資源簡介

5.1　導數的概念及其意義
5.1.1　變化率問題
[學習目標]　1．通過對大量實例的分析，經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程．(數學抽象)
2．會求函數在某一點附近的平均變化率．(數學運算)
3．理解函數的平均變化率、瞬時變化率及瞬時速度的概念．(數學抽象)
(教師用書)
1．高臺跳水運動中，運動員相對于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時間t(單位：s)存在函數關系h(t)＝＋6.5t＋10．那么如何用運動員在某些時間段內的平均速度粗略地描述其運動狀態？
2．很多人都吹過氣球，回憶一下吹氣球的過程，可以發現隨著氣球內空氣容量的增加，氣球半徑增加越來越慢，那么如何描述這種現象呢？
[討論交流]
問題1．平均速度的定義是什么？
問題2．瞬時速度的定義是什么？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認知，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　平均速度
探究問題1　某公路上存在一段長為2 km的測速路段，假定測速超過100 km/h即為超速，某汽車用時1.5分鐘，它超速了嗎？你覺得這種測速的本質是什么？
[提示]　記測速為v，則v＝＝80 km/h，因此它沒有超速．這種測速的本質是汽車的平均速度．
[新知生成]
1．平均速度：我們把位移s看成關于時間t的函數s＝s(t)，則物體在時間段[t1，t2]上的平均速度＝．
2．物體在某一時段內的平均速度的大小反映了物體運動的快慢．
[典例講評]　1．已知某質點按規律s＝2t2＋2t做直線運動(路程s的單位為m)，求：
(1)該質點在前3 s內運動的平均速度；
(2)該質點在2 s到3 s這段時間內運動的平均速度．
[解]　(1)依題意知Δt＝3，Δs＝s(3)－s(0)＝24，
所以平均速度為＝＝＝8(m/s)．
(2)由題意知Δt＝3－2＝1，Δs＝s(3)－s(2)＝12，
所以平均速度為＝＝＝12(m/s)．
　求物體運動的平均速度的步驟
(1)先計算位移的改變量s(t2)－s(t1)．
(2)再計算時間的改變量t2－t1．
(3)得平均速度＝．
[學以致用]　1．一質點做直線運動，其位移s與時間t的關系s(t)＝t2＋1，該質點在[2，2＋Δt](Δt＞0)上的平均速度不大于5，求Δt的取值范圍．
[解]　質點在[2，2＋Δt]上的平均速度為
＝＝＝4＋Δt．
又≤5，即4＋Δt≤5，所以Δt≤1．
又Δt＞0，所以Δt的取值范圍為(0，1]．
探究2　瞬時速度
探究問題2　區間[t0，t0＋Δt]表示時刻t0和其后某一時刻t0＋Δt，隨著Δt的改變，區間變大或變小，如果Δt變成無限接近0的正數，那么我們該如何認識＝呢？
[提示]　用極限思想可以理解為t0時刻的瞬時速度．
[新知生成]
1．瞬時速度：物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度．
2．瞬時速度與平均速度的關系：從物理角度看，當時間間隔|Δt|無限趨近于0時，平均速度就無限趨近于t＝t0時的瞬時速度．
3．設物體運動的時間與位移的函數關系為s＝s(t)，則物體在t0時刻的瞬時速度為v＝．
【教用·微提醒】　(1)“Δt→0”讀作“Δt無限趨近于0”，是指時間間隔越來越短，能越過任意小的時間間隔，即|Δt|要多小就有多小，其含義是可以小于任何預先給定的正數，但Δt始終不能為零．
(2)當Δt→0，比值趨近于一個確定的常數時，此常數才稱為物體在t＝t0時的瞬時速度．
(3)“lim”意為極限，＝l表示當Δt→0時，以常數l為極限．
[典例講評]　2．某物體的運動路程s(單位：m)與時間t(單位：s)的關系可用函數s(t)＝t2＋t＋1表示，求物體在t＝1 s時的瞬時速度．
[思路導引]　計算物體在[1，1＋Δt](Δt>0)或[1＋Δt，1](Δt<0)內的平均速度計算得t＝1 s時的瞬時速度．
[解]　∵＝＝＝3＋Δt，
∴＝＝3．
∴物體在t＝1 s時的瞬時速度為3 m/s．
[母題探究]　
1．在本例條件不變的前提下，試求物體的初速度．
[解]　求物體的初速度，即求物體在t＝0時的瞬時速度．
∵＝
＝＝1＋Δt，
∴＝1．
即物體的初速度為1 m/s．
2．在本例條件不變的前提下，試問：物體在哪一時刻的瞬時速度為9 m/s．
[解]　設物體在t0時刻的瞬時速度為9 m/s．
又＝＝2t0＋1＋Δt．
＝＝2t0＋1，
則2t0＋1＝9，∴t0＝4，
則物體在4 s時的瞬時速度為9 m/s．
　求物體運動瞬時速度的主要步驟
(1)求時間改變量Δt和位移改變量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；
(2)求平均速度＝；
(3)求瞬時速度，當Δt無限趨近于0時，無限趨近于的常數v，即為瞬時速度，即v＝．
[學以致用]　2．火箭發射t s后，其高度(單位：m)為h(t)＝0.9t2．那么t＝________s時火箭的瞬時速度為3.6 m/s．
2　[＝＝＝0.9Δt＋1.8t0．
當Δt→0時，→1.8t0，即t＝t0時的瞬時速度為1.8t0，
由1.8t0＝3.6，得t0＝2．]
探究3　求曲線在某點處切線的斜率或方程
探究問題3　在點P0(1，1)的附近任取一點P(x，x2)，考察拋物線f (x)＝x2的割線P0P有什么變化趨勢？
[提示]　當點P無限趨近于點P0時，割線P0P無限趨近于一個確定的位置．
[新知生成]
1．切線的斜率：當點P無限趨近于點P0時，割線P0P無限趨近于一個確定的位置，這個確定位置的直線P0T稱為曲線y＝f (x)在點P0(x0，f (x0))處的切線，則切線P0T的斜率k0＝．
2．切線的斜率與割線的斜率的關系：從幾何圖形上看，當橫坐標間隔|Δx|無限變小時，點P無限趨近于點P0，于是割線P0P無限趨近于點P0處的切線P0T，這時，割線P0P的斜率k無限趨近于點P0處的切線P0T的斜率k0．
【教用·微提醒】　(1)不管點P在點P0左側附近，還是右側附近，割線P0P的斜率k的表達式是一樣的．
(2)極限的幾何意義：曲線y＝f (x)在x＝x0處的切線斜率．
[典例講評]　3．若曲線y＝x3存在斜率為1的切線，試求出切線方程．
[解]　設曲線y＝x3在點處切線的斜率為1．
因為＝＝＋3x0Δx＋(Δx)2，
所以，當Δx→0時．
又切線的斜率為1，
所以＝1，解得x0＝±，
所以在點和處切線的斜率為1．
由點斜式方程可得切線方程為y＝x－和y＝x＋．
　求函數y＝f (x)在x＝x0處的切線斜率的三個步驟
[學以致用]　3．求曲線y＝在x＝2處的切線方程．
[解]　因為Δy＝＝－1＝－，
所以＝－，
所以k＝＝＝－＝－1．
又x＝2時，y＝＝1，
所以切線方程為y－1＝－1×(x－2)，即x＋y－3＝0．
【教用·備選題】　曲線y＝在x＝x0處的切線方程為x－y＋c＝0，求x0與c．
[解]　Δy＝＝．
由于切線x－y＋c＝0的斜率為1，
所以1＝＝＝，
解得x0＝－2．
當x0＝－2時，y0＝＝1，
所以－2－1＋c＝0，解得c＝3．
故所求x0＝－2，c＝3．
1．如圖是某物體運動的位移s關于時間t的函數圖象，則該物體在A，B兩點間的平均速度等于(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
B　[由題意得，平均速度為＝－1．]
2．若質點A按照規律s＝3t2運動，則在t＝3時的瞬時速度為 (　　)
A．6 B．18 C．54 D．81
B　[由題可得＝＝＝18．故選B．]
3．設曲線y＝f (x)在x＝1處切線的斜率為2，則＝________．
　[根據條件知k＝＝2，
∴＝＝．]
4．過曲線y＝f (x)＝上一點(2，－2)及鄰近一點(2＋Δx，－2＋Δy)作割線，則當Δx＝0.5時割線的斜率為________，在點(2，－2)處的切線斜率為________．
　1　[割線的斜率k＝＝＝＝2＝．
＝＝＝＝1，
故在點(2，－2)處的切線斜率為1．]
1．知識鏈：(1)平均速度．
(2)瞬時速度．
(3)曲線在某點處的切線方程．
2．方法鏈：定義法、極限思想．
3．警示牌：對割線的斜率與切線的斜率之間的關系理解不到位．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．你理解的平均速度和瞬時速度有什么區別和聯系？
[提示]　區別：瞬時速度是刻畫物體在某一時刻的運動狀態，而平均速度則是刻畫物體在一段時間內的運動狀態，與該段時間內的某一時刻無關．
聯系：瞬時速度是平均速度在變化時間趨近于0時的極限值．
2．曲線y＝f (x)在x＝x0處的切線斜率反映了函數什么樣的實質？
[提示]　曲線y＝f (x)在x＝x0處的切線斜率反映了函數圖象在該點處的瞬時變化率，它揭示了事物在某時刻的變化情況．
3．求曲線y＝f (x)在x＝x0處的切線方程的步驟是什么？
[提示]　①求斜率：
k＝；
②寫方程：用點斜式y－f (x0)＝k(x－x0)寫出切線方程；
③變形式：將點斜式變為一般式．
課時分層作業(十二)　變化率問題
一、選擇題
1．(多選)自由落體運動的公式為s(t)＝gt2(g取10 m/s2)．若v＝，則下列說法不正確的是(　　)
A．v是在0～1 s這段時間內的速度
B．v是1 s到(1＋Δt)s這段時間內的速度
C．5Δt＋10是物體在t＝1 s這一時刻的速度
D．5Δt＋10是物體從1 s到(1＋Δt)s這段時間內的平均速度
ABC　[由平均速度的概念知v＝＝5Δt＋10．故A，B，C三項均錯誤，D項正確．]
2．某物體運動的位移s(單位：m)與時間t(單位：s)之間的函數關系為s(t)＝5－2t2，則該物體在時間[1，2]上的平均速度為(　　)
A．－6 m/s B．2 m/s
C．－2 m/s D．6 m/s
A　[平均速度為＝＝－6．故選A．]
3．一個物體做直線運動，位移s(單位：m)與時間t(單位：s)之間的函數關系為s(t)＝5t2＋mt，且這一物體在[2，3]這段時間內的平均速度為26 m/s，則實數m的值為(　　)
A．2 B．1 C．－1 D．6
B　[由已知，得＝26，所以(5×32＋3m)－(5×22＋2m)＝26，解得m＝1．]
4．設函數f (x)＝x(x－6)，則此函數圖象在x＝0處的切線斜率為(　　)
A．0 B．－1 C．3 D．－6
D　[＝＝Δx－6，則切線斜率k＝＝＝－6．]
5．如果質點A沿直線運動的位移s(單位：米)與時間t(單位：秒)之間的函數關系為s(t)＝，那么該質點在t＝3秒時的瞬時速度(單位：米/秒)為(　　)
A． B．－ C． D．－
D　[從t＝3秒到t＝(3＋Δt)(Δt＞0)秒的平均速度為＝＝
＝－，所以＝
＝－．故選D．]
二、填空題
6．如圖，已知曲線y＝x2，P(0.4，0.16)是曲線上的一點，Q是曲線上點P附近的一個點，設點Q的橫坐標為x，則割線PQ的斜率是________(用含x的式子表示)．
x＋0.4　[由題知Q(x，x2)，P(0.4，0.16)，所以割線PQ的斜率kPQ＝＝x＋0.4．]
7．已知曲線y＝上一點P(1，1)，則曲線在點P處的切線的斜率為________．
－2　[曲線y＝上一點P(1，1)，在點P處的切線的斜率為＝＝＝－2，所以曲線在點P處的切線的斜率為－2．]
8．在高臺跳水運動中，運動員相對于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時間t(單位：s)存在函數關系為h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，則起跳后1 s時的瞬時速度是________ m/s．
－3.3　[起跳后1 s時的瞬時速度
v＝
＝＝＝－3.3(m/s)．]
三、解答題
9．某物體運動的位移s與時間t之間的函數關系式為s(t)＝sin t，t∈．
(1)分別求物體在區間和上的平均速度；
(2)比較(1)中兩個平均速度的大小，說明其幾何意義．
[解]　(1)物體在區間上的平均速度為＝＝＝．
物體在區間上的平均速度為
＝＝＝．
(2)由(1)可知－＝＞0，所以＜．
作出函數s(t)＝sin t在上的圖象，如圖所示，可以發現，在上，隨著t的增大，函數值s(t)變化得越來越慢．
10．某做直線運動的物體從時刻t到t＋Δt的位移為Δs，那么為(　　)
A．從時刻t到t＋Δt物體的平均速度
B．從時刻t到t＋Δt位移的平均變化率
C．當時刻為Δt時該物體的速度
D．該物體在t時刻的瞬時速度
D　[根據題意，做直線運動的物體，從時刻t到t＋Δt的這段時間里，時間的改變量為Δt，而物體的位移為Δs，那么為該物體在t時刻的瞬時速度．故選D．]
11．設曲線y＝ax2在點(1，a)處的切線與直線2x－y－6＝0平行，則a等于(　　)
A．1 B． C．－ D．－1
A　[因為＝＝＝2a，
所以2a＝2，所以a＝1．故選A．]
12．一質點按照運動規律s＝2t2－t運動，其中s表示位移(單位：m)，t表示時間(單位：s)，則質點在[2，2＋Δt]這段時間內的平均速度是________m/s，在t＝2時的瞬時速度是________m/s．
7＋2Δt　7　[＝
＝
＝＝7＋2Δt，
v＝＝7．]
13．一質點M做直線運動的位移(單位：m)與時間t(單位：s)的函數關系式為s(t)＝at2＋1，若質點M在t＝2 s時的瞬時速度為8 m/s，則常數a的值為________．
2　[因為質點M在t＝2到t＝2＋Δt的平均速度為＝＝＝4a＋aΔt，
所以＝4a＝8，解得a＝2．]
14．若拋物線y＝x2－x＋c上一點P的橫坐標是－2，拋物線在點P處的切線恰好過坐標原點，求c的值．
[解]　設拋物線在點P處的切線斜率為k，則
k＝＝－5，
所以切線方程為y＝－5x，所以點P的縱坐標為y＝－5×(－2)＝10，將點P(－2，10)代入y＝x2－x＋c，得c＝4．
15．若一物體運動的位移s(單位：m)與時間t(單位：s)的函數關系為s(t)＝
求：(1)物體在[3，5]內的平均速度；
(2)物體的初速度v0；
(3)物體在t＝1時的瞬時速度．
[解]　(1)因為物體在[3，5]內的時間變化量為Δt＝5－3＝2，物體在[3，5]內的位移變化量為Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，所以物體在[3，5]內的平均速度為＝＝24(m/s)．
(2)求物體的初速度v0，即求物體在t＝0時的瞬時速度．
因為＝＝＝3Δt－18，所以物體在t＝0時的瞬時速度為＝＝－18，即物體的初速度為－18 m/s．
(3)因為＝＝＝3Δt－12，所以物體在t＝1時的瞬時速度為＝－12，即物體在t＝1時的瞬時速度為－12 m/s．
12/12(共55張PPT)
5.1.1　變化率問題
第五章　一元函數的導數及其應用
5.1　導數的概念及其意義
整體感知
[學習目標]　1．通過對大量實例的分析，經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程．(數學抽象)
2．會求函數在某一點附近的平均變化率．(數學運算)
3．理解函數的平均變化率、瞬時變化率及瞬時速度的概念．(數學抽象)
(教師用書)
1．高臺跳水運動中，運動員相對于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時間t(單位：s)存在函數關系h(t)＝＋6.5t＋10．那么如何用運動員在某些時間段內的平均速度粗略地描述其運動狀態？
2．很多人都吹過氣球，回憶一下吹氣球的過程，可以發現隨著氣球內空氣容量的增加，氣球半徑增加越來越慢，那么如何描述這種現象呢？
[討論交流]
問題1．平均速度的定義是什么？
問題2．瞬時速度的定義是什么？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認知，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究建構
探究1　平均速度
探究問題1　某公路上存在一段長為2 km的測速路段，假定測速超過100 km/h即為超速，某汽車用時1.5分鐘，它超速了嗎？你覺得這種測速的本質是什么？
[提示]　記測速為v，則v＝＝80 km/h，因此它沒有超速．這種測速的本質是汽車的平均速度．
[新知生成]
1．平均速度：我們把位移s看成關于時間t的函數s＝s(t)，則物體在時間段[t1，t2]上的平均速度＝．
2．物體在某一時段內的平均速度的大小反映了物體運動的____．
快慢
[典例講評]　1．已知某質點按規律s＝2t2＋2t做直線運動(路程s的單位為m)，求：
(1)該質點在前3 s內運動的平均速度；
(2)該質點在2 s到3 s這段時間內運動的平均速度．
[解]　(1)依題意知Δt＝3，Δs＝s(3)－s(0)＝24，
所以平均速度為＝＝＝8(m/s)．
(2)由題意知Δt＝3－2＝1，Δs＝s(3)－s(2)＝12，
所以平均速度為＝＝＝12(m/s)．
反思領悟　求物體運動的平均速度的步驟
(1)先計算位移的改變量s(t2)－s(t1)．
(2)再計算時間的改變量t2－t1．
(3)得平均速度＝．
[學以致用]　1．一質點做直線運動，其位移s與時間t的關系s(t)＝t2＋1，該質點在[2，2＋Δt](Δt＞0)上的平均速度不大于5，求Δt的取值范圍．
[解]　質點在[2，2＋Δt]上的平均速度為
＝＝＝4＋Δt．
又≤5，即4＋Δt≤5，所以Δt≤1．
又Δt＞0，所以Δt的取值范圍為(0，1]．
探究2　瞬時速度
探究問題2　區間[t0，t0＋Δt]表示時刻t0和其后某一時刻t0＋Δt，隨著Δt的改變，區間變大或變小，如果Δt變成無限接近0的正數，那么我們該如何認識＝呢？
[提示]　用極限思想可以理解為t0時刻的瞬時速度．
[新知生成]
1．瞬時速度：物體在________的速度稱為瞬時速度．
2．瞬時速度與平均速度的關系：從物理角度看，當時間間隔|Δt|無限趨近于0時，平均速度就無限趨近于t＝t0時的瞬時速度．
3．設物體運動的時間與位移的函數關系為s＝s(t)，則物體在t0時刻的瞬時速度為v＝．
某一時刻
【教用·微提醒】　(1)“Δt→0”讀作“Δt無限趨近于0”，是指時間間隔越來越短，能越過任意小的時間間隔，即|Δt|要多小就有多小，其含義是可以小于任何預先給定的正數，但Δt始終不能為零．
(2)當Δt→0，比值趨近于一個確定的常數時，此常數才稱為物體在t＝t0時的瞬時速度．
(3)“lim”意為極限，＝l表示當Δt→0時，以常數l為極限．
[典例講評]　2．某物體的運動路程s(單位：m)與時間t(單位：s)的關系可用函數s(t)＝t2＋t＋1表示，求物體在t＝1 s時的瞬時速度．
[思路導引]　計算物體在[1，1＋Δt](Δt>0)或[1＋Δt，1](Δt<0)內的平均速度計算得t＝1 s時的瞬時速度．
[解]　∵＝＝＝3＋Δt，
∴＝＝3．
∴物體在t＝1 s時的瞬時速度為3 m/s．
[母題探究]　
1．在本例條件不變的前提下，試求物體的初速度．
[解]　求物體的初速度，即求物體在t＝0時的瞬時速度．
∵＝＝＝1＋Δt，
∴＝1．
即物體的初速度為1 m/s．
2．在本例條件不變的前提下，試問：物體在哪一時刻的瞬時速度為9 m/s．
[解]　設物體在t0時刻的瞬時速度為9 m/s．
又＝＝2t0＋1＋Δt．
＝＝2t0＋1，
則2t0＋1＝9，∴t0＝4，
則物體在4 s時的瞬時速度為9 m/s．
反思領悟　求物體運動瞬時速度的主要步驟
(1)求時間改變量Δt和位移改變量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；
(2)求平均速度＝；
(3)求瞬時速度，當Δt無限趨近于0時，無限趨近于的常數v，即為瞬時速度，即v＝．
[學以致用]　2．火箭發射t s后，其高度(單位：m)為h(t)＝0.9t2．那么t＝________s時火箭的瞬時速度為3.6 m/s．
2　[＝＝＝0.9Δt＋1.8t0．
當Δt→0時，→1.8t0，即t＝t0時的瞬時速度為1.8t0，
由1.8t0＝3.6，得t0＝2．]
2
探究3　求曲線在某點處切線的斜率或方程
探究問題3　在點P0(1，1)的附近任取一點P(x，x2)，考察拋物線f (x)＝x2的割線P0P有什么變化趨勢？
[提示]　當點P無限趨近于點P0時，割線P0P無限趨近于一個確定的位置．
[新知生成]
1．切線的斜率：當點P無限趨近于點P0時，割線P0P無限趨近于一個確定的位置，這個確定位置的直線P0T稱為曲線y＝f (x)在點P0(x0，f (x0))處的切線，則切線P0T的斜率k0＝．
2．切線的斜率與割線的斜率的關系：從幾何圖形上看，當橫坐標間隔|Δx|無限變小時，點P無限趨近于點P0，于是割線P0P無限趨近于點P0處的切線P0T，這時，割線P0P的斜率k無限趨近于點P0處的切線P0T的斜率k0．
【教用·微提醒】　(1)不管點P在點P0左側附近，還是右側附近，割線P0P的斜率k的表達式是一樣的．
(2)極限的幾何意義：曲線y＝f (x)在x＝x0處的切線斜率．
[典例講評]　3．若曲線y＝x3存在斜率為1的切線，試求出切線方程．
[解]　設曲線y＝x3在點處切線的斜率為1．
因為＝＝＋3x0Δx＋(Δx)2，
所以，當Δx→0時．
又切線的斜率為1，所以＝1，解得x0＝±，
所以在點和處切線的斜率為1．
由點斜式方程可得切線方程為y＝x－和y＝x＋．
反思領悟　求函數y＝f (x)在x＝x0處的切線斜率的三個步驟
[學以致用]　3．求曲線y＝在x＝2處的切線方程．
[解]　因為Δy＝＝－1＝－，
所以＝－，
所以k＝＝＝－＝－1．
又x＝2時，y＝＝1，
所以切線方程為y－1＝－1×(x－2)，即x＋y－3＝0．
【教用·備選題】　曲線y＝在x＝x0處的切線方程為x－y＋c＝0，求x0與c．
[解]　Δy＝＝．
由于切線x－y＋c＝0的斜率為1，
所以1＝＝＝，解得x0＝－2．
當x0＝－2時，y0＝＝1，所以－2－1＋c＝0，解得c＝3．
故所求x0＝－2，c＝3．
2
4
3
題號
1
應用遷移
B　[由題意得，平均速度為＝－1．]
1．如圖是某物體運動的位移s關于時間t的函數圖象，則該物體在A，B兩點間的平均速度等于(　　)
A．1　　 B．－1
C．2　　 D．－2
√
2
3
題號
1
4
2．若質點A按照規律s＝3t2運動，則在t＝3時的瞬時速度為 (　　)
A．6　　B．18　　C．54　　D．81
√
B　[由題可得＝＝＝18．故選B．]
2
3
題號
4
1
3．設曲線y＝f (x)在x＝1處切線的斜率為2，則＝________．
　[根據條件知k＝＝2，
∴＝＝．]
2
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題號
1
4．過曲線y＝f (x)＝上一點(2，－2)及鄰近一點(2＋Δx，－2＋Δy)作割線，則當Δx＝0.5時割線的斜率為________，在點(2，－2)處的切線斜率為________．
　1　[割線的斜率k＝＝＝＝2＝．
＝＝＝＝1，
故在點(2，－2)處的切線斜率為1．]
1
1．知識鏈：(1)平均速度．
(2)瞬時速度．
(3)曲線在某點處的切線方程．
2．方法鏈：定義法、極限思想．
3．警示牌：對割線的斜率與切線的斜率之間的關系理解不到位．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．你理解的平均速度和瞬時速度有什么區別和聯系？
[提示]　區別：瞬時速度是刻畫物體在某一時刻的運動狀態，而平均速度則是刻畫物體在一段時間內的運動狀態，與該段時間內的某一時刻無關．
聯系：瞬時速度是平均速度在變化時間趨近于0時的極限值．
2．曲線y＝f (x)在x＝x0處的切線斜率反映了函數什么樣的實質？
[提示]　曲線y＝f (x)在x＝x0處的切線斜率反映了函數圖象在該點處的瞬時變化率，它揭示了事物在某時刻的變化情況．
3．求曲線y＝f (x)在x＝x0處的切線方程的步驟是什么？
[提示]　①求斜率：k＝；
②寫方程：用點斜式y－f (x0)＝k(x－x0)寫出切線方程；
③變形式：將點斜式變為一般式．
課時分層作業(十二)　變化率問題
題號
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一、選擇題
1．(多選)自由落體運動的公式為s(t)＝gt2(g取10 m/s2)．若v＝，則下列說法不正確的是(　　)
A．v是在0～1 s這段時間內的速度
B．v是1 s到(1＋Δt)s這段時間內的速度
C．5Δt＋10是物體在t＝1 s這一時刻的速度
D．5Δt＋10是物體從1 s到(1＋Δt)s這段時間內的平均速度
√
√
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ABC　[由平均速度的概念知v＝＝5Δt＋10．故A，B，C三項均錯誤，D項正確．]
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2．某物體運動的位移s(單位：m)與時間t(單位：s)之間的函數關系為s(t)＝5－2t2，則該物體在時間[1，2]上的平均速度為(　　)
A．－6 m/s　　 B．2 m/s
C．－2 m/s　　 D．6 m/s
√
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A　[平均速度為＝＝－6．故選A．]
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3．一個物體做直線運動，位移s(單位：m)與時間t(單位：s)之間的函數關系為s(t)＝5t2＋mt，且這一物體在[2，3]這段時間內的平均速度為26 m/s，則實數m的值為(　　)
A．2　　B．1　　C．－1　　D．6
√
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B　[由已知，得＝26，所以(5×32＋3m)－(5×22＋2m)＝26，解得m＝1．]
題號
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4．設函數f (x)＝x(x－6)，則此函數圖象在x＝0處的切線斜率為(　　)
A．0　　B．－1　　C．3　　D．－6
√
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D　[＝＝Δx－6，則切線斜率k＝＝＝－6．]
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5．如果質點A沿直線運動的位移s(單位：米)與時間t(單位：秒)之間的函數關系為s(t)＝，那么該質點在t＝3秒時的瞬時速度(單位：米/秒)為(　　)
A．　　B．－　　C．　　D．－
√
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D　[從t＝3秒到t＝(3＋Δt)(Δt＞0)秒的平均速度為＝＝＝－，所以＝＝－．故選D．]
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二、填空題
6．如圖，已知曲線y＝x2，P(0.4，0.16)是曲線上的一點，Q是曲線上點P附近的一個點，設點Q的橫坐標為x，則割線PQ的斜率是________(用含x的式子表示)．
14
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x＋0.4　[由題知Q(x，x2)，P(0.4，0.16)，所以割線PQ的斜率kPQ＝＝x＋0.4．]
x＋0.4
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7．已知曲線y＝上一點P(1，1)，則曲線在點P處的切線的斜率為________．
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－2　[曲線y＝上一點P(1，1)，在點P處的切線的斜率為＝＝＝－2，所以曲線在點P處的切線的斜率為－2．]
－2
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8．在高臺跳水運動中，運動員相對于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時間t(單位：s)存在函數關系為h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，則起跳后1 s時的瞬時速度是________ m/s．
14
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－3.3　[起跳后1 s時的瞬時速度v＝{[－4.9(1＋Δt)2＋6.5(1＋Δt)＋10－(－4.9×12＋6.5×1＋10)]÷Δt}＝＝
＝－3.3(m/s)．]
－3.3
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三、解答題
9．某物體運動的位移s與時間t之間的函數關系式為s(t)＝sin t，t∈．
(1)分別求物體在區間和上的平均速度；
(2)比較(1)中兩個平均速度的大小，說明其幾何意義．
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[解]　(1)物體在區間上的平均速度為＝＝＝．
物體在區間上的平均速度為＝＝＝．
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(2)由(1)可知－＝＞0，所以＜．
作出函數s(t)＝sin t在上的圖象，如圖所示，可以發現，在上，隨著t的增大，函數值s(t)變化得越來越慢．
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10．某做直線運動的物體從時刻t到t＋Δt的位移為Δs，那么為(　　)
A．從時刻t到t＋Δt物體的平均速度
B．從時刻t到t＋Δt位移的平均變化率
C．當時刻為Δt時該物體的速度
D．該物體在t時刻的瞬時速度
√
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D　[根據題意，做直線運動的物體，從時刻t到t＋Δt的這段時間里，時間的改變量為Δt，而物體的位移為Δs，那么為該物體在t時刻的瞬時速度．故選D．]
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11．設曲線y＝ax2在點(1，a)處的切線與直線2x－y－6＝0平行，則a等于(　　)
A．1　　B．　　C．－　　D．－1
√
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A　[因為＝＝＝2a，
所以2a＝2，所以a＝1．故選A．]
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12．一質點按照運動規律s＝2t2－t運動，其中s表示位移(單位：m)，t表示時間(單位：s)，則質點在[2，2＋Δt]這段時間內的平均速度是________m/s，在t＝2時的瞬時速度是________m/s．
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7＋2Δt　7　[＝＝＝＝7＋2Δt，
v＝＝7．]
7＋2Δt
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13．一質點M做直線運動的位移(單位：m)與時間t(單位：s)的函數關系式為s(t)＝at2＋1，若質點M在t＝2 s時的瞬時速度為8 m/s，則常數a的值為________．
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2　[因為質點M在t＝2到t＝2＋Δt的平均速度為＝＝＝4a＋aΔt，所以＝4a＝8，解得a＝2．]
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14．若拋物線y＝x2－x＋c上一點P的橫坐標是－2，拋物線在點P處的切線恰好過坐標原點，求c的值．
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[解]　設拋物線在點P處的切線斜率為k，則
k＝＝－5，
所以切線方程為y＝－5x，所以點P的縱坐標為y＝－5×(－2)＝10，將點P(－2，10)代入y＝x2－x＋c，得c＝4．
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15．若一物體運動的位移s(單位：m)與時間t(單位：s)的函數關系為
s(t)＝
求：(1)物體在[3，5]內的平均速度；
(2)物體的初速度v0；
(3)物體在t＝1時的瞬時速度．
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[解]　(1)因為物體在[3，5]內的時間變化量為Δt＝5－3＝2，物體在[3，5]內的位移變化量為Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，所以物體在[3，5]內的平均速度為＝＝24(m/s)．
(2)求物體的初速度v0，即求物體在t＝0時的瞬時速度．
因為＝＝＝3Δt－18，所以物體在t＝0時的瞬時速度為＝＝－18，即物體的初速度為－18 m/s．
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(3)因為＝＝＝3Δt－12，所以物體在t＝1時的瞬時速度為＝－12，即物體在t＝1時的瞬時速度為－12 m/s．
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THANKS5.1　導數的概念及其意義
5.1.1　變化率問題
[學習目標]　1．通過對大量實例的分析，經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程．(數學抽象)
2．會求函數在某一點附近的平均變化率．(數學運算)
3．理解函數的平均變化率、瞬時變化率及瞬時速度的概念．(數學抽象)
[討論交流]
問題1．平均速度的定義是什么？
問題2．瞬時速度的定義是什么？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認知，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　平均速度
探究問題1　某公路上存在一段長為2 km的測速路段，假定測速超過100 km/h即為超速，某汽車用時1.5分鐘，它超速了嗎？你覺得這種測速的本質是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
1．平均速度：我們把位移s看成關于時間t的函數s＝s(t)，則物體在時間段[t1，t2]上的平均速度＝．
2．物體在某一時段內的平均速度的大小反映了物體運動的________．
[典例講評]　1．已知某質點按規律s＝2t2＋2t做直線運動(路程s的單位為m)，求：
(1)該質點在前3 s內運動的平均速度；
(2)該質點在2 s到3 s這段時間內運動的平均速度．
[嘗試解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求物體運動的平均速度的步驟
(1)先計算位移的改變量s(t2)－s(t1)．
(2)再計算時間的改變量t2－t1．
(3)得平均速度＝．
[學以致用]　1．一質點做直線運動，其位移s與時間t的關系s(t)＝t2＋1，該質點在[2，2＋Δt](Δt＞0)上的平均速度不大于5，求Δt的取值范圍．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究2　瞬時速度
探究問題2　區間[t0，t0＋Δt]表示時刻t0和其后某一時刻t0＋Δt，隨著Δt的改變，區間變大或變小，如果Δt變成無限接近0的正數，那么我們該如何認識＝呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
1．瞬時速度：物體在________的速度稱為瞬時速度．
2．瞬時速度與平均速度的關系：從物理角度看，當時間間隔|Δt|無限趨近于0時，平均速度就無限趨近于t＝t0時的瞬時速度．
3．設物體運動的時間與位移的函數關系為s＝s(t)，則物體在t0時刻的瞬時速度為v＝．
[典例講評]　2．某物體的運動路程s(單位：m)與時間t(單位：s)的關系可用函數s(t)＝t2＋t＋1表示，求物體在t＝1 s時的瞬時速度．
[思路導引]　計算物體在[1，1＋Δt](Δt>0)或[1＋Δt，1](Δt<0)內的平均速度計算得t＝1 s時的瞬時速度．
[嘗試解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]　
1．在本例條件不變的前提下，試求物體的初速度．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．在本例條件不變的前提下，試問：物體在哪一時刻的瞬時速度為9 m/s．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求物體運動瞬時速度的主要步驟
(1)求時間改變量Δt和位移改變量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；
(2)求平均速度＝；
(3)求瞬時速度，當Δt無限趨近于0時，無限趨近于的常數v，即為瞬時速度，即v＝．
[學以致用]　2．火箭發射t s后，其高度(單位：m)為h(t)＝0.9t2．那么t＝________s時火箭的瞬時速度為3.6 m/s．
探究3　求曲線在某點處切線的斜率或方程
探究問題3　在點P0(1，1)的附近任取一點P(x，x2)，考察拋物線f (x)＝x2的割線P0P有什么變化趨勢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
1．切線的斜率：當點P無限趨近于點P0時，割線P0P無限趨近于一個確定的位置，這個確定位置的直線P0T稱為曲線y＝f (x)在點P0(x0，f (x0))處的切線，則切線P0T的斜率k0＝．
2．切線的斜率與割線的斜率的關系：從幾何圖形上看，當橫坐標間隔|Δx|無限變小時，點P無限趨近于點P0，于是割線P0P無限趨近于點P0處的切線P0T，這時，割線P0P的斜率k無限趨近于點P0處的切線P0T的斜率k0．
[典例講評]　3．若曲線y＝x3存在斜率為1的切線，試求出切線方程．
[嘗試解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求函數y＝f (x)在x＝x0處的切線斜率的三個步驟
[學以致用]　3．求曲線y＝在x＝2處的切線方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．如圖是某物體運動的位移s關于時間t的函數圖象，則該物體在A，B兩點間的平均速度等于(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
2．若質點A按照規律s＝3t2運動，則在t＝3時的瞬時速度為 (　　)
A．6 B．18 C．54 D．81
3．設曲線y＝f (x)在x＝1處切線的斜率為2，則＝________．
4．過曲線y＝f (x)＝上一點(2，－2)及鄰近一點(2＋Δx，－2＋Δy)作割線，則當Δx＝0.5時割線的斜率為________，在點(2，－2)處的切線斜率為________．
1．知識鏈：(1)平均速度．
(2)瞬時速度．
(3)曲線在某點處的切線方程．
2．方法鏈：定義法、極限思想．
3．警示牌：對割線的斜率與切線的斜率之間的關系理解不到位．
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