資源簡(jiǎn)介

7.2.2　復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
　　掌握復(fù)數(shù)代數(shù)表示式的乘、除運(yùn)算法則,并能熟練地進(jìn)行計(jì)算.
◆ 知識(shí)點(diǎn)一　復(fù)數(shù)的乘法法則及運(yùn)算律
1.復(fù)數(shù)的乘法法則
設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù),那么它們的積(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=　　　　　　　　.
2.復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律
對(duì)于任意z1,z2,z3∈C,有
交換律 z1z2=　　　
結(jié)合律 (z1z2)z3=　　　
乘法對(duì)加法的分配律 z1(z2+z3)=　　　
【診斷分析】 判斷下列說(shuō)法的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)互為共軛復(fù)數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)的和與積都是實(shí)數(shù).(　 )
(2)若z1,z2∈C,且+=0,則z1=z2=0. (　 )
(3)|z|2=z2. (　 )
(4)已知z1,z2,z3∈C,若z1z2=z1z3,則z2=z3. (　 )
◆ 知識(shí)點(diǎn)二　復(fù)數(shù)的除法法則
(a+bi)÷(c+di)=　　　　+　　　　i(a,b,c,d∈R,且c+di≠0).
【診斷分析】 1.計(jì)算:=　　　　.
2.復(fù)數(shù)的除法與實(shí)數(shù)的除法有何不同
◆ 探究點(diǎn)一　復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算
例1 計(jì)算:(1)(1+2i)2;
(2)(3+4i)(3-4i).
(3)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i).
變式 (1)(1-i)(1+i)= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.1+i B.-1+i
C.+i D.-+i
(2)已知a,b∈R,i是虛數(shù)單位,若a-i與2+bi互為共軛復(fù)數(shù),則(a+bi)2= (　 )
A.5-4i B.5+4i
C.3-4i D.3+4i
(3)若復(fù)數(shù)z=i+i2+i3+…+i10,則z·=　　　　.
[素養(yǎng)小結(jié)]
兩個(gè)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算的常用公式
(1)(a+bi)2=a2-b2+2abi(a,b∈R).
(2)(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R).
(3)(1±i)2=±2i.
◆ 探究點(diǎn)二　復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算
例2 計(jì)算:
(1)+(--i)3+;
(2).
變式 (1)[2024·麗水五校高一月考] 若復(fù)數(shù)z滿足z(2-i)=2i,i是虛數(shù)單位,則在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 (　 )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)已知z=4+i,設(shè)=a+bi(a,b∈R),則a+b=　　　　 .
(3)已知i為虛數(shù)單位,則-=　　　　　.
[素養(yǎng)小結(jié)]
1.兩個(gè)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算的一般步驟
(1)首先將除式寫為分式;
(2)再將分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù);
(3)然后將分子、分母分別進(jìn)行乘法運(yùn)算,并將其化為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式.
2.常用公式
(1)=-i;(2)=i;(3)=-i.
◆ 探究點(diǎn)三　復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的方程根的問(wèn)題
例3 已知1+i是方程x2+bx+c=0的一個(gè)根(b,c為實(shí)數(shù)).
(1)求b,c的值;
(2)試判斷1-i是否為該方程的根.
變式 (1)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程x2-4x+5=0.
(2)已知關(guān)于x的方程x2-2x+c=0的一個(gè)虛根為1+2i(其中i為虛數(shù)單位),求實(shí)數(shù)c.
[素養(yǎng)小結(jié)]
解決實(shí)系數(shù)一元二次方程問(wèn)題的注意點(diǎn)
(1)解決實(shí)系數(shù)一元二次方程問(wèn)題的基本依據(jù)是復(fù)數(shù)相等的充要條件.
(2)與在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)對(duì)比,在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解決實(shí)系數(shù)一元二次方程問(wèn)題,根與系數(shù)的關(guān)系和求根公式仍然適用,但是用判別式判斷方程根的功能就發(fā)生改變了.
7.2.2　復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算
【課前預(yù)習(xí)】
知識(shí)點(diǎn)一
1.(ac-bd)+(ad+bc)i　2.z2z1　z1(z2z3)　z1z2+z1z3
診斷分析
(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　[解析] (3)例如|i|2=1,而i2=-1.
(4)取z1=0,z2=i,z3=-i,顯然有z1z2=z1z3=0,但z2=z3不成立.
知識(shí)點(diǎn)二
　
診斷分析
1.2-i　[解析] ===2-i.
2.解:實(shí)數(shù)的除法可以直接約分化簡(jiǎn)得出結(jié)果,但復(fù)數(shù)的除法中分母為復(fù)數(shù),一般不能直接約分化簡(jiǎn).因?yàn)閮蓚€(gè)共軛復(fù)數(shù)的積是一個(gè)實(shí)數(shù),所以兩個(gè)復(fù)數(shù)相除時(shí),可以先把它們的商寫成分式的形式,然后把分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)(注意是分母的共軛復(fù)數(shù)),再把結(jié)果化簡(jiǎn)即可.
【課中探究】
探究點(diǎn)一
例1　解:(1)(1+2i)2=1+4i+4i2=-3+4i.
(2)(3+4i)(3-4i)=32-(4i)2=9-(-16)=25.
(3)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i)=(4-i)(6-2i)+(7-i)(4-3i)=22-14i+(25-25i)=47-39i.
變式　(1)B　(2)D　(3)2　[解析] (1)(1-i)(1+i)=(1-i)(1+i)·=(1-i2)=2=-1+i,故選B.
(2)因?yàn)閍-i與2+bi互為共軛復(fù)數(shù),所以a=2,b=1,所以(a+bi)2=(2+i)2=3+4i.故選D.
(3)因?yàn)閕=i,i2=-1,i3=-i,i4=1,且i+i2+i3+i4=0,所以z=i+i2+i3+…+i10=i+i2+i3+i4+i4(i+i2+i3+i4)+i8·i+i8·i2=i+i2=-1+i,則=-1-i,所以z·=(-1+i)·(-1-i)=2.
探究點(diǎn)二
例2　解:(1)+(--i)3+=-i++=-i-8i+i=-8i.
(2)=====-2-2i.
變式　(1)B　 (2)　(3)-1+i　[解析] (1)由題意,復(fù)數(shù)z====-+i,所以在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,位于第二象限.故選B.
(2)∵z=4+i,∴=====a+bi,∴a=,b=,∴a+b=.
(3)-=-=-i1012=-1+i.
探究點(diǎn)三
例3　解:(1)由題知(1+i)2+b(1+i)+c=0,即(b+c)+(2+b)i=0,所以解得
(2)由(1)知,原方程為x2-2x+2=0,因?yàn)?1-i)2-2(1-i)+2=0,所以1-i是該方程的根.
變式　解:(1)由x2-4x+5=0,得(x-2)2=-1,故x-2=±i,解得x1=2+i,x2=2-i.
(2)依題意,關(guān)于x的方程x2-2x+c=0的根為1±2i,
由根與系數(shù)的關(guān)系得c=(1+2i)(1-2i)=12-(2i)2=5.

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