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第七章　復數
7.1　復數的概念
7.1.1　數系的擴充和復數的概念
【學習目標】
　　1.了解引進復數的必要性,了解數系擴充的方法,通過方程的解認識復數.
　　2.理解復數的基本概念,理解復數的代數表示,掌握復數的分類,理解兩個復數相等的充要條件.
◆ 知識點一　復數的有關概念
1.復數
(1)定義:我們把形如a+bi(a,b∈R)的數叫作復數,其中i叫作　　　　　,a叫作復數的　　　　,b叫作復數的　　　　.
(2)表示方法:復數通常用　　　　表示,即　　　　　　　　　.
2.復數集
(1)定義:　　　　　所構成的集合叫作復數集.
(2)表示方法:通常用　　　　表示.
3.復數相等的充要條件
在復數集C={a+bi|a,b∈R}中任取兩個數a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),我們規定:a+bi與c+di相等當且僅當　　　　　　　　.
【診斷分析】 1.判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)復數a+bi的實部是a,虛部是b. (　 )
(2)任何兩個復數都不能比較大小. (　 )
(3)3+i>2+i. (　 )
(4)方程x2+3=0無解. (　 )
2.若復數z1=3+ai(a∈R),z2=b+i(b∈R)滿足z1=z2,則a+b的值為多少
◆ 知識點二　復數的分類
1.復數 z=a+bi(a,b∈R)可以分類如下:
復數
2.用圖示法表示復數集、實數集、虛數集和純虛數集之間的關系,如圖所示.
【診斷分析】 (1)若復數z=a+bi(a,b∈R),且z=0,則a+b的值為　　　　.
(2)用“ ”或“ ”填空:N*　　　　N　　　　Z　　　　Q　　　　R　　　　C.
◆ 探究點一　復數的概念
例1 (1)下列說法中正確的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.5+i>4+i
B.若a∈R,則(a+1)i是純虛數
C.實數集是復數集的真子集
D.若z2=-1,則z=i
(2)寫出下列復數的實部與虛部,并指出哪些是實數,哪些是虛數,哪些是純虛數.
4,2-3i,-+i,5+i,6i.
變式 (多選題)已知a,b∈R,i為虛數單位,下列說法錯誤的是 (　 )
A.若a=0,則a+bi為純虛數
B.若z=3-2i,則z的虛部為2
C.若b=0,則a+bi為實數
D.i2=-1
[素養小結]
(1)對于復數z=a+bi,只有當a,b∈R時,a才是z的實部,b才是z的虛部,且注意虛部不是bi,而是b.
(2)不要將復數與虛數的概念混淆,實數也是復數,實數和虛數是復數的兩大組成部分.
◆ 探究點二　復數的分類應用
[探索] 當a,b滿足什么條件時,復數z=a+bi(a,b∈R)分別是實數、虛數、純虛數


例2 已知m∈R,復數z=+(m2-3m-18)i.
(1)當m滿足什么條件時,復數z為實數
(2)當m滿足什么條件時,復數z為虛數
(3)當m滿足什么條件時,復數z為純虛數
變式 (1)當實數m滿足什么條件時,復數z=m2+m-2+(m2+5m+6)i是實數 虛數
(2)已知復數z=(m2-2m-3)+(m-3)i(m∈R),當實數m取何值時,復數z表示純虛數 并寫出此時z的虛部.
[素養小結]
復數分類問題的求解方法與步驟:
(1)化標準式:先看復數是否為a+bi(a,b∈R)的形式,從而確定實部與虛部.
(2)定條件求解:根據所給條件列出實部和虛部滿足的方程(不等式),求解即可.
特別關注:復數z=a+bi(a,b∈R)為純虛數的充要條件是a=0且b≠0.
◆ 探究點三　復數的相等及其應用
例3 (1)已知x,y是實數,且滿足(2x-1)+(3-y)i=y-i,則x=　　　　,y=　　　　.
(2)已知集合M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∪P=P,則實數m的取值集合為　　　　　　　.
變式 (1)已知x,y均是實數,且滿足(2x-2)+i=-y-(5-y)i,求x與y的值.
(2)已知a2+am+2+(2a+m)i=0(m∈R),求實數a的值.
(3)已知(m2-1)+(m2-2m)i>1,求實數m的值.
[素養小結]
(1)根據復數相等的充要條件,可將復數問題轉化為實數問題,這是復數問題實數化思想的體現.
(2)如果兩個復數都是實數,那么可以比較大小,否則是不能比較大小的.
第七章　復數
7.1　復數的概念
7.1.1　數系的擴充和復數的概念
【課前預習】
知識點一
1.(1)虛數單位　實部　虛部　(2)字母z　z=a+bi(a,b∈R)
2.(1)全體復數　(2)C　3.a=c且b=d
診斷分析
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　[解析] (1)對于復數z=a+bi(a,b∈R,i為虛數單位),其實部是a,虛部是b.
(2)當兩個復數都是實數時,能比較大小.
(3)兩個虛數不能比較大小.
(4)該方程在復數范圍內有解.
2.解:由題意得a=1,b=3,則a+b=4.
知識點二
1.(b=0)　(b≠0)
診斷分析
(1)0　(2) 　 　 　 　 　[解析] (2)根據各數集的含義可知,N* N Z Q R C.
【課中探究】
探究點一
例1　(1)C　[解析] 在A中,兩個虛數不能比較大小,故A錯誤;在B中,當a=-1時,(a+1)i是實數,故B錯誤;易知C正確;在D中,當z=-i時,z2=-1,故D錯誤.故選C.
(2)解:4,2-3i,-+i,5+i,6i的實部分別是4,2,-,5,0,虛部分別是0,-3,,,6.4是實數,2-3i,-+i,5+i,6i是虛數,其中6i是純虛數.
變式　AB　[解析] 對于A,當a=0且b≠0時,a+bi為純虛數,故A中說法錯誤;對于B, 若z=3-2i,則z的虛部為-2,故B中說法錯誤;易知C,D中說法正確.故選AB.
探究點二
探索 解:當b=0時,z=a+bi是實數;當b≠0時,z=a+bi是虛數;當a=0,b≠0時,z=a+bi是純虛數.
例2　解:(1)要使z=+(m2-3m-18)i為實數,
只需解得m=6.
(2)要使z=+(m2-3m-18)i為虛數,
只需解得m≠-3且m≠6.
(3)要使z=+(m2-3m-18)i為純虛數,
只需解得m=1或m=-.
變式　解:(1)若復數z=m2+m-2+(m2+5m+6)i是實數,則m2+5m+6=0,∴m=-3或m=-2.若復數z=m2+m-2+(m2+5m+6)i是虛數,則m2+5m+6≠0,∴m≠-3且m≠-2.
(2)依題意得,當m2-2m-3=0且m-3≠0,即m=-1時,復數z是純虛數,此時z=-4i,故z的虛部為-4.
探究點三
例3　(1)　4　(2){1,2}　[解析] (1)∵x,y是實數,且滿足(2x-1)+(3-y)i=y-i,∴由復數相等的充要條件得解得
(2)∵M∪P=P,∴M P,∴(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i.由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,得解得m=1;由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,得解得m=2.∴實數m的取值集合為{1,2}.
變式　解:(1)由復數相等的充要條件得解得
(2)由題意得 解得或 所以a=±.
(3)由題意得 解得m=2.

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