資源簡介

第2課時　平面與平面平行的性質
【學習目標】
　　1.通過直觀感知、操作確認,能夠歸納出平面與平面平行的性質定理,并能夠證明.
　　2.能夠運用性質定理證明一些空間位置關系的簡單命題.
◆ 知識點　兩個平面平行的性質定理
文字語言 圖形語言 符號語言 巧記方法
兩個平面　　　,如果另一個平面與這兩個平面相交,那么兩條交線　　　　 a∥b 面面平行 　　　　　　
【診斷分析】 1.判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)如果兩個平面均平行于第三個平面,那么這兩個平面平行. (　 )
(2)若兩個平面平行,則分別在兩個平面內的兩條直線相互平行. (　 )
(3)若兩個平面平行,則其中一個平面內的直線必平行于另一個平面. (　 )
2.若夾在兩個平面間的三條線段平行且相等,試判斷這兩個平面的位置關系.
◆ 探究點一　面面平行的性質定理的應用
例1 如圖,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1被平面α所截,截面為CDEF,其中E在A1D1上,F在B1C1上,且EF=DC,證明:AD∥BC.
變式 已知平面α∥平面β,P是α,β外一點,過點P的直線m與α,β分別交于點A,B,過點P的直線n與α,β分別交于點C,D,且PA=6,AB=9,PD=8,求CD的長.
[素養小結]
應用平面與平面平行的性質定理的一般步驟
◆ 探究點二　平行關系的綜合應用
例2 如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,S是B1D1的中點,E,F,G分別是BC,DC,SC的中點.
(1)求證:直線EG∥平面BDD1B1;
(2)求證:平面EFG∥平面BDD1B1;
(3)若正方體的棱長為1,過A,E,C1三點作正方體的截面,畫出截面與正方體的交線,并求出截面的面積.
變式 [2024·三明一中高一期中] 如圖,已知四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,E為側棱SC的中點.
(1)求證:SA∥平面EDB;
(2)若F為棱AB的中點,求證:EF∥平面SAD;
(3)設平面SAB∩平面SCD=l,求證:AB∥l.
[素養小結]
(1)立體幾何中常見的平行關系是線線平行、線面平行和面面平行,這三種平行關系不是孤立的,而是相互聯系,并且可以相互轉化的.
(2)解決平行關系的綜合問題一般通過平行關系的轉化實現.
拓展 如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是棱BB1和棱CC1的中點.
(1)求證:平面B1DF∥平面ACE.
(2)試問平面B1DF截正方體所得的截面是什么圖形 并說明理由.
第2課時　平面與平面平行的性質
【課前預習】
知識點
平行　平行　線線平行
診斷分析
1.(1)√　(2)×　(3)√　[解析] (2)因為兩個平面平行,所以分別在兩個平面內的兩條直線無公共點,它們平行或異面.
2.解:如圖所示,兩種情況均滿足AA1=BB1=CC1且AA1∥BB1∥CC1,故這兩個平面的位置關系為平行或相交.
【課中探究】
探究點一
例1　解:在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,
又平面ABCD∩平面α=CD,平面A1B1C1D1∩平面α=EF,所以EF∥CD.
又C1D1∥CD且C1D1=CD,EF=CD,
所以C1D1∥EF且C1D1=EF,
則四邊形EFC1D1是平行四邊形,
所以D1E∥C1F,即A1D1∥B1C1,
又A1D1∥AD,BC∥B1C1,所以AD∥BC.
變式　解:連接AC,BD,∵PB∩PD=P,∴直線PB和PD可確定一個平面γ,則α∩γ=AC,β∩γ=BD.又α∥β,∴AC∥BD.當點P位于平面α,β同側時,如圖①,則PB=15,=,∴=,∴CD=.當點P位于平面α,β之間時,如圖②,則PB=3,=,∴=,∴CD=24.故CD=或CD=24.
探究點二
例2　解:(1)證明:如圖,連接SB,由EG為△CSB的中位線,可得EG∥SB,
又EG 平面BDD1B1,
SB 平面BDD1B1,
所以EG∥平面BDD1B1.
(2)證明:由題意知EF∥DB,又EF 平面BDD1B1,DB 平面BDD1B1,所以EF∥平面BDD1B1.由(1)可得EG∥平面BDD1B1,又EF∩EG=E,EF 平面EFG,EG 平面EFG,所以平面EFG∥平面BDD1B1.
(3)如圖,取B1C1的中點N,連接A1N,NE,AE,可得AE∥A1N,AE=A1N.取A1D1的中點M,連接MC1,AM,C1E,可得MC1=A1N,MC1∥A1N,所以MC1∥AE,MC1=AE,所以四邊形AEC1M為平行四邊形.易知平行四邊形AEC1M為過點A,E,C1的截面,且AE=EC1=AM=MC1==,所以平行四邊形AEC1M為菱形.連接AC1,ME,易得AC1=,ME=,所以截面的面積為×AC1×ME=××=.
變式　證明:(1)如圖,連接AC,設AC∩BD=O,連接OE,因為四邊形ABCD是平行四邊形,所以AO=OC,
又E為側棱SC的中點,所以SA∥EO.
又SA 平面EDB,EO 平面EDB,所以SA∥平面EDB.
(2)連接FO,因為F為棱AB的中點,DO=BO,
所以AD∥FO,
又FO 平面SAD,AD 平面SAD,所以FO∥平面SAD.
由(1)知SA∥EO,又EO 平面SAD,SA 平面SAD,所以EO∥平面SAD.
又EO∩FO=O,EO,FO 平面EOF,
所以平面EOF∥平面SAD.
又EF 平面EOF,所以EF∥平面SAD.
(3)因為AB∥CD,AB 平面SCD,CD 平面SCD,
所以AB∥平面SCD.
又平面SAB∩平面SCD=l,AB 平面SAB,所以AB∥l.
拓展　解:(1)證明:連接EF,如圖.∵E,F分別是棱BB1和棱CC1的中點,∴EF∥BC∥AD,且EF=BC=AD,∴四邊形AEFD為平行四邊形,則AE∥DF.又AE 平面ACE,DF 平面ACE,∴DF∥平面ACE.∵B1E∥CF,且B1E=CF,∴四邊形B1ECF為平行四邊形,
則CE∥B1F,又B1F 平面ACE,EC 平面ACE,
∴ B1F∥平面ACE.
∵DF∩B1F=F,DF 平面B1DF,B1F 平面B1DF,
∴平面B1DF∥平面ACE.
(2)方法一:如圖,取AA1 的中點G,連接DG,B1G,可得B1G∥AE且B1G=AE,由(1)知,DF∥AE且DF=AE,則B1G∥DF且B1G=DF,可得四邊形DGB1F為平行四邊形,易知四邊形DGB1F為平面B1DF截正方體所得的圖形.又B1G=B1F,∴四邊形DGB1F為菱形,即平面B1DF截正方體所得的截面是菱形.
方法二:如圖,設平面B1DF與棱AA1交于點G,連接DG,B1G,
∵平面ADD1A1∥平面BCC1B1,平面ADD1A1∩平面B1DF=DG,平面BCC1B1∩平面B1DF=B1F,∴DG∥B1F,同理有DF∥B1G,∴四邊形DGB1F為平行四邊形,
又易得B1F=DF,∴四邊形DGB1F為菱形,即平面B1DF截正方體所得的截面是菱形.8.5.3　平面與平面平行
第1課時　平面與平面平行的判定
【學習目標】
　　1.通過直觀感知、操作確認,能夠歸納出平面與平面平行的判定定理.
　　2.能夠運用面面平行的判定定理證明一些空間位置關系的簡單命題.
◆ 知識點　平面與平面平行的判定定理
1.文字語言:如果一個平面內的　　　　　　　　　　與另一個平面平行,那么這兩個平面平行.
符號語言:a β,b β,a∩b=P,a∥α,b∥α β∥α.
圖形語言:如圖所示.
2.利用判定定理證明兩個平面平行必須具備的條件:
(1)一個平面內有兩條直線平行于另一個平面;
(2)這兩條直線必須相交.
【診斷分析】 1.判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)如果一個平面內的一條直線平行于另一個平面,那么這兩個平面平行. (　 )
(2)若平面α內的兩條不平行直線都平行于平面β,則平面α與平面β平行. (　 )
(3)如果一個平面內的任意一條直線都平行于另一個平面,那么這兩個平面平行. (　 )
2.要證明矩形ABCD所在平面平行于平面α,在四條邊所在直線AB,BC,CD,DA中選擇兩條直線,證明它們與平面α平行即可,則不能同時選擇的兩條直線有哪些
◆ 探究點一　對平面與平面平行的判定定理的理解
例1 給出下列四個說法:
①若平面α內的兩條直線均與平面β平行,則平面α與平面β平行;
②若平面α內有無數條直線均與平面β平行,則平面α與平面β平行;
③平行于同一條直線的兩個平面平行;
④若兩個平面分別經過兩條平行直線,則這兩個平面平行.
其中正確說法的個數是　　　　.
變式 設a,b為兩條不同的直線,α,β,γ為三個不同的平面,下列說法中正確的是 (　 )
A.若平面α內有無數個點到平面β的距離相等,則α∥β
B.若α∩γ=a,α∩β=b,且a∥b,則γ∥β
C.若平面α內的一個三角形的三條邊與平面β內的一個三角形的三條邊對應平行,則α∥β
D.若平面α內的一個平行四邊形的兩條邊與平面β內的一個平行四邊形的兩條邊對應平行,則α∥β
◆ 探究點二　平面與平面平行的判定
例2 如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,點M,N,Q分別在PA,BD,PD上(不包括端點).若PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD,求證:平面MNQ∥平面PBC.
變式1 在直三棱柱A1B1C1-ABC中,點D,E分別為棱AB,BB1的中點,點F在棱CC1上.試確定點F的位置,使得平面AB1F∥平面CDE,并證明.
變式2 如圖,已知在三棱柱ABC-A1B1C1中,D為棱BC上一點,D1為B1C1的中點,且A1B∥平面ADC1.證明:平面A1BD1∥平面ADC1.
[素養小結]
(1)要證明兩個平面平行,只需在其中一個平面內找到兩條相交直線,證明這兩條相交直線平行于另一個平面即可.
(2)判定兩個平面平行與判定線面平行一樣,應遵循先找后作的原則,即先在一個平面內尋找與另一個平面平行的兩條相交直線,若找不到再作輔助線.
8.5.3　平面與平面平行
第1課時　平面與平面平行的判定
【課前預習】
知識點
1.兩條相交直線
診斷分析
1.(1)×　(2)√　(3)√　[解析] (1)一個平面內必須有兩條相交直線與另一個平面平行,這兩個平面才平行.
2.解:根據平面與平面平行的判定定理知,所選的兩條直線必須相交,而AB∥CD,BC∥AD,故不能同時選擇的直線有AB和CD,BC和AD.
【課中探究】
探究點一
例1　0　[解析] ①錯誤,因為平面α內的這兩條直線不一定相交,故不能判定α與β平行;②錯誤,平面α內這無數條直線可能互相平行,這樣就不能找到兩條相交直線與β平行,故不能判定α與β平行;③錯誤,這兩個平面也可能相交;④錯誤,這兩個平面也可能相交.故正確說法的個數是0.
變式　C　[解析] 對于A,當α∩β=l,m∥l,m α時,平面α內的直線m上有無數個點到平面β的距離相等,但不滿足α∥β,故A錯誤;對于B,在三棱柱ABC-A1B1C1中,設平面BCC1B1為平面α,平面ACC1A1為平面β,平面ABB1A1為平面γ,直線CC1為直線b,直線BB1為直線a,此時顯然滿足α∩γ=a,α∩β=b,且a∥b,但不滿足γ∥β,故B錯誤;對于C,若平面α內的一個三角形的三條邊與平面β內的一個三角形的三條邊對應平行,則α∥β,故C正確;對于D,設α∩β=l,當平面α內的一個平行四邊形相對的兩條邊所在直線m,n滿足m∥n∥l,平面β內的一個平行四邊形相對的兩條邊所在直線p,q滿足p∥q∥l時,滿足m∥p,n∥q,但不滿足α∥β,故D錯誤.故選C.
探究點二
例2　證明:∵PM∶MA=PQ∶QD,∴QM∥AD,
又AD∥BC,∴QM∥BC.
∵QM 平面PBC,BC 平面PBC,∴QM∥平面PBC.
∵BN∶ND=PQ∶QD,∴QN∥PB,
又QN 平面PBC,PB 平面PBC,∴QN∥平面PBC.
∵QM∩QN=Q,QM 平面MNQ,QN 平面MNQ,
∴平面MNQ∥平面PBC.
變式1　解:當點F為棱CC1的中點時,平面AB1F∥平面CDE.
證明如下:因為點D,E分別為AB,BB1的中點,
所以DE∥AB1,又因為AB1 平面CDE,DE 平面CDE,所以AB1∥平面CDE.
因為CF=B1E,CF∥B1E,所以四邊形CFB1E是平行四邊形,可得FB1∥CE,
又因為FB1 平面CDE,CE 平面CDE,所以FB1∥平面CDE.
又因為AB1∩FB1=B1,且AB1,FB1 平面AB1F,所以平面AB1F∥平面CDE.
變式2　證明:如圖,連接A1C,交AC1于O,連接OD,
則平面A1BC∩平面ADC1=OD,
∵A1B 平面A1BC,
A1B∥平面ADC1,
∴OD∥A1B,又O為A1C的中點,
∴D為BC的中點,
又D1為B1C1的中點,
∴四邊形BDC1D1為平行四邊形,
∴BD1∥DC1,又BD1 平面ADC1,DC1 平面ADC1,
∴BD1∥平面ADC1,
又A1B∥平面ADC1,BD1∩A1B=B,BD1 平面A1BD1,A1B 平面A1BD1,∴平面A1BD1∥平面ADC1.

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