資源簡介

4.4*　數學歸納法
[學習目標]　1．借助教材實例了解數學歸納法的原理．(數學抽象)
2．能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題．(邏輯推理)
3．能歸納猜想，利用數學歸納法證明與正整數有關的數學問題．(數學運算、邏輯推理)
[討論交流]
問題1．數學歸納法的原理是什么？
問題2．數學歸納法中的兩個步驟之間有什么關系？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認知，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　數學歸納法的理解
探究問題1　如果你從袋子里拿出5個小球，發現全部都是綠色的，能否判斷袋子里面的小球都是綠色的？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究問題2　在學校，我們經常會看到這樣一種現象：排成一排的自行車，如果一位同學不小心將第一輛自行車弄倒了，那么整排自行車就會倒下．試想要使整排自行車倒下，需要具備哪幾個條件？這種現象對你有何啟發？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
1．數學歸納法
一般地，證明一個與正整數n有關的命題，可按下列步驟進行：
(1)歸納奠基：證明當n＝n0(n0∈N*)時命題成立；
(2)歸納遞推：以“當n＝k(k∈N*，k≥n0)時命題成立”為條件，推出“當________時命題也成立”．
只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立，這種證明方法稱為數學歸納法．
2．數學歸納法的證明形式
記P(n)是一個關于正整數n的命題，可以把用數學歸納法證明的形式改寫如下：
條件：(1)P(n0)為真．(2)若P(k)(k∈N*，k≥n0)為真，則P(k＋1)也為真．
結論：P(n)為真．
3．數學歸納法的框圖表示
[學以致用]　1．(1)用數學歸納法證明“2n＞n2對于n≥n0的正整數n都成立”時，第一步證明中的初始值n0應取(　　)
A．2　　　B．3　　　C．4　　　D．5
(2)用數學歸納法證明1＋2＋22＋…＋2n-1＝2n－1(n∈N*)的過程如下：
①當n＝1時，左邊＝1，右邊＝21－1＝1，等式成立．
②假設當n＝k(k∈N*)時，等式成立，
即1＋2＋22＋…＋2k-1＝2k－1，
則當n＝k＋1時，1＋2＋22＋…＋2k-1＋2k＝＝2k+1－1，所以當n＝k＋1時等式也成立．由此可知對于任何n∈N*，等式都成立．
上述證明，錯誤的是________(填序號)．
探究2　用數學歸納法證明等式
[典例講評]　1．(源于湘教版教材)用數學歸納法證明：
12＋22＋32＋…＋n2＝(n∈N*)．
[嘗試解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　用數學歸納法證明恒等式時應關注的三點
(1)弄清n取第一個值n0時等式兩端項的情況．
(2)弄清從n＝k到n＝k＋1，等式兩端增加了哪些項，減少了哪些項．
(3)證明n＝k＋1時結論也成立，要設法將待證式與歸納假設建立聯系，并朝n＝k＋1證明目標的表達式變形．
[學以致用]　2．用數學歸納法證明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n-1＝2n(2n－3)＋3(n∈N*)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究3　用數學歸納法證明不等式
[典例講評]　2．用數學歸納法證明：1＋≤1＋＋…＋＋n(n∈N*)．
[思路引導]　按照數學歸納法的步驟證明，由n＝k到n＝k＋1的推證過程可應用放縮技巧，使問題簡單化．
[嘗試解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　用數學歸納法證明不等式的關鍵點
用數學歸納法證明不等式往往比證明恒等式難度更大一些，方法更靈活些，用數學歸納法證明的第二步，即已知f (k)＞g(k)，求證f (k＋1)＞g(k＋1)時應注意靈活運用證明不等式的一般方法(比較法、分析法、綜合法)．具體證明過程中要注意以下兩點：
(1)先湊假設，作等價變換．
(2)瞄準當n＝k＋1時的遞推目標，有目的地放縮、分析直到湊出結論．
[學以致用]　3．已知n∈N*，n＞2．
求證：1＋＋…＋＞．
[嘗試解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究4　歸納—猜想—證明
[典例講評]　3．數列{an}中，a1＝1，Sn為數列{an}的前n項和，且Sn，Sn＋1，2S1成等差數列．
(1)計算S1，S2，S3的值；
(2)根據以上計算結果猜測Sn的表達式，并用數學歸納法證明你的猜想．
[嘗試解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　“歸納—猜想—證明”的一般步驟
[學以致用]　4．已知數列{an}滿足a1＝－，an＝－(n≥2)．
(1)求a2，a3；
(2)猜想數列{an}的通項公式，并用數學歸納法給出證明．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．用數學歸納法證明1＋a＋a2＋…＋an+1＝(a≠1，n∈N*)，在驗證n＝1成立時，等式左邊計算所得的項是(　　)
A．1 B．1＋a
C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3
2．用數學歸納法證明12＋22＋…＋n2＋…＋22＋12＝n(2n2＋1)，第二步從n＝k到n＝k＋1，等式左邊應添加的項是(　　)
A．(k2＋1)2 B．k2＋1
C．(k＋1)2＋k2 D．(k＋1)2＋2k2
3．某個命題與自然數n有關，若n＝k(k∈N*)時命題成立，那么可推得當n＝k＋1時該命題也成立，現已知n＝5時，該命題不成立，那么可以推得(　　)
A．n＝6時該命題不成立
B．n＝6時該命題成立
C．n＝4時該命題不成立
D．n＝4時該命題成立
4．若f (n)＝1＋＋…＋(n∈N*)，用數學歸納法驗證關于f (n)的命題時，第一步計算f (1)＝________；第二步“從n＝k到n＝k＋1時”，f (k＋1)＝f (k)＋________．
1．知識鏈：(1)數學歸納法的概念．
(2)增加或減少項的個數問題．
(3)用數學歸納法證明等式、不等式．
(4)歸納—猜想—證明．
2．方法鏈：數學歸納法．
3．警示牌：(1)對n0取值時易出錯．
(2)增加或減少的項數易出錯．
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4.4*　數學歸納法
第四章　數列
整體感知
[學習目標]　1．借助教材實例了解數學歸納法的原理．(數學抽象)
2．能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題．(邏輯推理)
3．能歸納猜想，利用數學歸納法證明與正整數有關的數學問題．(數學運算、邏輯推理)
(教師用書)
中國過去有個習俗，子女從父親的姓氏，如父親姓王，其子女都姓王．假設我們知道一個男子姓王，假設他每一代后代都有男子，而且嚴格按照我國過去的習俗，那么他的兒子姓什么？孫子呢？玄孫呢？……如果他有32代孫，你能確定他的32代孫的姓嗎？如果他有無限代孫呢？
為了保證各代孫輩都姓王，必須嚴格按照中國過去的習俗，否則無法遞推下去，也就是說要保證第n代孫姓王能推出第n＋1代孫也姓王，當然要求第1個人必須姓王了．
思考：通過這個例子，你能得到什么啟示呢？
[討論交流]
問題1．數學歸納法的原理是什么？
問題2．數學歸納法中的兩個步驟之間有什么關系？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認知，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究建構
探究1　數學歸納法的理解
探究問題1　如果你從袋子里拿出5個小球，發現全部都是綠色的，能否判斷袋子里面的小球都是綠色的？
[提示]　不能．通過考察部分對象，得到一般的結論的方法，叫不完全歸納法．不完全歸納法得到的結論不一定正確．
探究問題2　在學校，我們經常會看到這樣一種現象：排成一排的自行車，如果一位同學不小心將第一輛自行車弄倒了，那么整排自行車就會倒下．試想要使整排自行車倒下，需要具備哪幾個條件？這種現象對你有何啟發？
[提示]　需要具備的條件：(1)第一輛自行車倒下；(2)任意相鄰的兩輛自行車，前一輛倒下一定導致后一輛倒下．這種現象使我們想到一些與正整數n有關的數學問題．
[新知生成]
1．數學歸納法
一般地，證明一個與正整數n有關的命題，可按下列步驟進行：
(1)歸納奠基：證明當n＝n0(n0∈N*)時命題成立；
(2)歸納遞推：以“當n＝k(k∈N*，k≥n0)時命題成立”為條件，推出“當________時命題也成立”．
只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立，這種證明方法稱為數學歸納法．
n＝k＋1
2．數學歸納法的證明形式
記P(n)是一個關于正整數n的命題，可以把用數學歸納法證明的形式改寫如下：
條件：(1)P(n0)為真．(2)若P(k)(k∈N*，k≥n0)為真，則P(k＋1)也為真．
結論：P(n)為真．
3．數學歸納法的框圖表示
n＝n0
n＝k(k≥n0)
n＝k＋1
從n0開始所有
的正整數n
【教用·微提醒】　初始值n0不一定是1，要結合具體的結論而定．
[學以致用]　1．(1)用數學歸納法證明“2n＞n2對于n≥n0的正整數n都成立”時，第一步證明中的初始值n0應取(　　)
A．2　　　B．3　　　C．4　　　D．5
(2)用數學歸納法證明1＋2＋22＋…＋2n-1＝2n－1(n∈N*)的過程如下：
①當n＝1時，左邊＝1，右邊＝21－1＝1，等式成立．
②假設當n＝k(k∈N*)時，等式成立，
即1＋2＋22＋…＋2k-1＝2k－1，
則當n＝k＋1時，1＋2＋22＋…＋2k-1＋2k＝＝2k+1－1，所以當n＝k＋1時等式也成立．由此可知對于任何n∈N*，等式都成立．
上述證明，錯誤的是________(填序號)．
√
②
(1)D　(2)②　[(1)顯然當n＝1時，21＞12，而當n＝2時，22＝22，A錯誤；
當n＝3時，23＜32，B錯誤；
當n＝4時，24＝42，C錯誤；
當n＝5時，25＞52，符合要求，D正確．
(2)本題在由n＝k成立證明n＝k＋1成立時，應用了等比數列的求和公式，而未用歸納假設，這與數學歸納法的要求不符．]
【鏈接·教材例題】
例2　用數學歸納法證明：
12＋22＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)(n∈N*)．①
分析：用數學歸納法證明時，第二步要證明的是一個以“當n＝k時，①式成立”為條件，得出“當n＝k＋1時，①式也成立”的命題，證明時必須用上上述條件．
探究2　用數學歸納法證明等式
[證明]　(1)當n＝1時，①式的左邊＝12＝1，
右邊＝×1×(1＋1)×(2×1＋1)＝＝1，
所以①式成立．
(2)假設當n＝k(k∈N*)時，①式成立，即
12＋22＋…＋k2＝k(k＋1)(2k＋1)，
在上式兩邊同時加上(k＋1)2，有12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2
＝k(k＋1)(2k＋1)＋(k＋1)2＝
＝＝
＝(k＋1)[(k＋1)＋1][2(k＋1)＋1]，
即當n＝k＋1時，①式也成立．
由(1)(2)可知，①式對任何n∈N*都成立．
[典例講評]　1．(源于湘教版教材)用數學歸納法證明：
12＋22＋32＋…＋n2＝(n∈N*)．
[證明]　(1)當n＝1時，左邊＝12＝1，右邊＝＝1，等式成立．
(2)假設當n＝k時，等式成立，即
12＋22＋32＋…＋k2＝，
那么，當n＝k＋1時，
12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2
＝＋(k＋1)2＝
＝＝
＝．
這表明，當n＝k＋1時，等式也成立．
由(1)和(2)可以斷定，等式對任何正整數n都成立．
反思領悟　用數學歸納法證明恒等式時應關注的三點
(1)弄清n取第一個值n0時等式兩端項的情況．
(2)弄清從n＝k到n＝k＋1，等式兩端增加了哪些項，減少了哪些項．
(3)證明n＝k＋1時結論也成立，要設法將待證式與歸納假設建立聯系，并朝n＝k＋1證明目標的表達式變形．
[學以致用]　2．用數學歸納法證明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n-1＝2n(2n－3)＋3(n∈N*)．
[證明]　(1)當n＝1時，左邊＝1，右邊＝2×(2－3)＋3＝1，左邊＝右邊，所以等式成立．
(2)假設當n＝k(k∈N*)時，等式成立，
即1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k-1＝2k(2k－3)＋3．
則當n＝k＋1時，1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k-1＋(2k＋1)×2k
＝2k(2k－3)＋3＋(2k＋1)×2k
＝2k(4k－2)＋3＝2k+1[2(k＋1)－3]＋3，
即當n＝k＋1時，等式也成立．
由(1)(2)知，等式對任何n∈N*都成立．
【鏈接·教材例題】
例4　設x為實數，且x＞－1，x≠0，n為大于1的正整數，記數列
x，x(1＋x)，x(1＋x)2，…，x(1＋x)n-1，…
的前n項和為Sn，試比較Sn與nx的大小，并用數學歸納法證明你的結論．
分析：該問題中涉及兩個字母，x是大于－1且不等于零的實數，n是大于1的正整數．一種思路是不求和，而直接通過n取特殊值比較Sn與nx的大小關系，并作出猜想；另一種思路是先由等比數列的求和公式求出Sn，再通過n取特殊值比較Sn與nx的大小關系后作出猜想．兩種做法都必須用數學歸納法證明得到的猜想．
探究3　用數學歸納法證明不等式
解法1：由已知可得
Sn＝x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋…＋x(1＋x)n-1．
當n＝2時，S2＝x＋x(1＋x)＝x2＋2x，由x≠0，知x2＞0，可得
S2＞2x；
當n＝3時，S3＝x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＝x2(x＋3)＋3x，由x＞－1且x≠0，知x2(x＋3)＞0，可得
S3＞3x．
由此，我們猜想，當x＞－1且x≠0，n∈N*且n＞1時，Sn＞nx．
下面用數學歸納法證明這個猜想．
(1)當n＝2時，由上述過程知，猜想成立．
(2)假設當n＝k(k∈N*，且k≥2)時，不等式成立，即Sk＞kx，
則Sk＋1＝Sk＋x(1＋x)k＞kx＋x(1＋x)k．
①當x＞0時，因為k＞1，所以(1＋x)k＞1，所以
x(1＋x)k＞x．
②當－1＜x＜0時，0＜1＋x＜1，且x2＞0．又因為k＞1，所以(1＋x)k＜1＋x，
可得x(1＋x)k＞x(1＋x)＝x＋x2＞x．
綜合①②可得，當x＞－1且x≠0時，
Sk＋1＞kx＋x(1＋x)k
＞kx＋x
＝(k＋1)x，
所以，當n＝k＋1時，猜想也成立．
由(1)(2)可知，不等式Sn＞nx對任何大于1的正整數n都成立．
解法2：因為x＞－1，x≠0，所以所給數列是等比數列，公比為1＋x，于是Sn＝x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋…＋x(1＋x)n-1
＝＝(1＋x)n－1．
當n＝2時，S2＝(1＋x)2－1＝x2＋2x，由x≠0，知x2＞0，可得
S2＞2x；
當n＝3時，S3＝(1＋x)3－1＝x2(x＋3)＋3x，由x＞－1，x≠0，得x2(x＋3)＞0，可得S3＞3x．
由此，我們猜想，當x＞－1且x≠0，n∈N*且n＞1時，Sn＞nx．
下面用數學歸納法證明．
(1)當n＝2時，由上述過程知，猜想成立．
(2)假設當n＝k(k∈N*，且k≥2)時，不等式Sk＞kx成立，即
(1＋x)k－1＞kx，
亦即(1＋x)k＞1＋kx．
由x＞－1，得x＋1＞0．
又因為k＞1，x≠0，所以kx2＞0．
于是
Sk＋1＝(1＋x)k+1－1
＝(1＋x)k(1＋x)－1＞(1＋kx)(1＋x)－1
＝kx2＋(k＋1)x＞(k＋1)x．
所以，當n＝k＋1時，猜想也成立．
由(1)(2)可知，不等式Sn＞nx對任何大于1的正整數n都成立．
[典例講評]　2．用數學歸納法證明：1＋≤1＋＋…＋＋n(n∈N*)．
[思路引導]　按照數學歸納法的步驟證明，由n＝k到n＝k＋1的推證過程可應用放縮技巧，使問題簡單化．
[證明]　(1)當n＝1時，
≤1＋，命題成立．
(2)假設當n＝k(k∈N*)時，命題成立，
即1＋ ≤ 1＋ ＋ ＋… ＋ ≤ ＋k，
則當n＝k＋1時，
1＋ ＋ ＋… ＋ ＋ ＋ ＋… ＋ >1＋ ＋2k· ＝1＋ ．
又1＋ ＋ ＋… ＋ ＋ ＋ ＋… ＋ < ＋k＋2k· ＝ ＋(k＋1)，
即當n＝k＋1時，命題成立．
由(1)和(2)可知，命題對所有的n∈N*都成立．
反思領悟　用數學歸納法證明不等式的關鍵點
用數學歸納法證明不等式往往比證明恒等式難度更大一些，方法更靈活些，用數學歸納法證明的第二步，即已知f (k)＞g(k)，求證f (k＋1)＞g(k＋1)時應注意靈活運用證明不等式的一般方法(比較法、分析法、綜合法)．具體證明過程中要注意以下兩點：
(1)先湊假設，作等價變換．
(2)瞄準當n＝k＋1時的遞推目標，有目的地放縮、分析直到湊出結論．
[學以致用]　3．已知n∈N*，n＞2．
求證：1＋＋…＋＞．
[證明]　(1)當n＝3時，左邊＝1＋，右邊＝＝2，左邊＞右邊，不等式成立．
(2)假設當n＝k(k∈N*，k≥3)時，不等式成立，
即1＋＋…＋＞．
當n＝k＋1時，1＋＋…＋＞＝＝．
因為＞＝＝，
所以1＋＋…＋＞，
所以當n＝k＋1時，不等式也成立．
由(1)(2)知對一切n∈N*，n＞2，不等式恒成立．
【鏈接·教材例題】
例3　已知數列{an}滿足a1＝0，2an＋1－anan＋1＝1(n∈N*)，試猜想數列{an}的通項公式，并用數學歸納法加以證明．
分析：先將數列{an}的遞推關系2an＋1－anan＋1＝1化為an＋1＝(n∈N*)，通過計算a2，a3，a4，a5的值，歸納共性并作出猜想，再應用數學歸納法證明猜想．
探究4　歸納—猜想—證明
[解]　由2an＋1－anan＋1＝1，可得
an＋1＝(n∈N*)．
由a1＝0，
可得a2＝＝．
同理可得
a3＝＝，a4＝＝，a5＝＝．
歸納上述結果，猜想an＝(n∈N*)． ①
下面用數學歸納法證明這個猜想．
(1)當n＝1時，①式左邊＝a1＝0，右邊＝＝0，猜想成立．
(2)假設當n＝k(k∈N*)時，①式成立，即ak＝，
那么ak＋1＝＝＝＝，
即當n＝k＋1時，猜想也成立．
由(1)(2)可知，猜想對任何n∈N*都成立．
[典例講評]　3．數列{an}中，a1＝1，Sn為數列{an}的前n項和，且Sn，Sn＋1，2S1成等差數列．
(1)計算S1，S2，S3的值；
(2)根據以上計算結果猜測Sn的表達式，并用數學歸納法證明你的猜想．
[解]　(1)S1＝a1＝1，由已知有2S2＝S1＋2S1，得S2＝，又2S3＝S2＋2S1，得S3＝．
(2)由(1)中結果猜測Sn＝．
用數學歸納法證明如下：
①當n＝1時，S1＝＝1，猜想成立．
②假設當n＝k時猜想成立，則有Sk＝，
當n＝k＋1時，因為2Sk＋1＝Sk＋2S1，
所以2Sk＋1＝＋2＝，
所以Sk＋1＝，
所以當n＝k＋1時猜想成立．
由①②可知，對任意正整數n，猜想都成立．
反思領悟　“歸納—猜想—證明”的一般步驟
[學以致用]　4．已知數列{an}滿足a1＝－，an＝－(n≥2)．
(1)求a2，a3；(2)猜想數列{an}的通項公式，并用數學歸納法給出證明．
[解]　(1)a2＝－，a3＝－．
(2)猜想數列{an}的通項公式an＝－，證明如下：
當n＝1時，a1＝－，猜想成立；
假設當n＝k時猜想成立，即ak＝－，
當n＝k＋1時，ak＋1＝－＝－＝－＝－，
所以當n＝k＋1時，an＝－成立，綜上可得an＝－．
【教用·備選題】　(源自北師大版教材)用數學歸納法證明：x2n－y2n能被x＋y整除(n∈N*)．
[證明]　(1)當n＝1時，x2－y2＝(x＋y)(x－y)．
故x2－y2能被x＋y整除，命題成立．
(2)假設當n＝k(k≥1)時，x2k－y2k能被x＋y整除．
那么，當n＝k＋1時，x2k+2－y2k+2＝x2x2k－y2y2k．*
把x2k＝(xk＋yk)(xk－yk)＋y2k，代入*得x2k+2－y2k+2＝x2(xk＋yk)·(xk－yk)＋x2y2k－y2y2k＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)，由假設知x2k－y2k能被x＋y整除，x2－y2能被x＋y整除，故x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除．
所以當n＝k＋1時，命題成立．
綜上，對于n∈N*，原命題成立．
1．用數學歸納法證明1＋a＋a2＋…＋an+1＝(a≠1，n∈N*)，在驗證n＝1成立時，等式左邊計算所得的項是(　　)
A．1　　 B．1＋a
C．1＋a＋a2　　 D．1＋a＋a2＋a3
2
4
3
題號
1
應用遷移
√
C　[當n＝1時，左邊＝1＋a＋a1+1＝1＋a＋a2．]
2
3
題號
1
4
2．用數學歸納法證明12＋22＋…＋n2＋…＋22＋12＝n(2n2＋1)，第二步從n＝k到n＝k＋1，等式左邊應添加的項是(　　)
A．(k2＋1)2　　 B．k2＋1
C．(k＋1)2＋k2　　 D．(k＋1)2＋2k2
√
C　[根據等式左邊的特點，各數是先遞增再遞減，當n＝k時，左邊＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，①
當n＝k＋1時，左邊＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，②
所以②－①得，等式左邊應添加的式子是(k＋1)2＋k2．]
2
3
題號
4
1
3．某個命題與自然數n有關，若n＝k(k∈N*)時命題成立，那么可推得當n＝k＋1時該命題也成立，現已知n＝5時，該命題不成立，那么可以推得(　　)
A．n＝6時該命題不成立 B．n＝6時該命題成立
C．n＝4時該命題不成立 D．n＝4時該命題成立
√
C　[假設n＝4時該命題成立，由題意可得n＝5時，該命題成立，而n＝5時，該命題不成立，所以n＝4時，該命題不成立．而n＝5時，該命題不成立，不能推得n＝6該命題是否成立．故選C．]
2
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3
題號
1
4．若f (n)＝1＋＋…＋(n∈N*)，用數學歸納法驗證關于
f (n)的命題時，第一步計算f (1)＝________；第二步“從n＝k到n＝k＋1時”，f (k＋1)＝f (k)＋_________________．
　[f (1)＝1＋＝；
假設當n＝k時，f (k)＝1＋＋…＋，
那么，當n＝k＋1時，f (k＋1)＝1＋＋…＋，
f (k＋1)＝f (k)＋．]
1．知識鏈：(1)數學歸納法的概念．
(2)增加或減少項的個數問題．
(3)用數學歸納法證明等式、不等式．
(4)歸納—猜想—證明．
2．方法鏈：數學歸納法．
3．警示牌：(1)對n0取值時易出錯．
(2)增加或減少的項數易出錯．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．數學歸納法步驟可概括為“三個成立，一個結”是什么意思？
[提示]　“三個成立”是指：①n＝n0時驗證命題成立，②n＝k，k≥n0時假設命題成立；③n＝k＋1時，應用歸納假設證明命題成立．
“一個結”就是結論：斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立．
2．你認為在應用數學歸納法時應注意哪幾點？
[提示]　(1)驗證是基礎：找準起點，奠基要穩，有些問題中驗證的初始值不一定為1．
(2)遞推是關鍵：正確分析由n＝k到n＝k＋1時，式子項數的變化是應用數學歸納法成功證明問題的保障．
(3)利用假設是核心：在第二步證明中一定要利用歸納假設，這是數學歸納法證明的核心環節，否則這樣的證明就不是數學歸納法證明．
一、選擇題
1．用數學歸納法證明1＋＋…＋＜n(n∈N*，n＞1)時，第一步應驗證不等式(　　)
A．1＋＜2　　 B．1＋＜2
C．1＋＜3　　 D．1＋＜3
課時分層作業(十一)　數學歸納法
題號
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√
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B　[由題意得，當n＝2時，不等式為1＋＜2，故選B．]
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2．用數學歸納法證明“5n－2n”“能被3整除”的第二步中n＝k＋1時，為了使用假設，應將5k+1－2k+1變形為(　　)
A．(5k－2k)＋4×5k－2k　　 B．5(5k－2k)＋3×2k
C．(5－2)(5k－2k)　　 D．5(5k－2k)－3×5k
√
14
15
B　[根據數學歸納法，當n＝k＋1時，
應將5k+1－2k+1變形為5(5k－2k)＋3×2k，
此時，5(5k－2k)和3×2k都可以被3整除．
故該變形是合理的．故選B．]
題號
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3．用數學歸納法證明＋…＋時，從n＝k到n＝k＋1，不等式左邊需添加的項是(　　)
A． B．
C． D．
√
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B　[不等式左邊需添加的項是＝．故選B．]
題號
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4．用數學歸納法證明2＋4＋6＋8＋…＋2n＝2n-1＋22n-2(n∈N*)的過程中，由n＝k遞推到n＝k＋1時，等式左邊增加的項數為(　　)
A．1　　B．2k-1　　C．2k　　D．2k＋1
√
14
15
B　[當n＝k時，等式左邊＝2＋4＋6＋8＋…＋2k，當n＝k＋1時，等式左邊＝2＋4＋6＋8＋…＋2k＋(2k＋2)＋(2k＋4)＋…＋(2k＋2k)，故由n＝k遞推到n＝k＋1時等式左邊增加的項為(2k＋2)＋(2k＋4)＋…＋(2k＋2k)，項數為2k-1．故選B．]
題號
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5．若命題A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)時成立，則有n＝k＋1時命題也成立．現知命題對n＝n0(n0∈N*)成立，則有(　　)
A．命題對所有正整數都成立
B．命題對小于n0的正整數不成立，對大于或等于n0的正整數都成立
C．命題對小于n0的正整數成立與否不能確定，對大于或等于n0的正整數都成立
D．以上說法都不正確
√
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C　[由已知得n＝n0(n0∈N*)時命題成立，則有n＝n0＋1時命題成立．在n＝n0＋1時命題成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1時命題也成立，依此類推，故選C．]
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二、填空題
6．已知n為正偶數，用數學歸納法證明1－＋…＋＝2時，若已知假設n＝k(k≥2)為偶數時，命題成立，則還需要用歸納假設再證____________________．
14
15
n＝k＋2時等式成立　[由于n為正偶數，已知假設n＝k(k≥2)為偶數，則下一個偶數為n＝k＋2．故答案為n＝k＋2時等式成立．]
n＝k＋2時等式成立
題號
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7．用數學歸納法證明＋…＋＞．假設n＝
k時，不等式成立，則當n＝k＋1時，應推證的目標不等式是
_______________________________________________．
14
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＋…＋＞　[觀察不等式中各項的分母變化知，當n＝k＋1時，＋…＋＞．]
＋…＋＞
題號
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8．已知f (n)＝1＋＋…＋(n∈N*)，用數學歸納法證明f (2n)>時，f (2k+1)－f (2k)＝_________________________．　
14
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＋…＋　[假設n＝k時，f (2k)＝1＋＋…＋，當n＝k＋1時，
f (2k+1)＝1＋＋…＋＋…＋，
所以f (2k+1)－f (2k)＝1＋＋…＋＋…＋－(1＋＋…＋)
＝＋…＋．]
＋…＋
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三、解答題
9．證明：＋…＋＝1－(n∈N*)．
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[證明]　(1)當n＝1時，左邊＝，
右邊＝1－＝，等式成立．
題號
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1
(2)假設當n＝k(k≥1，k∈N*)時，等式成立，即＋…＋＝1－，
那么當n＝k＋1時，
左邊＝＋…＋＝1－＝1－．
所以當n＝k＋1時，等式也成立．
根據(1)和(2)，可知等式對任意n∈N*都成立．
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10．(多選)用數學歸納法證明不等式＋…＋＞的過程中，下列說法正確的是(　　)
A．使不等式成立的第一個自然數n0＝1
B．使不等式成立的第一個自然數n0＝2
C．n＝k推導n＝k＋1時，不等式的左邊增加的式子是
D．n＝k推導n＝k＋1時，不等式的左邊增加的式子是
√
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√
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BC　[當n＝1時，＞不成立，
當n＝2時，＞成立，所以A錯誤，B正確；
當n＝k時，左邊的代數式為＋…＋，
當n＝k＋1時，左邊的代數式為＋…＋．
故用n＝k＋1時左邊的代數式減去n＝k時左邊的代數式的結果，即＝為不等式的左邊增加的項，故C正確，D錯誤．故選BC．]
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11．用數學歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝，則當n＝k＋1時左端應在n＝k的基礎上加上(　　)
A．(k＋1)2
B．k2＋1
C．
D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
√
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D　[因為當n＝k時，
等號的左端為1＋2＋3＋…＋k2，
當n＝k＋1時，等號的左端為1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，
所以增加了(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2．]
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12．用數學歸納法證明：1－＋…＋＝＋…＋，第一步應驗證的等式是________；從“n＝k”到“n＝k＋1”左邊需增加的等式是_____________________．
14
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1－＝　[當n＝1時，應當驗證的第一個式子是1－＝，從“n＝k”到“n＝k＋1”左邊需增加的式子是．]
1－＝
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13．若數列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n＝1，2，3，…)，則a5＝________，歸納猜想an＝________．
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31　2n－1　[因為an＋1＝2an＋1(n＝1，2，3，…)，且a1＝1．
所以a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，a5＝2×15＋1＝31．
31
2n－1
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1
猜想an＝2n－1．
用數學歸納法證明：
①當n＝1時，顯然猜想成立；
②假設n＝k時，ak＝2k－1，則ak＋1＝2ak＋1＝2×(2k－1)＋1＝2k+1－1，
故n＝k＋1時，猜想也成立．
綜上，對所有正整數n，都有an＝2n－1．]
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14．試用數學歸納法證明：1＋＋…＋＜2－(n≥2，n∈N*)．
14
15
[證明]　(1)當n＝2時，1＋＝<2－＝，命題成立．
(2)假設n＝k(k≥2，且k∈N*)時命題成立，
即1＋＋…＋<2－．
則當n＝k＋1時，1＋＋…＋<2－<2－＝2－＝2－，命題成立．
由(1)(2)知原不等式在n∈N*，n≥2時均成立．
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15．試比較2n＋2與n2的大小(n∈N*)，并用數學歸納法證明你的結論．
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[解]　當n＝1時，21＋2＝4＞n2＝1，
當n＝2時，22＋2＝6＞n2＝4，
當n＝3時，23＋2＝10＞n2＝9，
當n＝4時，24＋2＝18＞n2＝16，
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1
由此可以猜想，
2n＋2＞n2(n∈N*)成立．
下面用數學歸納法證明：
(1)當n＝1時，
左邊＝21＋2＝4，右邊＝1，
所以左邊＞右邊，所以原不等式成立．
當n＝2時，左邊＝22＋2＝6，右邊＝22＝4，
所以左邊＞右邊，所以原不等式成立．
當n＝3時，左邊＝23＋2＝10，右邊＝32＝9，
所以左邊＞右邊，所以原不等式成立．
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1
(2)假設當n＝k(k≥3且k∈N*)時，不等式成立，
即2k＋2＞k2．
那么當n＝k＋1時，2k+1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2＞2k2－2．
又∵2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3＝(k－3)(k＋1)≥0，
即2k2－2≥(k＋1)2，
故2k+1＋2＞(k＋1)2成立．
根據(1)和(2)，原不等式對于任意n∈N*都成立．
14
15
THANKS4.4*　數學歸納法
[學習目標]　1．借助教材實例了解數學歸納法的原理．(數學抽象)
2．能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題．(邏輯推理)
3．能歸納猜想，利用數學歸納法證明與正整數有關的數學問題．(數學運算、邏輯推理)
(教師用書)
中國過去有個習俗，子女從父親的姓氏，如父親姓王，其子女都姓王．假設我們知道一個男子姓王，假設他每一代后代都有男子，而且嚴格按照我國過去的習俗，那么他的兒子姓什么？孫子呢？玄孫呢？……如果他有32代孫，你能確定他的32代孫的姓嗎？如果他有無限代孫呢？
為了保證各代孫輩都姓王，必須嚴格按照中國過去的習俗，否則無法遞推下去，也就是說要保證第n代孫姓王能推出第n＋1代孫也姓王，當然要求第1個人必須姓王了．
思考：通過這個例子，你能得到什么啟示呢？
[討論交流]
問題1．數學歸納法的原理是什么？
問題2．數學歸納法中的兩個步驟之間有什么關系？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認知，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　數學歸納法的理解
探究問題1　如果你從袋子里拿出5個小球，發現全部都是綠色的，能否判斷袋子里面的小球都是綠色的？
[提示]　不能．通過考察部分對象，得到一般的結論的方法，叫不完全歸納法．不完全歸納法得到的結論不一定正確．
探究問題2　在學校，我們經常會看到這樣一種現象：排成一排的自行車，如果一位同學不小心將第一輛自行車弄倒了，那么整排自行車就會倒下．試想要使整排自行車倒下，需要具備哪幾個條件？這種現象對你有何啟發？
[提示]　需要具備的條件：(1)第一輛自行車倒下；(2)任意相鄰的兩輛自行車，前一輛倒下一定導致后一輛倒下．這種現象使我們想到一些與正整數n有關的數學問題．
[新知生成]
1．數學歸納法
一般地，證明一個與正整數n有關的命題，可按下列步驟進行：
(1)歸納奠基：證明當n＝n0(n0∈N*)時命題成立；
(2)歸納遞推：以“當n＝k(k∈N*，k≥n0)時命題成立”為條件，推出“當n＝k＋1時命題也成立”．
只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立，這種證明方法稱為數學歸納法．
2．數學歸納法的證明形式
記P(n)是一個關于正整數n的命題，可以把用數學歸納法證明的形式改寫如下：
條件：(1)P(n0)為真．(2)若P(k)(k∈N*，k≥n0)為真，則P(k＋1)也為真．
結論：P(n)為真．
3．數學歸納法的框圖表示
【教用·微提醒】　初始值n0不一定是1，要結合具體的結論而定．
[學以致用]　1．(1)用數學歸納法證明“2n＞n2對于n≥n0的正整數n都成立”時，第一步證明中的初始值n0應取(　　)
A．2　　　B．3　　　C．4　　　D．5
(2)用數學歸納法證明1＋2＋22＋…＋2n-1＝2n－1(n∈N*)的過程如下：
①當n＝1時，左邊＝1，右邊＝21－1＝1，等式成立．
②假設當n＝k(k∈N*)時，等式成立，
即1＋2＋22＋…＋2k-1＝2k－1，
則當n＝k＋1時，1＋2＋22＋…＋2k-1＋2k＝＝2k+1－1，所以當n＝k＋1時等式也成立．由此可知對于任何n∈N*，等式都成立．
上述證明，錯誤的是________(填序號)．
(1)D　(2)②　[(1)顯然當n＝1時，21＞12，而當n＝2時，22＝22，A錯誤；
當n＝3時，23＜32，B錯誤；
當n＝4時，24＝42，C錯誤；
當n＝5時，25＞52，符合要求，D正確．
(2)本題在由n＝k成立證明n＝k＋1成立時，應用了等比數列的求和公式，而未用歸納假設，這與數學歸納法的要求不符．]
探究2　用數學歸納法證明等式
【鏈接·教材例題】
例2　用數學歸納法證明：
12＋22＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)(n∈N*)．①
分析：用數學歸納法證明時，第二步要證明的是一個以“當n＝k時，①式成立”為條件，得出“當n＝k＋1時，①式也成立”的命題，證明時必須用上上述條件．
[證明]　(1)當n＝1時，①式的左邊＝12＝1，
右邊＝×1×(1＋1)×(2×1＋1)＝＝1，
所以①式成立．
(2)假設當n＝k(k∈N*)時，①式成立，即
12＋22＋…＋k2＝k(k＋1)(2k＋1)，
在上式兩邊同時加上(k＋1)2，有
12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2
＝k(k＋1)(2k＋1)＋(k＋1)2
＝
＝
＝
＝(k＋1)[(k＋1)＋1][2(k＋1)＋1]，
即當n＝k＋1時，①式也成立．
由(1)(2)可知，①式對任何n∈N*都成立．
[典例講評]　1．(源于湘教版教材)用數學歸納法證明：
12＋22＋32＋…＋n2＝(n∈N*)．
[證明]　(1)當n＝1時，左邊＝12＝1，右邊＝＝1，等式成立．
(2)假設當n＝k時，等式成立，即
12＋22＋32＋…＋k2＝，
那么，當n＝k＋1時，
12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2
＝＋(k＋1)2
＝
＝
＝
＝．
這表明，當n＝k＋1時，等式也成立．
由(1)和(2)可以斷定，等式對任何正整數n都成立．
　用數學歸納法證明恒等式時應關注的三點
(1)弄清n取第一個值n0時等式兩端項的情況．
(2)弄清從n＝k到n＝k＋1，等式兩端增加了哪些項，減少了哪些項．
(3)證明n＝k＋1時結論也成立，要設法將待證式與歸納假設建立聯系，并朝n＝k＋1證明目標的表達式變形．
[學以致用]　2．用數學歸納法證明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n-1＝2n(2n－3)＋3(n∈N*)．
[證明]　(1)當n＝1時，左邊＝1，右邊＝2×(2－3)＋3＝1，左邊＝右邊，所以等式成立．
(2)假設當n＝k(k∈N*)時，等式成立，
即1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k-1＝2k(2k－3)＋3．
則當n＝k＋1時，1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k-1＋(2k＋1)×2k
＝2k(2k－3)＋3＋(2k＋1)×2k
＝2k(4k－2)＋3＝2k+1[2(k＋1)－3]＋3，
即當n＝k＋1時，等式也成立．
由(1)(2)知，等式對任何n∈N*都成立．
探究3　用數學歸納法證明不等式
【鏈接·教材例題】
例4　設x為實數，且x＞－1，x≠0，n為大于1的正整數，記數列
x，x(1＋x)，x(1＋x)2，…，x(1＋x)n-1，…
的前n項和為Sn，試比較Sn與nx的大小，并用數學歸納法證明你的結論．
分析：該問題中涉及兩個字母，x是大于－1且不等于零的實數，n是大于1的正整數．一種思路是不求和，而直接通過n取特殊值比較Sn與nx的大小關系，并作出猜想；另一種思路是先由等比數列的求和公式求出Sn，再通過n取特殊值比較Sn與nx的大小關系后作出猜想．兩種做法都必須用數學歸納法證明得到的猜想．
解法1：由已知可得
Sn＝x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋…＋x(1＋x)n-1．
當n＝2時，S2＝x＋x(1＋x)＝x2＋2x，由x≠0，知x2＞0，可得
S2＞2x；
當n＝3時，S3＝x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＝x2(x＋3)＋3x，由x＞－1且x≠0，知x2(x＋3)＞0，可得
S3＞3x．
由此，我們猜想，當x＞－1且x≠0，n∈N*且n＞1時，Sn＞nx．
下面用數學歸納法證明這個猜想．
(1)當n＝2時，由上述過程知，猜想成立．
(2)假設當n＝k(k∈N*，且k≥2)時，不等式成立，即Sk＞kx，
則Sk＋1＝Sk＋x(1＋x)k＞kx＋x(1＋x)k．
①當x＞0時，因為k＞1，所以(1＋x)k＞1，所以
x(1＋x)k＞x．
②當－1＜x＜0時，0＜1＋x＜1，且x2＞0．又因為k＞1，所以(1＋x)k＜1＋x，
可得
x(1＋x)k＞x(1＋x)＝x＋x2＞x．
綜合①②可得，當x＞－1且x≠0時，
Sk＋1＞kx＋x(1＋x)k
＞kx＋x
＝(k＋1)x，
所以，當n＝k＋1時，猜想也成立．
由(1)(2)可知，不等式Sn＞nx對任何大于1的正整數n都成立．
解法2：因為x＞－1，x≠0，所以所給數列是等比數列，公比為1＋x，于是
Sn＝x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋…＋x(1＋x)n-1
＝
＝(1＋x)n－1．
當n＝2時，S2＝(1＋x)2－1＝x2＋2x，由x≠0，知x2＞0，可得
S2＞2x；
當n＝3時，S3＝(1＋x)3－1＝x2(x＋3)＋3x，由x＞－1，x≠0，得x2(x＋3)＞0，可得
S3＞3x．
由此，我們猜想，當x＞－1且x≠0，n∈N*且n＞1時，Sn＞nx．
下面用數學歸納法證明．
(1)當n＝2時，由上述過程知，猜想成立．
(2)假設當n＝k(k∈N*，且k≥2)時，不等式Sk＞kx成立，即
(1＋x)k－1＞kx，
亦即(1＋x)k＞1＋kx．
由x＞－1，得x＋1＞0．
又因為k＞1，x≠0，所以kx2＞0．
于是
Sk＋1＝(1＋x)k+1－1
＝(1＋x)k(1＋x)－1
＞(1＋kx)(1＋x)－1
＝kx2＋(k＋1)x
＞(k＋1)x．
所以，當n＝k＋1時，猜想也成立．
由(1)(2)可知，不等式Sn＞nx對任何大于1的正整數n都成立．
[典例講評]　2．用數學歸納法證明：1＋≤1＋＋…＋＋n(n∈N*)．
[思路引導]　按照數學歸納法的步驟證明，由n＝k到n＝k＋1的推證過程可應用放縮技巧，使問題簡單化．
[證明]　(1)當n＝1時，
≤1＋，命題成立．
(2)假設當n＝k(k∈N*)時，命題成立，
即1＋ ≤ 1＋ ＋ ＋… ＋ ≤ ＋k，
則當n＝k＋1時，
1＋ ＋ ＋… ＋ ＋ ＋ ＋… ＋ >1＋ ＋2k· ＝1＋ ．
又1＋ ＋ ＋… ＋ ＋ ＋ ＋… ＋ < ＋k＋2k· ＝ ＋(k＋1)，
即當n＝k＋1時，命題成立．
由(1)和(2)可知，命題對所有的n∈N*都成立．
　用數學歸納法證明不等式的關鍵點
用數學歸納法證明不等式往往比證明恒等式難度更大一些，方法更靈活些，用數學歸納法證明的第二步，即已知f (k)＞g(k)，求證f (k＋1)＞g(k＋1)時應注意靈活運用證明不等式的一般方法(比較法、分析法、綜合法)．具體證明過程中要注意以下兩點：
(1)先湊假設，作等價變換．
(2)瞄準當n＝k＋1時的遞推目標，有目的地放縮、分析直到湊出結論．
[學以致用]　3．已知n∈N*，n＞2．
求證：1＋＋…＋＞．
[證明]　(1)當n＝3時，左邊＝1＋，右邊＝＝2，左邊＞右邊，不等式成立．
(2)假設當n＝k(k∈N*，k≥3)時，不等式成立，
即1＋＋…＋＞．
當n＝k＋1時，
1＋＋…＋＞＝＝．
因為＞＝＝，
所以1＋＋…＋＞，
所以當n＝k＋1時，不等式也成立．
由(1)(2)知對一切n∈N*，n＞2，不等式恒成立．
探究4　歸納—猜想—證明
【鏈接·教材例題】
例3　已知數列{an}滿足a1＝0，2an＋1－anan＋1＝1(n∈N*)，試猜想數列{an}的通項公式，并用數學歸納法加以證明．
分析：先將數列{an}的遞推關系2an＋1－anan＋1＝1化為an＋1＝(n∈N*)，通過計算a2，a3，a4，a5的值，歸納共性并作出猜想，再應用數學歸納法證明猜想．
[解]　由2an＋1－anan＋1＝1，可得
an＋1＝(n∈N*)．
由a1＝0，
可得a2＝＝．
同理可得
a3＝＝，a4＝＝，a5＝＝．
歸納上述結果，猜想
an＝(n∈N*)． ①
下面用數學歸納法證明這個猜想．
(1)當n＝1時，①式左邊＝a1＝0，右邊＝＝0，猜想成立．
(2)假設當n＝k(k∈N*)時，①式成立，即
ak＝，
那么
ak＋1＝＝＝＝，
即當n＝k＋1時，猜想也成立．
由(1)(2)可知，猜想對任何n∈N*都成立．
[典例講評]　3．數列{an}中，a1＝1，Sn為數列{an}的前n項和，且Sn，Sn＋1，2S1成等差數列．
(1)計算S1，S2，S3的值；
(2)根據以上計算結果猜測Sn的表達式，并用數學歸納法證明你的猜想．
[解]　(1)S1＝a1＝1，由已知有2S2＝S1＋2S1，得S2＝，又2S3＝S2＋2S1，得S3＝．
(2)由(1)中結果猜測Sn＝．
用數學歸納法證明如下：
①當n＝1時，S1＝＝1，猜想成立．
②假設當n＝k時猜想成立，則有Sk＝，
當n＝k＋1時，因為2Sk＋1＝Sk＋2S1，
所以2Sk＋1＝＋2＝，
所以Sk＋1＝，
所以當n＝k＋1時猜想成立．
由①②可知，對任意正整數n，猜想都成立．
　“歸納—猜想—證明”的一般步驟
[學以致用]　4．已知數列{an}滿足a1＝－，an＝－(n≥2)．
(1)求a2，a3；
(2)猜想數列{an}的通項公式，并用數學歸納法給出證明．
[解]　(1)a2＝－，a3＝－．
(2)猜想數列{an}的通項公式an＝－，證明如下：
當n＝1時，a1＝－，猜想成立；
假設當n＝k時猜想成立，即ak＝－，
當n＝k＋1時，ak＋1＝－＝－
＝－＝－，
所以當n＝k＋1時，an＝－成立，
綜上可得an＝－．
【教用·備選題】　(源自北師大版教材)用數學歸納法證明：x2n－y2n能被x＋y整除(n∈N*)．
[證明]　(1)當n＝1時，x2－y2＝(x＋y)(x－y)．
故x2－y2能被x＋y整除，命題成立．
(2)假設當n＝k(k≥1)時，x2k－y2k能被x＋y整除．
那么，當n＝k＋1時，x2k+2－y2k+2＝x2x2k－y2y2k．*
把x2k＝(xk＋yk)(xk－yk)＋y2k，代入*得x2k+2－y2k+2＝x2(xk＋yk)·(xk－yk)＋x2y2k－y2y2k＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)，由假設知x2k－y2k能被x＋y整除，x2－y2能被x＋y整除，故x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除．
所以當n＝k＋1時，命題成立．
綜上，對于n∈N*，原命題成立．
1．用數學歸納法證明1＋a＋a2＋…＋an+1＝(a≠1，n∈N*)，在驗證n＝1成立時，等式左邊計算所得的項是(　　)
A．1 B．1＋a
C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3
C　[當n＝1時，左邊＝1＋a＋a1+1＝1＋a＋a2．]
2．用數學歸納法證明12＋22＋…＋n2＋…＋22＋12＝n(2n2＋1)，第二步從n＝k到n＝k＋1，等式左邊應添加的項是(　　)
A．(k2＋1)2 B．k2＋1
C．(k＋1)2＋k2 D．(k＋1)2＋2k2
C　[根據等式左邊的特點，各數是先遞增再遞減，當n＝k時，左邊＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，①
當n＝k＋1時，左邊＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，②
所以②－①得，等式左邊應添加的式子是(k＋1)2＋k2．]
3．某個命題與自然數n有關，若n＝k(k∈N*)時命題成立，那么可推得當n＝k＋1時該命題也成立，現已知n＝5時，該命題不成立，那么可以推得(　　)
A．n＝6時該命題不成立
B．n＝6時該命題成立
C．n＝4時該命題不成立
D．n＝4時該命題成立
C　[假設n＝4時該命題成立，由題意可得n＝5時，該命題成立，而n＝5時，該命題不成立，所以n＝4時，該命題不成立．而n＝5時，該命題不成立，不能推得n＝6該命題是否成立．故選C．]
4．若f (n)＝1＋＋…＋(n∈N*)，用數學歸納法驗證關于f (n)的命題時，第一步計算f (1)＝________；第二步“從n＝k到n＝k＋1時”，f (k＋1)＝f (k)＋________．
　[f (1)＝1＋＝；
假設當n＝k時，f (k)＝1＋＋…＋，
那么，當n＝k＋1時，f (k＋1)＝1＋＋…＋，
f (k＋1)＝f (k)＋．]
1．知識鏈：(1)數學歸納法的概念．
(2)增加或減少項的個數問題．
(3)用數學歸納法證明等式、不等式．
(4)歸納—猜想—證明．
2．方法鏈：數學歸納法．
3．警示牌：(1)對n0取值時易出錯．
(2)增加或減少的項數易出錯．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．數學歸納法步驟可概括為“三個成立，一個結”是什么意思？
[提示]　“三個成立”是指：①n＝n0時驗證命題成立，②n＝k，k≥n0時假設命題成立；③n＝k＋1時，應用歸納假設證明命題成立．
“一個結”就是結論：斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立．
2．你認為在應用數學歸納法時應注意哪幾點？
[提示]　(1)驗證是基礎：找準起點，奠基要穩，有些問題中驗證的初始值不一定為1．
(2)遞推是關鍵：正確分析由n＝k到n＝k＋1時，式子項數的變化是應用數學歸納法成功證明問題的保障．
(3)利用假設是核心：在第二步證明中一定要利用歸納假設，這是數學歸納法證明的核心環節，否則這樣的證明就不是數學歸納法證明．
課時分層作業(十一)　數學歸納法
一、選擇題
1．用數學歸納法證明1＋＋…＋＜n(n∈N*，n＞1)時，第一步應驗證不等式(　　)
A．1＋＜2 B．1＋＜2
C．1＋＜3 D．1＋＜3
B　[由題意得，當n＝2時，不等式為1＋＜2，故選B．]
2．用數學歸納法證明“5n－2n”“能被3整除”的第二步中n＝k＋1時，為了使用假設，應將5k+1－2k+1變形為(　　)
A．(5k－2k)＋4×5k－2k B．5(5k－2k)＋3×2k
C．(5－2)(5k－2k) D．5(5k－2k)－3×5k
B　[根據數學歸納法，當n＝k＋1時，
應將5k+1－2k+1變形為5(5k－2k)＋3×2k，
此時，5(5k－2k)和3×2k都可以被3整除．
故該變形是合理的．
故選B．]
3．用數學歸納法證明＋…＋時，從n＝k到n＝k＋1，不等式左邊需添加的項是(　　)
A．
B．
C．
D．
B　[不等式左邊需添加的項是＝．故選B．]
4．用數學歸納法證明2＋4＋6＋8＋…＋2n＝2n-1＋22n-2(n∈N*)的過程中，由n＝k遞推到n＝k＋1時，等式左邊增加的項數為(　　)
A．1 B．2k-1 C．2k D．2k＋1
B　[當n＝k時，等式左邊＝2＋4＋6＋8＋…＋2k，當n＝k＋1時，等式左邊＝2＋4＋6＋8＋…＋2k＋(2k＋2)＋(2k＋4)＋…＋(2k＋2k)，故由n＝k遞推到n＝k＋1時等式左邊增加的項為(2k＋2)＋(2k＋4)＋…＋(2k＋2k)，項數為2k-1．故選B．]
5．若命題A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)時成立，則有n＝k＋1時命題也成立．現知命題對n＝n0(n0∈N*)成立，則有(　　)
A．命題對所有正整數都成立
B．命題對小于n0的正整數不成立，對大于或等于n0的正整數都成立
C．命題對小于n0的正整數成立與否不能確定，對大于或等于n0的正整數都成立
D．以上說法都不正確
C　[由已知得n＝n0(n0∈N*)時命題成立，則有n＝n0＋1時命題成立．在n＝n0＋1時命題成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1時命題也成立，依此類推，故選C．]
二、填空題
6．已知n為正偶數，用數學歸納法證明1－＋…＋＝2時，若已知假設n＝k(k≥2)為偶數時，命題成立，則還需要用歸納假設再證________．
n＝k＋2時等式成立　[由于n為正偶數，已知假設n＝k(k≥2)為偶數，則下一個偶數為n＝k＋2．故答案為n＝k＋2時等式成立．]
7．用數學歸納法證明＋…＋＞．假設n＝k時，不等式成立，則當n＝k＋1時，應推證的目標不等式是________．
＋…＋＞　[觀察不等式中各項的分母變化知，當n＝k＋1時，＋…＋＞．]
8．已知f (n)＝1＋＋…＋(n∈N*)，用數學歸納法證明f (2n)>時，f (2k+1)－f (2k)＝________．　
＋…＋　[假設n＝k時，f (2k)＝1＋＋…＋，當n＝k＋1時，
f (2k+1)＝1＋＋…＋＋…＋，
所以f (2k+1)－f (2k)＝1＋＋…＋＋…＋－(1＋＋…＋)
＝＋…＋．]
三、解答題
9．證明：＋…＋＝1－(n∈N*)．
[證明]　(1)當n＝1時，左邊＝，
右邊＝1－＝，等式成立．
(2)假設當n＝k(k≥1，k∈N*)時，等式成立，即＋…＋＝1－，
那么當n＝k＋1時，
左邊＝＋…＋＝1－＝1－．
所以當n＝k＋1時，等式也成立．
根據(1)和(2)，可知等式對任意n∈N*都成立．
10．(多選)用數學歸納法證明不等式＋…＋＞的過程中，下列說法正確的是(　　)
A．使不等式成立的第一個自然數n0＝1
B．使不等式成立的第一個自然數n0＝2
C．n＝k推導n＝k＋1時，不等式的左邊增加的式子是
D．n＝k推導n＝k＋1時，不等式的左邊增加的式子是
BC　[當n＝1時，＞不成立，
當n＝2時，＞成立，所以A錯誤，B正確；
當n＝k時，左邊的代數式為＋…＋，
當n＝k＋1時，左邊的代數式為＋…＋．
故用n＝k＋1時左邊的代數式減去n＝k時左邊的代數式的結果，即＝為不等式的左邊增加的項，故C正確，D錯誤．故選BC．]
11．用數學歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝，則當n＝k＋1時左端應在n＝k的基礎上加上(　　)
A．(k＋1)2
B．k2＋1
C．
D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
D　[因為當n＝k時，
等號的左端為1＋2＋3＋…＋k2，
當n＝k＋1時，等號的左端為1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，
所以增加了(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2．]
12．用數學歸納法證明：1－＋…＋＝＋…＋，第一步應驗證的等式是________；從“n＝k”到“n＝k＋1”左邊需增加的等式是________．
1－＝　[當n＝1時，應當驗證的第一個式子是1－＝，從“n＝k”到“n＝k＋1”左邊需增加的式子是．]
13．若數列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n＝1，2，3，…)，則a5＝________，歸納猜想an＝________．
31　2n－1　[因為an＋1＝2an＋1(n＝1，2，3，…)，且a1＝1．
所以a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，a5＝2×15＋1＝31．
猜想an＝2n－1．
用數學歸納法證明：
①當n＝1時，顯然猜想成立；
②假設n＝k時，ak＝2k－1，則ak＋1＝2ak＋1＝2×(2k－1)＋1＝2k+1－1，
故n＝k＋1時，猜想也成立．
綜上，對所有正整數n，都有an＝2n－1．]
14．試用數學歸納法證明：1＋＋…＋＜2－(n≥2，n∈N*)．
[證明]　(1)當n＝2時，1＋＝<2－＝，命題成立．
(2)假設n＝k(k≥2，且k∈N*)時命題成立，
即1＋＋…＋<2－．
則當n＝k＋1時，1＋＋…＋<2－<2－＝2－＝2－，命題成立．
由(1)(2)知原不等式在n∈N*，n≥2時均成立．
15．試比較2n＋2與n2的大小(n∈N*)，并用數學歸納法證明你的結論．
[解]　當n＝1時，21＋2＝4＞n2＝1，
當n＝2時，22＋2＝6＞n2＝4，
當n＝3時，23＋2＝10＞n2＝9，
當n＝4時，24＋2＝18＞n2＝16，
由此可以猜想，
2n＋2＞n2(n∈N*)成立．
下面用數學歸納法證明：
(1)當n＝1時，
左邊＝21＋2＝4，右邊＝1，
所以左邊＞右邊，所以原不等式成立．
當n＝2時，左邊＝22＋2＝6，右邊＝22＝4，
所以左邊＞右邊，所以原不等式成立．
當n＝3時，左邊＝23＋2＝10，右邊＝32＝9，
所以左邊＞右邊，所以原不等式成立．
(2)假設當n＝k(k≥3且k∈N*)時，不等式成立，
即2k＋2＞k2．
那么當n＝k＋1時，2k+1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2＞2k2－2．
又∵2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3＝(k－3)(k＋1)≥0，
即2k2－2≥(k＋1)2，
故2k+1＋2＞(k＋1)2成立．
根據(1)和(2)，原不等式對于任意n∈N*都成立．
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