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(共33張PPT)
微專題4　導數中的函數構造問題
第五章　一元函數的導數及其應用
在考試中經常見到一類試題，不給出解析式，而是給出函數
f (x)及其導數滿足的條件，需要據此條件構造抽象函數，再根據條件得出構造函數的單調性，需應用單調性解決問題的這類題目具有一定的難度，下面總結其基本類型的處理方法．
類型1　利用 f (x)與x構造
【例1】　已知y＝f (x)是定義在R上的偶函數，且當x>0時，不等式
xf ′(x)＋f (x)<0成立，若a＝30.3·f (30.3)，b＝logπ3·f (logπ3)，c＝log3·f ()，則a，b，c的大小關系是________．
c>b>a　[令g(x)＝xf (x)，則g′(x)＝xf ′(x)＋f (x)．由條件知，x>0時，g′(x)<0，即g(x)在(0，＋∞)上單調遞減．又f (x)為偶函數，則g(x)為奇函數，故g(x)在R上單調遞減．又log3b>a．]
c>b>a
反思領悟　f (x)與x構造常見的形式
(1)對于xf ′(x)＋f (x)＞0，構造h(x)＝xf (x)．
(2)對于xf ′(x)－f (x)＞0，構造h(x)＝．
(3)出現nf (x)＋xf ′(x)的形式，構造h(x)＝xnf (x)．
(4)出現xf ′(x)－nf (x)的形式，構造h(x)＝．
[學以致用]　1．f (x)是定義在(0，＋∞)上的非負可導函數，且滿足xf ′(x)－f (x)≤0，對任意正實數a，b，若a＜b，則必有(　　)
A．af (b)≤bf (a)　　　　 B．bf (a)≤af (b)
C．af (a)≤bf (b)　　 D．bf (b)≤af (a)
√
A　[設F(x)＝(x＞0)，
則F′(x)＝＝．
∵x＞0，xf ′(x)－f (x)≤0，
∴F′(x)≤0，故F(x)在(0，＋∞)上單調遞減或為常數函數，又0＜a＜b，∴F(a)≥F(b)，即，
∴bf (a)≥af (b)．故選A．]
類型2　利用 f (x)與ex構造函數
【例2】　已知函數f (x)的定義域為R，且對任意的x∈R，f ′(x)＋f (x)>0．則對任意正數a必有(　　)
A．f (a)>eaf (0)　　 B．f (a)C．f (a)<　　 D．f (a)>
D　[構造函數F(x)＝exf (x)，則F′(x)＝ex[f ′(x)＋f (x)]>0，故F(x)在R上單調遞增，又a>0，所以F(a)>F(0)，即eaf (a)>e0f (0)，所以f (a)>．故選D．]
√
反思領悟　f (x)與ex構造常見的形式
(1)對于f ′(x)＋f (x)＞0，構造h(x)＝exf (x)．
(2)對于f ′(x)－f (x)＞0，構造h(x)＝．
(3)出現f ′(x)＋nf (x)形式，構造h(x)＝enxf (x)．
(4)出現f ′(x)－nf (x)形式，構造h(x)＝．
[學以致用]　2．已知定義在R上的函數f (x)的導函數為f ′(x)，且滿足f ′(x)－f (x)＞0，則不等式e4·f (3x－4)＞e2xf (x)的解集為(　　)
A．(2，＋∞)　　 B．(e，＋∞)
C．(－∞，e)　　 D．(－∞，2)
√
A　[令g(x)＝，則g′(x)＝＞0，所以g(x)在R上單調遞增．
由e4f (3x－4)＞e2xf (x)，得＞，
即g(3x－4)＞g(x)，
又g(x)在R上單調遞增，所以3x－4＞x，解得x＞2，
即不等式e4f (3x－4)＞e2xf (x)的解集為(2，＋∞)．故選A．]
類型3　利用 f (x)與sin x，cos x構造
【例3】　(多選)函數f (x)的定義域為，f ′(x)是f (x)的導函數，且f ′(x)＜－tan x·f (x)恒成立，則(　　)
A．f ＞ B．＞f
C．f ＞ D．＞
√
√
CD　[依題意0＜x＜，由f ′(x)＜－tan x·f (x)，得f ′(x)＜－·f (x)，即sin x·f (x)＋cos x·f ′(x)＜0．
構造函數F(x)＝，則F′(x)＝＜0，
所以F(x)在上單調遞減，所以F＞F＞F，
即＞＞，即＞＞f ，
所以f ＞，＞．故選CD．]
反思領悟　f (x)與sin x，cos x構造常見的形式
(1)對于f ′(x)sin x＋f (x)cos x＞0，構造函數h(x)＝f (x)sin x；
(2)對于f ′(x)sin x－f (x)cos x＞0，構造函數h(x)＝；
(3)對于f ′(x)cos x－f (x)sin x＞0，構造函數h(x)＝f (x)cos x；
(4)對于f ′(x)cos x＋f (x)sin x＞0，構造函數h(x)＝
[學以致用]　3．已知函數y＝f (x)對于任意的x∈滿足
f ′(x)cos x＋f (x)sin x＞0，則下列不等式不成立的是(　　)
A．＜f
B．＜f
C．f (0)＜
D．f (0)＜2f
√
A　[構造F(x)＝，
則F′(x)＝，
∵f ′(x)cosx＋f (x)sin x＞0，則F′(x)＞0，
∴F(x)在上單調遞增．把各選項轉化后可知A不成立，B，C，D成立．]
題號
一、選擇題
1．已知f ′(x)是定義在R上的函數f (x)的導函數，且滿足xf ′(x)＋f (x)＞0對任意的x∈R都成立，則下列選項中一定正確的是(　　)
A．f (1)＞　　 B．＞f (2)
C．f (1)＜　　 D．＜f (2)
微專題強化練(四)　導數中的函數構造問題
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√
題號
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D　[令F(x)＝xf (x)，則F′(x)＝xf ′(x)＋f (x)＞0，故F(x)為R上的增函數，
所以F(2)＞F(1)，即2f (2)＞f (1)．
故選D．]
題號
2
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2．設定義在(0，＋∞)的函數f (x)的導函數為f ′(x)，且滿足xf ′(x)＋
3f (x)＞0，則關于x的不等式f (x－3)－f (3)＜0的解集為(　　)
A．(3，6)　　 B．(0，3)
C．(0，6)　　 D．(6，＋∞)
√
題號
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A　[令g(x)＝x3f (x)，
則g′(x)＝x2[3f (x)＋xf ′(x)]＞0，
所以g(x)在(0，＋∞)上單調遞增，
f (x－3)－f (3)＜0，
即(x－3)3f (x－3)－27f (3)＜0，
所以g(x－3)＜g(3)，
所以所以3＜x＜6．故選A．]
題號
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1
3．已知e為自然對數的底數，函數f (x)的導函數為f ′(x)，對任意x∈R，都有f ′(x)＜－f (x)成立，則(　　)
A．＞f (1)＞ef (2)　　 B．f (1)＞ef (2)＞
C．ef (2)＞f (1)＞　　 D．ef (2)＞＞f (1)
√
題號
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1
A　[由f ′(x)＜－f (x)得f ′(x)＋f (x)＜0．
令g(x)＝exf (x)，則g′(x)＝ex[f (x)＋f ′(x)]＜0，所以g(x)單調遞減，故g(0)＞g(1)＞g(2)，即e0f (0)＞e1f (1)＞e2f (2)，同除以e得＞f (1)＞ef (2)．故選A．]
題號
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1
4．已知f (x)為R上的可導函數，其導函數為f ′(x)，且對于任意的x∈R，均有f (x)＋f ′(x)＞0，則(　　)
A．e-2 025f (－2 025)＜f (0)，e2 025f (2 025)＞f (0)
B．e-2 025f (－2 025)＜f (0)，e2 025f (2 025)＜f (0)
C．e-2 025f (－2 025)＞f (0)，e2 025f (2 025)＞f (0)
D．e-2 025f (－2 025)＞f (0)，e2 025f (2 025)＜f (0)
√
題號
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1
A　[構造函數h(x)＝exf (x)，
則h′(x)＝exf (x)＋exf ′(x)＝ex[f (x)＋f ′(x)]＞0，所以函數h(x)在R上單調遞增，
故h(－2 025)＜h(0)，
即e-2 025f (－2 025)＜e0f (0)，
即e-2 025f (－2 025)＜f (0)．
同理，h(2 025)＞h(0)，
即e2 025f (2 025)＞f (0)．故選A．]
題號
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5．設函數f (x)的定義域為R，其導函數為f ′(x)，且滿足f (x)＞f ′(x)＋1，f (0)＝2 023，則不等式e－xf (x)＞e－x＋2 022(其中e為自然對數的底數)的解集是(　　)
A．(2 022，＋∞)　　 B．(－∞，2 023)
C．(0，2 022)　　 D．(－∞，0)
√
題號
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1
D　[設g(x)＝．
∵f (x)＞f ′(x)＋1，即f ′(x)－f (x)＋1＜0，
∴g′(x)＝＜0，
∴g(x)在R上單調遞減，又f (0)＝2 023，
∴不等式e－xf (x)＞e－x＋2 022 ＞2 022＝f (0)－1＝，
即g(x)＞g(0)，∴x＜0，
∴原不等式的解集為(－∞，0)．故選D．]
題號
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二、填空題
6．已知f (x)是定義在R上的奇函數，且f (2)＝0，若當x＞0時，xf ′(x)＋f (x)＞0，則不等式xf (x)＞0的解集是_______________________________．
(－∞，－2)∪(2，＋∞)　[由題意，設g(x)＝xf (x)，
則g′(x)＝xf ′(x)＋f (x)．
∵當x＞0時，xf ′(x)＋f (x)＞0，∴g(x)在(0，＋∞)上單調遞增．
∵f (x)是定義在R上的奇函數，∴g(x)是定義在R上的偶函數．
又f (2)＝0，則g(2)＝2f (2)＝0，∴不等式xf (x)＞0等價于g(x)＞0＝g(2)，
∴|x|＞2，解得x＜－2或x＞2．
∴不等式xf (x)＞0的解集是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．]
(－∞，－2)∪(2，＋∞)
題號
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7．已知函數f (x)及其導函數f ′(x)的定義域均為R，且f (x)＞f ′(x)，若
f (0)＝0，則不等式f (2x2－5x－7)＞0的解集為________．
　[由函數f (x)及其導函數f ′(x)的定義域均為R，且f (0)＝0，
令g(x)＝，可得g(0)＝0，
且g′(x)＝，
因為f (x)＞f ′(x)，所以g′(x)＜0，所以g(x)在R上單調遞減．
題號
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1
不等式f (2x2－5x－7)＞0，
即g(2x2－5x－7)＞g(0)，
所以2x2－5x－7＜0，解得－1＜x＜，
所以不等式f (2x2－5x－7)＞0的解集為．]
題號
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1
8．函數f (x)的定義域為，f ＝，其導函數是f ′(x)，且
f (x)·cos x＜f ′(x)·sin x恒成立，則不等式f (x)＞2sin x的解集為________．
題號
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　[∵f (x)cos x＜f ′(x)sin x，∴f ′(x)sin x－f (x)cos x＞0，
構造函數g(x)＝，則g′(x)＝，
當x∈時，g′(x)＞0，∴g(x)在上單調遞增，
∵＞2＝＝，即g(x)＞g，∴＜x＜，
故不等式的解集為．]
題號
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三、解答題
9．已知函數f (x)的定義域為(0，＋∞)，f ′(x)為f (x)的導函數，且滿足f (x)＜－xf ′(x)，求(x＋1)f (x＋1)＞(x2－1)f (x2－1)的解集．
題號
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[解]　構造函數y＝xf (x)，x∈(0，＋∞)，
則y′＝f (x)＋xf ′(x)＜0，
所以函數y＝xf (x)在(0，＋∞)上單調遞減．
因為(x＋1)f (x＋1)＞(x2－1)f (x2－1)，
所以x＋1＜x2－1，
且x2－1＞0，x＋1＞0，
解得x＞2，
所以所求不等式的解集是(2，＋∞)．
THANKS微專題4　導數中的函數構造問題
在考試中經常見到一類試題，不給出解析式，而是給出函數f (x)及其導數滿足的條件，需要據此條件構造抽象函數，再根據條件得出構造函數的單調性，需應用單調性解決問題的這類題目具有一定的難度，下面總結其基本類型的處理方法．
類型1　利用f (x)與x構造
【例1】　已知y＝f (x)是定義在R上的偶函數，且當x>0時，不等式xf ′(x)＋f (x)<0成立，若a＝30.3·f (30.3)，b＝logπ3·f (logπ3)，c＝log3·f ()，則a，b，c的大小關系是________．
　f (x)與x構造常見的形式
(1)對于xf ′(x)＋f (x)＞0，構造h(x)＝xf (x)．
(2)對于xf ′(x)－f (x)＞0，構造h(x)＝．
(3)出現nf (x)＋xf ′(x)的形式，構造h(x)＝xnf (x)．
(4)出現xf ′(x)－nf (x)的形式，構造h(x)＝．
[學以致用]　1．f (x)是定義在(0，＋∞)上的非負可導函數，且滿足xf ′(x)－f (x)≤0，對任意正實數a，b，若a＜b，則必有(　　)
A．af (b)≤bf (a)　　　　 B．bf (a)≤af (b)
C．af (a)≤bf (b) D．bf (b)≤af (a)
類型2　利用f (x)與ex構造函數
【例2】　已知函數f (x)的定義域為R，且對任意的x∈R，f ′(x)＋f (x)>0．則對任意正數a必有(　　)
A．f (a)>eaf (0) B．f (a)C．f (a)< D．f (a)>
　f (x)與ex構造常見的形式
(1)對于f ′(x)＋f (x)＞0，構造h(x)＝exf (x)．
(2)對于f ′(x)－f (x)＞0，構造h(x)＝．
(3)出現f ′(x)＋nf (x)形式，構造h(x)＝enxf (x)．
(4)出現f ′(x)－nf (x)形式，構造h(x)＝．
[學以致用]　2．已知定義在R上的函數f (x)的導函數為f ′(x)，且滿足f ′(x)－f (x)＞0，則不等式e4·f (3x－4)＞e2xf (x)的解集為(　　)
A．(2，＋∞) B．(e，＋∞)
C．(－∞，e) D．(－∞，2)
類型3　利用f (x)與sin x，cos x構造
【例3】　(多選)函數f (x)的定義域為，f ′(x)是f (x)的導函數，且f ′(x)＜－tan x·f (x)恒成立，則(　　)
A．f ＞
B．＞f
C．f ＞
D．＞
　f (x)與sin x，cos x構造常見的形式
(1)對于f ′(x)sin x＋f (x)cos x＞0，構造函數h(x)＝f (x)sin x；
(2)對于f ′(x)sin x－f (x)cos x＞0，構造函數h(x)＝；
(3)對于f ′(x)cos x－f (x)sin x＞0，構造函數h(x)＝f (x)cos x；
(4)對于f ′(x)cos x＋f (x)sin x＞0，構造函數h(x)＝．
[學以致用]　3．已知函數y＝f (x)對于任意的x∈滿足f ′(x)cos x＋f (x)sin x＞0，則下列不等式不成立的是(　　)
A．＜f
B．＜f
C．f (0)＜
D．f (0)＜2f
2/2微專題4　導數中的函數構造問題
在考試中經常見到一類試題，不給出解析式，而是給出函數f (x)及其導數滿足的條件，需要據此條件構造抽象函數，再根據條件得出構造函數的單調性，需應用單調性解決問題的這類題目具有一定的難度，下面總結其基本類型的處理方法．
類型1　利用f (x)與x構造
【例1】　已知y＝f (x)是定義在R上的偶函數，且當x>0時，不等式xf ′(x)＋f (x)<0成立，若a＝30.3·f (30.3)，b＝logπ3·f (logπ3)，c＝log3·f ()，則a，b，c的大小關系是________．
c>b>a　[令g(x)＝xf (x)，則g′(x)＝xf ′(x)＋f (x)．由條件知，x>0時，g′(x)<0，即g(x)在(0，＋∞)上單調遞減．又f (x)為偶函數，則g(x)為奇函數，故g(x)在R上單調遞減．又log3b>a．]
　f (x)與x構造常見的形式
(1)對于xf ′(x)＋f (x)＞0，構造h(x)＝xf (x)．
(2)對于xf ′(x)－f (x)＞0，構造h(x)＝．
(3)出現nf (x)＋xf ′(x)的形式，構造h(x)＝xnf (x)．
(4)出現xf ′(x)－nf (x)的形式，構造h(x)＝．
[學以致用]　1．f (x)是定義在(0，＋∞)上的非負可導函數，且滿足xf ′(x)－f (x)≤0，對任意正實數a，b，若a＜b，則必有(　　)
A．af (b)≤bf (a)　　　　 B．bf (a)≤af (b)
C．af (a)≤bf (b) D．bf (b)≤af (a)
A　[設F(x)＝(x＞0)，
則F′(x)＝＝．
∵x＞0，xf ′(x)－f (x)≤0，
∴F′(x)≤0，故F(x)在(0，＋∞)上單調遞減或為常數函數，又0＜a＜b，∴F(a)≥F(b)，即，
∴bf (a)≥af (b)．故選A．]
類型2　利用f (x)與ex構造函數
【例2】　已知函數f (x)的定義域為R，且對任意的x∈R，f ′(x)＋f (x)>0．則對任意正數a必有(　　)
A．f (a)>eaf (0) B．f (a)C．f (a)< D．f (a)>
D　[構造函數F(x)＝exf (x)，則F′(x)＝ex[f ′(x)＋f (x)]>0，故F(x)在R上單調遞增，又a>0，所以F(a)>F(0)，即eaf (a)>e0f (0)，所以f (a)>．故選D．]
　f (x)與ex構造常見的形式
(1)對于f ′(x)＋f (x)＞0，構造h(x)＝exf (x)．
(2)對于f ′(x)－f (x)＞0，構造h(x)＝．
(3)出現f ′(x)＋nf (x)形式，構造h(x)＝enxf (x)．
(4)出現f ′(x)－nf (x)形式，構造h(x)＝．
[學以致用]　2．已知定義在R上的函數f (x)的導函數為f ′(x)，且滿足f ′(x)－f (x)＞0，則不等式e4·f (3x－4)＞e2xf (x)的解集為(　　)
A．(2，＋∞) B．(e，＋∞)
C．(－∞，e) D．(－∞，2)
A　[令g(x)＝，則g′(x)＝＞0，所以g(x)在R上單調遞增．
由e4f (3x－4)＞e2xf (x)，得＞，
即g(3x－4)＞g(x)，
又g(x)在R上單調遞增，所以3x－4＞x，解得x＞2，
即不等式e4f (3x－4)＞e2xf (x)的解集為(2，＋∞)．故選A．]
類型3　利用f (x)與sin x，cos x構造
【例3】　(多選)函數f (x)的定義域為，f ′(x)是f (x)的導函數，且f ′(x)＜－tan x·f (x)恒成立，則(　　)
A．f ＞
B．＞f
C．f ＞
D．＞
CD　[依題意0＜x＜，由f ′(x)＜－tan x·f (x)，得f ′(x)＜－·f (x)，即sin x·f (x)＋cos x·f ′(x)＜0．
構造函數F(x)＝，則F′(x)＝＜0，
所以F(x)在上單調遞減，
所以F＞F＞F，
即＞＞，
即＞＞f ，
所以f ＞，
＞．
故選CD．]
　f (x)與sin x，cos x構造常見的形式
(1)對于f ′(x)sin x＋f (x)cos x＞0，構造函數h(x)＝f (x)sin x；
(2)對于f ′(x)sin x－f (x)cos x＞0，構造函數h(x)＝；
(3)對于f ′(x)cos x－f (x)sin x＞0，構造函數h(x)＝f (x)cos x；
(4)對于f ′(x)cos x＋f (x)sin x＞0，構造函數h(x)＝．
[學以致用]　3．已知函數y＝f (x)對于任意的x∈滿足f ′(x)cos x＋f (x)sin x＞0，則下列不等式不成立的是(　　)
A．＜f
B．＜f
C．f (0)＜
D．f (0)＜2f
A　[構造F(x)＝，
則F′(x)＝，
∵f ′(x)cosx＋f (x)sin x＞0，則F′(x)＞0，
∴F(x)在上單調遞增．把各選項轉化后可知A不成立，B，C，D成立．]
微專題強化練(四)　導數中的函數構造問題
一、選擇題
1．已知f ′(x)是定義在R上的函數f (x)的導函數，且滿足xf ′(x)＋f (x)＞0對任意的x∈R都成立，則下列選項中一定正確的是(　　)
A．f (1)＞ B．＞f (2)
C．f (1)＜ D．＜f (2)
D　[令F(x)＝xf (x)，則F′(x)＝xf ′(x)＋f (x)＞0，故F(x)為R上的增函數，
所以F(2)＞F(1)，即2f (2)＞f (1)．
故選D．]
2．設定義在(0，＋∞)的函數f (x)的導函數為f ′(x)，且滿足xf ′(x)＋3f (x)＞0，則關于x的不等式f (x－3)－f (3)＜0的解集為(　　)
A．(3，6) B．(0，3)
C．(0，6) D．(6，＋∞)
A　[令g(x)＝x3f (x)，
則g′(x)＝x2[3f (x)＋xf ′(x)]＞0，
所以g(x)在(0，＋∞)上單調遞增，
f (x－3)－f (3)＜0，
即(x－3)3f (x－3)－27f (3)＜0，
所以g(x－3)＜g(3)，
所以所以3＜x＜6．故選A．]
3．已知e為自然對數的底數，函數f (x)的導函數為f ′(x)，對任意x∈R，都有f ′(x)＜－f (x)成立，則(　　)
A．＞f (1)＞ef (2) B．f (1)＞ef (2)＞
C．ef (2)＞f (1)＞ D．ef (2)＞＞f (1)
A　[由f ′(x)＜－f (x)得f ′(x)＋f (x)＜0．
令g(x)＝exf (x)，則g′(x)＝ex[f (x)＋f ′(x)]＜0，所以g(x)單調遞減，故g(0)＞g(1)＞g(2)，即e0f (0)＞e1f (1)＞e2f (2)，同除以e得＞f (1)＞ef (2)．故選A．]
4．已知f (x)為R上的可導函數，其導函數為f ′(x)，且對于任意的x∈R，均有f (x)＋f ′(x)＞0，則(　　)
A．e-2 025f (－2 025)＜f (0)，e2 025f (2 025)＞f (0)
B．e-2 025f (－2 025)＜f (0)，e2 025f (2 025)＜f (0)
C．e-2 025f (－2 025)＞f (0)，e2 025f (2 025)＞f (0)
D．e-2 025f (－2 025)＞f (0)，e2 025f (2 025)＜f (0)
A　[構造函數h(x)＝exf (x)，
則h′(x)＝exf (x)＋exf ′(x)＝ex[f (x)＋f ′(x)]＞0，所以函數h(x)在R上單調遞增，
故h(－2 025)＜h(0)，
即e-2 025f (－2 025)＜e0f (0)，
即e-2 025f (－2 025)＜f (0)．
同理，h(2 025)＞h(0)，
即e2 025f (2 025)＞f (0)．故選A．]
5．設函數f (x)的定義域為R，其導函數為f ′(x)，且滿足f (x)＞f ′(x)＋1，f (0)＝2 023，則不等式e－xf (x)＞e－x＋2 022(其中e為自然對數的底數)的解集是(　　)
A．(2 022，＋∞) B．(－∞，2 023)
C．(0，2 022) D．(－∞，0)
D　[設g(x)＝．
∵f (x)＞f ′(x)＋1，即f ′(x)－f (x)＋1＜0，
∴g′(x)＝＜0，
∴g(x)在R上單調遞減，又f (0)＝2 023，
∴不等式e－xf (x)＞e－x＋2 022 ＞2 022＝f (0)－1＝，
即g(x)＞g(0)，∴x＜0，
∴原不等式的解集為(－∞，0)．故選D．]
二、填空題
6．已知f (x)是定義在R上的奇函數，且f (2)＝0，若當x＞0時，xf ′(x)＋f (x)＞0，則不等式xf (x)＞0的解集是________．
(－∞，－2)∪(2，＋∞)　[由題意，設g(x)＝xf (x)，
則g′(x)＝xf ′(x)＋f (x)．
∵當x＞0時，xf ′(x)＋f (x)＞0，
∴g(x)在(0，＋∞)上單調遞增．
∵f (x)是定義在R上的奇函數，
∴g(x)是定義在R上的偶函數．
又f (2)＝0，則g(2)＝2f (2)＝0，
∴不等式xf (x)＞0等價于g(x)＞0＝g(2)，
∴|x|＞2，解得x＜－2或x＞2．
∴不等式xf (x)＞0的解集是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．]
7．已知函數f (x)及其導函數f ′(x)的定義域均為R，且f (x)＞f ′(x)，若f (0)＝0，則不等式f (2x2－5x－7)＞0的解集為________．
　[由函數f (x)及其導函數f ′(x)的定義域均為R，且f (0)＝0，
令g(x)＝，可得g(0)＝0，
且g′(x)＝，
因為f (x)＞f ′(x)，所以g′(x)＜0，所以g(x)在R上單調遞減．
不等式f (2x2－5x－7)＞0，
即g(2x2－5x－7)＞g(0)，
所以2x2－5x－7＜0，解得－1＜x＜，
所以不等式f (2x2－5x－7)＞0的解集為．]
8．函數f (x)的定義域為，f ＝，其導函數是f ′(x)，且f (x)·cos x＜f ′(x)·sin x恒成立，則不等式f (x)＞2sin x的解集為________．
　[∵f (x)cos x＜f ′(x)sin x，
∴f ′(x)sin x－f (x)cos x＞0，
構造函數g(x)＝，
則g′(x)＝，
當x∈時，g′(x)＞0，
∴g(x)在上單調遞增，
∵＞2＝＝，
即g(x)＞g，∴＜x＜，
故不等式的解集為．]
三、解答題
9．已知函數f (x)的定義域為(0，＋∞)，f ′(x)為f (x)的導函數，且滿足f (x)＜－xf ′(x)，求(x＋1)f (x＋1)＞(x2－1)f (x2－1)的解集．
[解]　構造函數y＝xf (x)，x∈(0，＋∞)，
則y′＝f (x)＋xf ′(x)＜0，
所以函數y＝xf (x)在(0，＋∞)上單調遞減．
因為(x＋1)f (x＋1)＞(x2－1)f (x2－1)，
所以x＋1＜x2－1，
且x2－1＞0，x＋1＞0，
解得x＞2，
所以所求不等式的解集是(2，＋∞)．
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