資源簡(jiǎn)介

9.2.3　總體集中趨勢(shì)的估計(jì)
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
　　1.結(jié)合具體實(shí)例,經(jīng)歷用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)(平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù))的過程,并理解集中趨勢(shì)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.
　　2.結(jié)合具體實(shí)例,認(rèn)識(shí)樣本與總體的關(guān)系,逐步建立用樣本估計(jì)總體的思想,嘗試運(yùn)用統(tǒng)計(jì)語言描述總體的特征.
◆ 知識(shí)點(diǎn)一　眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)
1.眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的定義
(1)眾數(shù):一組數(shù)據(jù)中　　　　　　　的數(shù).
(2)中位數(shù):一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后,處于　　　位置的數(shù).如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù),則取　　　兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù).
(3)平均數(shù):一組數(shù)據(jù)的　　　　除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)所得到的數(shù).
2.眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的比較
名稱 優(yōu)點(diǎn) 缺點(diǎn)
平均數(shù) 與中位數(shù)比較,平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)中的更多信息,對(duì)樣本中的極端值更加敏感 任何一個(gè)數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變,數(shù)據(jù)越“離群”,對(duì)平均數(shù)的影響越大
中位數(shù) 不受少數(shù)幾個(gè)極端數(shù)據(jù)(即排序靠前或靠后的數(shù)據(jù))的影響 對(duì)極端值不敏感
眾數(shù) 體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn) 眾數(shù)只能傳遞數(shù)據(jù)中的信息的很少一部分,對(duì)極端值不敏感
【診斷分析】 判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù). (　 )
(2)平均數(shù)不一定是原數(shù)據(jù)中的數(shù). (　 )
(3)一個(gè)樣本的眾數(shù)、平均數(shù)和中位數(shù)都是唯一的.(　 )
◆ 知識(shí)點(diǎn)二　總體集中趨勢(shì)的估計(jì)
1.平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì),它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān).
2.單峰頻率分布直方圖的平均數(shù)與中位數(shù)
形狀 關(guān)系
對(duì)稱 平均數(shù)與中位數(shù)差不多
右邊“拖尾” 平均數(shù)大于中位數(shù)
左邊“拖尾” 平均數(shù)小于中位數(shù)
平均數(shù)總是在“長(zhǎng)尾巴”那邊
3.對(duì)數(shù)值型數(shù)據(jù)(如用水量、身高、收入、產(chǎn)量等)集中趨勢(shì)的描述,可以用平均數(shù)、中位數(shù);對(duì)分類型數(shù)據(jù)(如校服規(guī)格、性別、產(chǎn)品質(zhì)量等級(jí)等)集中趨勢(shì)的描述,可以用　　　　.
◆ 知識(shí)點(diǎn)三　眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率
分布直方圖
(1)平均數(shù):在頻率分布直方圖中,樣本平均數(shù)可以用每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的　　　　　與小矩形的　　　　的乘積之和近似代替.
(2)中位數(shù):在頻率分布直方圖中,中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該　　　　.
(3)眾數(shù):在頻率分布直方圖中,眾數(shù)是　　　　小矩形底邊的中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù).
【診斷分析】 判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)樣本的平均數(shù)是頻率分布直方圖中最高小長(zhǎng)方形底邊的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù). (　 )
(2)若改變一組數(shù)據(jù)中的一個(gè)數(shù),則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都會(huì)發(fā)生改變. (　 )
(3)眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量. (　 )
(4)平均數(shù)的大小與一組數(shù)據(jù)里每一個(gè)數(shù)據(jù)均有關(guān)系,任何一個(gè)數(shù)據(jù)的變化都會(huì)引起平均數(shù)的變化.(　 )
◆ 探究點(diǎn)一　平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的計(jì)算
例1 在一次中學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)上,參加男子跳高比賽的17名學(xué)生的成績(jī)?nèi)缦卤硭?
成績(jī)(單位:m) 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90
人數(shù) 2 3 2 3 4 1 1 1
分別求這17名學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)(結(jié)果保留至小數(shù)點(diǎn)后兩位).
　　　　　 　　　　　 　　　　　
變式 (1)已知10名工人生產(chǎn)同一零件,生產(chǎn)的件數(shù)分別是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13,設(shè)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a,中位數(shù)為b,眾數(shù)為c,則有 (　 )
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.c>b>a
(2)已知一組數(shù)據(jù)5,2,x,5,8,9,且5A.6 B.6.5
C.7 D.7.5
◆ 探究點(diǎn)二　平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的應(yīng)用
例2 某公司銷售部有營銷員15人,銷售部為了制定某種商品的月銷售定量,統(tǒng)計(jì)了這15人某月的銷售量(單位:件),具體數(shù)據(jù)如下表所示:
銷售量 1800 510 250 210 150 120
人數(shù) 1 1 3 5 3 2
(1)求這15人該月銷售量的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù).
(2)假設(shè)銷售部負(fù)責(zé)人把每位營銷員的月銷售定量定為320件,你認(rèn)為是否合理 為什么 如不合理,請(qǐng)你制定一個(gè)較合理的月銷售定量,并說明理由.
變式 下表是某校高一年級(jí)兩個(gè)班各11名同學(xué)1分鐘仰臥起坐的成績(jī)(單位:次):
一班 20 34 26 29 28 34 35 36 34 34 31
二班 26 28 30 28 30 31 30 36 30 31 30
(1)這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù),中位數(shù)和眾數(shù)各是多少
(2)你認(rèn)為用哪個(gè)數(shù)表示兩個(gè)班的成績(jī)更合適
[素養(yǎng)小結(jié)]
平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)應(yīng)用問題的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)
(1)平均數(shù)與每一個(gè)數(shù)據(jù)都有關(guān),可以反映更多的總體信息,但受極端值的影響較大;中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線,不受幾個(gè)極端值的影響;眾數(shù)只能體現(xiàn)數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn),無法客觀反映總體特征.
(2)當(dāng)平均數(shù)大于中位數(shù)時(shí),說明數(shù)據(jù)中存在較大的極端值;反之,說明數(shù)據(jù)中存在較小的極端值.
◆ 探究點(diǎn)三　根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)總體的集中趨勢(shì)
例3 某中學(xué)高三年級(jí)有1000名學(xué)生參加學(xué)情調(diào)研測(cè)試,用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取了一個(gè)容量為50的樣本,得到數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)估計(jì)圖中a的值,并估計(jì)這1000名學(xué)生在這次測(cè)試中數(shù)學(xué)成績(jī)不低于120分的人數(shù);
(2)估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)(結(jié)果保留1位小數(shù));
(3)估計(jì)這1000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù).
變式 某市為了了解學(xué)生的體能情況,從全市所有高一年級(jí)學(xué)生中按90∶1的比例隨機(jī)抽取200人進(jìn)行一分鐘跳繩測(cè)試,將所得數(shù)據(jù)整理后,分為6組畫出頻率分布直方圖(如圖所示),由于操作失誤,導(dǎo)致第一組和第二組的數(shù)據(jù)丟失,但知道第二組的頻率是第一組頻率的2倍.
(1)求a和b的值;
(2)若次數(shù)在120以上(含120)為優(yōu)秀,試估計(jì)全市高一年級(jí)學(xué)生的優(yōu)秀率和全市優(yōu)秀學(xué)生的人數(shù);
(3)估計(jì)全市高一年級(jí)學(xué)生一分鐘跳繩次數(shù)的中位數(shù)和平均數(shù).
[素養(yǎng)小結(jié)]
用頻率分布表或頻率分布直方圖求數(shù)字特征:
(1)眾數(shù)是最高的小長(zhǎng)方形的底邊的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù).
(2)中位數(shù)左右兩側(cè)直方圖的面積相等.
(3)平均數(shù)等于每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和.
(4)利用頻率分布直方圖求得的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)均為近似值,往往與實(shí)際數(shù)據(jù)得出的不一致,但它們能粗略估計(jì)其眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù).
9.2.3　總體集中趨勢(shì)的估計(jì)
【課前預(yù)習(xí)】
知識(shí)點(diǎn)一
1.(1)出現(xiàn)次數(shù)最多　(2)中間　中間　(3)和
診斷分析
(1)√　(2)√　(3)×　[解析] (3)眾數(shù)可能有多個(gè).
知識(shí)點(diǎn)二
3.眾數(shù)
知識(shí)點(diǎn)三
(1)橫坐標(biāo)　面積　(2)相等　(3)最高
診斷分析
(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　[解析] (1)樣本的眾數(shù)是頻率分布直方圖中最高小長(zhǎng)方形底邊的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù).
(2)中位數(shù)和眾數(shù)有可能不改變.
【課中探究】
探究點(diǎn)一
例1　解:在這17個(gè)數(shù)據(jù)中,1.75出現(xiàn)了4次,出現(xiàn)的次數(shù)最多,即這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1.75.表里的17個(gè)數(shù)據(jù)可看成是按從小到大的順序排列的,其中第9個(gè)數(shù)據(jù)1.70是最中間的一個(gè)數(shù)據(jù),即這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是1.70.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)=×(1.50×2+1.60×3+1.65×2+1.70×3+1.75×4+1.80×1+1.85×1+1.90×1)=≈1.69.
故這17名學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)依次為1.75 m,1.70 m,1.69 m.
變式　(1)D　(2)A　[解析] (1)由題意得a=×(16+18+15+11+16+18+18+17+15+13)==15.7.將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為11,13,15,15,16,16,17,18,18,18,則中位數(shù)為16,眾數(shù)為18,即b=16,c=18,∴c>b>a.
(2)∵5探究點(diǎn)二
例2　解:(1)這15人該月銷售量的平均數(shù)為=320(件),
將這15人該月的銷售量按照從小到大的順序排列為120,120,150,150,150,210,210,210,210,210,250,250,250,510,1800,可得中位數(shù)為210件,眾數(shù)為210件.
(2)我認(rèn)為不合理,理由:由表格中的數(shù)據(jù)可知,大部分營銷員達(dá)不到要求,故不合理.
可以將210件作為月銷售定量,理由:
由表格中的數(shù)據(jù)可知,有一半以上的營銷員達(dá)到要求,故可以將210件作為月銷售定量.
變式　解:(1)一班成績(jī)的平均數(shù)為(20+34+26+29+28+34+35+36+34+34+31)÷11=341÷11=31(次),
一班的數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為20,26,28,29,31,34,34,34,34,35,36,
所以一班成績(jī)的中位數(shù)為34次,34出現(xiàn)的次數(shù)最多,所以一班成績(jī)的眾數(shù)是34次.
二班成績(jī)的平均數(shù)為(26+28+30+28+30+31+30+36+30+31+30)÷11=330÷11=30(次),
二班的數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為26,28,28,30,30,30,30,30,31,31,36,
所以二班成績(jī)的中位數(shù)是30次,30出現(xiàn)的次數(shù)最多,所以二班成績(jī)的眾數(shù)是30次.
(2)用平均數(shù)表示兩個(gè)班的成績(jī)更合適.
探究點(diǎn)三
例3　解:(1)由題知(0.01+0.012+0.02+0.03+a)×10=1,解得a=0.028,則在這次測(cè)試中數(shù)學(xué)成績(jī)不低于120分的樣本頻率為(0.03+0.028+0.012)×10=0.7,所以估計(jì)這1000名學(xué)生在這次測(cè)試中數(shù)學(xué)成績(jī)不低于120分的人數(shù)為1000×0.7=700.
(2)設(shè)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為x,則(0.01+0.02)×10+0.03×(x-120)=0.5,解得x≈126.7,所以估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)約為126.7分.
(3)估計(jì)這1000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為(0.01×105+0.02×115+0.03×125+0.028×135+0.012×145)×10=126.2(分).
變式　解:(1)由題意得
解得
(2)由頻率分布直方圖,估計(jì)全市高一年級(jí)學(xué)生的優(yōu)秀率是(0.030+0.018+0.006)×10=0.54,
∴估計(jì)全市優(yōu)秀學(xué)生的人數(shù)為0.54×200×90=9720.
(3)∵第一、二、三、四組的頻率分別為0.04,0.08,0.34,0.30,∴前三組的頻率之和為0.46,
∴估計(jì)全市高一年級(jí)學(xué)生一分鐘跳繩次數(shù)的中位數(shù)為120+×10=120+≈121.3,
平均數(shù)為95×0.04+105×0.08+115×0.34+125×0.30+135×0.18+145×0.06=121.8.

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