shù)
3.第25百分位數(shù)　第50百分位數(shù)　第75百分位數(shù)　第一四分位數(shù)　下四分位數(shù)　上四分位數(shù)
診斷分析
1.(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√　[解析] (2)這組數(shù)據(jù)中應(yīng)至少有10%的數(shù)據(jù)小于或等于23.
2.解:不一定.因?yàn)榘凑沼嬎愕趐百分位數(shù)的步驟,第2步計算i=n×p%,若i是整數(shù),則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i+1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù),若第i項(xiàng)與第(i+1)項(xiàng)數(shù)據(jù)不相等,則第p百分位數(shù)在此組數(shù)據(jù)中就不存在.
【課中探究】
探究點(diǎn)一
例1　D　[解析] 對于A,百分位數(shù)可能是數(shù)據(jù)中的某一項(xiàng),也可能是某兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù),故A錯誤;對于B,不一定恰好有k%的數(shù)據(jù)比第k百分位數(shù)小,故B錯誤;對于C,樣本的第k百分位數(shù)和總體的第k百分位數(shù)不一定是同一個數(shù)據(jù),故C錯誤;對于D,根據(jù)百分位數(shù)的定義,可知一組數(shù)據(jù)中不同的百分位數(shù)可能相等,故D正確.故選D.
變式　B　[解析] 根據(jù)百分位數(shù)的定義可知應(yīng)選B.
探究點(diǎn)二
例2　(1)20　[解析] 因?yàn)?1×60%=6.6,所以第60百分位數(shù)為將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列后的第7個數(shù),故這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為20.
(2)解:把這12個數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列,可得12,13,15,18,19,20,22,24,27,28,30,31.因?yàn)?2×25%=3,12×50%=6,12×75%=9,所以這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)為=16.5,第50百分位數(shù)為=21,第75百分位數(shù)為=27.5.
變式　(1)64　(2)112　　[解析] (1)將表中數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列,得46,48,51,53,53,56,56,56,58,64,66,71,因?yàn)?2×80%=9.6,所以80%分位數(shù)是第10個數(shù)據(jù),即為64.
(2)由5×60%=3,可知第60百分位數(shù)即為將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列后的第3個數(shù)據(jù)和第4個數(shù)據(jù)的平均數(shù),所以=111,解得m=112.
探究點(diǎn)三
例3　解:(1)設(shè)該企業(yè)普通員工的人數(shù)為n,因?yàn)闃颖局衅胀▎T工有88人,高層管理人員和中層管理人員共有12人,
所以=,解得n=880,
所以該企業(yè)普通員工的人數(shù)為880.
(2)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)可得頻數(shù)分布表如下:
周學(xué)習(xí)黨史時間 (單位:分鐘) [0,30) [30,60) [60,90) [90,120) [120,150]
企業(yè)人員 10 12 48 22 8
所以估計周學(xué)習(xí)黨史時間的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為×(15×10+45×12+75×48+105×22+135×8)=×7680=76.8(分鐘).
因?yàn)?0+12<25<10+12+48,所以周學(xué)習(xí)黨史時間的樣本數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)在區(qū)間[60,90)內(nèi),
由60+30×≈61.9,可以估計周學(xué)習(xí)黨史時間的樣本數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)約為61.9.
因?yàn)?0+12+48<75<10+12+48+22,所以周學(xué)習(xí)黨史時間的樣本數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)在區(qū)間[90,120)內(nèi),
由90+30×≈96.8,可以估計周學(xué)習(xí)黨史時間的樣本數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)約為96.8,
用樣本估計總體,可知P的估計值為76.8,M的估計值約為61.9,N的估計值約為96.8.
變式　(1)C　[解析] 估計此地區(qū)月用電量的第80百分位數(shù)為200+50×=240,故選C.
(2)解:①最近一周A口味面包的日銷量按照從小到大的順序排列為10,12,13,14,16,18,19.
因?yàn)?×60%=4.2,所以A口味面包的日銷量的第60百分位數(shù)為16.
最近一周B口味面包的日銷量按照從小到大的順序排列為9,10,12,13,14,18,20,因?yàn)?×60%=4.2,
所以B口味面包的日銷量的第60百分位數(shù)為14.
故最近一周A口味面包的日銷量的第60百分位數(shù)大于B口味面包的日銷量的第60百分位數(shù).
②當(dāng)n=14時,下一周A口味的面包可獲利(14+12+14+10+14+14+13)×6-[(14-12)+(14-10)+(14-13)]×5=511(元);
當(dāng)n=15時,下一周A口味的面包可獲利(15+12+14+10+15+15+13)×6-[(15-12)+(15-14)+(15-10)+(15-13)]×5=509(元);
當(dāng)n=16時,下一周A口味的面包可獲利(16+12+14+10+16+16+13)×6-[(16-12)+(16-14)+(16-10)+(16-13)]×5=507(元).
因?yàn)?11>509>507,所以應(yīng)該選擇n=14.
探究點(diǎn)四
例4　解:(1)由頻率分布直方圖得(0.16+0.30+0.40+0.50+0.30+0.16+a+a+a)×0.5=1,解得a=0.06.
由頻率分布直方圖得月均用水量在[0,3)內(nèi)的頻率為1-(0.16+0.06+0.06)×0.5=0.86.
∵計劃在本市實(shí)行居民生活用水定額管理,即確定一個居民用水量標(biāo)準(zhǔn)m噸,使得86%的居民生活用水不超過這個標(biāo)準(zhǔn),∴估計m=3.
(2)由頻率分布直方圖知,月均用水量在[0,2)內(nèi)的頻率為(0.06+0.16+0.30+0.40)×0.5=0.46,在[2,2.5)內(nèi)的頻率為0.50×0.5=0.25,
∴估計這組數(shù)據(jù)的50%分位數(shù)是2+×0.5=2.08.
變式1　解:由例2的頻率分布直方圖知,月均用水量在[0,1)內(nèi)的頻率為(0.06+0.16)×0.5=0.11,在[1,1.5)內(nèi)的頻率為0.3×0.5=0.15,∴估計月均用水量的15%分位數(shù)為1+×0.5≈1.133.
變式2　解:(1)由題意得0.1×(0.6+1.1+1.1+1.8+a+1.5+0.8+0.6+0.4)=1,
解得a=2.1,故估計該校有2.1×0.1×100%=21%的女大學(xué)生攝取的熱量在此范圍之內(nèi).
(2)在區(qū)間[1.4,1.9)內(nèi)有100×0.1×(0.6+1.1+1.1+1.8+2.1)=67(個)數(shù)據(jù),所以1.91是這100個樣本數(shù)據(jù)的第70,71,72個數(shù)據(jù),則第70,71個數(shù)據(jù)的平均數(shù),和第71,72個數(shù)據(jù)的平均數(shù)均為1.91,同時,第69,70個數(shù)據(jù)的平均數(shù),和第72,73個數(shù)據(jù)的平均數(shù)都不是1.91,所以當(dāng)1.91是這100個樣本數(shù)據(jù)的第k百分位數(shù)時,必有k=70或k=71,故k的值為70或71.

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