資源簡介

第八章　立體幾何初步
8.1　基本立體圖形
第1課時　多面體
【學習目標】
　　1.理解棱柱、棱錐、棱臺的結構特征.
　　2.了解棱柱、棱錐、棱臺的底面、側棱、側面、頂點的意義.
◆ 知識點一　空間幾何體
1.空間幾何體的定義:如果只考慮這些物體的　　　　和　　　　,而不考慮其他因素,那么由這些物體抽象出來的空間圖形就叫作空間幾何體.
2.多面體:由若干個　　　　　　圍成的幾何體叫作多面體.圍成多面體的各個多邊形叫作多面體的　　　　;兩個面的公共邊叫作多面體的　　　　;棱與棱的公共點叫作多面體的　　　　.
3.旋轉體:一條平面曲線(包括直線)繞它所在平面內的一條定直線旋轉所形成的曲面叫作　　　　,封閉的旋轉面圍成的幾何體叫作　　　　.這條定直線叫作旋轉體的軸.
◆ 知識點二　棱柱的結構特征
名 稱 定義 圖形及表示 相關概念
棱 柱 有兩個面互相　　　　,其余各面都是　　　　,并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相　　　　　,由這些面所圍成的多面體叫作棱柱 如圖,可記作棱柱ABCDEF- A'B'C'D'E'F' 底面:兩個互相平行的面. 側面:其余各面. 側棱:相鄰側面的公共邊. 頂點:側面與底面的公共頂點
1.分類:按底面多邊形的邊數分為三棱柱、四棱柱、五棱柱……
2.幾個特殊的棱柱
(1)直棱柱:　　　　　　　　　　的棱柱(如圖①③).
(2)斜棱柱:　　　　　　　　　　的棱柱(如圖②④).
(3)正棱柱:底面是正多邊形的　　　　(如圖③).
(4)平行六面體:底面是　　　　　的四棱柱(如圖④).
【診斷分析】 1.判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)棱柱中互相平行的兩個面叫作棱柱的底面.(　 )
(2)棱柱的側面是平行四邊形,而底面不是平行四邊形. (　 )
2.螺栓的頭部模型為正六棱柱,如圖所示,它有　　　　個頂點,　　　　條棱,互相平行的面有　　　　對,能作為棱柱底面的有　　　　對.
◆ 知識點三　棱錐的結構特征
名 稱 定義 圖形及表示 相關概念
棱 錐 有一個面是　　　　,其余各面都是有一個公共頂點的　　　　,由這些面所圍成的多面體叫作棱錐 如圖,可記作棱錐S-ABCD 底面:多邊形面. 側面:有公共頂點的各個三角形面. 側棱:相鄰側面的公共邊. 頂點:各側面的公共頂點
1.分類:按底面多邊形的邊數分為三棱錐、四棱錐、五棱錐……其中三棱錐又叫　　　　.
2.正棱錐:底面是　　　　,并且頂點與底面中心的連線　　　　底面的棱錐.
【診斷分析】 1.判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)正四面體是四棱錐. (　 )
(2)底面是正多邊形的棱錐是正棱錐. (　 )
(3)正棱錐的側面是等腰三角形. (　 )
(4)有一個面是多邊形,其余各面都是三角形的多面體叫作棱錐. (　 )
2.正五棱錐有　　　　個頂點,　　　　條棱,　　　　個面,　　　　個側面.
◆ 知識點四　棱臺的結構特征
名 稱 定義 圖形及表示 相關概念
棱 臺 用一個　　　　于棱錐底面的平面去截棱錐,我們把底面和截面之間那部分多面體叫作棱臺 如圖,可記作棱臺ABCD-A'B'C'D' 上底面:原棱錐的截面. 下底面:原棱錐的底面. 側面:其余各面. 側棱:相鄰側面的公共邊. 頂點:側面與上(下)底面的公共頂點
分類:由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺分別叫作三棱臺、四棱臺、五棱臺……
【診斷分析】 1.判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)棱臺的各側棱的延長線必定交于一點. (　 )
(2)棱臺的側棱長必相等. (　 )
2.面數最少的棱臺為　　　　棱臺,共由　　　　個面圍成,若過此棱臺上底面一個頂點與下底面上不在同一側棱上的兩個頂點作截面,則將此棱臺分為兩部分,分別為一個　　　　,一個　　　　.
◆ 探究點一　棱柱、棱錐、棱臺的結構特征
例1 (1)關于棱臺,下列說法正確的是 (　 )
A.兩底面可以不相似
B.側面都是全等的梯形
C.側棱長一定相等
D.側棱延長后交于一點
(2)給出下列關于棱柱的說法:
①所有的面都是平行四邊形;
②每一個面都不會是三角形;
③兩底面平行,并且各側棱也平行;
④被平行于底面的平面截成的兩部分都是棱柱;
⑤棱長都相等的直四棱柱是正方體.
其中正確說法的序號是　　　　.
(3)如果一個四面體的三個面是直角三角形,那么下列三角形中可能成為這個四面體的第四個面的是　　　　.(填序號)
①直角三角形;②銳角三角形;③等腰三角形;④等腰直角三角形.
變式 [2024·廣東佛山高一期中] 下列說法不正確的是 (　 )
A.正棱錐的底面是正多邊形,側面都是等腰三角形
B.棱臺的各側棱延長線必交于一點
C.用一個平面去截棱錐,底面與截面之間的部分是棱臺
D.棱柱的側棱都相等,側面都是平行四邊形
[素養小結]
辨析棱柱、棱錐、棱臺的結構特征主要抓住以下幾個方面:(1)底面的形狀,底面間的平行關系;(2)側棱的相等關系、側棱間的平行關系;(3)側面的形狀,側面間的平行關系、相等關系等.
◆ 探究點二　多面體的識別和判斷
例2 如圖,已知長方體ABCD-A1B1C1D1.用平面BCFE把這個長方體分成兩部分后,各部分形成的幾何體還是棱柱嗎 如果是,是幾棱柱 如果不是,說明理由.
變式 (多選題)[2024·江蘇無錫高一期中] 在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為A1D1的中點,F為C1D1上靠近D1的三等分點,過E,F的平面將正方體ABCD-A1B1C1D1截成兩部分,則所得幾何體可能是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.三棱錐 B.直三棱柱
C.三棱臺 D.四棱柱
[素養小結]
解答此類題目的關鍵是正確掌握棱柱、棱錐、棱臺的幾何特征,在利用幾何體的概念進行判斷時,要緊扣定義,注意幾何體間的聯系與區別.不要認為底面就一定是所給圖中位于上下位置的面.
◆ 探究點三　多面體的表面展開圖
例3 請畫出如圖所示的幾何體的表面展開圖.
例4 如圖是兩個幾何體的表面展開圖,請問對應的各是什么幾何體
變式 (1)如圖所示,不是正四面體(各棱長都相等的三棱錐)的展開圖的是 (　 )
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.①③ B.②④
C.③④ D.①②
(2)如圖,A,B,C是一個無蓋的正方體盒子展開后的平面圖上的點,則在正方體盒子中,∠ABC= (　 )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
[素養小結]
(1)繪制多面體的表面展開圖要結合多面體的幾何特征,發揮空間想象能力或者親手制作多面體模型.在解題過程中,常常給多面體的頂點標上字母,先把多面體的底面畫出來,再依次畫出各側面,便可得到其表面展開圖.
(2)由展開圖復原幾何體:通常給出多面體的表面展開圖來判斷是由哪一個多面體展開得到的,求解時可把上述過程逆推.同一個幾何體的表面展開圖可能是不一樣的,也就是說,一個多面體可有多個表面展開圖.
第八章　立體幾何初步
8.1　基本立體圖形
第1課時　多面體
【課前預習】
知識點一
1.形狀　大小　2.平面多邊形　面　棱　頂點
3.旋轉面　旋轉體
知識點二
平行　四邊形　平行
2.(1)側棱垂直于底面　(2)側棱不垂直于底面　(3)直棱柱
(4)平行四邊形
診斷分析
1.(1)×　(2)×　[解析] (1)如圖①,正六棱柱的相對側面ABB1A1與EDD1E1平行,但不是底面.
①
(2)如圖②,四棱柱的底面ABCD是平行四邊形.
②
2.12　18　4　1　[解析] 因為螺栓的頭部模型為正六棱柱,所以它有12個頂點,18條棱,其中有4對互相平行的面,能作為棱柱底面的只有1對.
知識點三
多邊形　三角形
1.四面體　2.正多邊形　垂直于
診斷分析
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　[解析] (1)正四面體是三棱錐.
(2)底面是正多邊形的棱錐不一定是正棱錐,因為不能保證頂點與底面中心的連線垂直于底面.
(4)有一個面是多邊形,其余各面都是三角形的多面體叫作棱錐是錯誤的,因為缺少條件:這些三角形有一個公共頂點.反例如圖.
2.6　10　6　5
知識點四
平行
診斷分析
1.(1)√　(2)×　[解析] (1) 棱臺是由棱錐截得的,所以各側棱的延長線必定交于一點.
(2)棱臺的側棱長不一定相等.
2.三　5　三棱錐　四棱錐
【課中探究】
探究點一
例1　(1)D　(2)③④　(3)①②③④　[解析] (1)只有D符合棱臺的特征.
(2)①錯誤,底面可以不是平行四邊形;②錯誤,底面可以是三角形;由棱柱的定義可知③正確;④正確,被平行于底面的平面截成的兩部分都是棱柱;⑤錯誤,當直四棱柱的底面是菱形時,也滿足條件,但不是正方體.故填③④.
(3)如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,幾何體D1-ADC是有三個面是直角三角形的四面體,可知△ACD1為等邊三角形,所以②③正確.幾何體D1-ABD是有四個面是直角三角形的四面體,且△ADD1為等腰直角三角形,所以①④正確.故填①②③④.
變式　C　[解析] 對于A,正棱錐的底面是正多邊形,側面都是等腰三角形,故A中說法正確;對于B,根據棱臺的定義可得,棱臺的各側棱延長線必交于一點,故B中說法正確;對于C,用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐,底面與截面之間的部分是棱臺,故C中說法不正確;對于D,棱柱的側棱都相等,側面都是平行四邊形,故D中說法正確.故選C.
探究點二
例2　解:截面BCFE上方的部分是三棱柱BEB1-CFC1,其中△BEB1和△CFC1是底面.截面BCFE下方的部分是四棱柱ABEA1-DCFD1,其中四邊形ABEA1和四邊形DCFD1是底面.
變式　ABC　[解析] 如圖①, 連接DE,DF,則平面DEF截正方體ABCD-A1B1C1D1可得三棱錐D-D1EF,故A正確; 如圖②,過E作EG⊥AD,垂足為G,過F作FH⊥CD,垂足為H,連接GH,則平面EFHG截正方體ABCD-A1B1C1D1可得直三棱柱D1EF-DGH,故B正確;如圖③,延長D1D至P,連接PE,PF,分別與AD,CD交于M,N,連接MN,則平面EFNM截正方體ABCD-A1B1C1D1可得三棱臺DMN-D1EF,故C正確; EF將正方形A1B1C1D1分成一個三角形和一個五邊形,所以不可能得到四棱柱.故選ABC.
探究點三
例3　解:展開圖如圖所示.(答案不唯一)
例4　解:根據表面展開圖a,b,可得兩個幾何體分別如圖①②所示,其中①為五棱柱,②為三棱臺.
變式　(1)C　(2)C　[解析] (1)可選擇陰影三角形作為底面進行折疊,發現①②可折成正四面體,③④不論選哪一個三角形作底面折疊都不能折成正四面體.故選C.
(2)根據展開圖復原幾何體,易知AB,BC,CA分別為三個全等的正方形的對角線,所以AB=BC=CA,所以△ABC是等邊三角形,所以∠ABC=60°,故選C.第2課時　旋轉體、組合體
【學習目標】
　　1.理解圓柱、圓錐、圓臺、球及簡單組合體的結構特征.
　　2.了解圓柱、圓錐、圓臺的底面、母線、側面、軸的意義.
　　3.了解簡單組合體及其結構特征,能根據條件判斷幾何體的類型.
◆ 知識點一　圓柱、圓錐、圓臺的結構特征
定義及相關概念 圖形及表示
圓 柱 1.定義:以　　　　　　所在直線為旋轉軸,其余三邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫作圓柱 圖中的圓柱記作圓柱O'O
2.相關概念: 圓柱的軸:　　　　軸. 圓柱的底面:　　　　　　的邊旋轉而成的圓面. 圓柱的側面:　　　　　　的邊旋轉而成的曲面. 圓柱側面的母線:無論旋轉到什么位置,　　　　　　的邊
圓 錐 3.定義:以直角三角形的　　　　　　所在直線為旋轉軸,其余兩邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫作圓錐 圖中的圓錐記作圓錐SO
4.相關概念: 圓錐的軸:旋轉軸. 圓錐的底面:垂直于軸的邊旋轉而成的圓面. 側面:直角三角形的斜邊旋轉而成的　　　　面. 母線:無論旋轉到什么位置,不垂直于軸的邊
圓 臺 5.定義:用　　　　　　　　的平面去截圓錐,　　　　　　之間的部分叫作圓臺 圖中的圓臺記作圓臺O'O
6.相關概念: 圓臺的軸:旋轉軸. 圓臺的底面:垂直于軸的邊旋轉而成的圓面. 圓臺的側面:不垂直于軸的邊旋轉而成的曲面. 母線:無論旋轉到什么位置,不垂直于軸的邊
【診斷分析】 1.判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)在圓柱的上、下兩底面圓周上各取一點,則這兩點的連線是圓柱的母線. (　 )
(2)以三角形的一邊所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓錐. (　 )
(3)圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓. (　 )
(4)圓錐的側面展開圖為扇形,這個扇形所在圓的半徑等于圓錐的底面半徑. (　 )
2.圖中的物體叫作圓臺,除了旋轉得到以外,對比棱臺,圓臺還可以怎樣得到呢
◆ 知識點二　球的結構特征
球 圖形及表示
定義:半圓以　　　　　　　所在直線為旋轉軸,旋轉一周形成的曲面叫作　　　　,球面所圍成的旋轉體叫作　　　　,簡稱球 圖中的球 表示為球O
相關概念: 球心:半圓的圓心. 半徑:連接球心和球面上任意一點的線段. 直徑:連接球面上兩點并且經過球心的線段
【診斷分析】 判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)球是以任意一條直線為旋轉軸,將半圓旋轉所形成的幾何體. (　 )
(2)連接球面上兩點的線段叫作球的直徑. (　 )
(3)過球的球心作球的截面,所得截面的半徑與球的半徑相等. (　 )
◆ 知識點三　簡單組合體
1.概念:由　　　　　　　組合而成,這些幾何體稱作簡單組合體.現實世界中的物體大多是由具有柱體、錐體、臺體、球等結構特征的物體組合而成.
2.兩種基本形式:一種是由簡單幾何體　　　　而成;一種是由簡單幾何體　　　　或　　　　一部分而成.
【診斷分析】 請指出如圖所示的幾何體是由哪些簡單幾何體組合而成的
◆ 探究點一　旋轉體的結構特征
例1 [2024·哈爾濱九中高一期中] 下列說法正確的是 (　 )
A.以直角三角形的一條邊所在直線為軸旋轉一周形成的旋轉體是圓錐
B.以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉一周形成的旋轉體是圓臺
C.圓柱、圓錐、圓臺都有兩個底面
D.圓錐的側面展開圖是扇形,這個扇形的半徑大于圓錐的高
變式 (多選題)下列說法中正確的是 (　 )
A.經過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形面
B.圓臺的任意兩條母線的延長線可能相交,也可能不相交
C.圓臺的所有平行于底面的截面都是圓面
D.圓錐的所有軸截面是全等的等腰三角形
[素養小結]
(1)判斷簡單旋轉體結構特征的方法
①明確由哪個平面圖形旋轉而成.
②明確旋轉軸是哪條直線.
(2)簡單旋轉體的軸截面及其應用
①簡單旋轉體的軸截面中有底面半徑、母線、高等體現簡單旋轉體結構特征的關鍵量.
②在軸截面中解決簡單旋轉體問題體現了化空間圖形為平面圖形的化歸與轉化思想.
◆ 探究點二　簡單組合體的結構特征
例2 觀察圖中的幾何體,分析它們是由哪些簡單幾何體組成的.
變式1 (多選題)對于如圖所示的幾何體,以下說法正確的是 (　 )
A.該幾何體是一個多面體
B.該幾何體有9條棱和5個頂點
C.該幾何體有7個面
D.該幾何體是旋轉體
變式2 如圖所示,在平面曲邊圖形ABCDE中,曲邊DE為四分之一圓周,且圓心在AE上,AB,BC,CD為線段,CD∥AE,該曲邊圖形繞AE所在的直線旋轉一周,得到的幾何體是由哪些簡單幾何體組成的
◆ 探究點三　空間幾何體的表面展開與折疊
例3 [2024·安徽淮南二中高一期中] 如圖,底面為正方形的四棱錐P-ABCD中,四條側棱相等,且PA=AB,E,F分別為棱PA和PC上的點,PE=3,PF=6,F處有只螞蟻欲沿該四棱錐的側面爬行到E處,求螞蟻爬行的最短距離.
變式 如圖,在圓錐SO中,底面半徑r=1,母線長l=4,M為母線SA的中點.從點A拉一根繩子,圍繞圓錐側面轉到點M.
(1)求繩子的最短長度;
(2)繩子長度最短時,求頂點S到繩子的最短距離.
[素養小結]
在幾何體的表面上求連接兩點的曲線長的最短問題,常轉化為求其展開圖中相應的線段長,即用“化曲為直”的方法轉化為平面問題來處理.
拓展 如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=AC=2,AA1=3,D,E分別是棱BB1,CC1上的動點,則AD+DE+EA1的最小值是 (　 )
A.
B.5
C.7
D.3
第2課時　旋轉體、組合體
【課前預習】
知識點一
1.矩形的一邊
2.旋轉　垂直于軸　平行于軸　平行于軸
3.一條直角邊　4.曲
5.平行于圓錐底面　底面與截面
診斷分析
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　[解析] (1)根據圓柱母線的定義可知錯誤.
(2)以直角三角形的直角邊所在直線為軸旋轉一周才能得到圓錐.
(3)圓柱、圓錐、圓臺的底面都是由線段繞一端點旋轉一周得到的,都是圓.
(4)圓錐的側面展開圖為扇形,這個扇形所在圓的半徑等于圓錐的母線長,大于圓錐的底面半徑.
2.解:類比棱臺的定義,圓臺還可以是用平行于圓錐底面的平面去截圓錐,底面和截面之間的部分.
知識點二
它的直徑　球面　球體
診斷分析
(1)×　(2)×　(3)√　[解析] (1)根據球的定義可知,半圓以它的直徑所在的直線為旋轉軸,旋轉一周形成的曲面叫作球面,球面所圍成的旋轉體叫球.
(2)連接球面上兩點并且經過球心的線段叫作球的直徑.
(3)連接球心(即為截面圓圓心)和球面上任意一點(取截面圓上一點)的線段叫作半徑,由此可知所得截面的半徑與球的半徑相等.
知識點三
1.簡單幾何體　2.拼接　截去　挖去
診斷分析
解:圖①是一個四棱錐和一個長方體構成的,這是多面體與多面體的組合體;圖②是一個圓臺挖去一個圓錐構成的,這是旋轉體與旋轉體的組合體;圖③是一個球挖去一個長方體構成的,這是旋轉體與多面體的組合體.
【課中探究】
探究點一
例1　D　[解析] 對于A,以直角三角形的斜邊所在直線為軸旋轉一周形成的旋轉體是兩個圓錐的組合體,A錯誤;對于B,以直角梯形不垂直于底邊的腰所在直線為軸旋轉一周形成的旋轉體不是圓臺,B錯誤;對于C,圓錐只有一個底面,C錯誤;對于D,圓錐的側面展開圖是扇形,這個扇形的半徑等于圓錐的母線長,大于圓錐的高,D正確.故選D.
變式　ACD　[解析] 對于A,如圖,經過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形面,故A正確;對于B,由圓臺的定義得,圓臺的任意兩條母線的延長線交于一點,故B錯誤;顯然,C,D均正確.故選ACD.
探究點二
例2　解:圖①是由一個四棱柱挖去一個三棱柱組成的幾何體.圖②是由一個四棱柱和一個圓柱拼接而成的幾何體.圖③是由一個四棱柱與一個半圓柱拼接,并在相接處挖去一個圓柱組成的幾何體.
變式1　AB　[解析] 對于A,由多面體的定義可知該幾何體是一個多面體,故A正確;對于B,由題圖易知該幾何體有9條棱和5個頂點,故B正確;對于C,該幾何體有6個面,故C錯誤;對于D,該幾何體是多面體,不是旋轉體,故D錯誤.故選AB.
變式2　解:線段AB,BC,CD及曲線DE繞AE所在的直線旋轉一周,分別形成圓錐、圓臺和圓柱的側面和半球面,如圖所示.故得到的幾何體由圓錐、圓臺、圓柱和半球組成.
探究點三
例3　解:因為底面為正方形的四棱錐P-ABCD中,四條側棱相等,且PA=AB,
所以四棱錐P-ABCD是正四棱錐且所有的棱都相等.
將側面ABP與側面BCP展開到同一平面內,如圖所示,連接EF.
在△PEF中,PE=3,PF=6,∠EPF=120°,
由余弦定理得EF2=PE2+PF2-2PE·PF·cos∠EPF=9+36-2×3×6×=63,可得EF=3,
所以螞蟻爬行的最短距離為3.
變式　解:將圓錐的側面展開,如圖所示,
則的長m=2πr=2π,∠ASA'===.
(1)連接AM,由題意知,繩長的最小值為展開圖中線段AM的長,可得AM===2.
(2)當繩長最短時,在展開圖中,過點S作AM的垂線,垂足為Q,則SQ的長即為頂點S到繩子的最短距離.
由三角形的等面積法得SQ===.
拓展　D　[解析] 將直三棱柱ABC-A1B1C1的側面展開,如圖所示.易知當A,D,E,A1四點共線時,AD+DE+EA1取得最小值,最小值為==3.故選D.

展開更多......

收起↑