資源簡介

第2課時　直線與平面平行的性質
【學習目標】
　　1.通過直觀感知、操作確認,能夠歸納出直線與平面平行的性質定理,并能夠證明.
　　2.能夠運用性質定理證明一些空間位置關系的簡單命題.
◆ 知識點　直線與平面平行的性質定理
文字語言 圖形語言 符號語言 巧記方法
一條直線與一個平面　　　　,如果過該直線的平面與此平面相交,那么該直線與交線　　　　 a∥b 線面平行 　　
【診斷分析】 判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)如果一條直線和一個平面平行,那么這條直線與這個平面內所有直線都平行. (　 )
(2)平行于同一個平面的兩條直線平行. (　 )
◆ 探究點一　直線與平面平行的性質定理的應用
例1 如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,E,F分別是側棱PA,PC上的點,且EF∥平面ABCD.求證:EF∥AC.
變式 如圖,在四棱錐P-ABCD中,AD∥BC,AD=BC,點E為PC上一點,F為PB的中點,且AF∥平面BDE.求證:AF∥DE.
[素養小結]
利用線面平行的性質定理解題的一般步驟
拓展 已知四棱錐P-ABCD的底面是平行四邊形,E是AD的中點,F是PC上一點.若PA∥平面EBF,則的值為　　　　.
◆ 探究點二　線面平行的綜合應用
例2 如圖所示,在長方體ABCD -A1B1C1D1中,E,H分別是棱A1B1,D1C1上的點(不包括端點),且EH∥A1D1,過EH的平面與棱BB1,CC1分別交于點F,G.求證:FG∥平面ADD1A1.
變式 如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB∥DC,CD=2AB,E為棱PD的中點.
(1)求證:AE∥平面PBC.
(2)PB與平面AEC是否平行 并說明理由.
[素養小結]
判定定理與性質定理常常交替使用,即先通過線線平行推出線面平行,再通過線面平行推出線線平行.
第2課時　直線與平面平行的性質
【課前預習】
知識點
平行　平行　線線平行
診斷分析
(1)×　(2)×　[解析] (1)如果一條直線和一個平面平行,那么這條直線與這個平面內直線的位置關系是平行或異面.
(2)平行于同一個平面的兩條直線可能相交,可能平行,也可能異面.
【課中探究】
探究點一
證明:因為EF∥平面ABCD,EF 平面PAC,平面PAC∩平面ABCD=AC,所以由線面平行的性質定理可得EF∥AC.
變式　證明:如圖,連接AC,FC,設AC∩BD=O,FC∩BE=M,連接OM,
∵AF∥平面BDE,AF 平面AFC,平面AFC∩平面BDE=OM,∴AF∥OM.
∵AD∥BC,AD=BC,
∴==,∴==,
∴點M是△PBC的重心,∴點E是PC的中點,
∴==,∴OM∥DE,∴AF∥DE.
拓展　　[解析] 如圖,連接AC交BE于點O,連接OF.因為AD∥BC,E為AD的中點,所以==.因為PA∥平面EBF,平面EBF∩平面PAC =OF,PA 平面PAC,所以PA∥OF,所以==.
探究點二
證明:∵EH∥A1D1,A1D1∥B1C1,∴EH∥B1C1,又B1C1 平面BCC1B1,EH 平面BCC1B1,∴EH∥平面BCC1B1.∵EH 平面EHGF,平面EHGF∩平面BCC1B1=FG,∴EH∥FG,∴FG∥A1D1,又FG 平面ADD1A1,A1D1 平面ADD1A1,∴FG∥平面ADD1A1.
變式　解:(1)證明:如圖,取PC的中點F,連接EF,BF.因為E,F分別為PD,PC的中點,所以EF∥DC,且EF=DC.因為AB∥DC,CD=2AB,所以EF∥AB,EF=AB,所以四邊形EFBA為平行四邊形,則AE∥BF.因為AE 平面PBC,BF 平面PBC,所以AE∥平面PBC.
(2)PB與平面AEC不平行.理由如下:假設PB∥平面AEC,連接BD,設BD∩AC=O,連接OE.因為平面AEC∩平面PDB=OE,PB 平面PDB,PB∥平面AEC,所以PB∥OE,所以在△PDB中,有=,
又E為PD的中點,所以==1,即OB=OD. 因為AB∥DC,所以==,這與OB=OD矛盾, 所以假設不成立,故PB與平面AEC不平行.8.5.2　直線與平面平行
第1課時　直線與平面平行的判定
【學習目標】
　　1.通過直觀感知、操作確認,能夠歸納出直線與平面平行的判定定理.
　　2.能夠運用線面平行的判定定理證明一些空間位置關系的簡單命題.
◆ 知識點　直線與平面平行的判定定理
1.文字語言:如果　　　　　　　　　　與此平面內的一條直線平行,那么該直線與此平面平行.該定理常表述為:線線平行,則線面平行.
符號語言:a α,b α,且a∥b 　　　　.
2.當利用判定定理證明直線a和平面α平行時,必須具備三個條件:(1)直線a不在平面α內,即a α;(2)直線b在平面α內,即b α;(3)兩直線a,b平行,即a∥b.這三個條件缺一不可.
【診斷分析】 1.判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若一條直線平行于一個平面內的一條直線,則這條直線和這個平面平行. (　 )
(2)過已知直線外一點有且僅有一個平面與該直線平行. (　 )
2.一塊矩形木板(不計厚度)ABCD的一邊AB在平面α內,把這塊木板繞AB轉動,在轉動過程中,AB的對邊CD(不落在α內)和平面α有何位置關系
◆ 探究點一　對線面平行判定定理的理解
例1 直線l與平面α平行的充要條件是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.直線l上有無數個點不在平面α內
B.直線l與平面α內的一條直線平行
C.直線l與平面α內的無數條直線都平行
D.直線l與平面α內的任意一條直線都沒有公共點
變式 已知A,B,C,D為四個不同的點,a,b,c為三條不同的直線,α為一個平面,則下列條件中能使a與平面α平行的是 (　 )
A.b α,a∥b
B.b α,c α,a∥b,a∥c
C.b α,A,B∈a,C,D∈b,且AC=BD
D.a α,b α,a∥b
◆ 探究點二　證明線面平行
例2 如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是棱BB1的中點.求證:B1D∥平面ACE.
例3 如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,E,F分別是PC,AD的中點.證明:DE∥平面PFB.
變式1 在正方體ABCD-A'B'C'D'中,E,F分別為下底面ABCD和上底面A'B'C'D'的中心,則正方體的六個面所在平面中與EF平行的有　　　　個.
變式2 如圖所示,四棱錐S - ABCD的底面是平行四邊形,M,N分別是SA,BD上的點,且=.求證:MN∥平面SBC.
[素養小結]
利用直線與平面平行的判定定理證明線面平行的一般步驟
以上步驟中,第一步“找”是證題的關鍵,其常用方法有:利用三角形、梯形中位線的性質,利用平行四邊形的性質,利用基本事實4等.
8.5.2　直線與平面平行
第1課時　直線與平面平行的判定
【課前預習】
知識點
1.平面外一條直線　a∥α　
診斷分析
1.(1)×　(2)×　[解析] (1)只有當這條直線在這個平面外時,這條直線才與這個平面平行.
(2)過直線外一點可作唯一的一條直線與已知直線平行,而經過所作直線的平面有無數個,根據直線與平面平行的判定定理知,這些平面(除經過已知直線與所作直線的平面外)都與已知直線平行.
2.解:由直線與平面平行的判定定理可知,CD∥α.
【課中探究】
探究點一
例1　D　[解析] 對于A,直線l上有無數個點不在平面α內,不能說明直線l與平面α無公共點,故A不正確;對于B,缺少直線l在平面α外這一條件,故B不正確;對于C,直線l也可能在平面α內,故C不正確;對于D,由直線與平面平行的定義,可知D正確.故選D.
變式　D　[解析] 若b α,a∥b,則a∥α或a α,A錯誤;若b α,c α,a∥b,a∥c,則a∥α或a α,B錯誤;若b α,A,B∈a,C,D∈b,且AC=BD,則直線a與平面α可能相交,可能平行,也可能a在平面α內,C錯誤;若a α,b α,a∥b,則由直線與平面平行的判定定理得a∥α,D正確.故選D.
探究點二
例2　證明:如圖所示,連接BD,設BD∩AC=G,連接EG.∵四邊形ABCD是正方形,BD∩AC=G,∴G是BD的中點.又E是BB1的中點,∴DB1∥GE.又DB1 平面ACE,GE 平面ACE,∴B1D∥平面ACE.
例3　證明:取PB的中點G,連接EG,FG,如圖.
∵E,G分別是PC,PB的中點,
∴EG∥BC且EG=BC.∵底面ABCD為正方形,F為AD的中點,∴DF∥BC且DF=BC,
∴EG∥DF且EG=DF,
∴四邊形FGED是平行四邊形,∴DE∥GF.
又DE 平面PFB,GF 平面PFB,∴DE∥平面PFB.
變式1　4　[解析] 如圖,連接AC,A'C',BD,B'D',則由題意可得EF∥AA'∥CC',因為EF 平面AA'D'D,EF 平面CC'D'D,EF 平面BB'C'C,EF 平面AA'B'B,AA' 平面AA'D'D,CC' 平面CC'D'D,CC' 平面BB'C'C,AA' 平面AA'B'B,所以EF∥平面AA'D'D,EF∥平面CC'D'D,EF∥平面BB'C'C,EF∥平面AA'B'B,則正方體的六個面所在平面中與EF平行的有4個.
變式2　證明:連接AN并延長,使之交BC于點P,連接SP.因為AD∥BC,所以=,又=,所以=,所以MN∥SP.又MN 平面SBC,SP 平面SBC,所以MN∥平面SBC.

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