資源簡介

8.3　簡單幾何體的表面積與體積
8.3.1　棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積
【學習目標】
　　1.知道棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積的計算公式.
　　2.能用公式計算一些簡單幾何體的表面積和體積.
　　3.能用公式解決簡單的實際問題.
◆ 知識點一　棱柱、棱錐、棱臺的表面積
1.表面積是幾何體　　　　的面積,它表示幾何體　　　　的大小.
2.多面體的表面積就是圍成多面體　　　　　　　　　　的和.
棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是圍成它們的　　　　　　　　　　的和.
3.幾種特殊多面體的側面積公式
S直棱柱側=ch(c為底面周長,h為高);
S正棱錐側=ch(c為底面周長,h為斜高);
S正棱臺側=(c+c')h(c'為上底面周長,c為下底面周長,h為斜高).
4.幾種特殊多面體的表面積公式
S正四面體=　　　　(a為棱長);
S正方體=　　　　(a為棱長);
S長方體=　　　　　　(a,b,c分別為長、寬、高).
【診斷分析】 1.判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)五棱錐的表面積等于五個側面面積之和. (　 )
(2)沿不同的棱將多面體展開,得到的展開圖相同,表面積相等. (　 )
(3)如果一個正方體的每條棱都增加1 cm,它的表面積擴大為原來的4倍,那么擴大后的正方體的棱長為4 cm. (　 )
2.已知正六棱柱的高為6,底面邊長為4,則它的兩底面面積之和為　　　　,側面積為　　　　,表面積為　　　　　　.
◆ 知識點二　棱柱、棱錐、棱臺的體積
1.棱柱的體積公式:V棱柱=　　　　(S為棱柱的底面面積,h為棱柱的高).
2.棱錐的體積公式:V棱錐=　　　　(S為棱錐的底面面積,h為棱錐的高).
3.棱臺的體積公式:V棱臺=　　　　　　　(S',S分別為棱臺的上、下底面面積,h為棱臺的高).
【診斷分析】 1.判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)底面面積相等、高相等的一個三棱柱與一個四棱柱的體積不相等. (　 )
(2)錐體的體積是等底面面積、等高的柱體的體積的三分之一. (　 )
(3)兩個正方體的體積之比為1∶27,則這兩個正方體的棱長之比為1∶3. (　 )
2.若某正棱臺的底面是正方形,上底面邊長為4,下底面邊長為10,高為4,則此正棱臺的體積為　　　　.
3.根據棱柱、棱錐、棱臺之間的關系,你能發現三者的體積公式之間的關系嗎
◆ 探究點一　棱柱、棱錐、棱臺的表面積
例1 (1)若正三棱錐的底面邊長為a,三條側棱兩兩垂直,則它的側面積為　　　　.
(2)[2024·無錫高一期中] 若正三棱臺ABC-A1B1C1的上底面邊長為1,下底面邊長為2,側棱長為1,則它的表面積為　　　　.
變式 已知正四棱錐的底面邊長是2,高為,則這個正四棱錐的側面積是　　　　.
[素養小結]
求解正棱臺的表面積時注意棱臺的基本量:底面邊長、高、斜高、側棱長,并注意兩個直角梯形的應用.
(1)高,側棱,上、下底面多邊形的中心與頂點連線所成的直角梯形.
(2)高,斜高,上、下底面多邊形的中心與多邊形邊的中點連線所成的直角梯形.
◆ 探究點二　棱柱、棱錐、棱臺的體積
例2 (1)已知正四棱臺上、下底面邊長分別為2和8,側面梯形的高為5,則該正四棱臺的體積為　　　　.
(2)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,M,N分別為BB1,AB的中點,則三棱錐A-NMD1的體積為　　　　.
變式 在棱長為2的正四面體P-ABC中,M,N分別為PA,BC的中點,點D是線段PN上一點,且PD=2DN,則三棱錐P-MBD的體積為　　　　.
[素養小結]
求幾何體體積時需注意的問題:對棱柱、棱錐、棱臺的體積的計算,一般要找出相應的底面和高(等積轉化法),要充分利用截面,求出所需要的量,最后代入公式計算.求臺體的體積時,也可以將臺體轉化為錐體計算.
◆ 探究點三　簡單組合體的表面積和體積
例3 如圖,某幾何體的下部分是長、寬均為8,高為3的長方體ABCD-A1B1C1D1,上部分是側棱長都相等且高為3的四棱錐P-A1B1C1D1,求:
(1)該幾何體的體積;
(2)該幾何體的表面積.
變式 如圖,將一個長方體用過相鄰三條棱的中點的平面截出一個三棱錐,則該三棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比值為　　　　.
[素養小結]
求組合體的表面積與體積的關鍵是先弄清組合體中各簡單幾何體的結構特征及組合形式,再分別代入公式求解.
拓展 如圖,在多面體ABCDEF中,已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形,且△ADE,△BCF均為正三角形,EF∥AB,EF=2,則該多面體的體積為　　　　.
8.3　簡單幾何體的表面積與體積
8.3.1　棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積
【課前預習】
知識點一
1.表面　表面　2.各個面的面積　各個面的面積
4.a2　6a2　2(ab+bc+ca)
診斷分析
1.(1)×　(2)×　(3)×　[解析] (1)五棱錐的表面積等于五個側面面積與一個底面面積之和.
(2)剪開的棱不同,同一個多面體的表面展開圖可能不同,但無論怎么剪開,表面積相等.
(3)設原來正方體的棱長為x cm,則6(x+1)2=4×6x2,可得x=1,所以擴大后的正方體的棱長為2 cm.
2.48　144　144+48　[解析] 由題知兩底面面積之和為2××42×6=48,側面積為6×6×4=144,則該正六棱柱的表面積為144+48.
知識點二
1.Sh　2.Sh　3.h(S'++S)
診斷分析
1.(1)×　(2)√　(3)√　[解析] (1)底面面積相等、高相等的所有棱柱的體積均相等.
2.208　[解析] 此正棱臺的體積V=×(16+100+)×4=208.
3.解:當棱臺的上底面按同一比例縮小,且使上底面縮為一點時,棱臺的體積公式變為棱錐的體積公式;當棱臺的上底面按同一比例增大,且使上底面與下底面全等時,棱臺的體積公式變為棱柱的體積公式.由此可知棱柱、棱錐的體積公式是棱臺的體積公式的特殊情況.
【課中探究】
探究點一
例1　(1)a2　(2)　[解析] (1)因為正三棱錐的底面邊長為a,三條側棱兩兩垂直,所以該三棱錐的三個側面均為全等的等腰直角三角形,且斜邊長為a,故側棱長為a,則它的側面積為3××a×a=a2.
(2)根據題意,正三棱臺ABC-A1B1C1的上、下底面均為等邊三角形,上底面是邊長為1的等邊三角形,下底面是邊長為2的等邊三角形,側面為等腰梯形,上底邊長為1,下底邊長為2,腰長為1,所以側面梯形的高h=,所以表面積S=×1×1×+×2×2×+3×=.
變式　8　[解析] 如圖所示,AO=,QR=2,設B為QR的中點,連接AB,OB,所以OB=1,則AB==2,所以S△AQR=2×2×=2,則S側=2×4=8.
探究點二
例2　(1)112　(2)　[解析] (1)如圖,取正四棱臺的軸截面ABCD,A,B,C,D分別為所在棱的中點,由題意可知AB=2,CD=8,AD=BC=5.過點A作AE⊥CD,垂足為E,則DE=3,正四棱臺的高AE==4,所以該正四棱臺的體積為×(22+82+)×4=112.
(2)如圖,∵正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,M,N分別為BB1,AB的中點,∴S△AMN=×1×1=,∴==××2=.
變式　　[解析] 如圖,正四面體的棱長為2,點C在平面PAB內的射影為點O,點O是三角形PAB的中心,點O在MB上,BO=××2=,則CO==,所以三棱錐C-PBA的體積VC-PBA=××2×2××=.S△PMB=S△PAB,因為PD=NP,且NB=CB,所以點D到平面PAB的距離是點C到平面PAB距離的,所以三棱錐P-MBD的體積VD-PBM=VC-PBA=×=.
探究點三
例3　解:(1)由題意得=8×8×3=192,
=×8×8×3=64,
故該幾何體的體積V=+=192+64=256.
(2)如圖所示,連接A1C1,B1D1,設A1C1與B1D1交于點O,取B1C1的中點E,連接PO,OE,PE.∵PO=3,OE=4,∴PE==5,則四棱錐P-A1B1C1D1的表面積S1=4××8×5+8×8=144,長方體ABCD-A1B1C1D1的側面積S2=4×8×3=96,故該幾何體的表面積S=S1+S2=144+96=240.
變式　　[解析] 設長方體的長、寬、高分別為2a,2b,2c,則長方體的體積V1=2a×2b×2c=8abc,所截三棱錐的體積V2=××a×b×c=abc,所以所截三棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比值為==.
拓展　　[解析] 分別過點A,B作EF的垂線,垂足分別為G,H,連接DG,CH,則多面體ABCDEF被分為三棱錐E-ADG,三棱柱ADG-BCH,三棱錐F-HBC三個部分.由四邊形ABCD是邊長為1的正方形,且△ADE,△BCF均為正三角形,EF∥AB,EF=2,易得EG=HF=,AG=GD=BH=HC=,∴S△AGD=S△BHC=××1=,∴該多面體的體積V=V三棱錐E-AGD+V三棱柱AGD-BHC+V三棱錐F-BHC=××+×1+××=.

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