資源簡介

8.4　空間點、直線、平面之間的位置關系
8.4.1　平面
【學習目標】
　　1.了解平面的概念,掌握平面的畫法及表示方法.
　　2.了解平面的基本性質,即基本事實1、基本事實2、基本事實3.
　　3.掌握空間中點與直線、點與平面位置關系的分類及表示.
◆ 知識點一　平面
1.平面的概念:幾何里所說的平面就是從桌面、黑板面、平靜的水面等物體中抽象出來的,是向　　　　　　　　　　　　　　.
2.平面的畫法與表示
平面 水平放置 豎直放置
畫法
表示 ①希臘字母:平面α,平面β,平面γ; ②平行四邊形的四個頂點:平面　　　　; ③平行四邊形的對角頂點:平面AC或平面BD
【診斷分析】 判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)平面就是平行四邊形. (　 )
(2)兩個平面拼在一起,要比一個平面大. (　 )
(3)空間圖形中,后引的輔助線都是虛線.(　 )
◆ 知識點二　點、直線、平面之間的基本位置關系及語言表達
文字語言 符號語言 圖形語言
點與 直線 A在l上 A∈l
A在l外 A l
點與 平面 A在α內 A∈α
A在α外 A α
直線與 直線 l,m相交于A l∩m=A
直線與 平面 l在α內 l α
l在α外 l α
平面與 平面 α,β相交于l α∩β=l
◆ 知識點三　平面的基本性質
1.三個基本事實
基本 事實 文字語言 圖形語言 符號語言 作用
基本 事實1 過　　　　　　　　　　的三個點,有且只有一個平面 A,B,C三點不共線 存在唯一的平面α,使A,B,C∈α ①確定平面的依據; ②判定點線共面
基本 事實2 如果一條直線上的　　　　在一個平面內,那么這條直線在這個平面內 A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α l α ①確定直線在平面內的依據; ②判定點在平面內
基本 事實3 如果兩個不重合的平面有　　　公共點,那么它們有且只有　　　　　　　的公共直線 P∈α,且P∈β α∩β=l,且P∈l ①判定兩平面相交的依據; ②判定點在直線上
2.三個推論
推論1　經過一條直線和　　　　　　　　一點,有且只有一個平面,如圖(1).
推論2　經過兩條　　　　直線,有且只有一個平面,如圖(2).
推論3　經過兩條　　　　直線,有且只有一個平面,如圖(3).
【診斷分析】 判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)自行車有一個腳撐就可站穩. (　 )
(2)若線段AB在平面α內,則直線AB可能不在平面α內. (　 )
(3)兩個平面的交線可能是一條線段. (　 )
(4)若平面α與平面β有公共點,則公共點不止一個. (　 )
◆ 探究點一　對平面概念的理解
例1 下列說法正確的是 (　 )
A.鋪的很平的一張白紙是一個平面
B.平面是矩形或平行四邊形
C.兩個平面疊在一起比一個平面厚
D.平面的直觀圖一般畫成平行四邊形
變式 下列說法正確的是 (　 )
A.平行四邊形是一個平面
B.任何一個平面圖形都是一個平面
C.平靜的太平洋面就是一個平面
D.一個平面可以將空間分成兩部分
◆ 探究點二　立體幾何三種語言的相互轉化
例2 用符號表示下列語句,并畫出相應的圖形:
(1)點A在平面α內,點B在平面α外;
(2)直線a經過平面α外的一點M;
(3)直線a既在平面α內,又在平面β內.
變式 (1)若點A在平面α內,直線l在平面α內,點A不在直線l上,則下列描述中,正確的是 (　 )
A.A∈l,l α且A α
B.A l,l α且A∈α
C.A l,l∈α且A∈α
D.A l,l α且A α
(2)如圖,試用適當的符號表示下列點、直線和平面之間的關系.
①點C與平面β:　　　　;
②點A與平面α:　　　　;
③直線AB與平面α:　　　　;
④直線CD與平面α:　　　　;
⑤平面α與平面β:　　　　　.
◆ 探究點三　共點、共線問題
角度1　三線共點問題
例3 如圖,已知平面α,β,且α∩β=l,設梯形ABCD中,AD∥BC,且AB α,CD β,求證:AB,CD,l三線共點.
變式 如圖,在正方體ABCD-A'B'C'D'中,P,Q,R分別在棱AB,BB',CC'上,且DP,RQ相交于點O,求證:DP,RQ,BC三線共點.
角度2　三點共線問題
例4 已知ABCD是空間四邊形,如圖所示,M,N,E,F分別是AB,AD,BC,CD上的點,若直線MN與直線EF相交于點O,證明:B,D,O三點共線.
變式 若直線l與平面α相交于點O,A,B∈l,C,D∈α,且AC∥BD,則O,C,D三點的位置關系是　　　　.
[素養小結]
(1)證明線共點問題常用的方法是先證明其中兩條直線交于一點,再證明這一點在其余的直線上,在證明后者時,往往依據基本事實3,從而只需證明此點在兩個平面的交線上.
(2)點共線問題是證明三個或三個以上的點在同一條直線上,主要證明依據是基本事實3,解決此類問題常用以下兩種方法:
①首先找出兩個相交平面,然后證明這些點都是這兩個平面的公共點,根據基本事實3知,這些點都在這兩個平面的交線上;
②選擇其中兩點,確定一條直線,然后證明其他點也在這條直線上.
◆ 探究點四　共面問題
例5 如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,E,F分別是BC,PC的中點,點G在PD上,且PG=PD,證明:A,E,F,G四點共面.
變式 如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中.
(1)AA1與CC1是否能確定一個平面
(2)點B,C1,D是否能確定一個平面
(3)畫出平面AA1C1C與平面BC1D,平面ACD1與平面BC1D的交線.
[素養小結]
證明共面問題是指證明一些點或直線在同一平面內的問題,主要依據是基本事實1、基本事實2及推論.通常有兩種方法:(1)先由部分元素確定一個平面,再證明其余元素也在該平面內;(2)先由有關的點、線確定平面α,再由其余元素確定平面β,最后證明平面α,β重合.
拓展 求證:兩兩相交但不過同一點的四條直線共面.
8.4　空間點、直線、平面之間的位置關系
8.4.1　平面
【課前預習】
知識點一
1.四周無限延展的　2.ABCD
診斷分析
(1)×　(2)×　(3)×　[解析] (1)平面是向四周無限延展的.
知識點三
1.不在一條直線上　兩個點　一個　一條過該點
2.這條直線外　相交　平行
診斷分析
(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　[解析] (1)因為前輪著地點、后輪著地點、腳撐著地點三點在一個平面上,且這三個著地點不在同一條直線上,所以根據推論1知自行車有一個腳撐就可站穩.
(2)由線段AB在平面α內知,直線AB上至少有兩點在平面α內,則由基本事實2知,直線AB在平面α內.
(3)由基本事實3知,兩個平面的交線是一條直線.
【課中探究】
探究點一
例1　D　[解析] 根據平面的定義得,平面是向四周無限延展的,且平面是沒有厚度的,所以選項A,B,C都是錯誤的,D是正確的.故選D.
變式　D　[解析] 我們用平行四邊形來表示平面,但不能說平行四邊形是一個平面,平行四邊形僅是平面上四條線段構成的圖形,它是不可以無限延展的,故A不正確;平面圖形和平面是完全不同的兩個概念,平面圖形是有大小的,它是不可以無限延展的,故B不正確;太平洋再大也會有邊際,平靜的太平洋面不是一個平面,故C不正確;平面是無限延展的,它將空間分成兩部分,故D正確.故選D.
探究點二
例2　解:(1)A∈α,B α,如圖①.
(2)M α,M∈a,如圖②.
(3)a α,a β(或α∩β=a),如圖③.
變式　(1)B　(2)①C β　②A α　③AB∩α=B　④CD α
⑤α∩β=BD　[解析] (1)根據元素與集合的關系知,點A在平面α內可表示為A∈α,點A不在直線l上可表示為A l,根據集合與集合的關系知,直線l在平面α內可表示為l α.故選B.
(2)①點C不在平面β內,所以C β.②點A不在平面α內,所以A α.③直線AB與平面α相交于點B,所以AB∩α=B.④直線CD在平面α內,所以CD α.⑤平面α與平面β相交,且交線為BD,所以α∩β=BD.
探究點三
例3　證明:∵梯形ABCD中,AD∥BC,∴AB,CD是梯形ABCD的兩腰,∴AB,CD必定相交于一點.
設AB∩CD=M,∵AB α,CD β,
∴M∈α,M∈β,∴M∈α∩β.
又∵α∩β=l,∴M∈l,即AB,CD,l三線共點.
變式　證明:因為DP∩RQ=O,所以O∈DP,O∈RQ.
又DP 平面ABCD,RQ 平面B'C'CB,所以O∈平面ABCD,O∈平面B'C'CB.
因為平面ABCD∩平面B'C'CB=BC,所以O∈BC,
所以DP,RQ,BC三線共點.
例4　證明:連接BD,因為M∈AB,N∈AD,AB 平面ABD,AD 平面ABD,所以MN 平面ABD.
因為E∈CB,F∈CD,CB 平面CBD,CD 平面CBD,
所以EF 平面CBD.
因為直線MN與直線EF相交于點O,
所以O∈EF,O∈MN,所以O∈平面CBD,O∈平面ABD,
又平面ABD∩平面CBD=BD,所以O∈BD,
所以B,D,O三點共線.
變式　共線　[解析] 因為AC∥BD,所以AC與BD可以確定一個平面,記為β,則α∩β=CD.因為l∩α=O,所以O∈α,又O∈AB,AB β,所以O∈β,所以由基本事實3知,O∈CD,故O,C,D三點共線.
探究點四
例5　證明:如圖,在平面ABCD內,連接AE并延長,交DC的延長線于點M,則有CM=CD.在平面PCD內,連接GF并延長,交DC的延長線于點M1.取GD的中點N,連接CN,EF,則由PG=PD可知PG=GN=ND.∵點F為PC的中點,∴FG∥CN,即GM1∥CN,∴在△GM1D中,CM1=CD,∴點M與點M1重合,即AE與GF相交于點M,∴A,E,F,G四點共面.
變式　解:(1)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,
∵AA1∥CC1,∴AA1與CC1能確定一個平面.
(2)∵點B,C1,D不共線,
∴點B,C1,D能確定一個平面.
(3)如圖,設 AC∩BD=O,CD1∩DC1=E,連接OC1,OE.
∵O∈AC,O∈BD,AC 平面AA1C1C,BD 平面BC1D,
∴O∈平面AA1C1C,O∈平面BC1D.
又C1∈平面AA1C1C,C1∈平面BC1D,
∴平面AA1C1C∩平面BC1D=OC1.
同理,平面ACD1∩平面BC1D=OE.
拓展　證明:分兩種情況討論:
(1)有三條直線過同一點,如圖①所示.∵A d,∴點A與直線d可以確定一個平面α,又B,C,D∈d,∴B,C,D∈α,∴AB α,AC α,AD α,∴a,b,c,d四條直線共面.
(2)任意三條直線都不過同一點,如圖②所示.∵a∩b=A,∴直線a與直線b可以確定一個平面α,又D,E∈b,B,C∈a,∴D,E∈α,B,C∈α.由B,E∈α,得c α;由C,D∈α,得d α.因此a,b,c,d四條直線共面.
綜上,兩兩相交但不過同一點的四條直線共面.

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