資源簡介

(共61張PPT)
第2課時　等比數列的性質及應用
第四章　數列
4.3　等比數列
4.3.1　等比數列的概念
整體感知
[學習目標]　1．能根據等比數列的定義推出等比數列的常用性質，理解等比數列與項有關的性質．(數學運算)
2．能靈活運用等比數列的性質簡化運算，解決簡單的數列問題．(數學運算、邏輯推理)
(教師用書)
首先，我們先來看下面兩道小題：
(1)若{an}為等比數列，a3＝2，a7＝8，則a4a6＝________．
(2)若{an}為等比數列，a1＋a2＋a3＝2，a4＋a5＋a6＝8，則a7＋a8＋a9＝________．
大家試著做一做，你會發現我們可以用基本量a1，q完成計算，但計算過程比較麻煩，等比數列“繼承”了指數函數的特點，計算量大，如果我們掌握一定的技巧，會不會更容易解決問題呢？
[討論交流]　
問題1．等比數列有哪些性質？
問題2．解決等比數列實際應用問題的關鍵是什么？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認知，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究建構
探究1　等比數列的性質
探究問題1　類比等差數列中am＋an＝ak＋al(m＋n＝k＋l，m，n，k，l∈N*)能否發現等比數列中相似的性質？
[提示]　類比可得aman＝akal，其中m＋n＝k＋l，m，n，k，l∈N*．
推導過程：am＝a1qm-1，an＝a1qn-1，ak＝a1qk-1，al＝a1ql-1．
所以am·an＝qm＋n-2，akal＝qk＋l-2，
因為m＋n＝k＋l，所以aman＝akal．
[新知生成]
1．推廣的等比數列的通項公式
{an}是等比數列，首項為a1，公比為q，則an＝a1qn-1，an＝am·qn－m
(m，n∈N*)．
2．等比數列項的運算性質
在等比數列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am·an＝__________．
(1)特別地，當m＋n＝2k(m，n，k∈N*)時，am·an＝．
(2)對有窮等比數列，與首末兩項“等距離”的兩項之積等于首末兩項的__，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…．
ap·aq
積
3．由等比數列構造(衍生)新數列
(1)在等比數列{an}中，每隔k項(k∈N*)取出一項，按原來的順序排列，所得的新數列仍為等比數列．
(2)若{an}是等比數列，公比為q，則數列都是等比數列，且公比分別是．
(3)若{an}，{bn}是項數相同的等比數列，公比分別是p和q，那么{anbn}與也都是等比數列，公比分別為___和．
pq
【教用·微提醒】　(1)下標和相等且左右兩側項數相同時，性質2可以推廣，如：m＋n＋p＝x＋y＋z，則amanap＝axayaz．
(2)若m，p，n成等差數列，則am，ap，an成等比數列．
(3)下標等差時所取項構成等比數列，如{a2n}，{a2n－1}，{a3n－2}，…．
(4)在等比數列{an}中，依次每k項的和(或積)構成公比為qk(或)的等比數列．
[典例講評]　1．(1)在等比數列{an}中，a5＝8，a7＝2，an＞0，則an＝________．
(2)在正項等比數列{an}中，a4a8a12＝8，則log2a2＋log2a14＝________．
(3)若{an}，{bn}都是等比數列，滿足a1b1＝3，a5b5＝6，則a9b9＝________．
[思路引導]　利用等比數列的性質，整體代換求解．
2
12
(1)　(2)2　(3)12　[(1)由a7＝a5·q2得q2＝．因為an＞0，所以q＝．
所以an＝a5·qn-5＝8×＝．
(2)在正項等比數列{an}中，因為a4a8a12＝8，
所以a4a8a12＝＝8，
所以a8＝2，log2a2＋log2a14＝log2(a2a14)＝＝log24＝2．
(3)易知{anbn}為等比數列，
則有(a5b5)2＝(a1b1)·(a9b9)，
即62＝3(a9b9)，∴a9b9＝12．]
【教用·備選題】　已知{an}為等比數列．
(1)若{an}滿足a2a4＝，求a5；
(2)若an＞0，a5a7＋2a6a8＋a6a10＝49，求a6＋a8；
(3)若an＞0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
[解]　(1)在等比數列{an}中，∵a2a4＝，
＝a1a5＝a2a4＝，a5＝．
(2)由等比數列的性質，化簡條件得
＝49，
即(a6＋a8)2＝49，
∵an＞0，
∴a6＋a8＝7．
(3)由等比數列的性質知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2·…·a10)
＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)·(a5a6)]＝log395＝10．
反思領悟　應用等比數列性質的解題策略
(1)等比數列的性質是等比數列的定義、通項公式等基礎知識的推廣與變形，熟練掌握和靈活應用這些性質可以有效、方便、快捷地解決許多等比數列問題．
(2)應用等比數列的性質解題的關鍵是發現問題中涉及的數列各項的下標之間的關系，充分利用以下公式進行求解：①若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則aman＝apaq．②若m＋n＝2t(m，n，t∈N*)，則aman＝．
[學以致用]　1．等比數列{an}是遞減數列，前n項的積為Tn，若T13＝4T9，則a8a15＝________．
2　[設等比數列{an}的公比為q，
則由題意T13＝4T9，
可得a1a2…a13＝4a1a2…a9，所以a10a11a12a13＝4．
由等比數列的性質可得a8a15＝a10a13＝a11a12，
所以a8·a15＝±2．
又因為{an}是遞減等比數列，所以q＞0，所以a8·a15＝2．]
2
【鏈接·教材例題】
例3　數列{an}共有5項，前三項成等比數列，后三項成等差數列，第3項等于80，第2項與第4項的和等于136，第1項與第5項的和等于132．求這個數列．
分析：先利用已知條件表示出數列的各項，再進一步根據條件列方程組求解．
探究2　靈活設元解決等比數列問題
[解]　設前三項的公比為q，后三項的公差為d，則數列的各項依次為，80，80＋d，80＋2d．于是得
解方程組，得或
所以這個數列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，－48．
[典例講評]　2．有四個數，前三個數成等差數列，后三個數成等比數列，第一個數與第四個數之和為16，第二個數與第三個數之和為12，求這四個數．
[解]　法一：設前三個數依次為a－d，a，a＋d，則第四個數為，
由題意，得
解得或
所以這四個數依次為0，4，8，16或15，9，3，1．
法二：設后三個數依次為，a，aq，
則第一個數為－a．
由題意，得
解得或
所以這四個數依次為0，4，8，16或15，9，3，1．
反思領悟　巧設等比數列的方法
(1)三個數成等比數列設為，a，aq．
推廣到一般：奇數個數成等比數列設為…，，a，aq，aq2，…．
(2)四個符號相同的數成等比數列設為，aq，aq3．
推廣到一般：偶數個符號相同的數成等比數列設為…，，aq，aq3，aq5，…．
(3)四個數成等比數列，不能確定它們的符號是否相同時，可設為a，aq，aq2，aq3．
[學以致用]　2．有四個數成等比數列，將這四個數分別減去1，1，4，13成等差數列，則這四個數的和是________．
45　[設這四個數分別為a，aq，aq2，aq3，
則a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差數列．
即
整理得
解得a＝3，q＝2．
因此這四個數分別是3，6，12，24，其和為45．]
45
【鏈接·教材例題】
例4　用10 000元購買某個理財產品一年．
(1)若以月利率0.400%的復利計息，12個月能獲得多少利息(精確到0.01元)
(2)若以季度復利計息，存4個季度，則當每季度利率為多少時，按季結算的利息不少于(1)中按月結算的利息(精確到10-5)
分析：復利是指把前一期的利息與本金之和算作本金，再計算下一期的利息，所以若原始本金為a元，每期的利率為r，則從第一期開始，各期的本利和a(1＋r)，a(1＋r)2，…構成等比數列．
探究3　等比數列的實際應用
[解]　(1)設這筆錢存n個月以后的本利和組成一個數列{an}，則{an}是等比數列，首項a1＝104(1＋0.400%)，公比q＝1＋0.400%，所以
a12＝104(1＋0.400%)12≈10 490.702．
所以，12個月后的利息為10 490.702－104≈490.70(元)．
(2)設季度利率為r，這筆錢存n個季度以后的本利和組成一個數列{bn}，則{bn}也是一個等比數列，首項b1＝104(1＋r)，公比為1＋r，于是
b4＝104(1＋r)4．
因此，以季度復利計息，存4個季度后的利息為
[104(1＋r)4－104]元．
解不等式104(1＋r)4－104≥490.70，得
r≥1.205%．
所以，當季度利率不小于1.205%時，按季結算的利息不少于按月結算的利息．
[典例講評]　3．某人買了一輛價值13.5萬元的新車，專家預測這種車每年按10%的速度貶值．
(1)用一個式子表示n(n∈N*)年后這輛車的價值；
(2)如果他打算用滿4年時賣掉這輛車，他大概能得到多少錢？(精確到0.1)
[解]　(1)從第一年起，每輛車的價值(萬元)依次設為a1，a2，a3，…，an，
由題意，得a1＝13.5，a2＝13.5×(1－10%)，a3＝13.5×(1－10%)2，…．
由等比數列定義，知數列{an}是等比數列，
首項a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9，
∴an＝a1·qn-1＝13.5×0.9n-1．
∴n年后車的價值為an＋1＝13.5×0.9n(萬元)．
(2)由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(萬元)，
∴用滿4年時賣掉這輛車，大概能得到8.9萬元．
反思領悟　等比數列實際應用問題的關鍵是建立數學模型，即將實際問題轉化成等比數列的問題，解數學模型即解等比數列問題，最后注意數學問題再轉化為實際問題作答．
[學以致用]　3．某傳媒公司決定逐年加大直播帶貨的資金投入，若該公司今年投入的資金為2 000萬元，并在此基礎上，以后每年的資金投入均比上一年增長12%，則該公司需經過________年其投入資金開始超過7 000萬元．
(參考數據：lg 1.12≈0.049，lg 2≈0.301，lg 7≈0.845)
12
12　[設該公司經過n年投入的資金為an萬元，則a1＝2 000×1.12，
由題意可知，數列{an}是以2 000×1.12為首項，以1.12為公比的等比數列，所以an＝2 000×1.12n，
由an＝2 000×1.12n＞7 000，
可得n＞log1.12＝≈11.1，
因此，該公司需經過12年其投入資金開始超過7 000萬元．]
1．在等比數列{an}中，a6＝，公比q＝，則a10＝(　　)
A．6　　B．3　　C．12　　D．8
2
4
3
題號
1
應用遷移
√
A　[在等比數列{an}中，a6＝，公比q＝，則a10＝a6q4＝×()4＝6．故選A．]
2
3
題號
1
4
2．設{an}是等比數列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，則a6＋a7＋a8＝(　　)
A．12　　B．24　　C．30　　D．32
√
D　[法一：設等比數列{an}的公比為q，所以＝＝q＝2，由a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝a1(1＋2＋22)＝1，解得a1＝，所以a6＋a7＋a8＝a1(q5＋q6＋q7)＝×(25＋26＋27)＝×25×(1＋2＋22)＝32，故選D．
2
3
題號
1
4
法二：令bn＝an＋an＋1＋an＋2(n∈N*)，則bn＋1＝an＋1＋an＋2＋an＋3．設數列{an}的公比為q，則＝＝＝q，所以數列{bn}為等比數列，由題意知b1＝1，b2＝2，所以等比數列{bn}的公比q＝2，所以bn＝2n-1，所以b6＝a6＋a7＋a8＝25＝32．故選D．]
2
3
題號
4
1
3．在等比數列{an}中，a5，a13是方程x2＋6x＋2＝0的兩個根，則＝(　　)
A．　　B．－　　C．±　　D．2
B　[因為a5，a13是方程x2＋6x＋2＝0的兩個根，所以有a5＋a13＝－6＜0，a5a13＝2＞0，因此a5＜0，a13＜0，由等比數列的性質可知，a9＜0，而＝a5a13＝2 a9＝－，所以＝＝a9＝－．]
√
2
4
3
題號
1
4．某工廠去年產值為a，計劃10年內每年比上一年產值增長10%，那么從今年起第________年這個工廠的產值將超過2a．
8　[由題意知每年的產值構成以1.1a為首項，1.1為公比的等比數列，則an＝a·1.1n．
所以a·1.1n＞2a．因為1.17＜2，1.18＞2，所以n＝8．]
8
1．知識鏈：(1)等比數列中項與項之間的關系及應用．
(2)由等比數列構造新的等比數列．
(3)等比數列中項的設法．
(4)等比數列的實際應用．
2．方法鏈：整體代換的思想、構造法、轉化法、公式法．
3．警示牌：(1)在應用題中，容易忽視數列的項數．
(2)構造新的等比數列易忽視有等于0的項．
(3)四個數成等比數列時設成，aq，aq3未考慮四個數符號不同的情況．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．在等比數列{an}中，如何巧設數列中的項？
[提示]　三個數成等比數列時，可設三數為，a，aq；四個符號相同的數成等比數列時可設為，aq，aq3．
2．在等比數列中，常用到的性質有哪些？
[提示]　要注意：①認真審題，弄清題意，將實際問題轉化為適當的數學模型；②合理設出未知數，建立等比數列模型，依據其性質或方程思想求出未知元素；③針對所求結果作出合理解釋．
[提示]　①若m＋n＝p＋q，則aman＝apaq；
②若m＋n＝2p，則aman＝．
3．解決等比數列的實際應用問題有哪些注意事項？
課時分層作業(八)　等比數列的性質及應用
題號
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
C　[∵lg (a3a8a13)＝＝6，∴＝106，∴a8＝102＝100，
∴a1a15＝＝10 000．]
一、選擇題
1．已知在各項均為正數的等比數列{an}中，lg (a3a8a13)＝6，則a1a15的值為(　　)
A．100　　B．－100　　C．10 000　　D．－10 000
題號
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
2．在正項等比數列{an}中，a1a13＝36，則a5＋4a9的最小值是(　　)
A．12　　B．18　　C．24　　D．36
√
14
15
C　[在正項等比數列{an}中，a5a9＝a1a13＝36，所以a5＋4a9≥2＝24，
當且僅當a5＝4a9，即a5＝12，a9＝3時，等號成立，即a5＋4a9的最小值是24．
故選C．]
題號
3
2
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
3．已知等比數列{an}的各項均為正數，若a2＝1，a8＝2a6＋3a4，則a9＝(　　)
A．18　　B．36　　C．27　　D．27
√
14
15
D　[設{an}的公比為q，則a8＝a2q6，a6＝a2q4，a4＝a2q2．
因為a8＝2a6＋3a4，所以q6＝2q4＋3q2，因為q≠0，
所以q4－2q2－3＝(q2＋1)(q2－3)＝0，所以q2＝3．因為{an}的各項均為正數，
所以q＝，因為a2＝1，所以a9＝a2q7＝27．故選D．]
題號
4
2
3
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
4．已知等比數列{an}為遞減數列，若a2a6＝6，a3＋a5＝5，則＝(　　)
A．　　B．　　C．　　D．6
√
14
15
A　[由{an}為等比數列，得a2a6＝a3a5＝6，又a3＋a5＝5，
∴a3，a5為方程x2－5x＋6＝0的兩個根，解得a3＝2，a5＝3或a3＝3，a5＝2，
由{an}為遞減數列得an＞an＋1，∴a3＝3，a5＝2，
∴q2＝＝，則＝＝．故選A．]
題號
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
5．(多選)已知等比數列{an}各項均為正數，滿足a2·a16＝16，＝，記等比數列{an}的前n項的積為Tn，則當Tn取得最大值時，n＝(　　)
A．8　　B．9　　C．10　　D．11
√
14
15
CD　[因為a2·a16＝16，由等比數列的性質可得，
＝a2·a16＝16，
因為an＞0，所以a9＝4，因為＝，即＝，
所以q＝，所以a10＝a9q＝4×＝2，a11＝a10q＝1，
√
題號
2
4
5
3
6
8
7
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10
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1
14
15
因為0＜q＝＜1，an＞0，
所以等比數列{an}為遞減數列，
當n≥12時，0＜an＜1，
所以當n＝10或n＝11時，Tn取得最大值．]
題號
2
4
5
3
6
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10
11
12
13
1
二、填空題
6．在各項均為正數的等比數列{an}中，a3－a4＝16，a5－a6＝4，則使得an＜1成立的n的最小值為________．
14
15
9　[由得＝q2＝，
所以q＝或q＝－(舍去)，
由a3(1－q)＝16，得a3＝32，所以an＝a3qn-3＝28-n，
由28-n＜1，得8－n＜0，所以n＞8，即n的最小值為9．]
9
題號
2
4
5
3
7
6
8
9
10
11
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13
1
7．在等比數列{an}中，公比q＝2，且＝，則a9＋a10＋a11＋a12＝________．
14
15
12　[根據題意，＝，＝，
則＝＝，
則有＝，則有＝，
變形可得a9＋a10＋a11＋a12＝12．]
12
題號
2
4
5
3
8
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13
1
8．已知三個數成等比數列，其積為512，如果第一個數與第三個數各減去2，此時的三個數成等差數列，則原來的三個數的和等于________．
14
15
28　[依題意，設原來的三個數依次為，a，aq．
因為·a·aq＝512，所以a＝8．
28
題號
2
4
5
3
8
6
7
9
10
11
12
13
1
又因為第一個數與第三個數各減去2后的三個數成等差數列，所以＋(aq－2)＝2a，
所以2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝，
所以原來的三個數為4，8，16或16，8，4．
因為4＋8＋16＝16＋8＋4＝28，
所以原來的三個數的和等于28．]
14
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題號
9
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1
三、解答題
9．某公司的銷售額下跌嚴重，從2023年的7月銷售收入128萬元，到9月跌至32萬元．你能求出該公司7月到9月之間平均每月下降的百分比嗎？若按此計算，到什么時候每月銷售收入跌至8萬元？
14
15
題號
9
2
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1
[解]　設平均每月下降的百分比為x，則每月的銷售收入構成了等比數列{an}，a1＝128，則a2＝a1(1－x)，
a3＝a1(1－x)2＝128(1－x)2＝32，解得x＝50%．
設an＝8，an＝128(1－50%)n-1＝8，解得n＝5，
所以從2023年的7月算起第5個月，即2023年的11月該公司的銷售收入跌至8萬元．
14
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題號
9
2
4
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1
10．(多選)已知等比數列{an}的公比q<0，等差數列{bn}的首項b1＞0，若a9＞b9，且a10＞b10，則下列結論一定正確的是(　　)
A．a9a10＜0　　 B．a9＞a10
C．b10＞0　　 D．b9＞b10
√
14
15
√
題號
9
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13
1
AD　[對于選項A，因為q<0，
所以a9a10＝a9·a9q＝q＜0，故A正確；
對于選項B，因為a9a10＜0，
所以或
即a9＞a10或a9＜a10，故B錯誤；
對于選項C，D，因為a9，a10異號，a9＞b9，且a10＞b10，所以b9，b10中至少有一個負數，
又因為b1＞0，所以d＜0，b9＞b10，故C錯誤，D正確．故選AD．]
14
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題號
9
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5
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1
11．已知等比數列{an}的首項為1，則“a2 021＜a2 024”是“a2 023＜
a2 025”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
√
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題號
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1
A　[因為等比數列{an}的首項為1，所以數列的奇數項一定為正，
若a2 021＜a2 024，則＝q3＞1，即q＞1，此時＝q2＞1，
故a2 023＜a2 025，即充分性成立；若a2 023＜a2 025，則＝q2＞1，
所以q＞1或q＜－1，此時＝q3＞1或＝q3＜－1，
所以a2 021＜a2 024不一定成立，即必要性不成立．故選A．]
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1
12．(多選)在正項等比數列{an}中，公比為q，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an＋1an＋2an＋3＝324，則下列說法正確的是(　　)
A．q2＝ B．＝4
C．a4a6＝2　　 D．n＝12
√
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√
題號
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1
BD　[已知正項等比數列{an}的公比為q(q＞0)，則an＝a1qn-1．
由a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，得＝＝12，B正確；而a5＝a2q3，于是(a2q3)3＝12，即q9＝3，A錯誤；而a5＝，C錯誤；由an＋1an＋2an＋3＝324得＝324，即(a2qn)3＝324，因為＝4，所以q3n＝81＝34＝(q9)4＝q36，所以3n＝36，解得n＝12，D正確．故選BD．]
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題號
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1
13．在各項均為正數的等比數列{an}中，a1a11＋2a6a8＋a3a13＝25，則a1a13的最大值是________．
14
15
　[∵{an}是等比數列，且a1a11＋2a6a8＋a3a13＝＝(a6＋a8)2＝25．
又∵an＞0，∴a6＋a8＝5，
∴a1a13＝a6a8≤＝，當且僅當a6＝a8＝時取等號．]
題號
9
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1
14．某廠生產電腦，原計劃第一季度每月增加臺數相同，在生產過程中，實際上二月份比原計劃多生產10臺，三月份比原計劃多生產25臺，這樣三個月產量成等比數列，而第三個月的產量比原計劃第一季度總產量的一半少10臺．問：該廠第一季度實際生產電腦多少臺？
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1
[解]　根據已知，可設該廠第一季度原計劃3個月生產電腦臺數分別為x－d，x，x＋d(d＞0)，則實際上3個月生產電腦臺數分別為x－d，x＋10，x＋d＋25，
由題意得解得
故共有(x－d)＋(x＋10)＋(x＋d＋25)＝3x＋35＝3×90＋35＝305(臺)，
即該廠第一季度實際生產電腦305臺．
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1
15．已知函數f (x)＝，數列{an}是正項等比數列，且a10＝1，則
f (a1)＋f (a2)＋f (a3)＋…＋f (a18)＋f (a19)＝________．
14
15
　[函數f (x)＝，
當x＞0時，f (x)＋f ＝＝＝1，
因為數列{an}是正項等比數列，且a10＝1，
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1
則a1a19＝a2a18＝a3a17＝…＝＝1，f (a1)＋f (a19)＝f (a1)＋f ＝1，同理f (a2)＋f (a18)＝f (a3)＋f (a17)＝…＝f (a10)＋f (a10)＝1，
令S＝f (a1)＋f (a2)＋f (a3)＋…＋f (a18)＋f (a19)，
又S＝f (a19)＋f (a18)＋f (a17)＋…＋f (a2)＋f (a1)，
則有2S＝19，S＝，所以f (a1)＋f (a2)＋f (a3)＋…＋f (a18)＋f (a19)＝．]
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THANKS第2課時　等比數列的性質及應用
[學習目標]　1．能根據等比數列的定義推出等比數列的常用性質，理解等比數列與項有關的性質．(數學運算)
2．能靈活運用等比數列的性質簡化運算，解決簡單的數列問題．(數學運算、邏輯推理)
[討論交流]　
問題1．等比數列有哪些性質？
問題2．解決等比數列實際應用問題的關鍵是什么？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認知，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　等比數列的性質
探究問題1　類比等差數列中am＋an＝ak＋al(m＋n＝k＋l，m，n，k，l∈N*)能否發現等比數列中相似的性質？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
1．推廣的等比數列的通項公式
{an}是等比數列，首項為a1，公比為q，則an＝a1qn-1，an＝am·qn－m(m，n∈N*)．
2．等比數列項的運算性質
在等比數列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am·an＝________．
(1)特別地，當m＋n＝2k(m，n，k∈N*)時，am·an＝．
(2)對有窮等比數列，與首末兩項“等距離”的兩項之積等于首末兩項的________，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…．
3．由等比數列構造(衍生)新數列
(1)在等比數列{an}中，每隔k項(k∈N*)取出一項，按原來的順序排列，所得的新數列仍為等比數列．
(2)若{an}是等比數列，公比為q，則數列都是等比數列，且公比分別是____________．
(3)若{an}，{bn}是項數相同的等比數列，公比分別是p和q，那么{anbn}與也都是等比數列，公比分別為________和______．
[典例講評]　1．(1)在等比數列{an}中，a5＝8，a7＝2，an＞0，則an＝________．
(2)在正項等比數列{an}中，a4a8a12＝8，則log2a2＋log2a14＝________．
(3)若{an}，{bn}都是等比數列，滿足a1b1＝3，a5b5＝6，則a9b9＝________．
[思路引導]　利用等比數列的性質，整體代換求解．
[嘗試解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　應用等比數列性質的解題策略
(1)等比數列的性質是等比數列的定義、通項公式等基礎知識的推廣與變形，熟練掌握和靈活應用這些性質可以有效、方便、快捷地解決許多等比數列問題．
(2)應用等比數列的性質解題的關鍵是發現問題中涉及的數列各項的下標之間的關系，充分利用以下公式進行求解：①若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則aman＝apaq．②若m＋n＝2t(m，n，t∈N*)，則aman＝．
[學以致用]　1．等比數列{an}是遞減數列，前n項的積為Tn，若T13＝4T9，則a8a15＝________．
探究2　靈活設元解決等比數列問題
[典例講評]　2．有四個數，前三個數成等差數列，后三個數成等比數列，第一個數與第四個數之和為16，第二個數與第三個數之和為12，求這四個數．
[嘗試解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　巧設等比數列的方法
(1)三個數成等比數列設為，a，aq．
推廣到一般：奇數個數成等比數列設為…，，a，aq，aq2，…．
(2)四個符號相同的數成等比數列設為，aq，aq3．
推廣到一般：偶數個符號相同的數成等比數列設為…，，aq，aq3，aq5，…．
(3)四個數成等比數列，不能確定它們的符號是否相同時，可設為a，aq，aq2，aq3．
[學以致用]　2．有四個數成等比數列，將這四個數分別減去1，1，4，13成等差數列，則這四個數的和是________．
探究3　等比數列的實際應用
[典例講評]　3．某人買了一輛價值13.5萬元的新車，專家預測這種車每年按10%的速度貶值．
(1)用一個式子表示n(n∈N*)年后這輛車的價值；
(2)如果他打算用滿4年時賣掉這輛車，他大概能得到多少錢？(精確到0.1)
[嘗試解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　等比數列實際應用問題的關鍵是建立數學模型，即將實際問題轉化成等比數列的問題，解數學模型即解等比數列問題，最后注意數學問題再轉化為實際問題作答．
[學以致用]　3．某傳媒公司決定逐年加大直播帶貨的資金投入，若該公司今年投入的資金為2 000萬元，并在此基礎上，以后每年的資金投入均比上一年增長12%，則該公司需經過________年其投入資金開始超過7 000萬元．
(參考數據：lg 1.12≈0.049，lg 2≈0.301，lg 7≈0.845)
1．在等比數列{an}中，a6＝，公比q＝，則a10＝(　　)
A．6 B．3 C．12 D．8
2．設{an}是等比數列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，則a6＋a7＋a8＝(　　)
A．12 B．24 C．30 D．32
3．在等比數列{an}中，a5，a13是方程x2＋6x＋2＝0的兩個根，則＝(　　)
A． B．－ C．± D．2
4．某工廠去年產值為a，計劃10年內每年比上一年產值增長10%，那么從今年起第________年這個工廠的產值將超過2a．
1．知識鏈：(1)等比數列中項與項之間的關系及應用．
(2)由等比數列構造新的等比數列．
(3)等比數列中項的設法．
(4)等比數列的實際應用．
2．方法鏈：整體代換的思想、構造法、轉化法、公式法．
3．警示牌：(1)在應用題中，容易忽視數列的項數．
(2)構造新的等比數列易忽視有等于0的項．
(3)四個數成等比數列時設成，aq，aq3未考慮四個數符號不同的情況．
4/44.3　等比數列
4.3.1　等比數列的概念
第1課時　等比數列的概念及通項公式
[學習目標]　1．借助教材實例理解等比數列、等比中項的概念．(數學抽象)
2．會求等比數列的通項公式，并能利用等比數列的通項公式解決相關的問題．(數學運算)
3．體會等比數列與指數函數的關系．(數學抽象)
4．能在具體的問題情境中，發現數列的等比關系，并解決相應的問題．(數學運算、數學建模)
(教師用書)
有位印度教宰相向國王推薦了一種在當時尚無人知曉的游戲，國王對這種新奇的游戲很快就產生了濃厚的興趣，作為對宰相忠心的獎賞，他便問那位宰相，他想要得到什么賞賜．宰相開口說道：“請您在棋盤上的第一個格子上放1粒麥粒，第二個格子上放2粒麥粒，第三個格子上放4粒麥粒，第四個格子上放8粒麥粒……即每一個格子中放的麥粒數目都必須是前一個格子中麥粒數目的兩倍，直到最后第64格放滿為止，這樣我就十分滿足了．”“好吧！”國王哈哈大笑，慷慨地答應了宰相的這個請求．顯然64格的麥粒數可以組成一個數列：1，2，22，23，24，…，263，這就是我們今天要探討的等比數列．
[討論交流]　
問題1．等比數列的定義是什么？
問題2．等比中項的定義是什么？
問題3．等比數列的通項公式是什么？
問題4．如何推導等比數列的通項公式？
問題5．如何判定等比數列？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認知，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　等比數列的概念
探究問題1　觀察下面幾個問題中的數列，回答下面的問題．
(1)我國古代數學名著《孫子算經》中有一個有趣的問題叫“出門望九堤”：“今有出門望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雛，雛有九毛，毛有九色，問各有幾何？”
構成數列：9，92，93，94，95，96，97，98；
(2)《莊子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭．”這句話中隱藏著一列數：，…；
(3)－的n次冪按1次冪、2次冪、3次冪…，依次排成一列數：－，－，…．
類比等差數列的研究，你認為可以通過怎樣的運算發現以上數列的取值規律？
[提示]　我們可以通過除法運算探究以上數列的取值規律．對于(1)我們發現＝9，＝9，＝9，…，也就是說從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于9；對于(2)＝，…；對于(3)＝－，…也有相同的取值規律(從第2項開始，后一項與它的前一項的比都等于同一個常數)．
[新知生成]
等比數列的概念
文字語言 一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)
符號語言 ＝q(q為常數，q≠0，n∈N*)
【教用·微提醒】　等比數列中的任何一項都不能為零，公比可以為正數或負數，但絕對不能為零．
[典例講評]　1．(源自北師大版教材)以下數列中，哪些是等比數列？
(1)1，－，－；
(2)1，1，1，…，1；
(3)1，2，4，8，12，16，20；
(4)a，a2，a3，…，an．
[解]　(1)是等比數列，公比q＝－．
(2)是公比q＝1的等比數列．
(3)因為≠，所以該數列不是等比數列．
(4)當a≠0時，它是公比q＝a的等比數列；當a＝0時，它不是等比數列．
　如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數，那么這個數列是等比數列，否則，不是等比數列，且等比數列中任意一項不能為0，對于含參的數列需要分類討論．
[學以致用]　1．(多選)下面四個數列中是等比數列的有(　　)
A．1，1，2，4，8，16，32，64
B．在數列{an}中，已知＝2，＝2
C．數列{an}的通項公式為an＝3×2n
D．在數列{an}中，＝q，其中n∈N*
CD　[A中，＝1≠＝2，不符合定義中“同一個常數”，故不是等比數列．
B中，不一定是等比數列，當數列{an}的項數超過3時，后面的項的比值情況不知，不一定符合定義中“每一項”．
C中，因為當n≥2時，＝＝2(常數)，所以數列{an}為等比數列，且公比q＝2．
D中，在數列{an}中，對任意n∈N*，有＝q恒成立，那么{an}是等比數列．]
探究2　等比中項
探究問題2　任意兩個實數都有等差中項，那么，任意兩個數都有等比中項嗎？
[提示]　不一定，首先，0不能出現在等比數列中，就沒有任意性；其次，假設－1，x，1這三個數成等比數列，則根據定義會有＝，即x2＝－1，該方程無實數解，故符號不同的兩個實數無等比中項．
[新知生成]
等比中項：如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，那么G叫做a與b的等比中項，此時，G2＝ab．
【教用·微提醒】　(1)若G2＝ab，則a，G，b不一定成等比數列，如G＝a＝b＝0；(2)只有同號的兩個實數才有等比中項；(3)若兩個實數有等比中項，則一定有兩個，它們互為相反數，即G＝±．
[典例講評]　2．在3和9之間插入兩個正數后，使前三個數成等比數列，后三個數成等差數列，則這兩個正數之和為(　　)
A．　　B．　　C．　　D．10
B　[不妨設插入的兩個正數為a，b，即3，a，b，9，
因為3，a，b成等比數列，則a2＝3b，
a，b，9成等差數列，則a＋9＝2b，
即解得或(舍去)．則a＋b＝．]
　(1)由等比中項的定義可知＝ G2＝ab G＝±，所以只有a，b同號時，a，b的等比中項有兩個；異號時，沒有等比中項；
(2)在一個等比數列中，從第2項起，每一項(有窮數列的末項除外)都是它的前一項和后一項的等比中項．
[學以致用]　2．－1與＋1的等比中項是(　　)
A．　　　B．－　　　C．±　　　D．±
C　[－1與＋1的等比中項是±＝±．]
探究3　等比數列的通項公式
探究問題3　類比等差數列，你能根據等比數列的定義推導它的通項公式嗎？請結合等差數列的定義寫出其符號表達式．
[提示]　設一個等比數列的首項是a1，公比是q，則由定義可知＝q(n∈N*且n≥2)．
法一：an＝×…××a1＝q×q×…×q×q×a1＝a1qn-1，
當n＝1時，上式也成立．
法二：a2＝a1q，
a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2，
a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3，
…，
由此可得an＝a1qn-1(n≥2)，
當n＝1時，上式也成立．
[新知生成]
1．若等比數列{an}的首項為a1，公比為q，則an＝a1qn-1(n∈N*)．
2．等比數列的通項公式與指數型函數的關系
(1)當q＞0且q≠1時，等比數列{an}的第n項an是函數f (x)＝·qx(x∈R)當x＝n時的函數值，即an＝f (n)．
(2)由等比數列與指數函數的關系可得等比數列的單調性如下：
①當或時，等比數列{an}為遞增數列；
②當或時，等比數列{an}為遞減數列．
③當q＝1時，等比數列{an}為常數列．
④當q＜0時，等比數列{an}為擺動數列．
【教用·微提醒】　(1)q＜0或q＝1時，等比數列通項公式不具備指數型函數特點．
(2)等比數列的單調性由a1和q共同決定，只有q＞0且q≠1時存在單調性．
【鏈接·教材例題】
例1　若等比數列{an}的第4項和第6項分別為48和12，求{an}的第5項．
分析：等比數列{an}由a1，q唯一確定，可利用條件列出關于a1，q的方程(組)，進行求解．
解法1：由a4＝48，a6＝12，得
②的兩邊分別除以①的兩邊，得
q2＝．
解得q＝或－．
把q＝代入①，得
a1＝384．
此時a5＝a1q4＝384×＝24．
把q＝－代入①，得
a1＝－384．
此時a5＝a1q4＝－384×＝－24．
因此，{an}的第5項是24或－24．
解法2：因為a5是a4與a6的等比中項，所以
＝a4a6＝48×12＝576．
所以a5＝±＝±24．
因此，{an}的第5項是24或－24．
【鏈接·教材例題】
例2　已知等比數列{an}的公比為q，試用{an}的第m項am表示an．
[解]　由題意，得
am＝a1qm-1，①
an＝a1qn-1．②
②的兩邊分別除以①的兩邊，得
＝qn－m，
所以an＝amqn－m．
[典例講評]　3．(1)若{an}為等比數列，則“a1＜a3＜a5”是“數列{an}是遞增數列”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
(2)(源自湘教版教材)已知數列{an}是公比為q的等比數列．
①若a2＝2，a5＝54，求{an}的通項公式；
②若a1＝125，q＝0.2，an＝3.2×10-4，求n．
(1)B　[若等比數列{an}是遞增數列，可得a1＜a3＜a5一定成立；
反之，例如數列{(－1)n+12n}，此時滿足a1＜a3＜a5，但數列{an}不是遞增數列，
所以“a1＜a3＜a5”是“數列{an}是遞增數列”的必要不充分條件．]
(2)[解]　①由等比數列的通項公式可知，
②÷①得
q3＝27，即q＝3．
因此，a1＝．
因此，這個數列的通項公式是an＝×3n-1＝2×3n-2．
②由等比數列的通項公式，得
an＝a1qn-1＝125×＝54-n．
又an＝3.2×10-4＝5-5，
因此，54-n＝5-5，即n＝9．
　求a1和q的兩種方法
(1)通性通法：根據已知條件，建立關于a1，q的方程組，求出a1，q后再求an，這是常規方法．
(2)整體代換法：充分利用各項之間的關系，直接求出q或qn整體后，再求a1，最后求an，這種方法帶有一定的技巧性，能簡化運算．
[學以致用]　3．在等比數列{an}中，a2＋a4＝1，a6＋a8＝9，則a2＝(　　)
A． B． C． D．4
A　[由題得解得q2＝3，∴q＝或q＝－．當q＝時，a1＝；當q＝－時，a1＝－．∴a2＝a1q＝．]
探究4　等比數列的判定與證明
探究問題4　若數列{an}中an≠0，則由＝a1a3能判定{an}是等比數列嗎？若是＝anan＋2呢？
[提示]　＝a1a3可變為＝，可判斷a1，a2，a3成等比數列，但無法確定整個數列是等比數列，而＝anan＋2可變為＝，考慮n的任意性，可以判定數列為等比數列．
[新知生成]
判定與證明等比數列的方法
(1)定義法：＝q(n∈N*且n≥2，q是不為0的常數)；
(2)等比中項法：＝an－1·an＋1(n∈N*且n≥2)；
(3)通項公式法：an＝a1qn-1＝·qn＝A·qn(A≠0)．
【教用·微提醒】　(1)證明{an}為等比數列常用定義法．
(2)定義法也可用＝q(n∈N*)，與＝q(n≥2，n∈N*)作用一致．
(3)通項公式法一般只用于選擇、填空題．
【鏈接·教材例題】
例5　已知數列{an}的首項a1＝3．
(1)若{an}為等差數列，公差d＝2，證明數列}為等比數列；
(2)若{an}為等比數列，公比q＝，證明數列{log3an}為等差數列．
分析：根據題意，需要從等差數列、等比數列的定義出發，利用指數、對數的知識進行證明．
[證明]　(1)由a1＝3，d＝2，得{an}的通項公式為an＝2n＋1．
設bn＝，則＝＝9．
又b1＝33＝27，所以}是以27為首項，9為公比的等比數列．
(2)由a1＝3，q＝，得
an＝3×＝33-2n．
兩邊取以3為底的對數，得
log3an＝log333-2n＝3－2n．
所以log3an＋1－log3an＝[3－2(n＋1)]－(3－2n)＝－2．
又log3a1＝log33＝1，
所以，{log3an}是首項為1，公差為－2的等差數列．
[典例講評]　4．已知數列的前n項和為Sn＝2n＋a，試判斷{an}是不是等比數列．
[思路引導]　利用an與Sn的關系確定通項an，再用定義加以證明．
[解]　an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n-1－a＝2n-1(n≥2)．
當n≥2時，＝＝2；
當n＝1時，＝＝．
故當a＝－1時，數列{an}成等比數列，其首項為1，公比為2；當a≠－1時，數列{an}不是等比數列．
[母題探究]　
1．將例題中的條件“Sn＝2n＋a”變為“a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1(n∈N*)”．
(1)證明：數列{an－n}是等比數列；
(2)求數列{an}的通項公式．
[解]　(1)證明：由an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*．
因為a1－1＝1≠0，所以an－n≠0，所以＝4，所以數列{an－n}是首項為1，公比為4的等比數列．
(2)由(1)，可知an－n＝4n-1，
于是數列{an}的通項公式為an＝4n-1＋n．
2．將例題中的條件“Sn＝2n＋a”變為“Sn＝2－an”．求證數列{an}是等比數列．
[證明]　∵Sn＝2－an，∴Sn＋1＝2－an＋1，
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1，∴an＋1＝an．
又∵S1＝2－a1，∴a1＝1≠0．
又由an＋1＝an知an≠0，∴＝，
∴{an}是首項為1，公比為的等比數列．
【教用·備選題】　已知數列{an}滿足a1＝2，nan＋1＝3(n＋1)an，bn＝(n∈N*)．
(1)求b1，b2，b3；
(2)判斷數列{bn}是否為等比數列，并說明理由．
[解]　(1)由題意得an＋1＝an，
將n＝1代入，得a2＝6a1，又a1＝2，∴a2＝12，
將n＝2代入，得a3＝a2，∴a3＝54，
∴b1＝＝2，b2＝＝6，b3＝＝18．
(2){bn}是首項為2，公比為3的等比數列．
由題意得＝3×，即bn＋1＝3bn，又∵b1＝2，∴{bn}是首項為2，公比為3的等比數列．
　判斷一個數列是等比數列的常用方法
(1)定義法：若數列{an}滿足＝q(n∈N*，q為常數且不為零)或＝q(n≥2，且n∈N*，q為常數且不為零)，則數列{an}是等比數列．
(2)通項公式法：若數列{an}的通項公式為an＝a1qn-1(a1≠0，q≠0)，則數列{an}是等比數列．
(3)等比中項法：若＝anan＋2(n∈N*且an≠0)，則數列{an}為等比數列．
[學以致用]　4．設數列{an}的前n項和為Sn，且nSn＋(n＋2)an＝4n，求證：數列是等比數列．
[證明]　因為nSn＋(n＋2)an＝4n，
即Sn＋＝4，
當n≥2時，Sn－1＋＝4，兩式相減得
an＋＝0，
整理得＝·，所以數列是等比數列．
1．在等比數列{an}中，a1＝，q＝，an＝，則項數n為(　　)
A．3　　　 B．4　　　 C．5　　　 D．6
C　[因為an＝a1qn-1，所以＝，即＝，解得n＝5．]
2．若a，b，c成等比數列且公比為q，那么(　　)
A．不一定是等比數列
B．一定不是等比數列
C．一定是等比數列，且公比為
D．一定是等比數列，且公比為q
C　[因為a，b，c成等比數列且公比為q，所以＝，b2＝ac，可得＝＝＝，由等比中項可判斷得成等比數列，并且公比為．故選C．]
3．在等比數列{an}中，若a1＝，公比q＝2，則a4與a8的等比中項是________．
±4　[依題意，得a6＝a1q5＝×25＝4，而a4與a8的等比中項是±a6，故a4與a8的等比中項是±4．]
4．已知在等比數列{an}中，若它的首項為2，公比為3，則通項公式an＝________．
2×3n-1　[等比數列{an}中，首項為2，公比為3，可得該數列的通項公式為an＝2×3n-1．]
1．知識鏈：(1)等比數列的概念．
(2)等比中項的概念．
(3)等比數列的通項公式及其與函數的關系．
(4)等比數列的判定與證明．
2．方法鏈：方程(組)法、構造法、定義法、整體代換法．
3．警示牌：x，G，y成等比數列 G2＝xy，但G2＝xyx，G，y成等比數列．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．等比數列的概念中，應從哪幾個方面理解？
[提示]　①從第2項起，②后項與前項的比，③同一個常數．
2．任何兩個實數都有等比中項嗎？
[提示]　不是，只有同號的兩個實數才有等比中項且它們互為相反數．
3．如何判斷一個數列為等比數列？
[提示]　
定義法 ＝q(q為常數且不為零，n∈N*) {an}為等比數列
等比中項法 ＝anan＋2(n∈N*且an≠0) {an}為等比數列
通項公式法 an＝a1qn-1(a1≠0且q≠0) {an}為等比數列
課時分層作業(七)　等比數列的概念及通項公式
一、選擇題
1．已知等比數列{an}的各項均為正數，公比q＝2，且滿足a2a6＝16，則a5＝(　　)
A．8 B．4 C．2 D．1
A　[由{an}為等比數列，不妨設首項為a1，
由a2a6＝16，可得a2a6＝·26＝16．
又an＞0，則有a1＝，
則a5＝×24＝8．故選A．]
2．(多選)下面關于公比為q的等比數列{an}的敘述，不正確的是(　　)
A．q＞1 {an}為遞增數列
B．{an}為遞增數列 q＞1
C．0＜q＜1 {an}為遞減數列
D．q＞1{an}為遞增數列，且{an}為遞增數列q＞1
ABC　[若a1＝－2，q＝2＞1，則{an}的各項為－2，－4，－8，…，是遞減數列，A不正確；
若等比數列{an}的各項為－16，－8，－4，－2，…，是遞增數列，則q＝＜1，B不正確，D正確；
若a1＝－16，q＝∈(0，1)，則{an}的各項為－16，－8，－4，…，顯然是遞增數列，C不正確．]
3．(多選)已知數列{an}是等比數列，那么下列數列一定是等比數列的是(　　)
A． B．{anan＋1}
D．{an＋an＋1}
AB　[根據題意，{an}為等比數列，設其公比為q(q≠0)；
對于A，＝＝·，∴數列是以為首項，為公比的等比數列，故A正確；對于B，＝＝q2，∴數列{anan＋1}是以a1a2為首項，q2為公比的等比數列，故B正確；對于C，當an＝1時＝0，數列}不是等比數列，故C錯誤；對于D，當q＝－1時，an＋an＋1＝0，數列{an＋an＋1}不是等比數列，故D錯誤．故選AB．]
4．十二平均律是我國明代音樂理論家和數學家朱載堉發明的．明萬歷十二年(公元1584年)，他寫成《律學新說》，提出了十二平均律的理論，這一成果被意大利傳教士利瑪竇通過絲綢之路帶到了西方，對西方音樂產生了深遠的影響．十二平均律的數學意義是：在1和2之間插入11個正數，使包含1和2的這13個數依次成遞增的等比數列，依此規則，新插入的第2個數應為(　　)
A． B． C． D．
A　[設該等比數列為{an}，公比為q，則q12＝＝2，所以a3＝a1q2＝．故選A．]
5．(多選)已知等比數列{an}的各項均為正數，且3a1，a3，2a2成等差數列，則下列說法正確的是(　　)
A．a1＞0 B．q＞0　
C．＝3或－1 D．＝9
ABD　[設等比數列{an}的公比為q，q＞0，且an＞0．
由3a1，a3，2a2成等差數列，得a3＝2a2＋3a1，即a1q2－2a1q－3a1＝0，∴q2－2q－3＝0，又q＞0，解得q＝3，∴＝q＝3，＝＝q2＝9．
結合選項可知，ABD正確，C錯誤．故選ABD．]
二、填空題
6．已知數列{an}滿足an＝2an－1(n≥2，n∈N*)，且a1＝1，則an＝________．
2n-1　[數列{an}滿足an＝2an－1(n≥2，n∈N*)，且a1＝1，
可得數列{an}是首項為1，公比為2的等比數列，
則an＝1×2n-1＝2n-1，n∈N*．]
7．在等差數列{an}中，a3＝0．如果ak是a6與ak＋6的等比中項，那么k＝________．
9　[設等差數列{an}的公差為d，由題意得a3＝a1＋2d＝0，∴a1＝－2d．又∵ak是a6與ak＋6的等比中項＝a6ak＋6，即[a1＋(k－1)d]2＝(a1＋5d)·[a1＋(k＋5)d]，整理得[(k－3)d]2＝3d·(k＋3)d，解得k＝9或k＝0(舍去)．]
8．在《九章算術》中“衰分”是按比例遞減分配的意思．今共有糧98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，則衰分比例為________．
　[設衰分比例為q，
則甲、乙、丙各分得，28，28q石，
∴＋28＋28q＝98，∴q＝2或．
又0＜q＜1，∴q＝．]
三、解答題
9．(1)已知{an}為等比數列，且a5＝8，a7＝2，該數列的各項都為正數，求an；
(2)若等比數列{an}的首項a1＝，末項an＝，公比q＝，求項數n；
(3)若等比數列{an}中，an＋4＝a4，求公比q．
[解]　(1)設等比數列{an}的公比為q，
由題意知q＞0．
由已知得解得
∵q＞0，∴q＝，
∴an＝128×＝．
(2)由an＝a1·qn-1，得＝，
即＝，解得n＝4．
(3)∵an＋4＝a1qn+3，a4＝a1q3，
又an＋4＝a4，
∴qn＝1，
∴當n為偶數時，q＝±1；
當n為奇數時，q＝1．
10．設a＞0，b＞0，若是5a與5b的等比中項，則的最小值為(　　)
A．8 B．4 C．1 D．
B　[因為是5a與5b的等比中項，
則＝5a·5b，所以a＋b＝1，
所以＝(a＋b)＝2＋≥2＋2＝4．當且僅當＝，即a＝b＝時，取等號．]
11．已知不等式x2－5x－6＜0的解集中有三個整數解構成等比數列{an}的前3項，則數列{an}的第4項是(　　)
A．8 B． C．8或2 D．8或
D　[不等式x2－5x－6＜0的解集為{x|－1＜x＜6}，其中成等比數列的三個整數為1，2，4，
若數列前3項為1，2，4，則第4項為8，若數列前3項為4，2，1，則第4項為．]
12．若a1，a2，a3，a4成等比數列，其公比為2，則＝________．
　[＝＝＝＝．]
13．已知{an}是等差數列，公差d不為零．若a2，a3，a7成等比數列，且2a1＋a2＝1，則a1＝________，d＝________．
　－1　[∵a2，a3，a7成等比數列＝a2a7，
∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，
即2d＋3a1＝0．①
又∵2a1＋a2＝1，∴3a1＋d＝1．②
由①②解得a1＝，d＝－1．]
14．已知各項都為正數的數列{an}滿足an＋2＝2an＋1＋3an．
(1)證明：數列{an＋an＋1}為等比數列；
(2)若a1＝，a2＝，求{an}的通項公式．
[解]　(1)證明：因為an＋2＝2an＋1＋3an，
所以an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，因為數列{an}中各項均為正數，所以an＋1＋an＞0，
所以＝3，
所以數列{an＋an＋1}是公比為3的等比數列．
(2)由(1)知數列{an＋an＋1}是以a1＋a2為首項，3為公比的等比數列，又a1＝，a2＝，
則an＋an＋1＝(a1＋a2)3n-1＝2×3n-1，
因為an＋2＝2an＋1＋3an，
所以an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)＝(－1)2(an－3an－1)＝…＝(－1)n(a2－3a1)，
又因為a2－3a1＝0，所以an＋1－3an＝0，故an＋1＝3an，所以an＝×3n-1．
15．已知數列{an}和{bn}滿足a1＝λ，an＋1＝an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ為實數，n為正整數．
(1)求證：對任意實數λ，數列{an}不是等比數列；
(2)試判斷{bn}是否為等比數列．
[解]　(1)證明：假設存在實數λ，使得數列{an}是等比數列，
則必有＝a1a3，∵a1＝λ，∴a2＝λ－3，a3＝－2＝λ－4．
由＝λ，整理得9＝0，矛盾．
故假設錯誤，因此對于任意實數λ，數列{an}不是等比數列．
(2)若存在實數λ使得數列{bn}是等比數列，則＝常數(bn≠0)．
∵bn＋1＝(－1)n+1[an＋1－3(n＋1)＋21]
＝(－1)n+1
＝(－1)n+1(an－3n＋21)
＝－bn，
當且僅當an≠3n－21，即λ≠－18時上式成立．
故當λ≠－18時，數列{bn}為等比數列．
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第1課時　等比數列的概念及通項公式
第四章　數列
4.3　等比數列
4.3.1　等比數列的概念
整體感知
[學習目標]　1．借助教材實例理解等比數列、等比中項的概念．(數學抽象)
2．會求等比數列的通項公式，并能利用等比數列的通項公式解決相關的問題．(數學運算)
3．體會等比數列與指數函數的關系．(數學抽象)
4．能在具體的問題情境中，發現數列的等比關系，并解決相應的問題．(數學運算、數學建模)
(教師用書)
有位印度教宰相向國王推薦了一種在當時尚無人知曉的游戲，國王對這種新奇的游戲很快就產生了濃厚的興趣，作為對宰相忠心的獎賞，他便問那位宰相，他想要得到什么賞賜．宰相開口說道：“請您在棋盤上的第一個格子上放1粒麥粒，第二個格子上放2粒麥粒，第三個格子上放4粒麥粒，第四個格子上放8粒麥粒……即每一個格子中放的麥粒數目都必須是前一個格子中麥粒數目的兩倍，直到最后第64格放滿為止，這樣我就十分滿足了．”“好吧！”國王哈哈大笑，慷慨地答應了宰相的這個請求．顯然64格的麥粒數可以組成一個數列：1，2，22，23，24，…，263，這就是我們今天要探討的等比數列．
[討論交流]　
問題1．等比數列的定義是什么？
問題2．等比中項的定義是什么？
問題3．等比數列的通項公式是什么？
問題4．如何推導等比數列的通項公式？
問題5．如何判定等比數列？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認知，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究建構
探究1　等比數列的概念
探究問題1　觀察下面幾個問題中的數列，回答下面的問題．
(1)我國古代數學名著《孫子算經》中有一個有趣的問題叫“出門望九堤”：“今有出門望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雛，雛有九毛，毛有九色，問各有幾何？”
構成數列：9，92，93，94，95，96，97，98；
(2)《莊子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭．”這句話中隱藏著一列數：，…；
(3)－的n次冪按1次冪、2次冪、3次冪…，依次排成一列數：－，－，…．
類比等差數列的研究，你認為可以通過怎樣的運算發現以上數列的取值規律？
[提示]　我們可以通過除法運算探究以上數列的取值規律．對于(1)我們發現＝9，＝9，＝9，…，也就是說從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于9；對于(2) ＝，…；對于(3)＝－，…也有相同的取值規律(從第2項開始，后一項與它的前一項的比都等于同一個常數)．
[新知生成]
等比數列的概念
文字語言 一般地，如果一個數列從第__項起，每一項與它的前一項的比都等于__________，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的____，公比通常用字母q表示(q≠0)
符號語言 ＝__(q為常數，q≠0，n∈N*)
2
同一個常數
公比
q
【教用·微提醒】　等比數列中的任何一項都不能為零，公比可以為正數或負數，但絕對不能為零．
[典例講評]　1．(源自北師大版教材)以下數列中，哪些是等比數列？
(1)1，－，－；
(2)1，1，1，…，1；
(3)1，2，4，8，12，16，20；
(4)a，a2，a3，…，an．
[解]　(1)是等比數列，公比q＝－．
(2)是公比q＝1的等比數列．
(3)因為≠，所以該數列不是等比數列．
(4)當a≠0時，它是公比q＝a的等比數列；當a＝0時，它不是等比數列．
反思領悟　如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數，那么這個數列是等比數列，否則，不是等比數列，且等比數列中任意一項不能為0，對于含參的數列需要分類討論．
[學以致用]　1．(多選)下面四個數列中是等比數列的有(　　)
A．1，1，2，4，8，16，32，64
B．在數列{an}中，已知＝2，＝2
C．數列{an}的通項公式為an＝3×2n
D．在數列{an}中，＝q，其中n∈N*
√
√
CD　[A中，＝1≠＝2，不符合定義中“同一個常數”，故不是等比數列．
B中，不一定是等比數列，當數列{an}的項數超過3時，后面的項的比值情況不知，不一定符合定義中“每一項”．
C中，因為當n≥2時，＝＝2(常數)，所以數列{an}為等比數列，且公比q＝2．
D中，在數列{an}中，對任意n∈N*，有＝q恒成立，那么{an}是等比數列．]
探究2　等比中項
探究問題2　任意兩個實數都有等差中項，那么，任意兩個數都有等比中項嗎？
[提示]　不一定，首先，0不能出現在等比數列中，就沒有任意性；其次，假設－1，x，1這三個數成等比數列，則根據定義會有＝，即x2＝－1，該方程無實數解，故符號不同的兩個實數無等比中項．
[新知生成]
等比中項：如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，那么G叫做a與b的________，此時，G2＝__．
等比中項
ab
【教用·微提醒】　(1)若G2＝ab，則a，G，b不一定成等比數列，如G＝a＝b＝0；(2)只有同號的兩個實數才有等比中項；(3)若兩個實數有等比中項，則一定有兩個，它們互為相反數，即G＝±．
[典例講評]　2．在3和9之間插入兩個正數后，使前三個數成等比數列，后三個數成等差數列，則這兩個正數之和為(　　)
A．　　B．　　C．　　D．10
√
B　[不妨設插入的兩個正數為a，b，即3，a，b，9，
因為3，a，b成等比數列，則a2＝3b，
a，b，9成等差數列，則a＋9＝2b，
即解得或(舍去)．則a＋b＝．]
反思領悟　(1)由等比中項的定義可知＝ G2＝ab G＝±，所以只有a，b同號時，a，b的等比中項有兩個；異號時，沒有等比中項；
(2)在一個等比數列中，從第2項起，每一項(有窮數列的末項除外)都是它的前一項和后一項的等比中項．
[學以致用]　2．－1與＋1的等比中項是(　　)
A．　　　B．－　　　C．±　　　D．±
√
C　[－1與＋1的等比中項是±＝±．]
探究3　等比數列的通項公式
探究問題3　類比等差數列，你能根據等比數列的定義推導它的通項公式嗎？請結合等差數列的定義寫出其符號表達式．
[提示]　設一個等比數列的首項是a1，公比是q，則由定義可知＝q(n∈N*且n≥2)．
法一：an＝×…××a1＝q×q×…×q×q×a1＝a1qn-1，
當n＝1時，上式也成立．
法二：a2＝a1q，
a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2，
a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3，
…，
由此可得an＝a1qn-1(n≥2)，
當n＝1時，上式也成立．
[新知生成]
1．若等比數列{an}的首項為a1，公比為q，則an＝______(n∈N*)．
2．等比數列的通項公式與指數型函數的關系
(1)當q＞0且q≠1時，等比數列{an}的第n項an是函數f (x)＝·qx(x∈R)當x＝n時的函數值，即an＝f (n)．
a1qn-1
(2)由等比數列與指數函數的關系可得等比數列的單調性如下：
①當或時，等比數列{an}為遞增數列；
②當或時，等比數列{an}為遞減數列．
③當q＝1時，等比數列{an}為常數列．
④當q＜0時，等比數列{an}為____數列．
擺動
【教用·微提醒】　(1)q＜0或q＝1時，等比數列通項公式不具備指數型函數特點．
(2)等比數列的單調性由a1和q共同決定，只有q＞0且q≠1時存在單調性．
【鏈接·教材例題】
例1　若等比數列{an}的第4項和第6項分別為48和12，求{an}的第5項．
分析：等比數列{an}由a1，q唯一確定，可利用條件列出關于a1，q的方程(組)，進行求解．
解法1：由a4＝48，a6＝12，得
②的兩邊分別除以①的兩邊，得
q2＝．解得q＝或－．
把q＝代入①，得a1＝384．此時a5＝a1q4＝384×＝24．
把q＝－代入①，得a1＝－384．此時a5＝a1q4＝－384×＝－24．
因此，{an}的第5項是24或－24．
解法2：因為a5是a4與a6的等比中項，所以
＝a4a6＝48×12＝576．
所以a5＝±＝±24．
因此，{an}的第5項是24或－24．
【鏈接·教材例題】
例2　已知等比數列{an}的公比為q，試用{an}的第m項am表示an．
[解]　由題意，得
am＝a1qm-1， ①
an＝a1qn-1． ②
②的兩邊分別除以①的兩邊，得＝qn－m，
所以an＝amqn－m．
[典例講評]　3．(1)若{an}為等比數列，則“a1＜a3＜a5”是“數列{an}是遞增數列”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
(2)(源自湘教版教材)已知數列{an}是公比為q的等比數列．
①若a2＝2，a5＝54，求{an}的通項公式；
②若a1＝125，q＝0.2，an＝3.2×10-4，求n．
√
(1)B　[若等比數列{an}是遞增數列，可得a1＜a3＜a5一定成立；
反之，例如數列{(－1)n+12n}，此時滿足a1＜a3＜a5，但數列{an}不是遞增數列，
所以“a1＜a3＜a5”是“數列{an}是遞增數列”的必要不充分條件．]
(2)[解]　①由等比數列的通項公式可知，
②÷①得q3＝27，即q＝3．因此，a1＝．
因此，這個數列的通項公式是an＝×3n-1＝2×3n-2．
②由等比數列的通項公式，得
an＝a1qn-1＝125×＝54-n．
又an＝3.2×10-4＝5-5，因此，54-n＝5-5，即n＝9．
反思領悟　求a1和q的兩種方法
(1)通性通法：根據已知條件，建立關于a1，q的方程組，求出a1，q后再求an，這是常規方法．
(2)整體代換法：充分利用各項之間的關系，直接求出q或qn整體后，再求a1，最后求an，這種方法帶有一定的技巧性，能簡化運算．
[學以致用]　3．在等比數列{an}中，a2＋a4＝1，a6＋a8＝9，則a2＝(　　)
A．　　B．　　C．　　D．4
√
A　[由題得解得q2＝3，∴q＝或q＝－．當q＝時，a1＝；當q＝－時，a1＝－．∴a2＝a1q＝．]
探究4　等比數列的判定與證明
探究問題4　若數列{an}中an≠0，則由＝a1a3能判定{an}是等比數列嗎？若是＝anan＋2呢？
[提示]　＝a1a3可變為＝，可判斷a1，a2，a3成等比數列，但無法確定整個數列是等比數列，而＝anan＋2可變為＝，考慮n的任意性，可以判定數列為等比數列．
[新知生成]
判定與證明等比數列的方法
(1)定義法：＝q(n∈N*且n≥2，q是不為0的常數)；
(2)等比中項法：＝____________(n∈N*且n≥2)；
(3)通項公式法：an＝______＝·qn＝A·qn(A≠0)．
an－1·an＋1
a1qn-1
【教用·微提醒】　(1)證明{an}為等比數列常用定義法．
(2)定義法也可用＝q(n∈N*)，與＝q(n≥2，n∈N*)作用一致．
(3)通項公式法一般只用于選擇、填空題．
【鏈接·教材例題】
例5　已知數列{an}的首項a1＝3．
(1)若{an}為等差數列，公差d＝2，證明數列}為等比數列；
(2)若{an}為等比數列，公比q＝，證明數列{log3an}為等差數列．
分析：根據題意，需要從等差數列、等比數列的定義出發，利用指數、對數的知識進行證明．
[證明]　(1)由a1＝3，d＝2，得{an}的通項公式為an＝2n＋1．
設bn＝，則＝＝9．
又b1＝33＝27，所以}是以27為首項，9為公比的等比數列．
(2)由a1＝3，q＝，得an＝3×＝33-2n．
兩邊取以3為底的對數，得log3an＝log333-2n＝3－2n．
所以log3an＋1－log3an＝[3－2(n＋1)]－(3－2n)＝－2．
又log3a1＝log33＝1，
所以，{log3an}是首項為1，公差為－2的等差數列．
[典例講評]　4．已知數列的前n項和為Sn＝2n＋a，試判斷{an}是不是等比數列．
[思路引導]　利用an與Sn的關系確定通項an，再用定義加以證明．
[解]　an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n-1－a＝2n-1(n≥2)．
當n≥2時，＝＝2；當n＝1時，＝＝．
故當a＝－1時，數列{an}成等比數列，其首項為1，公比為2；當a≠－1時，數列{an}不是等比數列．
[母題探究]　
1．將例題中的條件“Sn＝2n＋a”變為“a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1(n∈N*)”．
(1)證明：數列{an－n}是等比數列；
(2)求數列{an}的通項公式．
[解]　(1)證明：由an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*．
因為a1－1＝1≠0，所以an－n≠0，所以＝4，所以數列{an－n}是首項為1，公比為4的等比數列．
(2)由(1)，可知an－n＝4n-1，
于是數列{an}的通項公式為an＝4n-1＋n．
2．將例題中的條件“Sn＝2n＋a”變為“Sn＝2－an”．求證數列{an}是等比數列．
[證明]　∵Sn＝2－an，∴Sn＋1＝2－an＋1，
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1，∴an＋1＝an．
又∵S1＝2－a1，∴a1＝1≠0．
又由an＋1＝an知an≠0，∴＝，
∴{an}是首項為1，公比為的等比數列．
【教用·備選題】　已知數列{an}滿足a1＝2，nan＋1＝3(n＋1)an，bn＝(n∈N*)．
(1)求b1，b2，b3；
(2)判斷數列{bn}是否為等比數列，并說明理由．
[解]　(1)由題意得an＋1＝an，
將n＝1代入，得a2＝6a1，又a1＝2，∴a2＝12，
將n＝2代入，得a3＝a2，∴a3＝54，
∴b1＝＝2，b2＝＝6，b3＝＝18．
(2){bn}是首項為2，公比為3的等比數列．
由題意得＝3×，即bn＋1＝3bn，又∵b1＝2，∴{bn}是首項為2，公比為3的等比數列．
反思領悟　判斷一個數列是等比數列的常用方法
(1)定義法：若數列{an}滿足＝q(n∈N*，q為常數且不為零)或＝q(n≥2，且n∈N*，q為常數且不為零)，則數列{an}是等比數列．
(2)通項公式法：若數列{an}的通項公式為an＝a1qn-1(a1≠0，q≠0)，則數列{an}是等比數列．
(3)等比中項法：若＝anan＋2(n∈N*且an≠0)，則數列{an}為等比數列．
[學以致用]　4．設數列{an}的前n項和為Sn，且nSn＋(n＋2)an＝4n，求證：數列是等比數列．
[證明]　因為nSn＋(n＋2)an＝4n，
即Sn＋＝4，當n≥2時，Sn－1＋＝4，兩式相減得
an＋＝0，
整理得＝·，所以數列是等比數列．
2
4
3
題號
1
應用遷移
√
C　[因為an＝a1qn-1，所以＝，即＝，解得n＝5．]
1．在等比數列{an}中，a1＝，q＝，an＝，則項數n為(　　)
A．3　　　　　B．4　　　　　C．5　　　　　D．6
2
3
題號
1
4
2．若a，b，c成等比數列且公比為q，那么(　　)
A．不一定是等比數列
B．一定不是等比數列
C．一定是等比數列，且公比為
D．一定是等比數列，且公比為q
√
C　[因為a，b，c成等比數列且公比為q，所以＝，b2＝ac，可得＝＝＝，由等比中項可判斷得成等比數列，并且公比為．故選C．]
2
3
題號
4
1
3．在等比數列{an}中，若a1＝，公比q＝2，則a4與a8的等比中項是________．
±4　[依題意，得a6＝a1q5＝×25＝4，而a4與a8的等比中項是±a6，故a4與a8的等比中項是±4．]
±4
2
4
3
題號
1
4．已知在等比數列{an}中，若它的首項為2，公比為3，則通項公式an＝________．
2×3n-1　[等比數列{an}中，首項為2，公比為3，可得該數列的通項公式為an＝2×3n-1．]
2×3n-1
1．知識鏈：(1)等比數列的概念．
(2)等比中項的概念．
(3)等比數列的通項公式及其與函數的關系．
(4)等比數列的判定與證明．
2．方法鏈：方程(組)法、構造法、定義法、整體代換法．
3．警示牌：x，G，y成等比數列 G2＝xy，但G2＝xy x，G，y成等比數列．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．等比數列的概念中，應從哪幾個方面理解？
[提示]　不是，只有同號的兩個實數才有等比中項且它們互為相反數．
[提示]　①從第2項起，②后項與前項的比，③同一個常數．
2．任何兩個實數都有等比中項嗎？
3．如何判斷一個數列為等比數列？
[提示]　
定義法 ＝q(q為常數且不為零，n∈N*) {an}為等比數列
等比中項法 ＝anan＋2(n∈N*且an≠0) {an}為等比數列
通項公式法 an＝a1qn-1(a1≠0且q≠0) {an}為等比數列
課時分層作業(七)　等比數列的概念及通項公式
題號
1
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√
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一、選擇題
1．已知等比數列{an}的各項均為正數，公比q＝2，且滿足a2a6＝16，則a5＝(　　)
A．8　　B．4　　C．2　　D．1
課時分層作業(七)　等比數列的概念及通項公式
題號
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A　[由{an}為等比數列，不妨設首項為a1，
由a2a6＝16，可得a2a6＝·26＝16．
又an＞0，則有a1＝，
則a5＝×24＝8．故選A．]
題號
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2．(多選)下面關于公比為q的等比數列{an}的敘述，不正確的是(　　)
A．q＞1 {an}為遞增數列
B．{an}為遞增數列 q＞1
C．0＜q＜1 {an}為遞減數列
D．q＞1 {an}為遞增數列，且{an}為遞增數列 q＞1
√
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√
√
題號
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ABC　[若a1＝－2，q＝2＞1，則{an}的各項為－2，－4，－8，…，
是遞減數列，A不正確；
若等比數列{an}的各項為－16，－8，－4，－2，…，是遞增數列，則q＝＜1，B不正確，D正確；
若a1＝－16，q＝∈(0，1)，則{an}的各項為－16，－8，－4，…，顯然是遞增數列，C不正確．]
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1
3．(多選)已知數列{an}是等比數列，那么下列數列一定是等比數列的是(　　)
A．　　 B．{anan＋1}
　　 D．{an＋an＋1}
√
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√
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1
AB　[根據題意，{an}為等比數列，設其公比為q(q≠0)；
對于A，＝＝·，∴數列是以為首項，為公比的等比數列，故A正確；對于B，＝＝q2，∴數列{anan＋1}是以a1a2為首項，q2為公比的等比數列，故B正確；對于C，當an＝1時＝0，數列}不是等比數列，故C錯誤；對于D，當q＝－1時，an＋an＋1＝0，數列{an＋an＋1}不是等比數列，故D錯誤．故選AB．]
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1
4．十二平均律是我國明代音樂理論家和數學家朱載堉發明的．明萬歷十二年(公元1584年)，他寫成《律學新說》，提出了十二平均律的理論，這一成果被意大利傳教士利瑪竇通過絲綢之路帶到了西方，對西方音樂產生了深遠的影響．十二平均律的數學意義是：在1和2之間插入11個正數，使包含1和2的這13個數依次成遞增的等比數列，依此規則，新插入的第2個數應為(　　)
A．　　B．　　C．　　D．　　
√
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1
A　[設該等比數列為{an}，公比為q，則q12＝＝2，所以a3＝a1q2＝．故選A．]
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1
5．(多選)已知等比數列{an}的各項均為正數，且3a1，a3，2a2成等差數列，則下列說法正確的是(　　)
A．a1＞0　　 B．q＞0　
C．＝3或－1　　 D．＝9
√
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√
√
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1
ABD　[設等比數列{an}的公比為q，q＞0，且an＞0．
由3a1，a3，2a2成等差數列，得a3＝2a2＋3a1，即a1q2－2a1q－3a1＝0，∴q2－2q－3＝0，又q＞0，解得q＝3，∴＝q＝3，＝＝q2＝9．
結合選項可知，ABD正確，C錯誤．故選ABD．]
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二、填空題
6．已知數列{an}滿足an＝2an－1(n≥2，n∈N*)，且a1＝1，則an＝________．
14
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2n-1　[數列{an}滿足an＝2an－1(n≥2，n∈N*)，且a1＝1，
可得數列{an}是首項為1，公比為2的等比數列，
則an＝1×2n-1＝2n-1，n∈N*．]
2n-1
題號
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1
7．在等差數列{an}中，a3＝0．如果ak是a6與ak＋6的等比中項，那么k＝________．
14
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9　[設等差數列{an}的公差為d，由題意得a3＝a1＋2d＝0，∴a1＝
－2d．又∵ak是a6與ak＋6的等比中項＝a6ak＋6，即[a1＋(k－1)d]2＝(a1＋5d)·[a1＋(k＋5)d]，整理得[(k－3)d]2＝3d·(k＋3)d，解得k＝9或k＝0(舍去)．]
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8．在《九章算術》中“衰分”是按比例遞減分配的意思．今共有糧98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，則衰分比例為_______．
14
15
　[設衰分比例為q，
則甲、乙、丙各分得，28，28q石，
∴＋28＋28q＝98，∴q＝2或．
又0＜q＜1，∴q＝．]
題號
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三、解答題
9．(1)已知{an}為等比數列，且a5＝8，a7＝2，該數列的各項都為正數，求an；
(2)若等比數列{an}的首項a1＝，末項an＝，公比q＝，求項數n；
(3)若等比數列{an}中，an＋4＝a4，求公比q．
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[解]　(1)設等比數列{an}的公比為q，
由題意知q＞0．
由已知得解得
∵q＞0，∴q＝，
∴an＝128×＝．
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(2)由an＝a1·qn-1，得＝，
即＝，解得n＝4．
(3)∵an＋4＝a1qn+3，a4＝a1q3，
又an＋4＝a4，
∴qn＝1，
∴當n為偶數時，q＝±1；
當n為奇數時，q＝1．
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10．設a＞0，b＞0，若是5a與5b的等比中項，則的最小值為(　　)
A．8　　B．4　　C．1　　D．
√
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B　[因為是5a與5b的等比中項，則＝5a·5b，所以a＋b＝1，
所以＝(a＋b)＝2＋≥2＋2＝4．當且僅當＝，即a＝b＝時，取等號．]
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11．已知不等式x2－5x－6＜0的解集中有三個整數解構成等比數列{an}的前3項，則數列{an}的第4項是(　　)
A．8　　B．　　C．8或2　　D．8或
√
14
15
D　[不等式x2－5x－6＜0的解集為{x|－1＜x＜6}，其中成等比數列的三個整數為1，2，4，
若數列前3項為1，2，4，則第4項為8，若數列前3項為4，2，1，則第4項為．]
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12．若a1，a2，a3，a4成等比數列，其公比為2，則＝________．
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　[＝＝＝＝．]
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1
13．已知{an}是等差數列，公差d不為零．若a2，a3，a7成等比數列，且2a1＋a2＝1，則a1＝________，d＝________．
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15
　－1　[∵a2，a3，a7成等比數列＝a2a7，
∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，
即2d＋3a1＝0．①
又∵2a1＋a2＝1，∴3a1＋d＝1．②
由①②解得a1＝，d＝－1．]
－1
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1
14．已知各項都為正數的數列{an}滿足an＋2＝2an＋1＋3an．
(1)證明：數列{an＋an＋1}為等比數列；
(2)若a1＝，a2＝，求{an}的通項公式．
14
15
[解]　(1)證明：因為an＋2＝2an＋1＋3an，
所以an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，因為數列{an}中各項均為正數，所以an＋1＋an＞0，
所以＝3，所以數列{an＋an＋1}是公比為3的等比數列．
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(2)由(1)知數列{an＋an＋1}是以a1＋a2為首項，3為公比的等比數列，又a1＝，a2＝，
則an＋an＋1＝(a1＋a2)3n-1＝2×3n-1，
因為an＋2＝2an＋1＋3an，
所以an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)＝(－1)2(an－3an－1)＝…＝(－1)n(a2－3a1)，
又因為a2－3a1＝0，所以an＋1－3an＝0，故an＋1＝3an，所以an＝×3n-1．
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15．已知數列{an}和{bn}滿足a1＝λ，an＋1＝an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ為實數，n為正整數．
(1)求證：對任意實數λ，數列{an}不是等比數列；
(2)試判斷{bn}是否為等比數列．
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1
[解]　(1)證明：假設存在實數λ，使得數列{an}是等比數列，
則必有＝a1a3，∵a1＝λ，∴a2＝λ－3，a3＝－2＝λ－4．
由＝λ，整理得9＝0，矛盾．
故假設錯誤，因此對于任意實數λ，數列{an}不是等比數列．
14
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1
(2)若存在實數λ使得數列{bn}是等比數列，則＝常數(bn≠0)．
∵bn＋1＝(－1)n+1[an＋1－3(n＋1)＋21]
＝(－1)n+1
＝(－1)n+1(an－3n＋21)＝－bn，
當且僅當an≠3n－21，即λ≠－18時上式成立．
故當λ≠－18時，數列{bn}為等比數列．
14
15
THANKS第2課時　等比數列的性質及應用
[學習目標]　1．能根據等比數列的定義推出等比數列的常用性質，理解等比數列與項有關的性質．(數學運算)
2．能靈活運用等比數列的性質簡化運算，解決簡單的數列問題．(數學運算、邏輯推理)
(教師用書)
首先，我們先來看下面兩道小題：
(1)若{an}為等比數列，a3＝2，a7＝8，則a4a6＝________．
(2)若{an}為等比數列，a1＋a2＋a3＝2，a4＋a5＋a6＝8，則a7＋a8＋a9＝________．
大家試著做一做，你會發現我們可以用基本量a1，q完成計算，但計算過程比較麻煩，等比數列“繼承”了指數函數的特點，計算量大，如果我們掌握一定的技巧，會不會更容易解決問題呢？
[討論交流]　
問題1．等比數列有哪些性質？
問題2．解決等比數列實際應用問題的關鍵是什么？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認知，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　等比數列的性質
探究問題1　類比等差數列中am＋an＝ak＋al(m＋n＝k＋l，m，n，k，l∈N*)能否發現等比數列中相似的性質？
[提示]　類比可得aman＝akal，其中m＋n＝k＋l，m，n，k，l∈N*．
推導過程：am＝a1qm-1，an＝a1qn-1，ak＝a1qk-1，al＝a1ql-1．
所以am·an＝qm＋n-2，akal＝qk＋l-2，
因為m＋n＝k＋l，所以aman＝akal．
[新知生成]
1．推廣的等比數列的通項公式
{an}是等比數列，首項為a1，公比為q，則an＝a1qn-1，an＝am·qn－m(m，n∈N*)．
2．等比數列項的運算性質
在等比數列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am·an＝ap·aq．
(1)特別地，當m＋n＝2k(m，n，k∈N*)時，am·an＝．
(2)對有窮等比數列，與首末兩項“等距離”的兩項之積等于首末兩項的積，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…．
3．由等比數列構造(衍生)新數列
(1)在等比數列{an}中，每隔k項(k∈N*)取出一項，按原來的順序排列，所得的新數列仍為等比數列．
(2)若{an}是等比數列，公比為q，則數列都是等比數列，且公比分別是．
(3)若{an}，{bn}是項數相同的等比數列，公比分別是p和q，那么{anbn}與也都是等比數列，公比分別為pq和．
【教用·微提醒】　(1)下標和相等且左右兩側項數相同時，性質2可以推廣，如：m＋n＋p＝x＋y＋z，則amanap＝axayaz．
(2)若m，p，n成等差數列，則am，ap，an成等比數列．
(3)下標等差時所取項構成等比數列，如{a2n}，{a2n－1}，{a3n－2}，…．
(4)在等比數列{an}中，依次每k項的和(或積)構成公比為qk(或)的等比數列．
[典例講評]　1．(1)在等比數列{an}中，a5＝8，a7＝2，an＞0，則an＝________．
(2)在正項等比數列{an}中，a4a8a12＝8，則log2a2＋log2a14＝________．
(3)若{an}，{bn}都是等比數列，滿足a1b1＝3，a5b5＝6，則a9b9＝________．
[思路引導]　利用等比數列的性質，整體代換求解．
(1)　(2)2　(3)12　[(1)由a7＝a5·q2得q2＝．因為an＞0，所以q＝．
所以an＝a5·qn-5＝8×＝．
(2)在正項等比數列{an}中，因為a4a8a12＝8，
所以a4a8a12＝＝8，
所以a8＝2，log2a2＋log2a14＝log2(a2a14)＝＝log24＝2．
(3)易知{anbn}為等比數列，
則有(a5b5)2＝(a1b1)·(a9b9)，
即62＝3(a9b9)，∴a9b9＝12．]
【教用·備選題】　已知{an}為等比數列．
(1)若{an}滿足a2a4＝，求a5；
(2)若an＞0，a5a7＋2a6a8＋a6a10＝49，求a6＋a8；
(3)若an＞0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
[解]　(1)在等比數列{an}中，∵a2a4＝，
＝a1a5＝a2a4＝，
a5＝．
(2)由等比數列的性質，化簡條件得
＝49，
即(a6＋a8)2＝49，
∵an＞0，
∴a6＋a8＝7．
(3)由等比數列的性質知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2·…·a10)
＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)·(a5a6)]＝log395＝10．
　應用等比數列性質的解題策略
(1)等比數列的性質是等比數列的定義、通項公式等基礎知識的推廣與變形，熟練掌握和靈活應用這些性質可以有效、方便、快捷地解決許多等比數列問題．
(2)應用等比數列的性質解題的關鍵是發現問題中涉及的數列各項的下標之間的關系，充分利用以下公式進行求解：①若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則aman＝apaq．②若m＋n＝2t(m，n，t∈N*)，則aman＝．
[學以致用]　1．等比數列{an}是遞減數列，前n項的積為Tn，若T13＝4T9，則a8a15＝________．
2　[設等比數列{an}的公比為q，
則由題意T13＝4T9，
可得a1a2…a13＝4a1a2…a9，
所以a10a11a12a13＝4．
由等比數列的性質可得a8a15＝a10a13＝a11a12，
所以a8·a15＝±2．
又因為{an}是遞減等比數列，所以q＞0，所以a8·a15＝2．]
探究2　靈活設元解決等比數列問題
【鏈接·教材例題】
例3　數列{an}共有5項，前三項成等比數列，后三項成等差數列，第3項等于80，第2項與第4項的和等于136，第1項與第5項的和等于132．求這個數列．
分析：先利用已知條件表示出數列的各項，再進一步根據條件列方程組求解．
[解]　設前三項的公比為q，后三項的公差為d，則數列的各項依次為，80，80＋d，80＋2d．于是得
解方程組，得
或
所以這個數列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，－48．
[典例講評]　2．有四個數，前三個數成等差數列，后三個數成等比數列，第一個數與第四個數之和為16，第二個數與第三個數之和為12，求這四個數．
[解]　法一：設前三個數依次為a－d，a，a＋d，則第四個數為，
由題意，得
解得或
所以這四個數依次為0，4，8，16或15，9，3，1．
法二：設后三個數依次為，a，aq，
則第一個數為－a．
由題意，得
解得或
所以這四個數依次為0，4，8，16或15，9，3，1．
　巧設等比數列的方法
(1)三個數成等比數列設為，a，aq．
推廣到一般：奇數個數成等比數列設為…，，a，aq，aq2，…．
(2)四個符號相同的數成等比數列設為，aq，aq3．
推廣到一般：偶數個符號相同的數成等比數列設為…，，aq，aq3，aq5，…．
(3)四個數成等比數列，不能確定它們的符號是否相同時，可設為a，aq，aq2，aq3．
[學以致用]　2．有四個數成等比數列，將這四個數分別減去1，1，4，13成等差數列，則這四個數的和是________．
45　[設這四個數分別為a，aq，aq2，aq3，
則a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差數列．
即
整理得
解得a＝3，q＝2．
因此這四個數分別是3，6，12，24，其和為45．]
探究3　等比數列的實際應用
【鏈接·教材例題】
例4　用10 000元購買某個理財產品一年．
(1)若以月利率0.400%的復利計息，12個月能獲得多少利息(精確到0.01元)
(2)若以季度復利計息，存4個季度，則當每季度利率為多少時，按季結算的利息不少于(1)中按月結算的利息(精確到10-5)
分析：復利是指把前一期的利息與本金之和算作本金，再計算下一期的利息，所以若原始本金為a元，每期的利率為r，則從第一期開始，各期的本利和a(1＋r)，a(1＋r)2，…構成等比數列．
[解]　(1)設這筆錢存n個月以后的本利和組成一個數列{an}，則{an}是等比數列，首項a1＝104(1＋0.400%)，公比q＝1＋0.400%，所以
a12＝104(1＋0.400%)12≈10 490.702．
所以，12個月后的利息為10 490.702－104≈490.70(元)．
(2)設季度利率為r，這筆錢存n個季度以后的本利和組成一個數列{bn}，則{bn}也是一個等比數列，首項b1＝104(1＋r)，公比為1＋r，于是
b4＝104(1＋r)4．
因此，以季度復利計息，存4個季度后的利息為
[104(1＋r)4－104]元．
解不等式104(1＋r)4－104≥490.70，得
r≥1.205%．
所以，當季度利率不小于1.205%時，按季結算的利息不少于按月結算的利息．
[典例講評]　3．某人買了一輛價值13.5萬元的新車，專家預測這種車每年按10%的速度貶值．
(1)用一個式子表示n(n∈N*)年后這輛車的價值；
(2)如果他打算用滿4年時賣掉這輛車，他大概能得到多少錢？(精確到0.1)
[解]　(1)從第一年起，每輛車的價值(萬元)依次設為a1，a2，a3，…，an，
由題意，得a1＝13.5，a2＝13.5×(1－10%)，a3＝13.5×(1－10%)2，…．
由等比數列定義，知數列{an}是等比數列，
首項a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9，
∴an＝a1·qn-1＝13.5×0.9n-1．
∴n年后車的價值為an＋1＝13.5×0.9n(萬元)．
(2)由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(萬元)，
∴用滿4年時賣掉這輛車，大概能得到8.9萬元．
　等比數列實際應用問題的關鍵是建立數學模型，即將實際問題轉化成等比數列的問題，解數學模型即解等比數列問題，最后注意數學問題再轉化為實際問題作答．
[學以致用]　3．某傳媒公司決定逐年加大直播帶貨的資金投入，若該公司今年投入的資金為2 000萬元，并在此基礎上，以后每年的資金投入均比上一年增長12%，則該公司需經過________年其投入資金開始超過7 000萬元．
(參考數據：lg 1.12≈0.049，lg 2≈0.301，lg 7≈0.845)
12　[設該公司經過n年投入的資金為an萬元，則a1＝2 000×1.12，
由題意可知，數列{an}是以2 000×1.12為首項，以1.12為公比的等比數列，所以an＝2 000×1.12n，
由an＝2 000×1.12n＞7 000，
可得n＞log1.12＝≈11.1，
因此，該公司需經過12年其投入資金開始超過7 000萬元．]
1．在等比數列{an}中，a6＝，公比q＝，則a10＝(　　)
A．6 B．3 C．12 D．8
A　[在等比數列{an}中，a6＝，公比q＝，則a10＝a6q4＝×()4＝6．故選A．]
2．設{an}是等比數列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，則a6＋a7＋a8＝(　　)
A．12 B．24 C．30 D．32
D　[法一：設等比數列{an}的公比為q，所以＝＝q＝2，由a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝a1(1＋2＋22)＝1，解得a1＝，所以a6＋a7＋a8＝a1(q5＋q6＋q7)＝×(25＋26＋27)＝×25×(1＋2＋22)＝32，故選D．
法二：令bn＝an＋an＋1＋an＋2(n∈N*)，則bn＋1＝an＋1＋an＋2＋an＋3．設數列{an}的公比為q，則＝＝＝q，所以數列{bn}為等比數列，由題意知b1＝1，b2＝2，所以等比數列{bn}的公比q＝2，所以bn＝2n-1，所以b6＝a6＋a7＋a8＝25＝32．故選D．]
3．在等比數列{an}中，a5，a13是方程x2＋6x＋2＝0的兩個根，則＝(　　)
A． B．－ C．± D．2
B　[因為a5，a13是方程x2＋6x＋2＝0的兩個根，所以有a5＋a13＝－6＜0，a5a13＝2＞0，因此a5＜0，a13＜0，由等比數列的性質可知，a9＜0，而＝a5a13＝2 a9＝－，所以＝＝a9＝－．]
4．某工廠去年產值為a，計劃10年內每年比上一年產值增長10%，那么從今年起第________年這個工廠的產值將超過2a．
8　[由題意知每年的產值構成以1.1a為首項，1.1為公比的等比數列，則an＝a·1.1n．
所以a·1.1n＞2a．因為1.17＜2，1.18＞2，所以n＝8．]
1．知識鏈：(1)等比數列中項與項之間的關系及應用．
(2)由等比數列構造新的等比數列．
(3)等比數列中項的設法．
(4)等比數列的實際應用．
2．方法鏈：整體代換的思想、構造法、轉化法、公式法．
3．警示牌：(1)在應用題中，容易忽視數列的項數．
(2)構造新的等比數列易忽視有等于0的項．
(3)四個數成等比數列時設成，aq，aq3未考慮四個數符號不同的情況．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．在等比數列{an}中，如何巧設數列中的項？
[提示]　三個數成等比數列時，可設三數為，a，aq；四個符號相同的數成等比數列時可設為，aq，aq3．
2．在等比數列中，常用到的性質有哪些？
[提示]　①若m＋n＝p＋q，則aman＝apaq；
②若m＋n＝2p，則aman＝．
3．解決等比數列的實際應用問題有哪些注意事項？
[提示]　要注意：①認真審題，弄清題意，將實際問題轉化為適當的數學模型；②合理設出未知數，建立等比數列模型，依據其性質或方程思想求出未知元素；③針對所求結果作出合理解釋．
課時分層作業(八)　等比數列的性質及應用
一、選擇題
1．已知在各項均為正數的等比數列{an}中，lg (a3a8a13)＝6，則a1a15的值為(　　)
A．100 B．－100 C．10 000 D．－10 000
C　[∵lg (a3a8a13)＝＝6，
＝106，∴a8＝102＝100，
∴a1a15＝＝10 000．]
2．在正項等比數列{an}中，a1a13＝36，則a5＋4a9的最小值是(　　)
A．12 B．18 C．24 D．36
C　[在正項等比數列{an}中，a5a9＝a1a13＝36，所以a5＋4a9≥2＝24，
當且僅當a5＝4a9，即a5＝12，a9＝3時，等號成立，即a5＋4a9的最小值是24．
故選C．]
3．已知等比數列{an}的各項均為正數，若a2＝1，a8＝2a6＋3a4，則a9＝(　　)
A．18 B．36 C．27 D．27
D　[設{an}的公比為q，則a8＝a2q6，a6＝a2q4，a4＝a2q2．
因為a8＝2a6＋3a4，所以q6＝2q4＋3q2，因為q≠0，
所以q4－2q2－3＝(q2＋1)(q2－3)＝0，所以q2＝3．因為{an}的各項均為正數，
所以q＝，因為a2＝1，所以a9＝a2q7＝27．故選D．]
4．已知等比數列{an}為遞減數列，若a2a6＝6，a3＋a5＝5，則＝(　　)
A． B． C． D．6
A　[由{an}為等比數列，得a2a6＝a3a5＝6，又a3＋a5＝5，
∴a3，a5為方程x2－5x＋6＝0的兩個根，解得a3＝2，a5＝3或a3＝3，a5＝2，
由{an}為遞減數列得an＞an＋1，∴a3＝3，a5＝2，
∴q2＝＝，則＝＝．故選A．]
5．(多選)已知等比數列{an}各項均為正數，滿足a2·a16＝16，＝，記等比數列{an}的前n項的積為Tn，則當Tn取得最大值時，n＝(　　)
A．8 B．9 C．10 D．11
CD　[因為a2·a16＝16，由等比數列的性質可得，
＝a2·a16＝16，
因為an＞0，所以a9＝4，
因為＝，即＝，
所以q＝，
所以a10＝a9q＝4×＝2，a11＝a10q＝1，
因為0＜q＝＜1，an＞0，
所以等比數列{an}為遞減數列，
當n≥12時，0＜an＜1，
所以當n＝10或n＝11時，Tn取得最大值．]
二、填空題
6．在各項均為正數的等比數列{an}中，a3－a4＝16，a5－a6＝4，則使得an＜1成立的n的最小值為________．
9　[由
得＝q2＝，
所以q＝或q＝－(舍去)，
由a3(1－q)＝16，得a3＝32，
所以an＝a3qn-3＝28-n，
由28-n＜1，得8－n＜0，所以n＞8，
即n的最小值為9．]
7．在等比數列{an}中，公比q＝2，且＝，則a9＋a10＋a11＋a12＝________．
12　[根據題意，＝，
＝，
則＝＝，
則有＝，
則有＝，
變形可得a9＋a10＋a11＋a12＝12．]
8．已知三個數成等比數列，其積為512，如果第一個數與第三個數各減去2，此時的三個數成等差數列，則原來的三個數的和等于________．
28　[依題意，設原來的三個數依次為，a，aq．
因為·a·aq＝512，所以a＝8．
又因為第一個數與第三個數各減去2后的三個數成等差數列，所以＋(aq－2)＝2a，
所以2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝，
所以原來的三個數為4，8，16或16，8，4．
因為4＋8＋16＝16＋8＋4＝28，
所以原來的三個數的和等于28．]
三、解答題
9．某公司的銷售額下跌嚴重，從2023年的7月銷售收入128萬元，到9月跌至32萬元．你能求出該公司7月到9月之間平均每月下降的百分比嗎？若按此計算，到什么時候每月銷售收入跌至8萬元？
[解]　設平均每月下降的百分比為x，則每月的銷售收入構成了等比數列{an}，a1＝128，則a2＝a1(1－x)，
a3＝a1(1－x)2＝128(1－x)2＝32，解得x＝50%．
設an＝8，an＝128(1－50%)n-1＝8，解得n＝5，
所以從2023年的7月算起第5個月，即2023年的11月該公司的銷售收入跌至8萬元．
10．(多選)已知等比數列{an}的公比q<0，等差數列{bn}的首項b1＞0，若a9＞b9，且a10＞b10，則下列結論一定正確的是(　　)
A．a9a10＜0 B．a9＞a10
C．b10＞0 D．b9＞b10
AD　[對于選項A，因為q<0，
所以a9a10＝a9·a9q＝q＜0，故A正確；
對于選項B，因為a9a10＜0，
所以或
即a9＞a10或a9＜a10，故B錯誤；
對于選項C，D，因為a9，a10異號，a9＞b9，且a10＞b10，所以b9，b10中至少有一個負數，
又因為b1＞0，所以d＜0，b9＞b10，故C錯誤，D正確．故選AD．]
11．已知等比數列{an}的首項為1，則“a2 021＜a2 024”是“a2 023＜a2 025”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
A　[因為等比數列{an}的首項為1，所以數列的奇數項一定為正，
若a2 021＜a2 024，則＝q3＞1，即q＞1，此時＝q2＞1，
故a2 023＜a2 025，即充分性成立；若a2 023＜a2 025，則＝q2＞1，
所以q＞1或q＜－1，此時＝q3＞1或＝q3＜－1，
所以a2 021＜a2 024不一定成立，即必要性不成立．故選A．]
12．(多選)在正項等比數列{an}中，公比為q，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an＋1an＋2an＋3＝324，則下列說法正確的是(　　)
A．q2＝ B．＝4
C．a4a6＝2 D．n＝12
BD　[已知正項等比數列{an}的公比為q(q＞0)，則an＝a1qn-1．
由a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，得＝＝12，B正確；而a5＝a2q3，于是(a2q3)3＝12，即q9＝3，A錯誤；而a5＝，C錯誤；由an＋1an＋2an＋3＝324得＝324，即(a2qn)3＝324，因為＝4，所以q3n＝81＝34＝(q9)4＝q36，所以3n＝36，解得n＝12，D正確．故選BD．]
13．在各項均為正數的等比數列{an}中，a1a11＋2a6a8＋a3a13＝25，則a1a13的最大值是________．
　[∵{an}是等比數列，且a1a11＋2a6a8＋a3a13＝＝(a6＋a8)2＝25．
又∵an＞0，∴a6＋a8＝5，
∴a1a13＝a6a8≤＝，當且僅當a6＝a8＝時取等號．]
14．某廠生產電腦，原計劃第一季度每月增加臺數相同，在生產過程中，實際上二月份比原計劃多生產10臺，三月份比原計劃多生產25臺，這樣三個月產量成等比數列，而第三個月的產量比原計劃第一季度總產量的一半少10臺．問：該廠第一季度實際生產電腦多少臺？
[解]　根據已知，可設該廠第一季度原計劃3個月生產電腦臺數分別為x－d，x，x＋d(d＞0)，則實際上3個月生產電腦臺數分別為x－d，x＋10，x＋d＋25，
由題意得解得
故共有(x－d)＋(x＋10)＋(x＋d＋25)＝3x＋35＝3×90＋35＝305(臺)，
即該廠第一季度實際生產電腦305臺．
15．已知函數f (x)＝，數列{an}是正項等比數列，且a10＝1，則f (a1)＋f (a2)＋f (a3)＋…＋f (a18)＋f (a19)＝________．
　[函數f (x)＝，
當x＞0時，f (x)＋f＝＝＝1，
因為數列{an}是正項等比數列，且a10＝1，
則a1a19＝a2a18＝a3a17＝…＝＝1，f (a1)＋f (a19)＝f (a1)＋f ＝1，同理f (a2)＋f (a18)＝f (a3)＋f (a17)＝…＝f (a10)＋f (a10)＝1，
令S＝f (a1)＋f (a2)＋f (a3)＋…＋f (a18)＋f (a19)，
又S＝f (a19)＋f (a18)＋f (a17)＋…＋f (a2)＋f (a1)，
則有2S＝19，S＝，所以f (a1)＋f (a2)＋f (a3)＋…＋f (a18)＋f (a19)＝．]
14/144.3　等比數列
4.3.1　等比數列的概念
第1課時　等比數列的概念及通項公式
[學習目標]　1．借助教材實例理解等比數列、等比中項的概念．(數學抽象)
2．會求等比數列的通項公式，并能利用等比數列的通項公式解決相關的問題．(數學運算)
3．體會等比數列與指數函數的關系．(數學抽象)
4．能在具體的問題情境中，發現數列的等比關系，并解決相應的問題．(數學運算、數學建模)
[討論交流]　
問題1．等比數列的定義是什么？
問題2．等比中項的定義是什么？
問題3．等比數列的通項公式是什么？
問題4．如何推導等比數列的通項公式？
問題5．如何判定等比數列？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認知，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　等比數列的概念
探究問題1　觀察下面幾個問題中的數列，回答下面的問題．
(1)我國古代數學名著《孫子算經》中有一個有趣的問題叫“出門望九堤”：“今有出門望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雛，雛有九毛，毛有九色，問各有幾何？”
構成數列：9，92，93，94，95，96，97，98；
(2)《莊子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭．”這句話中隱藏著一列數：，…；
(3)－的n次冪按1次冪、2次冪、3次冪…，依次排成一列數：－，－，…．
類比等差數列的研究，你認為可以通過怎樣的運算發現以上數列的取值規律？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
等比數列的概念
文字語言 一般地，如果一個數列從第________項起，每一項與它的前一項的比都等于________，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的________，公比通常用字母q表示(q≠0)
符號語言 ＝________(q為常數，q≠0，n∈N*)
[典例講評]　1．(源自北師大版教材)以下數列中，哪些是等比數列？
(1)1，－，－；
(2)1，1，1，…，1；
(3)1，2，4，8，12，16，20；
(4)a，a2，a3，…，an．
[嘗試解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數，那么這個數列是等比數列，否則，不是等比數列，且等比數列中任意一項不能為0，對于含參的數列需要分類討論．
[學以致用]　1．(多選)下面四個數列中是等比數列的有(　　)
A．1，1，2，4，8，16，32，64
B．在數列{an}中，已知＝2，＝2
C．數列{an}的通項公式為an＝3×2n
D．在數列{an}中，＝q，其中n∈N*
探究2　等比中項
探究問題2　任意兩個實數都有等差中項，那么，任意兩個數都有等比中項嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
等比中項：如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，那么G叫做a與b的________，此時，G2＝________．
[典例講評]　2．在3和9之間插入兩個正數后，使前三個數成等比數列，后三個數成等差數列，則這兩個正數之和為(　　)
A．　　B．　　C．　　D．10
[嘗試解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　(1)由等比中項的定義可知＝ G2＝ab G＝±，所以只有a，b同號時，a，b的等比中項有兩個；異號時，沒有等比中項；
(2)在一個等比數列中，從第2項起，每一項(有窮數列的末項除外)都是它的前一項和后一項的等比中項．
[學以致用]　2．－1與＋1的等比中項是(　　)
A．　　　B．－　　　C．±　　　D．±
探究3　等比數列的通項公式
探究問題3　類比等差數列，你能根據等比數列的定義推導它的通項公式嗎？請結合等差數列的定義寫出其符號表達式．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
1．若等比數列{an}的首項為a1，公比為q，則an＝________(n∈N*)．
2．等比數列的通項公式與指數型函數的關系
(1)當q＞0且q≠1時，等比數列{an}的第n項an是函數f (x)＝·qx(x∈R)當x＝n時的函數值，即an＝f (n)．
(2)由等比數列與指數函數的關系可得等比數列的單調性如下：
①當或時，等比數列{an}為遞增數列；
②當或時，等比數列{an}為遞減數列．
③當q＝1時，等比數列{an}為常數列．
④當q＜0時，等比數列{an}為________數列．
[典例講評]　3．(1)若{an}為等比數列，則“a1＜a3＜a5”是“數列{an}是遞增數列”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
(2)(源自湘教版教材)已知數列{an}是公比為q的等比數列．
①若a2＝2，a5＝54，求{an}的通項公式；
②若a1＝125，q＝0.2，an＝3.2×10-4，求n．
[嘗試解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求a1和q的兩種方法
(1)通性通法：根據已知條件，建立關于a1，q的方程組，求出a1，q后再求an，這是常規方法．
(2)整體代換法：充分利用各項之間的關系，直接求出q或qn整體后，再求a1，最后求an，這種方法帶有一定的技巧性，能簡化運算．
[學以致用]　3．在等比數列{an}中，a2＋a4＝1，a6＋a8＝9，則a2＝(　　)
A． B． C． D．4
探究4　等比數列的判定與證明
探究問題4　若數列{an}中an≠0，則由＝a1a3能判定{an}是等比數列嗎？若是＝anan＋2呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
判定與證明等比數列的方法
(1)定義法：＝q(n∈N*且n≥2，q是不為0的常數)；
(2)等比中項法：＝________(n∈N*且n≥2)；
(3)通項公式法：an＝________＝·qn＝A·qn(A≠0)．
[典例講評]　4．已知數列的前n項和為Sn＝2n＋a，試判斷{an}是不是等比數列．
[思路引導]　利用an與Sn的關系確定通項an，再用定義加以證明．
[嘗試解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]　
1．將例題中的條件“Sn＝2n＋a”變為“a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1(n∈N*)”．
(1)證明：數列{an－n}是等比數列；
(2)求數列{an}的通項公式．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　判斷一個數列是等比數列的常用方法
(1)定義法：若數列{an}滿足＝q(n∈N*，q為常數且不為零)或＝q(n≥2，且n∈N*，q為常數且不為零)，則數列{an}是等比數列．
(2)通項公式法：若數列{an}的通項公式為an＝a1qn-1(a1≠0，q≠0)，則數列{an}是等比數列．
(3)等比中項法：若＝anan＋2(n∈N*且an≠0)，則數列{an}為等比數列．
[學以致用]　4．設數列{an}的前n項和為Sn，且nSn＋(n＋2)an＝4n，求證：數列是等比數列．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．在等比數列{an}中，a1＝，q＝，an＝，則項數n為(　　)
A．3　　　 B．4　　　 C．5　　　 D．6
2．若a，b，c成等比數列且公比為q，那么(　　)
A．不一定是等比數列
B．一定不是等比數列
C．一定是等比數列，且公比為
D．一定是等比數列，且公比為q
3．在等比數列{an}中，若a1＝，公比q＝2，則a4與a8的等比中項是________．
4．已知在等比數列{an}中，若它的首項為2，公比為3，則通項公式an＝________．
1．知識鏈：(1)等比數列的概念．
(2)等比中項的概念．
(3)等比數列的通項公式及其與函數的關系．
(4)等比數列的判定與證明．
2．方法鏈：方程(組)法、構造法、定義法、整體代換法．
3．警示牌：x，G，y成等比數列 G2＝xy，但G2＝xyx，G，y成等比數列．
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