資源簡介

第2課時　線面角、直線與平面垂直的性質
【學習目標】
　　1.理解直線和平面所成的角的概念.
　　2.通過直觀感知、操作確認,能夠歸納出直線與平面垂直的性質定理,并能夠證明.
　　3.能夠運用性質定理證明一些空間位置關系的簡單命題.
◆ 知識點一　直線和平面所成的角
1.斜線、 射影的定義
(1)斜線:一條直線l與一個平面α相交,但不與這個平面垂直,這條直線叫作這個平面的　　　　,斜線和平面的交點A叫作斜足,如圖.
(2)射影:過斜線上斜足以外的一點P向平面α引垂線PO,過垂足O和斜足A的直線AO叫作斜線在這個平面上的　　　　.
這里要注意兩點:一是點P具有任意性,可通過取不同的點來說明;二是斜線在平面上的射影是過斜足和垂足的一條直線,而不是線段.
2.直線和平面所成的角
定義:平面的一條斜線和它在平面上的　　　　所成的角,叫作這條直線和這個平面所成的角.如圖所示,　　　　就是斜線l和平面α所成的角.
【診斷分析】 判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)平面的一條斜線和平面所成的角的取值范圍是[0°,90°]. (　 )
(2)平面的一條斜線和平面內一條直線所成的角叫作這條直線和這個平面所成的角. (　 )
(3)平面的斜線和平面所成的角是這條斜線和這個平面內任意一條直線所成的角中最小的角. (　 )
◆ 知識點二　直線和平面垂直的性質定理
文字語言 圖形語言 符號語言 巧記方法
　　　　于同一個平面的兩條直線　　　　 a∥b 線面垂直 線線平行
前面學習了空間中兩直線的平行,下面回顧一下證明兩直線平行的方法:
(1)平面幾何知識:在同一平面內沒有公共點的兩條直線互相平行.
(2)基本事實4:平行于同一條直線的兩條直線平行.
(3)線面平行的性質定理:一條直線與一個平面平行,如果過該直線的平面與此平面相交,那么該直線與交線平行.
(4)面面平行的性質定理:兩個平面平行,如果另一個平面與這兩個平面相交,那么兩條交線平行.
(5)線面垂直的性質定理:垂直于同一個平面的兩條直線平行.
【診斷分析】 1.判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)過平面外一點有且僅有一條直線和已知平面垂直. (　 )
(2)過直線外一點有且僅有一個平面與已知直線垂直. (　 )
(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行. (　 )
2.兩條異面直線中有一條直線垂直于一個平面,那么另一條直線也垂直于這個平面嗎
◆ 探究點一　求直線與平面所成的角
例1 如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是等邊三角形,且AA1⊥底面ABC,若AB=2,AA1=1,求直線BC1與平面ABB1A1所成角的正弦值.
變式 在正方體ABCD-A1B1C1D1中,求直線AB1與平面ACC1A1所成的角.
[素養小結]
求直線與平面所成的角的一般步驟:
(1)尋找過斜線上一點與平面垂直的直線;
(2)垂足和斜足所在直線即為斜線在平面上的射影,斜線與其射影所成的銳角或直角即為所求的角;
(3)把該角放在某個三角形中,通過解三角形求出該角.
◆探究點二　線面垂直的性質定理的應用
例2 如圖所示,已知平面α∩平面β=l,EA⊥α,垂足為A,EB⊥β,垂足為B,直線a β,a⊥AB,則直線a與直線l的位置關系是　　　　.
變式 如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為AC和A1D上的點,且EF⊥AC,EF⊥A1D.求證:EF∥BD1.
第2課時　線面角、直線與平面垂直的性質
【課前預習】
知識點一
1.(1)斜線　(2)射影　2.射影　∠PAO(θ)
診斷分析
(1)×　(2)×　(3)√　[解析] (1)平面的一條斜線和平面所成的角的取值范圍是(0°,90°),任意一條直線和平面所成的角的取值范圍才是[0°,90°].
(2)平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角叫作這條直線和這個平面所成的角.
(3)如圖,OB⊥α,斜線AO在平面α上的射影為AB,θ(0°<θ<90°)為斜線與平面α所成的角,θ1(0°<θ1≤90°)為斜線與平面α內除AB外的任意一條直線AC所成的角.作OC⊥AC,垂足為C,則sin θ=,sin θ1=.因為OB知識點二
垂直　平行
診斷分析
1.(1)√　(2)√　(3)√
2.解:不垂直.假設另一條直線也垂直于這個平面,則根據線面垂直的性質定理知,這兩條直線互相平行,與這兩條直線是異面直線矛盾,故另一條直線不垂直于這個平面.
【課中探究】
探究點一
例1　解:如圖,取A1B1的中點M,連接C1M,BM.因為在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是等邊三角形,所以底面A1B1C1是等邊三角形,從而C1M⊥A1B1.因為AA1⊥平面A1B1C1,C1M 平面A1B1C1,所以AA1⊥C1M,又AA1∩A1B1=A1,AA1 平面ABB1A1,A1B1 平面ABB1A1,所以C1M⊥平面ABB1A1,因此∠C1BM為直線BC1與平面ABB1A1所成的角.因為C1B==,C1M=,所以sin∠C1BM==,故直線BC1與平面ABB1A1所成角的正弦值為.
變式　解:在正方體ABCD-A1B1C1D1中,連接B1D1,設B1D1∩A1C1=O,連接AO,如圖.
因為四邊形A1B1C1D1是正方形,所以B1O⊥A1C1.因為AA1⊥平面A1B1C1D1,B1O 平面A1B1C1D1,所以B1O⊥AA1,
又AA1∩A1C1=A1,AA1,A1C1 平面ACC1A1,所以B1O⊥平面ACC1A1,
則∠B1AO是直線AB1與平面ACC1A1所成的角.
在Rt△AB1O中,∠AOB1=90°,B1O=B1D1=AB1,所以∠B1AO=30°,
所以直線AB1與平面ACC1A1所成的角為30°.
探究點二
例2　平行　[解析] ∵平面α∩平面β=l,∴l α,又∵EA⊥α,∴l⊥EA.同理l⊥EB.∵EA∩EB=E,EA 平面EAB,EB 平面EAB,∴l⊥平面EAB.∵EB⊥β,a β,∴EB⊥a,又a⊥AB,EB∩AB=B,EB 平面EAB,AB 平面EAB,∴a⊥平面EAB,∴a∥l.
變式　證明:如圖,連接AB1,B1C.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,A1D∥B1C,
∵EF⊥A1D,∴EF⊥B1C.
又EF⊥AC,AC∩B1C=C,AC 平面AB1C,B1C 平面AB1C,∴EF⊥平面AB1C.
連接A1B,C1B,易知B1C⊥BC1,B1C⊥D1C1,BC1∩D1C1=C1,BC1 平面BC1D1,D1C1 平面BC1D1,
∴B1C⊥平面BC1D1.
又BD1 平面BC1D1,∴B1C⊥BD1.
同理,B1A⊥平面BA1D1,又BD1 平面BA1D1,∴B1A⊥BD1.
∵B1A∩B1C=B1,B1A 平面AB1C,B1C 平面AB1C,∴BD1⊥平面AB1C,∴EF∥BD1.8.6.2　直線與平面垂直
第1課時　直線與平面垂直的判定
【學習目標】
　　1.通過直觀感知、操作確認,能夠歸納出直線與平面垂直的判定定理.
　　2.能夠運用線面垂直的判定定理證明一些空間位置關系的簡單命題.
◆ 知識點一　直線與平面垂直
1.定義:一般地,如果直線l與平面α內的　　　　直線都垂直,我們就說直線l與平面α互相垂直,記作　　　　.直線l叫作平面α的　　　　,平面α叫作直線l的　　　　.直線與平面垂直時,它們唯一的公共點P叫作垂足.
2.畫法:畫直線與平面垂直時,通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直,如圖,直線l垂直于平面α.
3.點到平面的距離:過一點作　　　　已知平面的直線,則該點與垂足間的線段,叫作這個點到該平面的　　　　,　　　　的長度叫作這個點到該平面的距離.
【診斷分析】 1.判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)如果一條直線與平面內無數條直線都垂直,那么它與該平面垂直. (　 )
(2)如果一條直線與一個平面不垂直,那么它與平面內任何一條直線都不垂直. (　 )
(3)如果一條直線與一個平面垂直,那么它與平面內所有的直線都垂直. (　 )
2.在陽光下觀察直立于地面的旗桿及它在地面上的影子,隨著時間的變化,其影子的位置在移動.隨著時間的變化旗桿所在的直線與其影子所在的直線的夾角是否發生變化 若不變,夾角為多少
◆ 知識點二　直線與平面垂直的判定定理
1.文字語言:如果一條直線與一個平面內的　　　　　　　垂直,那么該直線與此平面垂直.
2.符號語言:m α,n α,m∩n=P,l⊥m,l⊥n 　　　　.
3.圖形語言:如圖所示.
【診斷分析】 1.判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)在線面垂直的判定定理中,平面內兩條相交直線和已知直線l必須有公共點. (　 )
(2)如果一條直線與一個平面內的兩條直線垂直,那么該直線與此平面垂直. (　 )
(3)若一條直線與一個三角形的兩條邊垂直,則此直線與該三角形所在平面垂直. (　 )
2.若一條直線與一個平行四邊形的兩條邊垂直,則此直線與該平行四邊形所在平面垂直嗎
◆ 探究點一　線面垂直概念的理解
例1 (1)在下列條件中,能判定一條直線與一個平面垂直的是 (　 )
A.這條直線垂直于該平面內的一條直線
B.這條直線垂直于該平面內的兩條直線
C.這條直線垂直于該平面內的任意兩條直線
D.這條直線垂直于該平面內的無數條直線
(2)如果一條直線垂直于一個平面內的①正五邊形的兩條邊;②梯形的兩條邊;③圓的兩條直徑;④正六邊形的兩條邊.則可以證明該直線與平面垂直的是　　　　(填序號).
變式 已知直線a,b和平面α,且b在α內,a不在α內,則下列說法錯誤的是 (　 )
A.若a∥α,則存在無數條直線b,使得a∥b
B.若a⊥α,則存在無數條直線b,使得a⊥b
C.若存在無數條直線b,使得a∥b,則a∥α
D.若存在無數條直線b,使得a⊥b,則a⊥α
◆ 探究點二　證明直線與平面垂直
例2 如圖,在三棱錐P-ABC中,E為PB的中點,EB=EA,PA⊥AC,PC⊥BC.求證:BC⊥平面PAC.
變式1 如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E是BC的中點,求證:AE⊥平面PAD.
變式2 如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AD=a,AB=2a,E為棱C1D1的中點.求證:DE⊥平面BCE.
[素養小結]
(1)利用直線與平面垂直的判定定理判定直線與平面垂直的一般步驟:
①在這個平面內找兩條直線,使它們和已知直線垂直;
②確定這個平面內的兩條直線是相交直線;
③根據判定定理得出結論.
(2)證明線面垂直的常用方法除利用判定定理外,還可用以下結論:
①a∥b,a⊥α b⊥α;
②α∥β,a⊥α a⊥β.
拓展 (多選題)如圖,PA垂直于圓O所在的平面,AB是圓O的直徑,C是圓O上異于A,B的一點,E,F分別是PB,PC上的點,且AE⊥PB,AF⊥PC,給出下列結論,其中正確的有 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.BC⊥平面PAC B.AF⊥平面PCB
C.EF⊥PB D.AE⊥平面PCB
8.6.2　直線與平面垂直
第1課時　直線與平面垂直的判定
【課前預習】
知識點一
1.任意一條　l⊥α　垂線　垂面
3.垂直于　垂線段　垂線段
診斷分析
1.(1)×　(2)×　(3)√　[解析] (1)由圖①可知錯誤.
①
(2)由圖②可知錯誤.
②
(3)由直線與平面垂直的定義知正確.
2.解:由直線與平面垂直的定義知,隨著時間的變化,旗桿所在的直線與其影子所在的直線的夾角不變,為90°.
知識點二
1.兩條相交直線　2.l⊥α
診斷分析
1.(1)×　(2)×　(3)√　[解析] (1)它們可以有公共點,也可以沒有公共點.
(2)在線面垂直的判定定理中,要求平面內的兩條直線必須相交.
(3)因為三角形的任意兩條邊都相交,所以根據直線與平面垂直的判定定理知,此直線與該三角形所在平面垂直.
2.解:當一條直線垂直于平行四邊形的兩條鄰邊時,此直線與該平行四邊形所在平面垂直;當一條直線垂直于平行四邊形的兩條對邊時,因為這兩條對邊平行,所以此直線與該平行四邊形所在平面不一定垂直.
【課中探究】
探究點一
例1　(1)C　(2)①③　[解析] (1)由線面垂直的判定定理可得,一條直線與一個平面垂直的條件是這條直線垂直于平面內的兩條相交直線.只有C選項滿足題意,當這條直線垂直于該平面內的任意兩條直線時,這條直線也垂直于該平面內的兩條相交直線.故選C.
(2)因為正五邊形的任意兩條邊所在直線都相交,所以①可以證明線面垂直;因為梯形的上、下兩底邊平行,所以②不能證明線面垂直;因為圓的任意兩條直徑必相交,所以③可以證明線面垂直;若直線垂直于正六邊形的兩條對邊,因為兩條對邊是平行的,所以④不能證明線面垂直.故填①③.
變式　D　[解析] 對于A,若a∥α,則α內存在無數條直線與a平行,故A中說法正確;對于B,若a⊥α,則a垂直于α內的任意直線,故B中說法正確;對于C,因為a∥b,a α,b α,所以a∥α,故C中說法正確;對于D,若存在無數條直線b,使得a⊥b,則a與α平行或相交(含垂直),故D中說法錯誤.故選D.
探究點二
例2　證明:設D是AB的中點,連接ED,∵EB=EA,
∴ED⊥AB.
∵E是PB的中點,D是AB的中點,
∴ED∥PA,∴PA⊥AB.
又PA⊥AC,AB∩AC=A,AB 平面ABC,AC 平面ABC,
∴PA⊥平面ABC.∵BC 平面ABC,∴PA⊥BC.
又PC⊥BC,PA∩PC=P,PA 平面PAC,PC 平面PAC,∴BC⊥平面PAC.
變式1　證明:連接AC,因為底面ABCD為菱形,∠ABC=60°,所以△ABC為正三角形,
因為E是BC的中點,所以AE⊥BC,
因為AD∥BC,所以AE⊥AD.
因為PA⊥平面ABCD,AE 平面ABCD,所以PA⊥AE,
又因為PA∩AD=A,PA,AD 平面PAD,
所以AE⊥平面PAD.
變式2　證明:易知BC⊥平面CDD1C1.
又DE 平面CDD1C1,∴DE⊥BC.
在△CDE中,CD=2a,CE=DE=a,則有CE2+DE2=CD2,∴∠DEC=90°,即DE⊥EC.
又BC∩EC=C,BC 平面BCE,EC 平面BCE,∴DE⊥平面BCE.
拓展　ABC　[解析] ∵PA垂直于圓O所在的平面,BC在圓O所在的平面內,∴PA⊥BC.又BC⊥AC,AC∩PA=A,AC 平面PAC,PA 平面PAC,∴BC⊥平面PAC,故A正確.∵AF 平面PAC,BC⊥平面PAC,∴AF⊥BC,又AF⊥PC,PC∩BC=C,PC 平面PCB,BC 平面PCB,∴AF⊥平面PCB,故B正確.∵AF⊥平面PCB,PB 平面PCB,∴AF⊥PB,又AE⊥PB,AE∩AF=A,AE 平面AEF,AF 平面AEF,∴PB⊥平面AEF,又EF 平面AEF,∴EF⊥PB,故C正確.∵AF⊥平面PCB,且過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直,∴AE與平面PCB不垂直,故D不正確.故選ABC.

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