資源簡介

9.2.4　總體離散程度的估計
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
　　1.結(jié)合具體實(shí)例,經(jīng)歷用樣本估計總體的離散程度參數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差)的過程,理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計含義.
　　2.經(jīng)歷比例分配的分層隨機(jī)抽樣的樣本平均數(shù)和方差的推導(dǎo)過程,會求具體問題的樣本平均數(shù)和樣本方差,并能解釋它們在實(shí)際問題中的意義.
　　3.結(jié)合具體實(shí)例,認(rèn)識樣本與總體的關(guān)系,逐步建立用樣本估計總體的思想,嘗試運(yùn)用統(tǒng)計語言描述總體的特征.
◆ 知識點(diǎn)一　極差
極差:極差為一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差.
◆ 知識點(diǎn)二　方差和標(biāo)準(zhǔn)差
1.一組數(shù)據(jù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差
一組數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的方差為(xi-)2=-,標(biāo)準(zhǔn)差為.
2.總體方差和總體標(biāo)準(zhǔn)差
(1)總體方差和總體標(biāo)準(zhǔn)差:如果總體中所有個體的變量值分別為Y1,Y2,…,YN,總體平均數(shù)為,則稱S2=(Yi-)2為總體方差,S=為總體標(biāo)準(zhǔn)差.
(2)總體方差的加權(quán)形式:如果總體的N個變量值中,不同的值共有k(k≤N)個,不妨記為Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi(i=1,2,…,k),則總體方差為S2=fi(Yi-)2.
3.樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差
如果一個樣本中個體的變量值分別為y1,y2,…,yn,樣本平均數(shù)為,則稱s2=(yi-)2為樣本方差,s=為樣本標(biāo)準(zhǔn)差.
4.標(biāo)準(zhǔn)差的意義
標(biāo)準(zhǔn)差刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動幅度,標(biāo)準(zhǔn)差越大,數(shù)據(jù)的離散程度越　　　　;標(biāo)準(zhǔn)差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越　　　　.
平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差一起能反映數(shù)據(jù)取值的信息.一般情況下數(shù)據(jù)中大部分落在區(qū)間　　　　　　內(nèi),絕大部分?jǐn)?shù)據(jù)落在　　　　　　內(nèi).
5.比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方差
設(shè)樣本量為n,樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,樣本分為兩層,其中兩層的個體數(shù)量分別為n1,n2,兩層的平均數(shù)分別為,,方差分別為,,則這個樣本的方差s2=　　　　　　　　　　　.
【診斷分析】 判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若一組數(shù)據(jù)的值大小相等,沒有波動變化,則標(biāo)準(zhǔn)差為0. (　 )
(2)標(biāo)準(zhǔn)差越大,表明各個樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越集中;標(biāo)準(zhǔn)差越小,表明各個樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越分散. (　 )
(3)標(biāo)準(zhǔn)差的大小不會超過極差. (　 )
(4)一般情況下數(shù)據(jù)中絕大部分?jǐn)?shù)據(jù)落在[-2s,+2s]內(nèi),也有可能落在[-2s,+2s]外. (　 )
(5)計算比例分配的分層隨機(jī)抽樣中總樣本的平均數(shù)與方差時,必須已知各層的權(quán)重. (　 )
◆ 探究點(diǎn)一　方差、標(biāo)準(zhǔn)差的計算及應(yīng)用
角度1　方差、標(biāo)準(zhǔn)差的計算
例1 下面的數(shù)據(jù)是某男運(yùn)動員跳高的跳躍高度(單位:cm),請計算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差和標(biāo)準(zhǔn)差(精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位).
190.0　190.3　190.5　193.0　193.5
198.1　194.1　197.1　202.9
變式1 電動摩托車的續(xù)航里程,是指電動摩托車在蓄電池滿電量的情況下一次能行駛的最大距離.為了解某種型號電動摩托車的續(xù)航里程,現(xiàn)從某賣場庫存電動摩托車中隨機(jī)抽取5臺電動摩托車,在相同條件下進(jìn)行測試,統(tǒng)計結(jié)果如下:
電動摩托車編號 1 2 3 4 5
續(xù)航里程(km) 120 125 122 124 124
則這種型號被測試電動摩托車?yán)m(xù)航里程的方差為　　　　,標(biāo)準(zhǔn)差為　　　　.
變式2 某高校共有“機(jī)器人”興趣團(tuán)隊20個,將這20個團(tuán)隊分為甲、乙兩組,每組10個團(tuán)隊,進(jìn)行理論和實(shí)踐操作考試(共150分),甲、乙兩組的成績?nèi)缦?單位:分):
甲:125,141,140,137,122,114,119,139,121,142;
乙:127,116,144,127,144,116,140,140,116,140.
學(xué)校計劃從甲、乙兩組中選一組參加機(jī)器人大賽,從統(tǒng)計學(xué)角度分析,若最終選擇甲組,理由是什么 若最終選擇乙組,理由是什么
[素養(yǎng)小結(jié)]
標(biāo)準(zhǔn)差、方差的意義
(1)標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大;標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小.標(biāo)準(zhǔn)差的大小不會超過極差.
(2)標(biāo)準(zhǔn)差、方差的取值范圍是[0,+∞).
標(biāo)準(zhǔn)差、方差為0時,樣本中的各數(shù)據(jù)相等,說明數(shù)據(jù)沒有波動幅度,數(shù)據(jù)沒有離散性.
角度2　方差、標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)
例2 (1)某組數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)為2.5,方差為1.5,求2x1-1,2x2-1,…,2xn-1的方差.
(2)設(shè)一組數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的標(biāo)準(zhǔn)差為sx,另一組數(shù)據(jù)3x1+a,3x2+a,…,3xn+a的標(biāo)準(zhǔn)差為sy,求sx與sy的關(guān)系.
　　　　　 　　　　
　 　　　　　
變式 (1)[2024·遼寧大連高一期末] 若x1,x2,…,x10的方差為2,則3x1+1,3x2+1,…,3x10+1的方差是 (　 )
A.18 B.7
C.6 D.2
(2)(多選題)有兩組樣本數(shù)據(jù):x1,x2,…,x2024;y1,y2,…,y2024.其中yi=xi+2024(i=1,2,…,2024),則這兩組樣本數(shù)據(jù)的 (　 )
A.樣本平均數(shù)相同 B.樣本中位數(shù)相同
C.樣本方差相同 D.樣本極差相同
[素養(yǎng)小結(jié)]
(1)一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)都加上或減去同一個常數(shù),所得的一組新數(shù)據(jù)的方差不變,標(biāo)準(zhǔn)差也不變.
(2)若把一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)都變?yōu)樵瓉淼膋倍并加上或減去常數(shù)a,則所得的一組新數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差變?yōu)樵瓉淼膋倍,方差變?yōu)樵瓉淼膋2倍,而與a的大小無關(guān).
◆ 探究點(diǎn)二　分層隨機(jī)抽樣的方差
例3 [2024·浙江杭州四中高一期中] 為了了解學(xué)生軀干、腰、髖等部位關(guān)節(jié)韌帶和肌肉的伸展性、彈性等,某學(xué)校對在校1500名學(xué)生進(jìn)行了一次坐位體前屈測試,采用按學(xué)生性別比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取75人,已知這1500名學(xué)生中男生有900人,且抽取的樣本中男生所獲得成績的平均數(shù)和方差分別為13.2 cm和13.36,女生所獲得成績的平均數(shù)和方差分別為15.2 cm和17.56.
(1)求樣本中男生和女生應(yīng)分別抽取多少人
(2)求抽取的總樣本的平均數(shù),并估計全體學(xué)生的坐位體前屈成績的方差.
變式 甲、乙兩支田徑隊隊員的體檢結(jié)果為:甲隊隊員體重的平均數(shù)為60 kg,方差為200,乙隊隊員體重的平均數(shù)為70 kg,方差為300.已知甲、乙兩隊的隊員人數(shù)之比為1∶4,求甲、乙兩隊全部隊員體重的平均數(shù)和方差.
[素養(yǎng)小結(jié)]
分層隨機(jī)抽樣的方差:設(shè)樣本中不同層的平均數(shù)分別為,,…,,方差分別為,,…,,相應(yīng)的權(quán)重分別為w1,w2,…,wn,則這個樣本的方差為s2=wi[+(-)2](其中為這個樣本的平均數(shù)).
拓展 某市新時代文明實(shí)踐中心承辦了該市馬拉松志愿者選拔的面試工作.現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績(單位:分),并分成五組:第一組[45,55),第二組[55,65),第三組[65,75),第四組[75,85),第五組[85,95],繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知第一、二組的頻率之和為0.3,第一組和第五組的頻率相同.
(1)估計這100名候選者面試成績的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)和第25百分位數(shù);
(2)現(xiàn)從以上各組中用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法選取20人擔(dān)任本市的宣傳者,若本市宣傳者中第二組面試者的面試成績的平均數(shù)和方差分別為62和40,第四組面試者的面試成績的平均數(shù)和方差分別為80和70,據(jù)此估計這次第二組和第四組面試者所有人面試成績的方差.
◆ 探究點(diǎn)三　數(shù)據(jù)的數(shù)字特征的綜合應(yīng)用
例4 在一次科技知識競賽中,兩組學(xué)生的成績?nèi)缦卤?滿分為100分):
成績(分) 50 60 70 80 90 100
人數(shù) 甲組 2 5 10 13 14 6
乙組 4 4 16 2 12 12
請根據(jù)你所學(xué)過的統(tǒng)計知識,進(jìn)一步判斷這兩組學(xué)生在這次競賽中的成績誰優(yōu)誰劣,并說明理由.
變式 甲、乙兩人在相同條件下各射靶10次,每次射靶的成績情況如圖所示.
(1)請?zhí)顚懴卤?
平均數(shù) 方差 中位數(shù) 命中9環(huán)及 9環(huán)以上的次數(shù)
甲
乙
(2)請從下列四個不同的角度對這次測試結(jié)果進(jìn)行分析:
①從平均數(shù)和方差相結(jié)合看(誰的成績更穩(wěn)定);
②從平均數(shù)和中位數(shù)相結(jié)合看(誰的成績好些);
③從平均數(shù)和命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數(shù)相結(jié)合看(誰的成績好些);
④從折線圖上兩人射靶命中環(huán)數(shù)的走勢看(誰更有潛力).
[素養(yǎng)小結(jié)]
數(shù)據(jù)分析的要點(diǎn)
(1)要正確處理此類問題,首先要抓住問題中的關(guān)鍵詞語,全方位地進(jìn)行必要的計算、分析,而不能習(xí)慣性地僅從樣本方差的角度去判斷,實(shí)際問題中應(yīng)從實(shí)際的角度去分析.
(2)在進(jìn)行數(shù)據(jù)分析時,不同的標(biāo)準(zhǔn)沒有對和錯的問題,也不存在唯一解的問題,而是根據(jù)需要來選擇“好”的決策,至于決策的好壞,是根據(jù)提出的標(biāo)準(zhǔn)而定的.
9.2.4　總體離散程度的估計
【課前預(yù)習(xí)】
知識點(diǎn)二
4.大　小　[-s,+s]　[-2s,+2s]
5.[+(-)2]+[+(-)2]
診斷分析
(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√　[解析] (2)標(biāo)準(zhǔn)差越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大,數(shù)據(jù)越分散;標(biāo)準(zhǔn)差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小,數(shù)據(jù)越集中.
【課中探究】
探究點(diǎn)一
例1　解:根據(jù)題意,9個數(shù)據(jù)依次為190.0,190.3,190.5,193.0,193.5,198.1,194.1,197.1,202.9,則平均數(shù)=×(190.0+190.3+190.5+193.0+193.5+198.1+194.1+197.1+202.9)=190+×(0.3+0.5+3+3.5+8.1+4.1+7.1+12.9)≈194.39,方差s2=×[(190.0-)2+(190.3-)2+…+(202.9-)2]≈16.39,標(biāo)準(zhǔn)差s≈≈4.05.
變式1　　　[解析] 這種型號被測試電動摩托車?yán)m(xù)航里程的平均數(shù)=120+=123(km),設(shè)這種型號被測試電動摩托車?yán)m(xù)航里程的方差為s2,則s2=×[(120-123)2+(125-123)2+(122-123)2+(124-123)2+(124-123)2]=,標(biāo)準(zhǔn)差為=.
變式2　解:甲組成績的平均數(shù)=×(125+141+140+137+122+114+119+139+121+142)=130,
乙組成績的平均數(shù)=×(127+116+144+127+144+116+140+140+116+140)=131.
甲組數(shù)據(jù)的方差=×[(125-130)2+(141-130)2+(140-130)2+(137-130)2+(122-130)2+(114-130)2+(119-130)2+(139-130)2+(121-130)2+(142-130)2]=104.2,
乙組數(shù)據(jù)的方差=×[(127-131)2+(116-131)2+(144-131)2+(127-131)2+(144-131)2+(116-131)2+(140-131)2+(140-131)2+(116-131)2+(140-131)2]=128.8.
選擇甲組的理由:甲、乙兩組的平均數(shù)相差不大,但<,甲組成績的波動較小.
選擇乙組的理由:<,在比賽中,高分團(tuán)隊獲勝的概率較大.
例2　解:(1)設(shè)x1,x2,…,xn的平均數(shù)為,則=(x1+x2+…+xn)=2.5,[(x1-2.5)2+(x2-2.5)2+…+(xn-2.5)2]=1.5,
∴[(2x1-1)+(2x2-1)+…+(2xn-1)]=[2(x1+x2+…+xn)-n]=2×2.5-1=4,
∴[(2x1-1-4)2+(2x2-1-4)2+…+(2xn-1-4)2]=[(2x1-5)2+(2x2-5)2+…+(2xn-5)2]=[(x1-2.5)2+(x2-2.5)2+…+(xn-2.5)2]=4×1.5=6.
(2)設(shè)x1,x2,…,xn的平均數(shù)為,則3x1+a,3x2+a,…,3xn+a的平均數(shù)為3+a.
sy===
==3sx,∴sy=3sx.
變式　(1)A　(2)CD　[解析] (1)由題意得3x1+1,3x2+1,…,3x10+1的方差是32×2=18.故選A.
(2)根據(jù)題意,對于數(shù)據(jù)x1,x2,…,x2024,假設(shè)x1探究點(diǎn)二
例3　解:(1)總體容量為1500,樣本容量為75,則抽樣比為=,所以樣本中男生人數(shù)為900×=45,女生人數(shù)為(1500-900)×=30.
(2)因?yàn)槌槿〉臉颖局心猩@得成績的平均數(shù)=13.2(cm),方差=13.36,女生所獲得成績的平均數(shù)=15.2(cm),方差=17.56,所以總樣本的平均數(shù)=×(45×13.2+30×15.2)=14(cm),總樣本的方差s2=×{45×[13.36+(13.2-14)2]+30×[17.56+(15.2-14)2]}=×(630+570)=16,所以估計全體學(xué)生的坐位體前屈成績的方差為16.
變式　解:由題意可知=60 kg,甲隊隊員在所有隊員中所占權(quán)重為=,=70 kg,乙隊隊員在所有隊員中所占權(quán)重為=,則甲、乙兩隊全部隊員體重的平均數(shù)=×60+×70=68(kg),甲、乙兩隊全部隊員體重的方差s2=×[200+(60-68)2]+×[300+(70-68)2]=296.
拓展　解:(1)由題意可知解得
可知每組的頻率依次為0.05,0.25,0.45,0.2,0.05,
故估計這100名候選者面試成績的平均數(shù)為50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.5(分).
由0.05+0.25=0.3>0.25,
設(shè)第25百分位數(shù)為x,則x∈[55,65),所以0.05+(x-55)×0.025=0.25,解得x=63,故估計第25百分位數(shù)為63.
(2)設(shè)第二組、第四組的平均數(shù)分別為,,方差分別為,,因?yàn)閮山M的頻率之比為=,所以估計這次第二組和第四組面試者所有人面試成績的平均數(shù)為==70(分),
故估計這次第二組和第四組面試者所有人面試成績的方差為s2=[+(-)2]+[+(-)2]=×[40+(62-70)2]+×[70+(80-70)2]=.
探究點(diǎn)三
例4　解:(1)甲組學(xué)生成績的眾數(shù)為90分,乙組學(xué)生成績的眾數(shù)為70分,從成績的眾數(shù)來看,甲組學(xué)生的成績好些.
(2)=×(50×2+60×5+70×10+80×13+90×14+100×6)=×4000=80(分),=×(50×4+60×4+70×16+80×2+90×12+100×12)=×4000=80(分).=×[2×(50-80)2+5×(60-80)2+10×(70-80)2+13×(80-80)2+14×(90-80)2+6×(100-80)2]=172,=×[4×(50-80)2+4×(60-80)2+16×(70-80)2+2×(80-80)2+12×(90-80)2+12×(100-80)2]=256.
∵=,<,∴甲、乙兩組學(xué)生成績的平均數(shù)相同,但甲組學(xué)生的成績比乙組學(xué)生的成績更為穩(wěn)定,故甲組學(xué)生的成績好些.
(3)甲、乙兩組學(xué)生的成績的中位數(shù)、平均數(shù)都是80分,其中,甲組學(xué)生成績在80分及以上的有33人,乙組學(xué)生成績在80分及以上的有26人.從這一角度看,甲組學(xué)生的成績較好.
(4)從成績統(tǒng)計表看,甲組學(xué)生成績大于或等于90分的有20人,乙組學(xué)生成績大于或等于90分的有24人,∴乙組學(xué)生成績集中在高分段的較多.
同時,乙組得滿分的人數(shù)比甲組得滿分的人數(shù)多6.從這一角度看,乙組的成績較好.
變式　解:(1)由題圖可知,甲射靶命中的環(huán)數(shù)分別為9,5,7,8,7,6,8,6,7,7,乙射靶命中的環(huán)數(shù)分別為2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.
甲射靶命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)為×(9+5+7+8+7+6+8+6+7+7)=7,方差為×[(9-7)2+(5-7)2+4×(7-7)2+2×(8-7)2+2×(6-7)2]=1.2,中位數(shù)是7,命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數(shù)為1;
乙射靶命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)為×(2+4+6+8+7+7+8+9+9+10)=7,方差為×[(2-7)2+(4-7)2+(6-7)2+2×(8-7)2+2×(7-7)2+2×(9-7)2+(10-7)2]=5.4,中位數(shù)是7.5,命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數(shù)為3.
可填寫表格如下:
平均數(shù) 方差 中位數(shù) 命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數(shù)
甲 7 1.2 7 1
乙 7 5.4 7.5 3
(2)①甲、乙的平均數(shù)相同,乙的方差較大,所以甲的成績更穩(wěn)定;
②甲、乙的平均數(shù)相同,乙的中位數(shù)較大,所以乙的成績好些;
③甲、乙的平均數(shù)相同,乙命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數(shù)比甲多,所以乙的成績較好;
④從折線圖上看,在后半部分,乙呈上升趨勢,而甲起伏不定,且均未超過乙,故乙更有潛力.

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