資源簡介

8.4.2　空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
　　1.理解異面直線的概念,并能正確畫出兩條異面直線.
　　2.掌握直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系的分類與表示.
◆ 知識點一　空間中直線與直線的位置關(guān)系
1.異面直線的定義
我們把　　　　　　　　　　　　　　　　　叫作異面直線,如圖所示.
2.空間兩條直線的位置關(guān)系
空間兩條直線的位置關(guān)系有三種:
【診斷分析】 1.判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)分別在兩個不重合的平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線. (　 )
(2)空間中兩條不相交的直線一定是異面直線.(　 )
(3)若a,b為異面直線,b,c為異面直線,則a,c為異面直線. (　 )
2.如果一條直線與一個平面相交,那么該直線與這個平面內(nèi)的直線的位置關(guān)系有幾種
◆ 知識點二　空間中直線與平面的位置關(guān)系
位置 關(guān)系 直線a在平面α內(nèi) 直線a與平面α相交 直線a與平面α平行
公共點 有　　　個公共點 　　　　　一個公共點 　　　公共點
符號 表示 　　　 　　　 　　　
圖形 表示
說明:當(dāng)直線與平面相交或平行時,直線不在平面內(nèi),也稱為直線在平面外.
【診斷分析】 判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若直線與平面不相交,則直線與平面沒有公共點. (　 )
(2)若直線在平面外,則直線與平面平行. (　 )
(3)若直線l上有無數(shù)個點不在平面α內(nèi),則l∥α.(　 )
◆ 知識點三　空間中平面與平面的位置關(guān)系
兩個平面之間的位置關(guān)系有且只有以下兩種:
(1)兩個平面　　　　——沒有公共點;
平面α與平面β平行,記作　　　　.
注:畫兩個互相平行的平面時,要注意使表示平面的兩個平行四邊形的對應(yīng)邊平行(如圖).
(2)兩個平面　　　　——有一條公共直線.
【診斷分析】 判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)分別位于兩個平行平面內(nèi)的兩條直線平行.(　 )
(2)若兩個平面有無數(shù)個公共點,則這兩個平面為同一平面. (　 )
◆ 探究點一　空間中兩條直線位置關(guān)系的判定
例1 如圖所示,在正方體ABCD -A1B1C1D1中,判斷下列直線的位置關(guān)系:
(1)直線A1B與直線D1C的位置關(guān)系是　　　　;
(2)直線A1B與直線B1C的位置關(guān)系是　　　　;
(3)直線D1D與直線D1C的位置關(guān)系是　　　　;
(4)直線AB與直線B1C的位置關(guān)系是　　　　.
變式 (多選題)下列說法正確的是 (　 )
A.沒有公共點的兩條直線是平行直線
B.垂直于同一條直線的兩條直線互相平行
C.不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線是異面直線
D.既不平行又不相交的兩條直線是異面直線
◆ 探究點二　直線與平面的位置關(guān)系
例2 (1)若直線上有一點在平面外,則下列說法正確的是 (　 )
A.直線上所有的點都在平面外
B.直線上有無數(shù)個點都在平面外
C.直線上有無數(shù)個點都在平面內(nèi)
D.直線上至少有一個點在平面內(nèi)
(2)在長方體ABCD-A1B1C1D1的六個表面與六個對角面所在的平面中,與棱AA1平行的平面有(　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.2個 B.3個
C.4個 D.5個
(3)下列說法中正確的個數(shù)是 (　 )
①如果兩條平行直線中的一條和一個平面相交,那么另一條直線也和這個平面相交;
②經(jīng)過兩條異面直線中的一條直線有一個平面與另一條直線平行;
③兩條相交直線中的一條與一個平面平行,則另一條直線一定與這個平面平行.
A.0 B.1
C.2 D.3
◆ 探究點三　平面與平面的位置關(guān)系
例3 (1)(多選題)下列說法中正確的是 (　 )
A.在平面α內(nèi)有兩條直線和平面β平行,那么這兩個平面平行
B.在平面α內(nèi)有無數(shù)條直線和平面β平行,那么這兩個平面平行
C.平面α內(nèi)的△ABC的三個頂點在平面β的同一側(cè)且到平面β的距離相等且不為0,那么平面α與β平行
D.平面α內(nèi)有無數(shù)個點到平面β的距離相等且不為0,那么這兩個平面平行或相交
(2)若點A∈α,B α,C α,則平面ABC與平面α的位置關(guān)系是 　　　　　.
變式1 [2024·杭州二中高一期中] 以下說法正確的是 (　 )
A.若a是平面α外的一條直線,則過a且與α平行的平面有且只有一個
B.若夾在兩個平面間的三條平行線段的長度相等,則這兩個平面平行
C.若平面α內(nèi)不共線的三點到平面β的距離相等,則α∥β
D.空間中A,B,C三點構(gòu)成邊長為2的正三角形,若這三點到平面α的距離均為1,則這樣的平面α恰有兩個
變式2 如果3個平面把空間分成4部分,那么這3個平面有怎樣的位置關(guān)系 如果3個平面把空間分成6部分,那么這3個平面有怎樣的位置關(guān)系 畫圖說明.
8.4.2　空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系
【課前預(yù)習(xí)】
知識點一
1.不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線
2.在同一平面內(nèi),有且只有一個公共點　在同一平面內(nèi),沒有公共點　不同在任何一個平面內(nèi),沒有公共點
診斷分析
1.(1)×　(2)×　(3)×　[解析] (1)當(dāng)兩條直線分別在兩個不重合的平面內(nèi)時,它們也可能相交或平行,此時是共面直線,只有當(dāng)它們既不相交也不平行時才是異面直線.
(2)空間中兩條不相交的直線也可能是平行直線.
(3)a,c也可能是平行直線或相交直線.
2.解:兩種.設(shè)直線與平面的交點為P,則當(dāng)平面內(nèi)的直線不過點P時,該直線與這個平面內(nèi)的直線異面;當(dāng)平面內(nèi)的直線經(jīng)過點P時,該直線與這個平面內(nèi)的直線相交.
知識點二
無數(shù)　有且只有　沒有　a α　a∩α=A　a∥α
診斷分析
(1)×　(2)×　(3)×　[解析] (1)當(dāng)直線與平面不相交時,直線可能在平面內(nèi),此時有無數(shù)個公共點.
(2)當(dāng)直線在平面外時,直線可能與平面相交或平行.
(3)當(dāng)直線l與平面α相交時,直線l上也有無數(shù)個點不在平面α內(nèi).
知識點三
(1)平行　α∥β　(2)相交
診斷分析
(1)×　(2)×　[解析] (1)這兩條直線沒有公共點,所以它們可能平行或異面.
(2)當(dāng)兩個平面相交時,它們也有無數(shù)個公共點.
【課中探究】
探究點一
例1　(1)平行　(2)異面　(3)相交　(4)異面　[解析] (1)因為A1D1∥BC,A1D1=BC,所以四邊形A1BCD1為平行四邊形,所以A1B∥D1C.
(2)因為A1B與B1C不同在任何一個平面內(nèi),所以A1B與B1C異面.
(3)因為D1D∩D1C=D1,所以D1D與D1C相交.
(4)因為AB與B1C不同在任何一個平面內(nèi),所以AB與B1C異面.
變式　CD　[解析] 如圖所示的長方體ABCD-EFGH,對于選項A,直線EF與BC無交點,但兩直線異面,故選項A錯誤;對于選項B,直線EF⊥FG,EF⊥BF,但FG⊥FB,故選項B錯誤;對于選項C,根據(jù)異面直線的定義可知選項C正確;對于選項D,既不平行又不相交的兩條直線是異面直線,故選項D正確.故選CD.
探究點二
例2　(1)B　(2)B　(3)C　[解析] (1)直線上有一點在平面外,則直線不在平面內(nèi),故直線上有無數(shù)個點都在平面外.
(2)如圖所示,由圖可知AA1∥平面BC1,AA1∥平面DC1,AA1∥平面BB1D1D.故選B.
(3)易知①正確,②正確.兩條相交直線中的一條與一個平面平行,則另一條直線可能平行于這個平面,也可能與這個平面相交,故③錯誤.故選C.
探究點三
例3　(1)CD　(2)相交　[解析] (1)對于A,這兩個平面平行或相交,故A錯誤;對于B,在平面α內(nèi)任意一條直線都和平面β平行,這兩個平面才平行,故B錯誤;對于C,因為△ABC的三個頂點在平面β的同一側(cè)且到平面β的距離相等且不為0,所以平面α與β平行,故C正確;對于D,平面α內(nèi)有無數(shù)個點到平面β的距離相等且不為0,那么這兩個平面平行或相交,故D正確.故選CD.
(2)∵點A∈α,B α,C α,∴平面ABC與平面α有公共點,且不重合,∴平面ABC與平面α的位置關(guān)系是相交.
變式1　D　[解析] 對于A,當(dāng)a與α相交時,不存在過a且與α平行的平面,故A錯誤;對于B,當(dāng)三條平行線段所在直線共面時,兩平面可能相交,也可能平行,故B錯誤;對于C,當(dāng)α與β相交時,平面α內(nèi)也存在不共線的三點到平面β的距離相等,故C錯誤;對于D,空間中A,B,C三點構(gòu)成邊長為2的正三角形,若這三點到平面α的距離均為1,則這樣的平面α恰有兩個,且這兩個平面在平面ABC的異側(cè),故D正確.故選D.
變式2　解:若3個平面把空間分成4部分,則這3個平面平行(如圖①).若3個平面把空間分成6部分,則這3個平面相交于同一條直線(如圖②)或其中2個平面平行,第3個平面與這2個平面均相交(如圖③).

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