資源簡介

8.3.2　圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積
第1課時　圓柱、圓錐、圓臺的表面積和體積
【學習目標】
　　知道圓柱、圓錐、圓臺的表面積和體積的計算公式.
　　能用公式計算一些簡單幾何體的表面積和體積.
◆ 知識點一　圓柱、圓錐、圓臺的表面積
1.圓柱、圓錐、圓臺的表面積定義
圓柱、圓錐、圓臺的表面積是圍成它的各個面的　　　　.
2.圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式
圖形 表面積公式
旋 轉 體 圓 柱 r為底面半徑,l是母線長 底面積:S底=　　　　. 側面積:S側=　　　　. 表面積:S=　　　
圓 錐 r為底面半徑,l是母線長 底面積:S底=　　　　. 側面積:S側=　　　　. 表面積:S=　　　　　
圓 臺 r',r分別是上、下底面半徑,l是母線長 上底面面積:S上底=　　　　. 下底面面積:S下底=　　　　. 側面積:S側=　　　　　　. 表面積:S= 　　
3.圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式之間的關系
根據圓柱、圓錐、圓臺之間的關系,可以發現三者的表面積公式之間有如下關系:
在圓臺的表面積公式S圓臺=π(r2+r'2+rl+r'l)中,當　　　　時,得圓柱的表面積公式S圓柱=2πr(r+l);當　　　　時,得圓錐的表面積公式S圓錐=πr(r+l).
【診斷分析】 1.判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)圓柱的側面積等于底面圓面積與高的積. (　 )
(2)圓錐的底面半徑擴大為原來的2倍,母線長縮小為原來的,它的表面積不變. (　 )
(3)圓柱、圓錐、圓臺的展開圖分別是一個矩形、扇形、扇環. (　 )
2.已知圓錐的底面半徑為4 cm,高為2 cm,則這個圓錐的底面積為　　　　cm2,側面積為　　　　cm2,表面積為　　　　cm2.
◆ 知識點二　圓柱、圓錐、圓臺的體積
1.圓柱、圓錐、圓臺的體積公式
(1)V圓柱=πr2h(r為底面半徑,h是高).
(2)V圓錐=　　　　(r為底面半徑, h是高).
(3)V圓臺=　　　　　　　　(r',r分別是上、下底面半徑, h是高).
2.柱體、錐體、臺體的體積公式
(1)柱體的體積公式:V柱體=　　　　(S為底面積,h為柱體高).
(2)錐體的體積公式:V錐體=　　　　 (S為底面積,h為錐體高).
(3)臺體的體積公式:V臺體=　　　　　　　　(S',S分別為上、下底面面積,h為臺體高).
【診斷分析】 1.判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)圓錐的底面半徑擴大為原來的2倍,高縮小為原來的,它的體積不變. (　 )
(2)圓臺的上底面半徑為2,下底面半徑為3,高為6,則此圓臺的體積為38π. (　 )
2.用變化的觀點分析圓臺與圓柱、圓錐之間的相互聯系,你能發現三者的體積公式之間的關系嗎
◆ 探究點一　圓柱、圓錐、圓臺的軸截面問題
例1 (1)若一個圓柱的軸截面是面積為9的正方形,則這個圓柱的側面積為 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.9π B.12π C.π D.π
(2)已知圓錐的軸截面是斜邊長為2r的等腰直角三角形,若圓錐的側面積為π,則軸截面的面積為　　　　.
變式 (1)若一個圓錐的軸截面是面積為9的等腰直角三角形,則這個圓錐的底面半徑為　　　　.
(2)一個圓錐截成圓臺,已知圓臺的上、下底面半徑的比是1∶4,截去小圓錐的母線長為3 cm,則圓臺的母線長為　　　　.
◆ 探究點二　圓柱、圓錐、圓臺的表面積和體積
例2 (1)已知圓臺的上、下底面圓的半徑分別為2和5,高為4,則這個圓臺的側面積為 (　 )
A. B.35π C.28π D.64π
(2)已知某圓錐的側面積為π,該圓錐側面的展開圖是圓心角為的扇形,則該圓錐的體積為(　 )
A. B. C.2π D.
(3)已知圓柱的底面半徑為2,高為3,垂直于圓柱底面的平面截圓柱所得截面為矩形ABCD,剩余部分如圖所示.若弦AB所對的圓心角為,則剩余部分的體積為　　　　.
變式 (1)已知一個圓柱的高是底面半徑的2倍,則該圓柱的側面積與表面積的比值為 (　 )
A. B. C. D.
(2)[2024·合肥一中高一期中] 已知某圓錐的側面展開圖是一個半徑為r的半圓,且該圓錐的體積為3π,則r=　　　　.
[素養小結]
求圓柱和圓錐的表面積時,只需按照公式進行求解;而解決臺體的問題通常要還臺為錐,求表面積時要注意側面展開圖的應用,上、下底面圓的周長是側面展開圖的弧長.
◆ 探究點三　簡單組合體的表面積與體積
例3 如圖,在四邊形ABCD中,∠DAB=,∠ADC=,AB=5,CD=2,AD=1,求以邊AD所在直線為軸旋轉一周所得幾何體的體積.
變式 [2024·湖北華師大一附中高一月考] 氈帳是一種內部木架結構,外部毛氈圍攏的房子,建造和搬遷都很方便,適合牧業和游牧生活.如圖所示,某氈帳可視作一個圓錐與一個圓柱的組合體(圓柱的上底面與圓錐的底面重合),下半部分圓柱的高為2.5米,上半部分圓錐的母線長為2米,軸截面(過圓錐軸的截面)是面積為3平方米的等腰鈍角三角形,則建造該氈帳(不含底面)需要毛氈 (　 )
A.(6+15)π平方米
B.(5+6)π平方米
C.(12+15)π平方米
D.(10+6)π平方米
[素養小結]
求組合體的表面積與體積的關鍵是弄清組合體中各簡單幾何體的結構特征及組合形式,對于與旋轉體有關的組合體問題,要先根據條件分清各個簡單幾何體的底面半徑及母線長,再分別代入公式求解.
8.3.2　圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積
第1課時　圓柱、圓錐、圓臺的表面積和體積
【課前預習】
知識點一
1.面積和
2.πr2　2πrl　2πr(r+l)　πr2　πrl　πr(r+l)　πr'2　πr2　π(r'l+rl)　π(r2+r'2+rl+r'l)
3.r'=r　r'=0
診斷分析
1.(1)×　(2)×　(3)×　[解析] (1)圓柱的側面積等于底面圓周長與高的積.
(2)當圓錐的底面半徑擴大為原來的2倍,母線長縮小為原來的時,它的底面積擴大為原來的4倍,而側面積不變,所以它的表面積發生了變化.
(3)圓柱、圓錐、圓臺的展開圖分別是一個矩形和兩個相等的圓、一個扇形和一個圓、一個扇環和兩個不相等的圓.
2.16π　24π　40π　[解析] 因為圓錐的底面半徑為4 cm,所以底面周長為8π cm,底面積為16π cm2.由勾股定理得,母線長為=6(cm),由題意知圓錐的側面展開圖為扇形,所以圓錐的側面積為×8π×6=24π(cm2).表面積為16π+24π=40π(cm2).
知識點二
1.(2)πr2h　(3)πh(r'2+r'r+r2)
2.(1)Sh　(2)Sh　(3)(S'++S)h
診斷分析
1.(1)×　(2)√　[解析] (1)由圓錐的體積公式知圓錐的底面半徑擴大為原來的2倍,高縮小為原來的,它的體積變為原來體積的2倍.
2.解:圓柱和圓錐是圓臺的特殊情形,當圓臺上、下底面半徑相等時,圓臺變為圓柱,圓臺的體積公式變為圓柱的體積公式;當圓臺上底面半徑為0時,圓臺變為圓錐,圓臺的體積公式變為圓錐的體積公式.
【課中探究】
探究點一
例1　(1)A　(2)1　[解析] (1)設圓柱的底面半徑為r,則該圓柱的母線長為2r,因為該圓柱的軸截面面積為(2r)2=4r2=9,所以該圓柱的側面積為2πr·2r=4πr2=9π,故選A.
(2)因為圓錐的軸截面是斜邊長為2r的等腰直角三角形,所以圓錐的母線長為r,底面直徑為2r,則此圓錐的側面積為πr·r=π,可得r=1,所以軸截面的面積為×(r)2=1.
變式　(1)3　(2)9 cm　[解析] (1)設底面半徑為r,因為軸截面是等腰直角三角形,所以圓錐的高也是r,根據題意得×2r×r=9,可得r=3.
(2)設圓臺的母線長為y cm,因為圓臺的上、下底面半徑的比是1∶4,所以可設圓臺的上、下底面半徑分別是x cm,4x cm,根據相似三角形的性質得=,可得y=9,故圓臺的母線長為9 cm.
探究點二
例2　(1)B　(2)A　(3)10π+3　[解析] (1)∵圓臺的上、下底面圓的半徑分別為2,5,高為4,∴圓臺的母線長l==5,∴這個圓臺的側面積為π(2×5+5×5)=35π.故選B.
(2)設該圓錐的母線長為l,底面圓的半徑為r,由×l2=π,得l=.因為2πr=×,所以r=1,所以該圓錐的體積為×π×1×=.故選A.
(3)因為弦AB所對的圓心角為,所以剩余部分的底面面積為××22+×22×sin=+,所以剩余部分的體積為×3=10π+3.
變式　(1)C　(2)2　[解析] (1)設該圓柱底面的半徑為r,則高h=2r,故圓柱的側面積為2πr·h=4πr2,表面積為4πr2+2πr2=6πr2,故該圓柱的側面積與表面積的比值為=,故選C.
(2)設圓錐的底面圓的半徑為R,高為h,由題意知,圓錐的母線長為r,且2πR=×2πr,得R=,所以h==r,又圓錐的體積為3π,所以3π=π×r,解得r=2.
探究點三
例3　解:以邊AD所在直線為軸旋轉一周所得幾何體為一個圓臺中間挖去一個圓錐.設圓臺的上底面圓心為E,因為∠DAB=,∠ADC=,AB=5,CD=2,AD=1,
所以CE=DE=CD=2,得AE=3,所以該幾何體的體積V=V圓臺-V圓錐=×(25π++4π)×3-×π×22×2=×39π×3-×8π=.
變式　A　[解析] 設圓錐的高為h米,底面半徑為r米,因為圓錐的母線長為2米,軸截面是面積為3平方米的等腰鈍角三角形,所以可得則上半部分圓錐的側面積S1=π×3×2=6π(平方米),下半部分圓柱的側面積S2=2π×3×2.5=15π(平方米),則建造該氈帳(不含底面)需要毛氈S1+S2=(6+15)π(平方米).故選A.第2課時　球的表面積和體積
【學習目標】
　　1.知道球的表面積和體積的計算公式,能用公式計算一些簡單的與球有關的表面積和體積.
　　2.能解決與球有關的簡單截面問題.
　　3.能用公式計算一些簡單組合體的表面積和體積.
◆ 知識點一　球的表面積和體積
設球的半徑為R,則球的表面積公式:S球=　　　　　;
球的體積公式:V球=　　　　.
【診斷分析】 1.判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若球的半徑擴大為原來的3倍,則它的表面積擴大為原來的3倍. (　 )
(2)若三個球的半徑之比為1∶2∶3,則最大球的體積與最小球的體積之和是另一個球的體積的2倍.(　 )
2.若球的半徑R=3,則過球心的截面圓的面積為　　　　,球的表面積為　　　　,體積為　　　　.
◆ 知識點二　球的截面問題
(1)用一個　　　　去截球,截面一定是　　　　.
(2)如果平面過　　　　,那么得到的截面圓為球的　　　　;如果平面不過球心,那么得到的截面圓為球的　　　　.
(3)如圖,設小圓的圓心為O',半徑為r,球的球心為O,半徑為R,則
①OO'⊥圓面O';
②R2=r2+OO'2.
◆ 探究點一　球的表面積與體積公式的應用
例1 (1)已知球的直徑為6 cm,求它的表面積和體積.
(2)已知球的表面積為64π,求它的體積.
(3)已知球的體積為π,求它的表面積.
變式 (1)若一個球的體積與表面積相等,則該球的半徑為 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.1 B.2
C.3 D.
(2)已知小球與大球的表面積之比為1∶9,則小球與大球的體積之比為　　　　.
◆ 探究點二　球的截面問題
例2 已知球的半徑為10 cm,若它的一個截面圓的面積為36π cm2,求球心與截面圓圓心之間的距離.
變式 過球面上A,B,C三點的截面和球心的距離是球的半徑的一半,且AB=BC=CA=2,則球的體積為 (　 )
A. B. C. D.
[素養小結]
(1)有關球的截面問題,常畫出過球心的截面圓,將問題轉化為平面中圓的問題.
(2)解題時要注意借助球的半徑R,截面圓的半徑r,球心到截面的距離d構成的直角三角形,即R2=d2+r2.
◆ 探究點三　與球有關的組合體的表面積與體積問題
例3 在一個如圖所示的直角梯形ABCD內挖去一個扇形,E恰好是梯形的下底邊的中點,將所得平面圖形繞直線DE旋轉一周.
(1)說明所得幾何體的結構特征;
(2)求所得幾何體的表面積和體積.
變式 (1)某幾何體由一個半球、一個圓柱和一個圓臺組成,其軸截面如圖所示,則該幾何體的體積為 (　 )
A.2530π B.3016π
C.3824π D.4350π
(2)如圖所示,已知球的直徑與圓柱底面的直徑和圓柱的高相等,圓錐的頂點為圓柱上底面的圓心,圓錐的底面是圓柱的下底面,則V圓錐∶V球∶V圓柱=　　　　.
[素養小結]
解決組合體問題主要是正確分辨各個幾何體,然后結合幾何體的表面積公式或者體積公式求得最值.
第2課時　球的表面積和體積
【課前預習】
知識點一
4πR2　πR3
診斷分析
1.(1)×　(2)×　[解析] (1)由球的表面積公式知,若球的半徑擴大為原來的3倍,則它的表面積擴大為原來的9倍.
(2)設三個球的半徑分別為r,2r,3r,則它們的體積分別為πr3,πr3,πr3,所以最大球的體積與最小球的體積之和為πr3+πr3=πr3,它是另一個球的體積的倍.
2.9π　36π　36π　[解析] 由題意得,過球心的截面圓的面積為πR2=9π,球的表面積為4πR2=36π,體積為πR3=36π.
知識點二
(1)平面　圓　(2)球心　大圓　小圓
【課中探究】
探究點一
例1　解:(1)∵直徑為6 cm,∴半徑R=3 cm,
∴S球=4πR2=36π(cm2),V球=πR3=36π(cm3).
(2)設球的半徑為R,∵S球=4πR2=64π,∴R2=16,即R=4,∴V球=πR3=π×43=π.
(3)設球的半徑為R,∵V球=πR3=π,∴R3=125,即R=5,∴S球=4πR2=100π.
變式　(1)C　(2)1∶27　[解析] (1)設該球的半徑為R,由題意得πR3=4πR2,可得R=3.故選C.
(2)設小球的半徑為R1,表面積為S1,體積為V1,大球的半徑為R2,表面積為S2,體積為V2,∵球的表面積公式為S=4πR2,S1∶S2=1∶9,∴R1∶R2=1∶3,又球的體積公式為V=πR3,∴V1∶V2=∶=1∶27.
探究點二
例2　解:如圖,設截面圓的半徑為r,球心與截面圓圓心之間的距離為d,球的半徑為R.
由πr2=36π,可得r=6 cm,又R=10 cm,
所以在Rt△OO'A中,
可得d==8(cm),即球心與截面圓圓心之間的距離為8 cm.
變式　D　[解析] 因為AB=BC=CA=2,所以△ABC的外接圓半徑r=. 設球的半徑為R,則R2-=,所以R=,所以球的體積V=πR3=.故選D.
探究點三
例3　解:(1)根據題意知,將所得平面圖形繞直線DE旋轉一周后,所得幾何體是上部是一個圓錐,下部是一個圓柱挖去一個半球的組合體.
(2)由題圖可知,DE=4,CD=4,故該組合體的表面積S組合體=S圓錐側+S圓柱側+S半球 =π×4×4+2π×4×4+×4π×42 =(16+64)π,
該組合體的體積V組合體=V圓錐+V圓柱-V半球 =×π×42×4+π×42×4-××π×43=.
變式　(1)A　(2)1∶2∶3　[解析] (1)由圖可得,V半球=××π×93=486π,V圓柱=π×92×14=1134π,V圓臺=×(92++12)×π×30=910π,所以該幾何體的體積V=V半球+V圓柱+V圓臺=486π+1134π+910π=2530π.故選A.
(2)設圓柱底面圓的半徑為r,則圓柱的高h=2r,球的半徑為r,所以V圓錐=πr2h=πr3,V球=πr3,V圓柱=πr2h=2πr3,所以V圓錐∶V球∶V圓柱=πr3∶πr3∶2πr3=1∶2∶3.

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