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8.6　空間直線、平面的垂直
8.6.1　直線與直線垂直
【學習目標】
　　1.理解異面直線所成的角.
　　2.掌握異面直線所成的角、兩條直線垂直的判斷與性質.
◆ 知識點一　異面直線所成的角
1.兩條直線所成的角
平面內兩條直線相交形成4個角,其中　　　　　的角稱為這兩條直線所成的角(或夾角),它刻畫了一條直線相對于另一條直線　　　　　　　　.當兩條直線a,b相互平行時,我們規定它們所成的角為　　　　.
2.異面直線所成的角
已知兩條異面直線a,b,經過空間任一點O分別作直線a'∥a,b'∥b,我們把　　　　　　　　　　　叫作異面直線a與b所成的角(或夾角),如圖所示.
【診斷分析】 1.判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)在異面直線所成的角的定義中,a'與b'所成的角的大小與O的選擇有關. (　 )
(2)在空間中,存在兩條異面直線所成的角為120°. (　 )
2.設異面直線a,b所成的角與異面直線c,b所成的角相等,試判斷a,c的位置關系.
◆ 知識點二　異面直線互相垂直
1.如果兩條異面直線所成的角是　　　　,那么我們就說這兩條異面直線互相垂直.
2.直線a與直線b垂直,記作　　　　.
【診斷分析】 1.判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,異面直線BB1與C1D1相互垂直. (　 )
(2)若a,b為兩條異面直線,且c⊥a,d⊥b,則c,d不可能是平行直線. (　 )
2.討論垂直于同一條直線的兩條直線的位置關系.
◆ 探究點一　求異面直線所成的角
例1 如圖,在正方體ABCD-EFGH中,O為AH與DE的交點,求:
(1)BE與CG所成的角;
(2)FO與BD所成的角.
變式 (1)[2024·菏澤一中高一月考] 如圖,在正三棱錐P-ABC中,M,N分別為PA,PB的中點,則異面直線MN與AC所成的角為 (　 )
　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.
C. D.
(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,AC=2,BC=,D,E分別是AC1和BB1的中點,則異面直線B1C1與DE所成的角為　　　　.
[素養小結]
求兩條異面直線所成的角的一般步驟:
(1)構造角:根據異面直線的定義,通過作平行線或平移平行線,作出異面直線所成的角(或其補角).
(2)計算角:一般在三角形中求角的大小.
(3)確定角:若求出的角是銳角或直角,則它就是所求異面直線所成的角;若求出的角是鈍角,則它的補角就是所求異面直線所成的角.
◆ 探究點二　證明空間中兩條直線垂直
例2 如圖所示,在空間四邊形ABCD中,AB,BC,CD的中點分別是P,Q,R,且PQ=2,QR=,PR=3,證明:AC⊥BD.
變式 如圖所示,在底面為菱形的直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BD1=4,若∠BAD=60°,求證:B1C⊥AD1.
[素養小結]
要證明兩異面直線垂直,應先構造兩異面直線所成的角,若能證明這個角是直角,即得到兩異面直線垂直.
8.6　空間直線、平面的垂直
8.6.1　直線與直線垂直
【課前預習】
知識點一
1.不大于90°　傾斜的程度　0°
2.直線a'與b'所成的角
診斷分析
1.(1)×　(2)×　[解析] (1)a'與b'所成的角的大小只由a,b的相互位置來確定,與O的選擇無關.
(2)兩條異面直線所成的角α的取值范圍是(0°,90°].
2.解:如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,異面直線AA1,BC所成的角與異面直線AA1,CD所成的角相等,此時BC,CD為相交直線;異面直線AA1,BC所成的角與異面直線AA1,B1C1所成的角相等,此時BC,B1C1為平行直線;異面直線AA1,BC所成的角與異面直線AA1,C1D1所成的角相等,此時BC,C1D1為異面直線.故a,c的位置關系為相交、平行或異面.
知識點二
1.直角　2.a⊥b
診斷分析
1.(1)√　(2)×　[解析] (1)因為BB1∥CC1,所以∠CC1D1為異面直線BB1與C1D1所成的角,因為∠CC1D1=90°,所以異面直線BB1與C1D1相互垂直.
(2)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB(a)與DD1(b)為異面直線,BC(c)⊥AB(a),A1D1(d)⊥DD1(b),此時BC(c)∥A1D1(d).
2.解:如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,BC⊥AA1,B1C1⊥AA1,此時BC∥B1C1;AB⊥AA1,AD⊥AA1,此時AB,AD相交;AB⊥AA1,A1C1⊥AA1,此時AB,A1C1異面.綜上可知,垂直于同一條直線的兩條直線可能平行、相交或異面.
【課中探究】
探究點一
例1　解:(1)∵CG∥BF,
∴∠EBF或其補角是異面直線BE與CG所成的角.
在Rt△EFB中,EF=BF,∴∠EBF=45°,∴BE與CG所成的角為45°.
(2)如圖,連接FH,在正方體ABCD-EFGH中,FB=HD,FB∥HD,∴四邊形FBDH是平行四邊形,∴BD∥FH,
∴∠HFO或其補角是FO與BD所成的角.連接AF,
易知△AFH是等邊三角形,
又O是AH的中點,∴∠HFO=30°,
∴FO與BD所成的角為30°.
變式　(1)A　(2)30°　[解析] (1)因為M,N分別為PA,PB的中點,所以MN∥AB,則∠BAC或其補角即為異面直線MN與AC所成的角.因為三棱錐P-ABC為正三棱錐,所以△ABC是等邊三角形,故∠BAC=,故異面直線MN與AC所成的角為.故選A.
(2)如圖,取AB1的中點F,連接EF,DF,∵D,F分別為AC1,AB1 的中點,∴DF∥C1B1,則∠FDE(或其補角)為異面直線B1C1與DE所成的角.取AC的中點O,連接BO,DO,則DO∥CC1且DO=CC1,又BE∥CC1且BE=CC1,∴四邊形DOBE為平行四邊形,∴DE=BO.在△ABC中,由AB=1,AC=2,BC=,得AB2+BC2=AC2,則AB⊥BC,∴OB=AC=1.DF=C1B1=CB=,EF=AB=,DE=BO=1,則DF2+EF2=DE2,∴∠DFE=90°,則sin∠FDE==,∴∠FDE=30°,即異面直線B1C1與DE所成的角為30°.
探究點二
例2　證明:∵P,Q,R分別為AB,BC,CD的中點,∴PQ∥AC,QR∥BD,∴∠PQR或其補角是異面直線AC與BD所成的角.∵PQ=2,QR=,PR=3,∴PQ2+QR2=PR2,∴∠PQR=90°,∴異面直線AC與BD所成的角為90°,∴AC⊥BD.
變式　證明:如圖所示,連接BD.∵四邊形ABCD為菱形,∠BAD=60°,AB=4,∴BD=4.∵△BDD1為直角三角形,∴B=BD2+D,∴DD1=4.連接BC1,交B1C于點O.∵BC1∥AD1,∴∠BOC(或其補角)為異面直線B1C與AD1所成的角.易知四邊形BCC1B1為正方形,∴∠BOC=90°,∴B1C⊥AD1.

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