資源簡介

7.2　復數的四則運算
7.2.1　復數的加、減運算及其幾何意義
【學習目標】
　　1.掌握復數代數表示式的加、減運算法則,并能熟練地進行運算.
　　2.了解復數加、減運算的幾何意義,并能利用幾何意義解決簡單數學問題.
◆ 知識點一　復數的加、減法運算
1.復數的加、減法運算法則
設z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),
則z1+z2=　　　　　　　　,
z1-z2=　　　　　　　　.
2.復數加法的運算律
(1)交換律:z1+z2=　　　　.
(2)結合律:(z1+z2)+z3=　　　　　.
【診斷分析】 1.判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)復數與復數相加、減后結果為復數. (　 )
(2)復數加法的運算律類同于實數的加法運算律.(　 )
(3)若復數z1,z2滿足z1-z2>0,則z1>z2. (　 )
2.復數(1-i)-(2+i)+3i=　　　　　　.
◆ 知識點二　復數加、減法的幾何意義
1.如圖,設在復平面內復數z1,z2對應的向量分別為,,以OZ1,OZ2為鄰邊作平行四邊形,則與z1+z2對應的向量是　　　　,與z1-z2對應的向量是　　　　.
2.復平面內兩點Z1(x1,y1),Z2(x2,y2)之間的距離為　　　　　　　　.
【診斷分析】 判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)復數加、減法的幾何意義類同于向量加、減法運算的幾何意義. (　 )
(2)|z-z0|(z,z0∈C)的幾何意義是復數z在復平面內對應的點Z與復數z0在復平面內對應的點Z0之間的距離. (　 )
(3)已知復數z1=3+4i,z2=3-4i,則復平面內這兩個復數對應的點之間的距離為8. (　 )
◆ 探究點一　復數的加、減運算
[探索] 兩個實數可隨意相加,那么兩個或兩個以上的復數相加,具體怎么運算呢


例1 計算:(1)(-2+3i)+(5-i)=　　　　;
(2)(3-5i)+(-4-i)-(3+4i)=　　　　;
(3)若a,b∈R,則(2-3i)-(a-b)i+(a+b)i=　　　　.
變式 (1)設x,y∈R,若x+(y-1)i=3+xi,其中i是虛數單位,則x+y=　　　　.
(2)已知z1=a+(a+1)i,z2=-3b+(b+2)i(a,b∈R),若z1-z2=4,則a+b=　　　　.
(3)設z1=x+2i,z2=3-yi(x,y∈R),且z1+z2=5-6i,則z1-z2=　　　　.
[素養小結]
復數的加、減法運算技巧
(1)對于復數的加減運算,只要把實部與實部、虛部與虛部分別相加減即可.類比實數的加減運算,若有括號,則先計算括號內的;若沒有括號,則可從左到右依次進行計算.
(2)算式中若出現字母,首先確定其是否為實數,再確定復數的實部與虛部,最后把實部與實部、虛部與虛部分別相加減.
◆ 探究點二　復數加、減法的幾何意義
例2 如圖所示,在復平面內,平行四邊形OABC的頂點O,A,C分別對應復數0,3+2i,-2+4i.求:
(1)向量表示的復數;
(2)向量表示的復數及A,C兩點之間的距離;
(3)向量表示的復數及O,B兩點之間的距離.
變式 (1)若z1=2+i,z2=3+ai(a∈R),z1+z2在復平面內對應的點在實軸上,則a= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.3 B.2
C.1 D.-1
(2)在復平面內,A,B,C三點分別對應復數1,2+i,-1+2i.
①求,,對應的復數;
②判斷△ABC的形狀.
[素養小結]
復數與向量的對應關系的兩個關注點
(1)復數z=a+bi(a,b∈R)與以原點為起點,Z(a,b)為終點的向量一一對應.
(2)一個向量可以平移,其對應的復數不變,但是其起點與終點所對應的復數可能改變.
◆ 探究點三　|z-z0|(z,z0∈C)的幾何意義的應用
例3 (1)如果復數z滿足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是 (　 )
A.1 B.
C.2 D.
(2)設z1,z2∈C,已知|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,求|z1-z2|.
變式 [2024·菏澤一中高一月考] 設z是復數且|z-1+2i|=1,求|z|的最小值.
[素養小結]
|z1-z2|表示復平面內z1,z2對應的兩點間的距離,利用此性質,可把復數模的問題轉化為復平面內兩點間的距離問題,從而進行數形結合,把復數問題轉化為幾何問題求解.
7.2　復數的四則運算
7.2.1　復數的加、減運算及其幾何意義
【課前預習】
知識點一
1.(a+c)+(b+d)i　(a-c)+(b-d)i
2.(1)z2+z1　(2)z1+(z2+z3)
診斷分析
1.(1)√　(2)√　(3)×　[解析] (3)兩個虛數作差可以等于實數,所以可以比零大,但是兩個虛數是不能比較大小的.
2.-1+i　[解析] (1-i)-(2+i)+3i=(1-2)+(-i-i+3i)=-1+i.
知識點二
1.　　2.
診斷分析
(1)√　(2)√　(3)√
【課中探究】
探究點一
探索 解:兩個或兩個以上的復數相加就是把實部與實部、虛部與虛部分別相加.
例1　(1)3+2i　(2)-4-10i　(3)2+(2b-3)i
[解析] (1)(-2+3i)+(5-i)=(-2+5)+(3-1)i=3+2i.
(2)原式=(3-4-3)+(-5-1-4)i=-4-10i.
(3)(2-3i)-(a-b)i+(a+b)i=2-3i+[-(a-b)+(a+b)]i=2+(2b-3)i.
變式　(1)7　(2)3　(3)-1+10i　[解析] (1)因為x+(y-1)i=3+xi,所以x=3,y-1=x,即x=3,y=4,所以x+y=7.
(2)∵z1-z2=a+(a+1)i-[-3b+(b+2)i]=+(a-b-1)i=4,∴
解得∴a+b=3.
(3)因為z1=x+2i,z2=3-yi,z1+z2=5-6i,所以(x+3)+(2-y)i=5-6i,所以解得所以z1-z2=(2+2i)-(3-8i)=(2-3)+[2-(-8)]i=-1+10i.
探究點二
例2　解:(1)因為=-,所以表示的復數為-3-2i.
(2)因為=-,所以表示的復數為(3+2i)-(-2+4i)=5-2i,則|AC|==.
(3)因為=+,所以表示的復數為(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,則|OB|==.
變式　(1)D　[解析] ∵z1+z2=2+i+(3+ai)=5+(1+a)i在復平面內對應的點在實軸上,∴1+a=0,解得a=-1.故選D.
(2)解:①因為A,B,C三點分別對應復數1,2+i,-1+2i,所以,,(O為坐標原點)對應的復數分別為1,2+i,-1+2i.因為=-,所以對應的復數為(2+i)-1=1+i;因為=-,所以對應的復數為(-1+2i)-1=-2+2i;因為=-,所以對應的復數為(-1+2i)-(2+i)=-3+i.綜上,對應的復數為1+i,對應的復數為-2+2i,對應的復數為-3+i.
②因為||==,||==2,||==,所以||2+||2=||2,所以△ABC是直角三角形.
探究點三
例3　(1)A　[解析] 設復數z,-i,i,-1-i在復平面內對應的點分別為Z,Z1,Z2,Z3.因為|z+i|+|z-i|=2, |Z1Z2|=2,所以點Z的軌跡為線段Z1Z2,原問題可轉化為動點Z在線段Z1Z2上移動,求|ZZ3|的最小值.易知|ZZ3|min=1,所以|z+i+1|min=1.
(2)解:方法一:作出z1,z2對應的向量,(O為坐標原點),使+=.∵|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,∴,不共線,連接ZZ1,ZZ2,則四邊形OZ1ZZ2為菱形,又|z1|2+|z2|2=|z1+z2|2,∴四邊形OZ1ZZ2為正方形,∴|z1-z2|=.
方法二:設z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),由題知a2+b2=1,c2+d2=1,(a+c)2+(b+d)2=2.∵(a+c)2+(b+d)2=a2+2ac+c2+b2+2bd+d2,∴2ac+2bd=0,∴|z1-z2|2=(a-c)2+(b-d)2=a2+c2+b2+d2-(2ac+2bd)=2,∴|z1-z2|=.
方法三: |z1+z2|2+|z1-z2|2=2(|z1|2+|z2|2),將已知數據代入,可得|z1-z2|2=2,則|z1-z2|=.
變式　解:設復數z在復平面內表示的點為Z,根據復數模的幾何意義可知,點Z的集合為復平面內以(1,-2)為圓心,1為半徑的圓,又|z|表示點Z到原點的距離,
所以|z|min=-1=-1.

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