資源簡介

第2課時　平面與平面垂直的性質
【學習目標】
　　1.通過直觀感知、操作確認,能夠歸納出平面與平面垂直的性質定理,并能夠證明.
　　2.能夠運用性質定理證明一些空間位置關系的簡單命題.
◆ 知識點　平面與平面垂直的性質定理
1.平面與平面垂直的性質定理
文字語言 圖形語言 符號語言 巧記方法
兩個平面垂直,如果一個平面內有一直線垂直于這兩個平面的交線,那么這條直線與另一個平面　　　 a⊥α 面面垂直 線面垂直
2.面面垂直的性質定理的作用:
(1)判定直線與平面垂直;
(2)由平面外一點作平面的垂線時,確定垂足的位置.
【診斷分析】 1.判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若兩個平面垂直,則兩個平面內任意兩條直線互相垂直. (　 )
(2)若平面α⊥平面β,α∩β=l,b⊥l,則b⊥β. (　 )
2.黑板所在平面與地面所在平面垂直,如何在黑板上畫一條直線與地面垂直
◆ 探究點一　面面垂直的性質定理的應用
例1 如圖,在三棱錐P-ABC中,△PAC為正三角形,AB⊥AC,平面PAB⊥平面PAC.求證:AB⊥平面PAC.
變式 如圖所示,四邊形ABCD是矩形,AB=2BC,E為CD的中點,以BE為折痕將△BEC折起,使C到達C'的位置,且平面BEC'⊥平面ABED,得到四棱錐C'-ABED.
(1)求證:AE⊥BC';
(2)求二面角C'-AE-B的余弦值.
[素養小結]
當利用面面垂直的性質定理證明線面垂直問題時,要注意以下三點:①兩個平面垂直;②直線必須在其中一個平面內;③直線必須垂直于兩平面的交線.
◆ 探究點二　線線、線面、面面垂直的綜合應用
例2 如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=,N,M分別為AB,CC1的中點,且AB=AC.
(1)證明:CN⊥平面ABB1A1.
(2)證明:平面AMB1⊥平面ABB1A1.
變式 如圖①,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB=3,CD=1,BC=2,E,F分別為腰AD,BC的中點,H,M分別為EF,AB的中點.將四邊形CDEF沿EF折起,使平面EFC'D'⊥平面ABFE,如圖②.
(1)求證:MH⊥平面EFC'D';
(2)請在圖②所給的點中找出兩個點,使得這兩點所在直線與平面D'HM垂直,并給出證明.
[素養小結]
在證明兩平面垂直時,一般從其中一個平面內尋找另一個平面的垂線,若這樣的直線圖中不存在,則可通過作輔助線來解決.在已知兩平面垂直用性質定理解題時,一般從其中一個平面內尋找與交線垂直的直線,如果這樣的直線在圖中不存在,也需通過作輔助線來解決.
拓展 正四棱錐S-ABCD的底面邊長為2,高為2,E是BC的中點,動點P在其表面上運動,并且總保持PE⊥AC,則動點P的軌跡的長度為　　　　.
第2課時　平面與平面垂直的性質
【課前預習】
知識點
1.垂直
診斷分析
1.(1)×　(2)×　[解析] (1)滿足條件的這兩條直線不一定垂直,如圖所示,平面α⊥平面β,a α,b β,a,b不垂直.
(2)因為直線b不一定在平面α內,所以直線b不一定垂直于平面β.
2.解:記黑板所在平面與地面所在平面的交線為l,則由面面垂直的性質定理知,只要在黑板上畫出一條與交線l垂直的直線,則所畫直線必與地面垂直.
【課中探究】
探究點一
例1　證明:取PA的中點M,連接CM,BM,∵△PAC為正三角形,∴CM⊥PA.∵平面PAB⊥平面PAC,平面PAB∩平面PAC=PA,CM 平面PAC,∴CM⊥平面PAB.∵AB 平面PAB,∴AB⊥CM.又AB⊥AC,CM∩AC=C,AC 平面PAC,CM 平面PAC,∴AB⊥平面PAC.
變式　解:(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,AB=2BC,E為CD的中點,∴△ADE,△BCE都是等腰直角三角形,∴∠AED=∠BEC=45°,∴∠AEB=90°,即AE⊥EB.∵平面BEC'⊥平面ABED,平面BEC'∩平面ABED=BE,AE 平面ABED,∴AE⊥平面BEC',∴AE⊥BC'.
(2)由(1)知△BC'E是等腰直角三角形,∴∠BEC'=45°.∵AE⊥平面BEC',∴EB⊥AE,EC'⊥AE,∴∠BEC'是二面角C'-AE-B的平面角,∴二面角C'-AE-B的余弦值為.
探究點二
例2　證明:(1)在△ABC中,因為∠BAC=,AB=AC,所以△ABC為正三角形.
因為N為AB的中點,所以CN⊥AB.
因為AA1⊥平面ABC,CN 平面ABC,所以AA1⊥CN.
因為AA1∩AB=A,AA1,AB 平面ABB1A1,
所以CN⊥平面ABB1A1.
(2)取AB1的中點D,連接DM,DN,如圖.
因為N,D分別為AB,AB1的中點,所以DN∥BB1且DN=BB1.
又CM∥BB1且CM=BB1,
所以DN∥CM且DN=CM,
所以四邊形CNDM為平行四邊形,所以DM∥CN.
由(1)知CN⊥平面ABB1A1,所以DM⊥平面ABB1A1,
又DM 平面AMB1,所以平面AMB1⊥平面ABB1A1.
變式　解:(1)證明:∵四邊形ABCD是等腰梯形,H為EF的中點,M為AB的中點,∴MH⊥EF.∵平面EFC'D'⊥平面ABFE,平面EFC'D'∩平面ABFE=EF,MH 平面ABFE,∴MH⊥平面EFC'D'.
(2)在圖②中,C',E這兩個點所在直線與平面D'HM垂直.證明如下:連接C'E,C'H,由(1)知MH⊥平面EFC'D',∵C'E 平面EFC'D',∴MH⊥C'E.
∵C'D' EH, 且C'D'=D'E,∴四邊形C'D'EH是菱形,
∴C'E⊥D'H.
∵MH∩D'H=H,∴C'E⊥平面D'HM,∴C',E這兩點所在直線與平面D'HM垂直.
拓展　+　[解析] 如圖所示,分別取CD,SC的中點F,G,連接BD,EF,GF,GE,則易知GF∥SD,GE∥SB,因為GF,GE 平面SBD,SD,SB 平面SBD,所以GF∥平面SBD,GE∥平面SBD.因為GF∩GE=G,所以平面GEF∥平面SBD.設AC∩BD=O,連接SO,則SO⊥平面ABCD,則SO⊥AC,易知BD⊥AC,又BD∩SO=O,所以AC⊥平面SBD,則可得AC⊥平面GEF,故動點P的軌跡是△EFG的三邊(除去點E).又EF=DB=,GF=GE=SB=,所以動點P的軌跡的長度為EF+FG+GE=+.8.6.3　平面與平面垂直
第1課時　平面與平面垂直的判定
【學習目標】
　　1.通過直觀感知、操作確認,能夠歸納出平面與平面垂直的判定定理.
　　2.了解二面角及其平面角的概念.
　　3.能夠運用判定定理證明一些空間位置關系的簡單命題.
◆ 知識點一　二面角的概念
1.二面角的概念
從一條直線出發的　　　　　　　　　　的圖形叫作二面角.
這條直線叫作二面角的棱,這兩個半平面叫作二面角的面.如圖所示,棱為AB(l),面分別為α,β,此二面角可以記作二面角　　　　或　　　　或　　　　或P-AB-Q.
2.二面角的平面角
(1)如圖所示,在二面角α-l-β的棱l上任取一點O,以點O為垂足,在半平面α和β內分別作　　　　棱l的射線OA和OB,則　　　　　　　　　　　　　　叫作二面角α-l-β的平面角.二面角的平面角α的取值范圍是　　　　　　　　.
(2)平面角是直角的二面角叫作直二面角.
【診斷分析】 1.判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)二面角是從一條直線出發的兩個半平面所夾的角度. (　 )
(2)二面角是兩個平面相交時兩個平面所夾的銳角.(　 )
2.二面角就是兩個平面相交所形成的圖形嗎
3.在兩個半平面內分別向棱作垂線,兩條垂線所成的角是否為二面角的平面角 它與二面角的平面角的大小有什么關系
◆ 知識點二　兩平面互相垂直
1.平面與平面垂直的定義
一般地,兩個平面相交,如果它們所成的二面角是　　　　　　,就說這兩個平面互相垂直.
畫法:畫兩個互相垂直的平面時,通常把表示平面的兩個平行四邊形的一組邊畫成垂直,如圖所示.
記作:　　　　.
2.平面與平面垂直的判定定理
文字語言:如果一個平面過另一個平面的　　　　,那么這兩個平面垂直.
符號語言:a α,a⊥β 　　　　.(線面垂直 面面垂直)
圖形語言:如圖所示.
【診斷分析】 1.判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)如果平面α內有一條直線垂直于平面β內的一條直線,那么α⊥β. (　 )
(2)如果平面α內有一條直線垂直于平面β內的兩條直線,那么α⊥β. (　 )
(3)如果平面α內的一條直線垂直于平面β內的兩條相交直線,那么α⊥β. (　 )
2.過平面α的一條垂線可作多少個平面與平面α垂直 過平面α的一條斜線可作多少個平面與平面α垂直 過平面α的一條平行線可作多少個平面與平面α垂直
◆ 探究點一　證明面面垂直
例1 如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,M為B1C1的中點,證明:平面A1BM⊥平面BB1C1C.
變式 如圖,在三棱錐D-ABC中,AB=CD=6,AD=BC=2,AB⊥BC,AD⊥DC,DB=.求證:平面ACD⊥平面ABC.
[素養小結]
判定面面垂直的方法:
(1)面面垂直的定義;
(2)面面垂直的判定定理(a⊥β,a α α⊥β).
◆ 探究點二　求二面角
例2 (1)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,二面角A1-BD-A的正切值為 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.
C. D.
(2)三棱錐P-ABC的兩個側面PAB,PBC都是邊長為2a的正三角形,AC=a,則二面角A-PB-C的大小為 (　 )
A.90° B.30°
C.60° D.45°
變式 (1)若一個二面角的兩個半平面分別垂直于另一個二面角的兩個半平面,那么這兩個二面角的大小 (　 )
A.相等 B.互補
C.相等或互補 D.關系無法確定
(2)在正方體ABCD-A'B'C'D'中,求二面角D'-AB-D的大小.
[素養小結]
求二面角大小的一般步驟:
簡稱為“一作二證三求”.
拓展 如圖,在三棱錐P-ABC中,PA=PB=PC且△ABC為正三角形,M,N分別是PB,PC的中點,若平面AMN⊥平面PBC,求二面角P-BC-A的余弦值.
8.6.3　平面與平面垂直
第1課時　平面與平面垂直的判定
【課前預習】
知識點一
1.兩個半平面所組成　α-l-β　α-AB-β　P-l-Q
2.(1)垂直于　射線OA和OB構成的∠AOB　0°≤α≤180°
診斷分析
1.(1)×　(2)×
2.解:不是,二面角是從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形,兩個平面相交能形成四個二面角.
3.解:這兩條垂線所成的角不一定為二面角的平面角,它與二面角的平面角的大小相等或互補.
知識點二
1.直二面角　α⊥β　2.垂線　α⊥β
診斷分析
1.(1)×　(2)×　(3)√
2.解:根據平面與平面垂直的定義與判定定理,易知過平面α的一條垂線可作無數個平面與平面α垂直.過平面α的一條斜線可作一個平面與平面α垂直.過平面α的一條平行線可作一個平面與平面α垂直.
【課中探究】
探究點一
例1　證明:在正三棱柱ABC-A1B1C1中,易知BB1⊥平面A1B1C1.
因為A1M 平面A1B1C1,所以BB1⊥A1M.
因為△A1B1C1為正三角形,M為B1C1的中點,
所以A1M⊥B1C1.
因為BB1∩B1C1=B1,BB1,B1C1 平面BB1C1C,
所以A1M⊥平面BB1C1C,
又A1M 平面A1BM,所以平面A1BM⊥平面BB1C1C.
變式　證明: ∵AB⊥BC,AB=6,BC=2,∴由勾股定理可得AC=4,故∠BAC=30°,同理可得∠ACD=30°.過點D作DO⊥AC,交AC于O,連接BO,如圖,則DO=3,AO=.在△AOB中,由余弦定理得cos∠BAO===,可得OB=,則DO2+OB2=9+21=30=DB2,∴DO⊥OB.∵AC∩OB=O,∴DO⊥平面ABC,又DO 平面ACD,∴平面ACD⊥平面ABC.
探究點二
例2　(1)C　(2)C　[解析] (1)如圖,連接AC,與BD交于點O,連接A1O.∵BD⊥AC,BD⊥AA1,AC∩AA1=A,∴BD⊥平面AA1O,∴BD⊥A1O,∴∠A1OA為二面角A1-BD-A的平面角.在Rt△A1OA中,tan∠A1OA==,即二面角A1-BD-A的正切值為,故選C.
(2)如圖,取PB的中點M,連接AM,CM.因為△PAB,△PBC都是邊長為2a的正三角形,所以AM⊥PB,CM⊥PB,因此∠AMC為二面角A-PB-C的平面角.由題意知AM=CM=a,又AC=a,所以△AMC為正三角形,即∠AMC=60°.故選C.
變式　(1)D　[解析] 如圖所示,平面EFDG⊥平面ABC,平面HDG⊥平面BCD,所以二面角A-BC-D的兩個半平面分別垂直于二面角E-GD-H的兩個半平面.當平面HDG繞DG轉動時,平面HDG始終與平面BCD垂直.因為二面角H-DG-F的大小不確定,所以兩個二面角的大小關系不確定.
(2)解:如圖,由正方體的性質易知AB⊥平面ADD'A',又AD 平面ADD'A',AD' 平面ADD'A',
所以AB⊥AD,AB⊥AD',
又平面ABD∩平面ABD'=AB,
所以 ∠D'AD為二面角D'-AB-D的平面角.因為四邊形ADD'A'為正方形,
所以∠D'AD=45°,即二面角D'-AB-D的大小是45°.
拓展　解:取BC的中點F,連接PF,設PF∩MN=E,連接AE,AF.∵M,N分別是PB,PC的中點,PB=PC,
∴MN∥BC,E為MN的中點,PE⊥MN.
∵PA=PB=PC且△ABC為正三角形,
∴PC=PB,PA=PA,AC=AB,故△APC≌△APB,
又M,N分別是PB,PC的中點,∴AN=AM,
∴AE⊥MN,∴∠PEA即為二面角P-MN-A的平面角.
∵平面AMN⊥平面PBC,∴∠PEA=90°,
又PE=EF,∴PA=AF. ∵PF⊥BC,AF⊥BC,
∴∠AFP即為二面角P-BC-A的平面角.
設AB=2a,則PA=PB=PC=AF=a,∴PF==a,∴EF=a.
在Rt△AEF中, cos∠AFE==,即cos∠AFP=,∴二面角P-BC-A的余弦值為.

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