資源簡(jiǎn)介

7.1.2　復(fù)數(shù)的幾何意義
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
　　1.理解復(fù)數(shù)的幾何意義,了解復(fù)數(shù)集與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集、復(fù)數(shù)與以原點(diǎn)為起點(diǎn)的平面向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系,理解復(fù)平面的概念,理解復(fù)數(shù)模的概念.
　　2.了解共軛復(fù)數(shù)的概念,能利用共軛復(fù)數(shù)解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題.
◆ 知識(shí)點(diǎn)一　復(fù)平面
如圖所示,點(diǎn)Z的橫坐標(biāo)是a,縱坐標(biāo)是b, 復(fù)數(shù)z=a+bi可用點(diǎn)Z(a,b)表示.這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫作　　　　,x軸叫作　　　　,y軸叫作　　　　.實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù);除了　　　　外,虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù).
【診斷分析】 1.判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)在復(fù)平面內(nèi),與實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在實(shí)軸上. (　 )
(2)在復(fù)平面內(nèi),虛軸上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)都是純虛數(shù). (　 )
(3)在復(fù)平面內(nèi),與非純虛數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都分布在四個(gè)象限內(nèi). (　 )
2.在復(fù)平面內(nèi),下列各點(diǎn)中對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.(1,2) B.(-3,0)
C.(0,0) D.(0,-2)
◆ 知識(shí)點(diǎn)二　復(fù)數(shù)的幾何意義
復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)　　　　及以原點(diǎn)為起點(diǎn),點(diǎn)Z(a,b)為終點(diǎn)的向量　　　　是一一對(duì)應(yīng)的(如圖所示).
【診斷分析】 判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)復(fù)數(shù)即為向量,反之,向量即為復(fù)數(shù). (　 )
(2)復(fù)數(shù)與向量一一對(duì)應(yīng). (　 )
(3)若=(0,-3),則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-3i . (　 )
(4)復(fù)數(shù)z=1-4i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限.(　 )
◆ 知識(shí)點(diǎn)三　復(fù)數(shù)的模
(1)定義:向量的　　　　叫作復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模或絕對(duì)值.
(2)記法:復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模記作　　　　或　　　　.
(3)公式:|z|=|a+bi|=　　　　,其中a,b∈R.
如果b=0,那么z=a+bi是一個(gè)實(shí)數(shù)a,它的模就等于　　　　(a的絕對(duì)值).
【診斷分析】 1.判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)復(fù)數(shù)的模一定是正實(shí)數(shù). (　 )
(2)兩個(gè)復(fù)數(shù)的模可以比較大小. (　 )
2.已知復(fù)數(shù)z的實(shí)部為-1,虛部為2,則|z|=　　　　.
◆ 知識(shí)點(diǎn)四　共軛復(fù)數(shù)
(1)定義:當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部　　　　,虛部　　　　　　時(shí),這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫作互為共軛復(fù)數(shù).虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫作　　　　　.
(2)表示方法:復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用表示,即如果z=a+bi,那么=　　　　.
【診斷分析】 判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)在復(fù)平面內(nèi),兩個(gè)互為共軛復(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱. (　 )
(2)實(shí)數(shù)a的共軛復(fù)數(shù)仍是a本身. (　 )
(3)兩個(gè)互為共軛復(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)的模相等. (　 )
◆ 探究點(diǎn)一　復(fù)數(shù)的幾何意義
例1 (1)已知在復(fù)平面內(nèi),O是坐標(biāo)原點(diǎn),復(fù)數(shù)z=2+i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是Z,如果點(diǎn)Z1與點(diǎn)Z關(guān)于虛軸對(duì)稱,點(diǎn)Z2與點(diǎn)Z關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,分別求與對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).
(2)當(dāng)實(shí)數(shù)m滿足什么條件時(shí),復(fù)數(shù)z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)①在虛軸上 ②在第二象限 ③在直線y=x上
變式 (1)在復(fù)平面內(nèi),將復(fù)數(shù)1+i對(duì)應(yīng)的向量繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到向量,那么對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是　　　　.
(2)當(dāng)實(shí)數(shù)m滿足什么條件時(shí),復(fù)數(shù)(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)①位于第四象限 ②位于x軸的負(fù)半軸上
[素養(yǎng)小結(jié)]
(1)在復(fù)平面內(nèi),解決復(fù)數(shù)與點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)的問題時(shí),首先確定復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部,從而確定復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo),再根據(jù)已知條件,確定實(shí)部與虛部滿足的關(guān)系.
(2)在復(fù)平面內(nèi),解決復(fù)數(shù)與平面向量一一對(duì)應(yīng)的問題時(shí),一般以復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)為工具,實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)、復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、向量之間的轉(zhuǎn)化.
◆ 探究點(diǎn)二　復(fù)數(shù)模的計(jì)算
例2 (1)已知復(fù)數(shù)z=4+3i,則|z|= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.1
C.5 D.
(2)已知復(fù)數(shù)z=a+i(a∈R)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限,且|z|=2,則復(fù)數(shù)z=　　　　.
(3)若復(fù)數(shù)z=(a+2)-2ai的共軛復(fù)數(shù)的模等于,則實(shí)數(shù)a的值為　　　　.
變式 (1)求復(fù)數(shù)z1=6+8i,z2=--i的模,并比較它們的模的大小.
(2)已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.若z的實(shí)部與虛部之和為7,且|z|=13,求z.
[素養(yǎng)小結(jié)]
(1)通常用復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模的公式|z|=計(jì)算復(fù)數(shù)的模.
(2)已知復(fù)數(shù)的模求復(fù)數(shù),只需套用模長(zhǎng)公式解方程.
◆ 探究點(diǎn)三　復(fù)數(shù)的模的幾何意義
例3 已知復(fù)數(shù)z1=+i,z2=-+i.
(1)求|z1|及|z2|并比較大小.
(2)設(shè)z∈C,且|z|=|z1|,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的集合是什么圖形
變式 (1)設(shè)z∈C,則滿足條件|z|=|3+4i|的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的集合對(duì)應(yīng)圖形的長(zhǎng)為　　　　.
(2)復(fù)數(shù)z0=2i(i為虛數(shù)單位),復(fù)數(shù)z1滿足1≤|z1|≤|z0+2|,在復(fù)平面內(nèi)z1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z1組成的集合為U,求集合U對(duì)應(yīng)圖形的面積.
[素養(yǎng)小結(jié)]
解決復(fù)數(shù)模的幾何意義的問題時(shí),應(yīng)根據(jù)復(fù)數(shù)的模的定義|z|=||,并依據(jù)|z|滿足的條件,判斷點(diǎn)Z的集合表示的圖形,把復(fù)數(shù)模的問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來解決.比較常見的幾何圖形有直線、圓、圓環(huán)等.
7.1.2　復(fù)數(shù)的幾何意義
【課前預(yù)習(xí)】
知識(shí)點(diǎn)一
復(fù)平面　實(shí)軸　虛軸　原點(diǎn)
診斷分析
1.(1)√　(2)×　(3)×　[解析] (2)在復(fù)平面內(nèi),與純虛數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在虛軸上,除原點(diǎn)外,虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù).
2.D　[解析] 復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)(0,-2)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是-2i,是純虛數(shù).
知識(shí)點(diǎn)二
Z(a,b)　
診斷分析
(1)×　(2) ×　(3)√　(4)√
知識(shí)點(diǎn)三
(1)模　(2)|z|　|a+bi|　(3)　|a|
診斷分析
1.(1)×　(2)√　[解析] (1)還有可能是零.
2.
知識(shí)點(diǎn)四
(1)相等　互為相反數(shù)　共軛虛數(shù)　(2)a-bi
診斷分析
(1)√　(2)√　(3)√
【課中探究】
探究點(diǎn)一
例1　解:(1)由題意知,Z(2,1),
由Z1與Z關(guān)于虛軸對(duì)稱,得Z1(-2,1),
由Z2與Z關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,得Z2(-2,-1),
∴,的坐標(biāo)分別為(-2,1),(-2,-1),
∴,對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為-2+i,-2-i.
(2)復(fù)數(shù)z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i的實(shí)部為m2-m-2,虛部為m2-3m+2.
①由復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上,得m2-m-2=0,解得m=2或m=-1.
②由復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限,得即∴-1③由復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線y=x上,得m2-m-2=m2-3m+2,∴m=2.
變式　(1)i　[解析] 由題意得=(1,1),則||=.將繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到向量,則點(diǎn)M1在y軸上,且||=,所以=(0,),所以對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是i.
(2)解:①由題意得即∴-7②由題意得即∴m=4.
探究點(diǎn)二
例2　(1)C　(2)-1+i　(3)或-1　[解析] (1)z=4+3i,則|z|==5.故選C.
(2)因?yàn)閦=a+i(a∈R)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限,所以a<0.由|z|=2,得=2,解得a=-1或a=1(舍去),所以z=-1+i.
(3)方法一:由題意得=(a+2)+2ai,∵||=,∴=,兩邊同時(shí)平方得5a2+4a+4=5,∴(5a-1)(a+1)=0,∴a=或a=-1.
方法二:∵|z|=||,∴=,兩邊同時(shí)平方得5a2+4a+4=5,∴(5a-1)(a+1)=0,∴a=或a=-1.
變式　解:(1)因?yàn)閨z1|==10,
|z2|==,所以|z1|>|z2|.
(2)依題意可設(shè)z=a+bi(a,b∈R,a>0,b<0),
因?yàn)閦的實(shí)部與虛部之和為7,且|z|=13,所以解得a=12,b=-5,故z=12-5i.
探究點(diǎn)三
例3　解:(1)|z1|==2,
|z2|= =1,所以|z1|>|z2|.
(2)由|z|=|z1|=2知||=2(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),所以點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離為2,所以點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)為圓心,2為半徑的圓.
變式　(1)10π　[解析] 由|z|=|3+4i|得|z|=5,這表明向量(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的模等于5,即點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離等于5,因此點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)O為圓心,5為半徑的圓,其長(zhǎng)度為10π.
(2)解:由題知z0=2i,因?yàn)?≤|z1|≤|z0+2|,所以1≤|z1|≤|2+2i|=2,
所以在復(fù)平面內(nèi)z1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z1組成的集合U是夾在以原點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓與以原點(diǎn)為圓心,2為半徑的圓之間的圓環(huán),
所以集合U對(duì)應(yīng)圖形的面積為π×(2)2-π×12=7π.

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