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8.2　立體圖形的直觀圖
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
　　1.了解平行投影的意義,掌握斜二測畫法.
　　2.能用斜二測畫法畫出基本立體圖形的直觀圖.
◆ 知識點一　斜二測畫法
1.直觀圖的認識
(1)直觀圖是觀察者站在某一點觀察一個空間幾何體獲得的圖形.畫立體圖形的直觀圖,實際上是把不完全在同一平面內(nèi)的點的集合,用　　　　　　　的點表示.
(2)在立體幾何中,立體圖形的直觀圖通常是在平行投影下得到的　　　　　　.
2.利用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟
【診斷分析】 1.判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)相等的角在直觀圖中相等. (　 )
(2)通常情況下把橢圓作為圓的直觀圖. (　 )
(3)水平放置的正方形的直觀圖還是一個正方形.(　 )
(4)水平放置的平面圖形中相等的線段在直觀圖中仍相等. (　 )
2.由直觀圖還原平面圖形時,直觀圖中平行于x'軸、y'軸的線段在平面圖形中長度如何變化
◆ 知識點二　簡單幾何體的直觀圖的畫法
畫幾何體的直觀圖時,與畫平面圖形的直觀圖相比,只是多畫一個與x軸、y軸都　　　　的z軸,并且使平行于z軸的線段的平行性和長度　　　　.
【診斷分析】 判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)圖①是一個正方體的直觀圖. (　 )
(2)若圖②是一個長方體的直觀圖,則原長方體的高為2. (　 )
◆ 探究點一　畫平面圖形的直觀圖
例1 畫出如圖所示的水平放置的直角梯形(其中OB∥CD,OD⊥OB)的直觀圖.
變式 如圖所示,在水平放置的△ABC中,BC=8 cm,BC邊上的高AD=6 cm,試用斜二測畫法畫出其直觀圖.
◆ 探究點二　畫空間幾何體的直觀圖
例2 用斜二測畫法畫長、寬、高分別為4 cm,3 cm,2 cm的長方體的直觀圖.
變式 畫底面半徑為2 cm,高為4 cm的圓錐的直觀圖.
[素養(yǎng)小結(jié)]
簡單幾何體直觀圖的畫法
(1)畫軸:通常以高所在直線為z軸建系.
(2)畫底面:根據(jù)平面圖形直觀圖的畫法確定底面.
(3)確定頂點:利用與z軸平行或在z軸上的線段確定有關(guān)頂點.
(4)連線成圖.
◆ 探究點三　直觀圖的有關(guān)計算
例3 已知水平放置的△ABC按照斜二測畫法畫出的直觀圖△A'B'C'如圖所示,其中B'C'=4,A'B'=2,畫出△ABC的原圖并求其面積.
變式 (1)如圖所示的△A'B'C'是水平放置的△ABC的直觀圖,其中A'O'=B'O'=C'O'=1,則原△ABC是一個 (　 )
　　 　　　　　 　　　　　
A.等邊三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
(2)用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形ABCD的直觀圖,得到四邊形A'B'C'D',如圖所示,已知A'B'=3,B'C'=1,A'D'=3,且A'D'∥B'C'.
①求原平面圖形ABCD的面積;
②將原平面圖形ABCD繞BC旋轉(zhuǎn)一周,判斷所形成的幾何體的形狀.
[素養(yǎng)小結(jié)]
由直觀圖還原為平面圖形的關(guān)鍵是找與x'軸、y'軸平行的直線或線段,且平行于x'軸的線段還原時長度不變,平行于y'軸的線段還原時放大為直觀圖中相應(yīng)線段長的2倍,由此確定圖形的各個頂點,順次連接即可.由此可得,直觀圖面積S'與原圖形面積S的關(guān)系為S'=S或S=2S'.
8.2　立體圖形的直觀圖
【課前預(yù)習(xí)】
知識點一
1.(1)同一平面內(nèi)　(2)平面圖形
2.45°　135°　水平面　x'軸或y'軸的線段　保持原長度不變
一半
診斷分析
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　[解析] (1)如正方形(四個內(nèi)角都相等)的直觀圖為平行四邊形(相鄰的內(nèi)角互補,相對的內(nèi)角相等).
(2)生活經(jīng)驗告訴我們,水平放置的圓看起來像橢圓,因此我們一般用橢圓作為圓的直觀圖.
(3)水平放置的正方形的直觀圖是一個平行四邊形.
(4)水平放置的正方形的直觀圖中鄰邊不相等.
2.解:在直觀圖中平行于x'軸的線段在平面圖形中長度不變,但平行于y'軸的線段在平面圖形中長度變?yōu)樵瓉淼?倍.
知識點二
垂直　都不變
診斷分析
(1)×　(2)×　[解析] (1)被遮擋住的三條棱應(yīng)畫為虛線,如圖所示.
(2)原長方體中的高線與z軸平行,而與z軸平行的線段在直觀圖中長度都不變,所以原長方體的高還是1.
【課中探究】
探究點一
例1　解:在已知的直角梯形OBCD中,以底邊OB所在直線為x軸,垂直于OB的腰OD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖①.畫出相應(yīng)的x'軸和y'軸,使∠x'O'y'=45°,在x'軸上截取O'B'=OB,在y'軸上截取O'D'=OD,過點D'作x'軸的平行線l,在l上沿x'軸正方向取點C'使得D'C'=DC,連接B'C',如圖②.擦去輔助線,所得四邊形O'B'C'D'就是直角梯形OBCD的直觀圖,如圖③.
變式　解:(1)在△ABC中建立如圖①所示的平面直角坐標(biāo)系xOy,
再建立如圖②所示的坐標(biāo)系x'O'y',使∠x'O'y'=45°.
(2)在坐標(biāo)系x'O'y'中,在x'軸上截取O'B',O'C',使O'B'=OB,O'C'=OC;在y'軸上截取O'A',使O'A'=OA.
(3)連接A'B',C'A',擦去輔助線,得到△A'B'C',即為△ABC的直觀圖(如圖③所示).
探究點二
例2　解:(1)畫軸.畫x軸、y軸、z軸,三軸交于點O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°,如圖①.
(2)畫底面.以O(shè)為中點,在x軸上取線段MN(MO=ON),使MN=4 cm,在y軸上取線段PQ(PO=OQ),使PQ=1.5 cm.分別過點M和N作y軸的平行線,過點P和Q作x軸的平行線,設(shè)它們的交點分別為A,B,C,D,則四邊形ABCD就是長方體的底面的直觀圖,如圖②.
(3)畫側(cè)棱.過A,B,C,D四點分別作z軸的平行線,并在這些平行線上分別截取2 cm長的線段AA',BB',CC',DD',如圖③.
(4)成圖.順次連接A',B',C',D'(如圖④),并加以整理(去掉輔助線,將被遮擋住的部分改為虛線),就可得到長方體的直觀圖,如圖⑤.
變式　解:(1)如圖所示,畫x軸、z軸,使∠xOz=90°.
(2)以O(shè)為中點,在x軸上取線段AB,使OA=OB=2 cm.利用橢圓模板畫橢圓,使其經(jīng)過A,B兩點,這個橢圓就是圓錐的底面的直觀圖.
(3)在Oz上取點V,使OV=4 cm.
(4)連接VA,VB,整理得到圓錐的直觀圖,如圖.
探究點三
例3　解:畫出△ABC的原圖如圖所示,其中∠ABC=90°,AB=BC=4,則S△ABC=×4×4=8.
變式　(1)C　[解析] 將水平放置的△ABC的直觀圖還原,如圖所示,可知AO=2A'O'=2,OB=OC=B'O'=C'O'=1,AO⊥BC,由勾股定理有AB=AC==.因為AB=AC=>2=BC,所以△ABC是等腰三角形,不是等邊三角形.由大邊對大角可知,△ABC中最大角的余弦值為=>0,即△ABC中最大角是銳角,所以△ABC是銳角三角形,不是直角三角形.綜上所述,只有C選項符合題意.故選C.
(2)解:①將直觀圖還原得平面圖形ABCD,如圖,因為A'B'=3,B'C'=1,A'D'=3,且A'D'∥B'C',
所以AB=3,BC=2,AD=6,且AD∥BC,AB⊥AD,
原平面圖形ABCD為直角梯形,故原平面圖形ABCD的面積S==12.
②將原平面圖形ABCD繞BC旋轉(zhuǎn)一周,所得幾何體是一個圓柱挖去一個圓錐后剩余的部分,如圖.

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