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(共31張PPT)
微專題1　構造法求數列的通項公式
第四章　數列
類型1　an＋1＝pan＋q型
【例1】　已知數列{an}滿足2an＋1＝an＋1(n∈N*)且a1＝3，則a8＝________．
　[由2an＋1＝an＋1，得2(an＋1－1)＝an－1，故數列{an－1}是首項為2，公比為的等比數列，故an－1＝2×，故an＝＋1，故a8＝＋1＝．
[母題探究]　若將本例中的條件“2an＋1＝an＋1”改為“2an＋1＝an＋”，其他條件不變，求數列{an}的通項公式．
[解]　由2an＋1＝an＋，得2n+1an＋1＝2nan＋1，所以2n+1an＋1－2nan＝1，故數列{2nan}是以21a1＝6為首項，1為公差的等差數列，所以2nan＝6＋(n－1)×1＝n＋5，所以an＝．
反思領悟　形如an＋1＝pan＋q型(p≠0，a1＝a)的數列{an}的通項公式的求法
(1)若p＝1，則數列{an}為等差數列．
(2)若q＝0，則數列{an}為等比數列．
(3)若p≠1且q≠0，則數列{an}為線性遞推數列，其通項可通過待定系數法構造等比數列來求．
方法如下：設an＋1＋λ＝p(an＋λ)，得an＋1＝pan＋(p－1)λ，
與題設an＋1＝pan＋q比較系數得λ＝(p≠1)，
所以an＋＝p(n≥2)，
即構成以a1＋為首項，p為公比的等比數列．
[學以致用]　1．在數列{an}中，a1＝5，an＋1＝3an－4，求數列{an}的通項公式．
[解]　由an＋1＝3an－4，可得an＋1－2＝3(an－2)，所以＝3．
又a1＝5，所以{an－2}是以a1－2＝3為首項，3為公比的等比數列，所以an－2＝3n，所以an＝3n＋2．
類型2　an＋1＝pan＋qn型
【例2】　在數列{an}中，a1＝，且an＋1＝－2an＋3n+1，則{an}的通項公式an＝____________________________．
－×(－2)n-1＋×3n+1
－×(－2)n-1＋×3n+1　[由an＋1＝－2an＋3n+1，得＝－·＋1．令bn＝，則bn＋1＝－bn＋1．
顯然有bn＋1－＝－，b1－＝－，故是以－為首項，－為公比的等比數列．因此bn－＝－，可得an＝－×(－2)n-1＋×3n+1．]
反思領悟　形如an＋1＝pan＋qn型(p≠0，1，q≠0)的數列{an}的通項公式的求解方法是等式兩邊同時除以qn+1，即得＝·．當p＝q時，數列為等差數列；當p≠q時，原式可以變形為＋λ＝的形式，則數列為等比數列，進而寫出{an}的通項公式．
[學以致用]　2．在數列{an}中，a1＝－1，an＋1＝2an＋4×3n-1，求數列{an}的通項公式．
[解]　將an＋1＝2an＋4×3n-1的兩邊同除以3n+1，得＝·，
令bn＝，則bn＋1＝bn＋．
bn＋1－＝，b1－＝－，
∴是以－為首項，為公比的等比數列．
∴bn－＝，則bn＝，∴an＝3n×bn＝4×3n-1－5×2n-1．
類型3　
【例3】　已知數列{an}滿足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，則數列{anan＋1}的前10項和S10＝(　　)
A．　　 B．　　 C．　　 D．
an＋1＝型
√
C　[因為an＋1＝(n∈N*)，所以＝＝＋3，即＝3，所以數列是以1為首項，3為公差的等差數列，所以＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以an＝，所以anan＋1＝＝，所以S10＝＝＝．故選C．]
反思領悟　形如an＋1＝型(p，q，r為常數，p＞0，q，r，an≠0)的數列{an}的通項公式的求法
等式兩邊同時取倒數，變形構造出線性遞推式＝A＋B(A，B是常數)，進而求解．
[學以致用]　3．若數列{an}滿足an＝(n≥2，n∈N*)，且a1＝，則an＝(　　)
A．　　 B．
C．　　 D．
√
A　[當n≥2且n∈N*時，等式an＝兩邊取倒數得＝＝＋2，∴＝2，且＝2，∴數列是首項為2，公差為2的等差數列，
因此，＝2＋2(n－1)＝2n，∴an＝．故選A．]
題號
一、選擇題
1．已知數列{an}中，a1＝1，an＋1＝4an－6，則a2 025＝(　　)
A．－42 025＋2　　 B．－42 025－2
C．－42 024＋2　　 D．－42 024－2
微專題強化練(一)　構造法求數列的通項公式
1
3
5
2
4
6
8
7
9
√
題號
1
3
5
2
4
6
8
7
9
C　[由an＋1＝4an－6，可得an＋1－2＝4(an－2)，而a1－2＝－1，因此數列{an－2}是首項為－1，公比為4的等比數列，則an－2＝－1×4n-1，即an＝－4n-1＋2，所以a2 025＝－42 024＋2．故選C．]
題號
2
1
3
4
5
6
8
7
9
2．數列{an}滿足an＋1＝2an＋3，n∈N*，若a2 025≥a1，則a1的取值范圍為(　　)
A．(－∞，－3]　　 B．(－∞，－3)
C．(－3，＋∞)　　 D．[－3，＋∞)
√
題號
2
1
3
4
5
6
8
7
9
D　[由an＋1＝2an＋3可得an＋1＋3＝2(an＋3)，
當a1≠－3時，＝2，
所以數列{an＋3}是首項為a1＋3，
公比為2的等比數列，
所以an＋3＝(a1＋3)×2n-1，所以an＝(a1＋3)×2n-1－3，
所以a2 025＝(a1＋3)×22 024－3≥a1，
所以(a1＋3)×22 024≥a1＋3，所以a1＋3≥0，所以a1＞－3，又當a1＝－3時，an＝－3，滿足題意，所以a1≥－3．]
題號
3
2
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7
9
1
3．已知數列{an}滿足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．若bn＝log2，則數列{bn}的通項公式bn等于(　　)
A．n　　B．n－1　　C．n　　D．2n
√
題號
3
2
4
5
6
8
7
9
1
C　[由an＋1＝，得＝1＋，
所以＋1＝2，
又＋1＝2，所以數列是首項為2，公比為2的等比數列，
所以＋1＝2×2n-1＝2n，
所以bn＝log2＝log22n＝n．故選C．]
題號
4
2
3
5
6
8
7
9
1
4．已知在數列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋，則數列{an}的通項公式an等于(　　)
A．　　 B．
C．　　 D．
√
題號
4
2
3
5
6
8
7
9
1
A　[因為a1＝，an＋1＝an＋，所以2n+1an＋1＝×2nan＋1，整理得2n+1an＋1－3＝(2nan－3)，所以數列{2nan－3}是以2a1－3＝－為首項，為公比的等比數列，所以2nan－3＝－，解得an＝．故選A．]
題號
2
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3
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7
9
1
5．已知數列{an}的前n項和為Sn，且a1＝2，Sn＋1＝4an＋2，則a12等于(　　)
A．20 480　　 B．49 152
C．60 152　　 D．89 150
√
題號
2
4
5
3
6
8
7
9
1
B　[由題意得S2＝4a1＋2，所以a1＋a2＝4a1＋2，解得a2＝8，故a2－2a1＝4，又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1－4an，所以an＋2－2an＋1＝2(an＋1
－2an)，因此數列{an＋1－2an}是以a2－2a1＝4為首項，2為公比的等比數列，即an＋1－2an＝4×2n-1＝2n+1，所以＝1，因此數列是以1為首項，1為公差的等差數列，所以＝1＋(n－1)×1＝n，即an＝n·2n，所以a12＝12×212＝49 152．故選B．]
題號
2
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3
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7
9
1
二、填空題
6．已知數列{an}的前n項和為Sn，若2Sn＝3an－2n(n∈N*)，則數列{an}的通項公式為_____________．
an＝3n－1　[令n＝1，得2a1＝3a1－2，解得a1＝2；
當n≥2時，由2Sn＝3an－2n(n∈N*)，得2Sn－1＝3an－1－2(n－1)，
兩式相減得2an＝3an－3an－1－2，
即an＝3an－1＋2，整理得＝3，
所以數列{an＋1}是首項為a1＋1＝3，公比為3的等比數列，
所以an＋1＝3n，所以an＝3n－1．]
an＝3n－1
題號
2
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1
7．已知在數列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋2n，則數列{an}的通項公式為____________．
an＝3n－2n　[∵an＋1＝3an＋2n，兩邊同時除以2n+1，得＝·，令bn＝，則bn＋1＝bn＋，∴bn＋1＋1＝(bn＋1)，b1＋1＝＋1＝，則數列{bn＋1}是首項為，公比為的等比數列．
∴bn＋1＝，即＋1＝，則an＝3n－2n．]
an＝3n－2n
題號
2
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7
9
1
8．在正項數列{an}中，a1＝1，a2＝10，＝(n＝3，4，5，…)，則{an}的通項公式為__________________．
an＝
題號
2
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3
8
6
7
9
1
an＝　[對＝兩邊同時取常用對數可得lg an－lg an－1＝
(lg an－1－lg an－2)．令bn＝lg an＋1－lg an，則b1＝lg a2－lg a1＝1，bn－1＝bn－2(n＝3，4，5，…)，所以bn＝(n＝1，2，3，…)，所以lg an＋1－lg an＝，故＝．
由累乘法可得當n≥2時，＝10×××…× =，所以an＝，又a1＝1也符合此式，所以an＝．]
題號
9
2
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6
7
1
三、解答題
9．已知數列{an}滿足a1＝，an＋1＝3an－4n＋2(n∈N*)．
(1)求a2，a3的值；
(2)證明數列{an－2n}是等比數列，并求出數列{an}的通項公式．
[解]　(1)由已知得a2＝3a1－4＋2＝3×－4＋2＝5，
a3＝3a2－4×2＋2＝3×5－8＋2＝9．
題號
9
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3
8
6
7
1
(2)證明：∵an＋1＝3an－4n＋2，
即an＋1－2(n＋1)＝3(an－2n)．
由(1)知a1－2＝－2＝，
∴an－2n≠0，n∈N*．
∴＝3，
∴數列{an－2n}是首項為，公比為3的等比數列．
∴an－2n＝×3n-1＝3n-2，
∴an＝3n-2＋2n．
THANKS微專題1　構造法求數列的通項公式
類型1　an＋1＝pan＋q型
【例1】　已知數列{an}滿足2an＋1＝an＋1(n∈N*)且a1＝3，則a8＝________．
　[由2an＋1＝an＋1，得2(an＋1－1)＝an－1，故數列{an－1}是首項為2，公比為的等比數列，故an－1＝2×，故an＝＋1，故a8＝＋1＝．
[母題探究]　若將本例中的條件“2an＋1＝an＋1”改為“2an＋1＝an＋”，其他條件不變，求數列{an}的通項公式．
[解]　由2an＋1＝an＋，得2n+1an＋1＝2nan＋1，所以2n+1an＋1－2nan＝1，故數列{2nan}是以21a1＝6為首項，1為公差的等差數列，所以2nan＝6＋(n－1)×1＝n＋5，所以an＝．
　形如an＋1＝pan＋q型(p≠0，a1＝a)的數列{an}的通項公式的求法
(1)若p＝1，則數列{an}為等差數列．
(2)若q＝0，則數列{an}為等比數列．
(3)若p≠1且q≠0，則數列{an}為線性遞推數列，其通項可通過待定系數法構造等比數列來求．
方法如下：設an＋1＋λ＝p(an＋λ)，得an＋1＝pan＋(p－1)λ，
與題設an＋1＝pan＋q比較系數得λ＝(p≠1)，
所以an＋＝p(n≥2)，
即構成以a1＋為首項，p為公比的等比數列．
[學以致用]　1．在數列{an}中，a1＝5，an＋1＝3an－4，求數列{an}的通項公式．
[解]　由an＋1＝3an－4，可得an＋1－2＝3(an－2)，所以＝3．
又a1＝5，所以{an－2}是以a1－2＝3為首項，3為公比的等比數列，所以an－2＝3n，所以an＝3n＋2．
類型2　an＋1＝pan＋qn型
【例2】　在數列{an}中，a1＝，且an＋1＝－2an＋3n+1，則{an}的通項公式an＝________．
－×(－2)n-1＋×3n+1　[由an＋1＝－2an＋3n+1，得＝－·＋1．令bn＝，則bn＋1＝－bn＋1．
顯然有bn＋1－＝－，b1－＝－，故是以－為首項，－為公比的等比數列．因此bn－＝－，可得an＝－×(－2)n-1＋×3n+1．]
　形如an＋1＝pan＋qn型(p≠0，1，q≠0)的數列{an}的通項公式的求解方法是等式兩邊同時除以qn+1，即得＝·．當p＝q時，數列為等差數列；當p≠q時，原式可以變形為＋λ＝的形式，則數列為等比數列，進而寫出{an}的通項公式．
[學以致用]　2．在數列{an}中，a1＝－1，an＋1＝2an＋4×3n-1，求數列{an}的通項公式．
[解]　將an＋1＝2an＋4×3n-1的兩邊同除以3n+1，得＝·，
令bn＝，則bn＋1＝bn＋．
bn＋1－＝，b1－＝－，
∴是以－為首項，為公比的等比數列．
∴bn－＝，則bn＝，∴an＝3n×bn＝4×3n-1－5×2n-1．
類型3　an＋1＝型
【例3】　已知數列{an}滿足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，則數列{anan＋1}的前10項和S10＝(　　)
A．　　 B．　　 C．　　 D．
C　[因為an＋1＝(n∈N*)，所以＝＝＋3，即＝3，所以數列是以1為首項，3為公差的等差數列，所以＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以an＝，所以anan＋1＝＝，所以S10＝＝＝．故選C．]
　形如an＋1＝型(p，q，r為常數，p＞0，q，r，an≠0)的數列{an}的通項公式的求法
等式兩邊同時取倒數，變形構造出線性遞推式＝A＋B(A，B是常數)，進而求解．
[學以致用]　3．若數列{an}滿足an＝(n≥2，n∈N*)，且a1＝，則an＝(　　)
A． B．
C． D．
A　[當n≥2且n∈N*時，等式an＝兩邊取倒數得＝＝＋2，∴＝2，且＝2，∴數列是首項為2，公差為2的等差數列，
因此，＝2＋2(n－1)＝2n，∴an＝．
故選A．]
微專題強化練(一)　構造法求數列的通項公式
一、選擇題
1．已知數列{an}中，a1＝1，an＋1＝4an－6，則a2 025＝(　　)
A．－42 025＋2 B．－42 025－2
C．－42 024＋2 D．－42 024－2
C　[由an＋1＝4an－6，可得an＋1－2＝4(an－2)，而a1－2＝－1，因此數列{an－2}是首項為－1，公比為4的等比數列，則an－2＝－1×4n-1，即an＝－4n-1＋2，所以a2 025＝－42 024＋2．故選C．]
2．數列{an}滿足an＋1＝2an＋3，n∈N*，若a2 025≥a1，則a1的取值范圍為(　　)
A．(－∞，－3] B．(－∞，－3)
C．(－3，＋∞) D．[－3，＋∞)
D　[由an＋1＝2an＋3可得an＋1＋3＝2(an＋3)，
當a1≠－3時，＝2，
所以數列{an＋3}是首項為a1＋3，
公比為2的等比數列，
所以an＋3＝(a1＋3)×2n-1，
所以an＝(a1＋3)×2n-1－3，
所以a2 025＝(a1＋3)×22 024－3≥a1，
所以(a1＋3)×22 024≥a1＋3，所以a1＋3≥0，所以a1＞－3，又當a1＝－3時，an＝－3，滿足題意，所以a1≥－3．]
3．已知數列{an}滿足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．若bn＝log2，則數列{bn}的通項公式bn等于(　　)
A．n B．n－1 C．n D．2n
C　[由an＋1＝，得＝1＋，
所以＋1＝2，
又＋1＝2，所以數列是首項為2，公比為2的等比數列，
所以＋1＝2×2n-1＝2n，
所以bn＝log2＝log22n＝n．
故選C．]
4．已知在數列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋，則數列{an}的通項公式an等于(　　)
A． B．
C． D．
A　[因為a1＝，an＋1＝an＋，所以2n+1an＋1＝×2nan＋1，整理得2n+1an＋1－3＝(2nan－3)，所以數列{2nan－3}是以2a1－3＝－為首項，為公比的等比數列，所以2nan－3＝－，解得an＝．故選A．]
5．已知數列{an}的前n項和為Sn，且a1＝2，Sn＋1＝4an＋2，則a12等于(　　)
A．20 480 B．49 152
C．60 152 D．89 150
B　[由題意得S2＝4a1＋2，所以a1＋a2＝4a1＋2，解得a2＝8，故a2－2a1＝4，又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1－4an，所以an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，因此數列{an＋1－2an}是以a2－2a1＝4為首項，2為公比的等比數列，即an＋1－2an＝4×2n-1＝2n+1，所以＝1，因此數列是以1為首項，1為公差的等差數列，所以＝1＋(n－1)×1＝n，即an＝n·2n，所以a12＝12×212＝49 152．故選B．]
二、填空題
6．已知數列{an}的前n項和為Sn，若2Sn＝3an－2n(n∈N*)，則數列{an}的通項公式為________．
an＝3n－1　[令n＝1，得2a1＝3a1－2，解得a1＝2；
當n≥2時，由2Sn＝3an－2n(n∈N*)，
得2Sn－1＝3an－1－2(n－1)，
兩式相減得2an＝3an－3an－1－2，
即an＝3an－1＋2，
整理得＝3，
所以數列{an＋1}是首項為a1＋1＝3，公比為3的等比數列，
所以an＋1＝3n，所以an＝3n－1．]
7．已知在數列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋2n，則數列{an}的通項公式為________．
an＝3n－2n　[∵an＋1＝3an＋2n，兩邊同時除以2n+1，得＝·，令bn＝，則bn＋1＝bn＋，∴bn＋1＋1＝(bn＋1)，b1＋1＝＋1＝，則數列{bn＋1}是首項為，公比為的等比數列．
∴bn＋1＝，即＋1＝，則an＝3n－2n．]
8．在正項數列{an}中，a1＝1，a2＝10，＝(n＝3，4，5，…)，則{an}的通項公式為________．
an＝　[對＝兩邊同時取常用對數可得lg an－lg an－1＝(lg an－1－lg an－2)．令bn＝lg an＋1－lg an，則b1＝lg a2－lg a1＝1，bn－1＝bn－2(n＝3，4，5，…)，所以bn＝(n＝1，2，3，…)，所以lg an＋1－lg an＝，故＝．
由累乘法可得當n≥2時，＝10×××…× =，所以an＝，又a1＝1也符合此式，所以an＝．]
三、解答題
9．已知數列{an}滿足a1＝，an＋1＝3an－4n＋2(n∈N*)．
(1)求a2，a3的值；
(2)證明數列{an－2n}是等比數列，并求出數列{an}的通項公式．
[解]　(1)由已知得a2＝3a1－4＋2＝3×－4＋2＝5，
a3＝3a2－4×2＋2＝3×5－8＋2＝9．
(2)證明：∵an＋1＝3an－4n＋2，
即an＋1－2(n＋1)＝3(an－2n)．
由(1)知a1－2＝－2＝，
∴an－2n≠0，n∈N*．
∴＝3，
∴數列{an－2n}是首項為，公比為3的等比數列．
∴an－2n＝×3n-1＝3n-2，
∴an＝3n-2＋2n．
6/6微專題1　構造法求數列的通項公式
類型1　an＋1＝pan＋q型
【例1】　已知數列{an}滿足2an＋1＝an＋1(n∈N*)且a1＝3，則a8＝________．
[嘗試解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]　若將本例中的條件“2an＋1＝an＋1”改為“2an＋1＝an＋”，其他條件不變，求數列{an}的通項公式．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　形如an＋1＝pan＋q型(p≠0，a1＝a)的數列{an}的通項公式的求法
(1)若p＝1，則數列{an}為等差數列．
(2)若q＝0，則數列{an}為等比數列．
(3)若p≠1且q≠0，則數列{an}為線性遞推數列，其通項可通過待定系數法構造等比數列來求．
方法如下：設an＋1＋λ＝p(an＋λ)，得an＋1＝pan＋(p－1)λ，
與題設an＋1＝pan＋q比較系數得λ＝(p≠1)，
所以an＋＝p(n≥2)，
即構成以a1＋為首項，p為公比的等比數列．
[學以致用]　1．在數列{an}中，a1＝5，an＋1＝3an－4，求數列{an}的通項公式．
[嘗試解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　an＋1＝pan＋qn型
【例2】　在數列{an}中，a1＝，且an＋1＝－2an＋3n+1，則{an}的通項公式an＝________．
[嘗試解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　形如an＋1＝pan＋qn型(p≠0，1，q≠0)的數列{an}的通項公式的求解方法是等式兩邊同時除以qn+1，即得＝·．當p＝q時，數列為等差數列；當p≠q時，原式可以變形為＋λ＝的形式，則數列為等比數列，進而寫出{an}的通項公式．
[學以致用]　2．在數列{an}中，a1＝－1，an＋1＝2an＋4×3n-1，求數列{an}的通項公式．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　an＋1＝型
【例3】　已知數列{an}滿足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，則數列{anan＋1}的前10項和S10＝(　　)
A．　　 B．　　 C．　　 D．
[嘗試解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　形如an＋1＝型(p，q，r為常數，p＞0，q，r，an≠0)的數列{an}的通項公式的求法
等式兩邊同時取倒數，變形構造出線性遞推式＝A＋B(A，B是常數)，進而求解．
[學以致用]　3．若數列{an}滿足an＝(n≥2，n∈N*)，且a1＝，則an＝(　　)
A． B．
C． D．
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