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第2課時(shí)　導(dǎo)數(shù)的幾何意義
第五章　一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
5.1　導(dǎo)數(shù)的概念及其意義
5.1.2　導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義
整體感知
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1．了解導(dǎo)函數(shù)的概念，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義．(數(shù)學(xué)建模)
2．會(huì)求導(dǎo)函數(shù)．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
3．根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求曲線上某點(diǎn)處的切線方程．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
4．正確理解曲線“過某點(diǎn)”和“在某點(diǎn)”處的切線，并會(huì)求其方程．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)．
(教師用書)
在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，對(duì)于我們遇到的一些新知識(shí)不僅要學(xué)習(xí)它的定義、公式，還要學(xué)習(xí)它所具有的性質(zhì)或幾何意義，比如復(fù)數(shù)除了是一種數(shù)外，它可以與平面內(nèi)的點(diǎn)、向量一一對(duì)應(yīng)；數(shù)列{an}除了是一列有規(guī)律(或無規(guī)律)的數(shù)外，它可能還具有函數(shù)的性質(zhì)……，同樣地，導(dǎo)數(shù)除了代表瞬時(shí)變化率外，它還具有其他的意義嗎？
[討論交流]　
問題1．導(dǎo)數(shù)的幾何意義是什么？
問題2．如何求曲線上某點(diǎn)處的切線方程？
問題3．導(dǎo)函數(shù)的定義是什么？它與函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)有何關(guān)系？
[自我感知]　經(jīng)過認(rèn)真的預(yù)習(xí)，結(jié)合對(duì)本節(jié)課的理解和認(rèn)知，請(qǐng)畫出本節(jié)課的知識(shí)邏輯體系．
探究建構(gòu)
探究1　導(dǎo)數(shù)的幾何意義
探究問題1　在前面的課時(shí)中我們已經(jīng)了解到曲線的切線斜率與函數(shù)的瞬時(shí)變化率的關(guān)系，也知道對(duì)于一般的曲線，平均變化率可以代表曲線的割線斜率，那么導(dǎo)數(shù)(即瞬時(shí)變化率)能代表曲線的切線斜率嗎？
[提示]　k＝f ′(x0)＝適用于求一般曲線的切線斜率．
[新知生成]
函數(shù)y＝f (x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y＝f (x)在點(diǎn)P(x0，
f (x0))處的__________．也就是說，曲線y＝f (x)在點(diǎn)P(x0，f (x0))處的切線的斜率是_____．相應(yīng)地，切線方程為____________________．
【教用·微提醒】　切線的斜率k只與橫坐標(biāo)x0有關(guān)，與Δx無關(guān)．
切線的斜率
f ′(x0)
y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)
[典例講評(píng)]　1．已知曲線C：y＝x3．
(1)求曲線C在橫坐標(biāo)為x＝1的點(diǎn)處的切線方程；
(2)求曲線C過點(diǎn)(1，1)的切線方程．
[思路導(dǎo)引]　(1)→→
(2)→→→
[解]　(1)將x＝1代入曲線C的方程得y＝1，∴切點(diǎn)P(1，1)．
y′|x＝1＝＝＝＝3．
∴k＝y(tǒng)′|x＝1＝3，∴曲線在點(diǎn)P(1，1)處的切線方程為y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0．
(2)設(shè)切點(diǎn)為Q(x0，y0)，由(1)可知y′|x＝＝，由題意可知kPQ＝y(tǒng)′|x＝，
即＝，又y0＝，所以＝，
即＋1＝0，解得x0＝1或x0＝－．
①當(dāng)x0＝1時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，相應(yīng)的切線方程為3x－y－2＝0．
②當(dāng)x0＝－時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為，相應(yīng)的切線方程為y＋＝，即3x－4y＋1＝0．
[母題探究]　
本例(1)中的切線與曲線C是否還有其他的公共點(diǎn)？
[解]　由解得或
從而求得公共點(diǎn)為(1，1)或(－2，－8)，即切線與曲線C的公共點(diǎn)除了切點(diǎn)外，還有另一個(gè)公共點(diǎn)(－2，－8)．
【教用·備選題】　已知拋物線y＝f (x)＝2x2＋1．
(1)求拋物線在點(diǎn)P(1，3)處的切線方程；
(2)若拋物線在某點(diǎn)處的切線的傾斜角為45°，求該切點(diǎn)的坐標(biāo)．
[解]　(1)因?yàn)棣＝2(1＋Δx)2＋1－2×12－1＝4Δx＋2(Δx)2，所以＝4＋2Δx，
所以切線的斜率為＝4，所以切線的方程為y－3＝4(x－1)，即4x－y－1＝0．
(2)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，
則Δy＝－1，所以＝4x0＋2Δx，
所以切線的斜率為＝4x0．
又因?yàn)榍芯€的斜率為k＝tan 45°＝1，
所以4x0＝1，即x0＝，所以y0＝2×＋1＝，
所以切點(diǎn)坐標(biāo)為．
反思領(lǐng)悟　利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程的方法
(1)若已知點(diǎn)(x0，y0)在曲線上，求在點(diǎn)(x0，y0)處的切線方程，先求出函數(shù)y＝f (x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，得切線方程y－y0＝f ′(x0)(x－x0)．
(2)若點(diǎn)(x0，y0)不在曲線上，求過點(diǎn)(x0，y0)的切線方程，首先應(yīng)設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出等式，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出切線方程．
[學(xué)以致用]　1．已知曲線f (x)＝x3＋ax在x＝1處的切線與直線x＋4y＝0垂直，則實(shí)數(shù)a＝(　　)
A．2　　　B．1　　　C．－1　　　D．－2
√
B　[f ′(1)＝＝
＝＝3＋a．
又曲線f (x)在x＝1處的切線與直線x＋4y＝0垂直，∴f ′(1)·＝(3＋a)·＝－1，解得a＝1．]
探究2　利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷函數(shù)的變化
探究問題2　函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系？
導(dǎo)數(shù)值的大小與函數(shù)變化的快慢有什么關(guān)系？
[提示]　當(dāng)t＝t0時(shí)，函數(shù)的圖象在t＝t0處的切線平行于t軸，即h′(t0)＝0，這時(shí)，在t＝t0附近曲線比較平坦，幾乎沒有升降．
當(dāng)t＝t1時(shí)，函數(shù)的圖象在t＝t1處的切線l1的斜率h′(t1)＜0，這時(shí)，在t＝t1附近曲線下降，即函數(shù)在t＝t1附近單調(diào)遞減．
當(dāng)t＝t2時(shí)，函數(shù)的圖象在t＝t2處的切線l2的斜率h′(t2)＜0，這時(shí)，在t＝t2附近曲線下降，即函數(shù)在t＝t2附近單調(diào)遞減．
通過研究t＝t1和t＝t2發(fā)現(xiàn)直線l1的傾斜程度小于直線l2的傾斜程度，這說明曲線在t＝t1附近比在t＝t2附近下降的緩慢．
同理，t＝t3，t＝t4時(shí)都有h′(t)＞0，h(t)在各自附近單調(diào)遞增，且曲線在t＝t3附近比在t＝t4附近上升的快．
[新知生成]
若f ′(x0)＝0，則函數(shù)的圖象在x＝x0處切線斜率k＝__；
若f ′(x0)＞0，則函數(shù)的圖象在x＝x0處切線斜率k__0，則函數(shù)在x＝x0附近________，且f ′(x0)越大，說明函數(shù)圖象變化得越快；
若f ′(x0)＜0，則函數(shù)的圖象在x＝x0處切線斜率k__0，且函數(shù)在x＝x0附近________，且|f ′(x0)|越大，說明函數(shù)圖象變化得越快．
0
＞
單調(diào)遞增
＜
單調(diào)遞減
【教用·微提醒】　f ′(x0)的正負(fù)決定增減，|f ′(x0)|的大小決定快慢．
【鏈接·教材例題】
例4　圖5.1-6是跳水運(yùn)動(dòng)中某運(yùn)動(dòng)員的重心相對(duì)于水面的高度隨時(shí)間變化的函數(shù)h(t)＝－4.9t2＋2.8t＋11的圖象．根據(jù)圖象，請(qǐng)描述、比較曲線h(t)在t＝t0，t1，t2附近的變化情況．
[解]　我們用曲線h(t)在t＝t0，t1，t2處的切線斜率，刻畫曲線h(t)在上述三個(gè)時(shí)刻附近的變化情況．
(1)當(dāng)t＝t0時(shí)，曲線h(t)在t＝t0處的切線l0平行于t軸，h′(t0)＝0．這時(shí)，在t＝t0附近曲線比較平坦，幾乎沒有升降．
(2)當(dāng)t＝t1時(shí)，曲線h(t)在t＝t1處的切線l1的斜率h′(t1)＜0．這時(shí)，在t＝t1附近曲線下降，即函數(shù)h(t)在t＝t1附近單調(diào)遞減．
(3)當(dāng)t＝t2時(shí)，曲線h(t)在t＝t2處的切線l2的斜率h′(t2)＜0．這時(shí)，在t＝t2附近曲線下降，即函數(shù)h(t)在t＝t2附近也單調(diào)遞減．
從圖5.1-6可以看出，直線l1的傾斜程度小于直線l2的傾斜程度，這說明曲線h(t)在t＝t1附近比在t＝t2附近下降得緩慢．
[典例講評(píng)]　2．已知y＝f (x)的圖象如圖所示，則f ′(xA)與f ′(xB)的大小關(guān)系是(　　)
A．f ′(xA)>f ′(xB)
B．f ′(xA)C．f ′(xA)＝f ′(xB)
D．不能確定
√
B　[由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，f ′(xA)，f ′(xB)分別是函數(shù)的圖象在點(diǎn)A，B處切線的斜率，由題干圖象可知，f ′(xA)反思領(lǐng)悟　導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是函數(shù)圖象切線的斜率，所以比較導(dǎo)數(shù)大小的問題可以用數(shù)形結(jié)合思想來解決．
(1)曲線f (x)在x＝x0附近的變化情況可通過x＝x0處的切線刻畫．f ′(x0)＞0說明曲線在x＝x0處的切線的斜率為正值，從而得出在x＝x0附近曲線是上升的；f ′(x0)＜0說明在x＝x0附近曲線是下降的．
(2)曲線在某點(diǎn)處的切線斜率的大小反映了曲線在相應(yīng)點(diǎn)處的變化情況，由切線的傾斜程度，可以判斷出曲線升降的快慢．
[學(xué)以致用]　2．已知函數(shù)f (x)在R上可導(dǎo)，其部分圖象如圖所示，設(shè)＝a，則下列不等式正確的是(　　)
A．f ′(1)＜f ′(2)＜a
B．f ′(1)＜a＜f ′(2)
C．f ′(2)＜f ′(1)＜a
D．a(chǎn)＜f ′(1)＜f ′(2)
√
B　[由題圖可知，函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上的增長越來越快，∴f ′(1)＜f ′(2)，∵＝a，∴通過作切線與割線可得f ′(1)＜a＜f ′(2)，故選B．]
探究3　導(dǎo)函數(shù)(導(dǎo)數(shù))
探究問題3　由前面所學(xué)知識(shí)可知，求函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)在該點(diǎn)附近的變化，能否通過求導(dǎo)研究函數(shù)的整體變化？
[提示]　這涉及函數(shù)在任意一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)問題，通過f ′(x0)＝可知f ′(x)＝，這就是函數(shù)在任意一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，即導(dǎo)函數(shù)，它不再是一個(gè)唯一確定的數(shù)，而是一個(gè)函數(shù)．
[新知生成]
對(duì)于函數(shù)y＝f (x)，當(dāng)x＝x0時(shí)，f ′(x0)是一個(gè)唯一確定的數(shù)，當(dāng)x變化時(shí)，y＝f ′(x)就是x的函數(shù)，我們稱它為y＝f (x)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù))．y＝f (x)的導(dǎo)函數(shù)有時(shí)也記作y′，即f ′(x)＝y(tǒng)′＝．
【教用·微提醒】　(1) f ′(x0)是具體的值，是數(shù)值．
(2) f ′(x)是函數(shù) f (x)在某區(qū)間I上每一點(diǎn)都存在導(dǎo)數(shù)而定義的一個(gè)新函數(shù)，是函數(shù)．
[典例講評(píng)]　3．已知函數(shù)y＝f (x)＝x2－x，求：
(1) f ′(x)；(2) f (x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)．
[解]　(1)因?yàn)棣＝f (x＋Δx)－f (x)＝(Δx)2＋2x·Δx－Δx，所以＝2x＋Δx－，
所以f ′(x)＝＝2x－．
(2)由(1)知f ′(x)＝2x－，所以f ′(1)＝2×1－＝．
發(fā)現(xiàn)規(guī)律　求導(dǎo)函數(shù)的主要步驟
(1)求函數(shù)的增量Δy＝f (x＋Δx)－f (x)；
(2)求平均變化率＝；
(3)求極限，即f ′(x)＝．
[學(xué)以致用]　3．(源自北師大版教材)求y＝f (x)＝3x2－x的導(dǎo)數(shù)f ′(x)，并利用f ′(x)求f ′(1)，f ′(－2)，f ′(0)．
[解]　Δy＝f (x＋Δx)－f (x)＝3(x＋Δx)2－(x＋Δx)－(3x2－x)
＝3(Δx)2＋6xΔx－Δx．
＝＝3Δx＋6x－1．
當(dāng)Δx趨于0時(shí)，得到導(dǎo)數(shù)
f ′(x)＝＝＝6x－1．
可得f ′(1)＝6×1－1＝5，f ′(－2)＝6×(－2)－1＝－13，
f ′(0)＝6×0－1＝－1．
1．下面說法正確的是(　　)
A．若f ′(x0)不存在，則曲線y＝f (x)在點(diǎn)(x0，f (x0))處沒有切線
B．若曲線y＝f (x)在點(diǎn)(x0，f (x0))處有切線，則f ′(x0)必存在
C．若f ′(x0)不存在，則曲線y＝f (x)在點(diǎn)(x0，f (x0))處的切線斜率不存在
D．若曲線y＝f (x)在點(diǎn)(x0，f (x0))處沒有切線，則f ′(x0)有可能存在
2
4
3
題號(hào)
1
應(yīng)用遷移
√
C　[根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及切線的定義知曲線在(x0，y0)處有導(dǎo)數(shù)，則切線一定存在，但反之不一定成立．故ABD錯(cuò)誤．]
2
3
題號(hào)
1
4
2．某司機(jī)看見前方50 m處有行人橫穿馬路，這時(shí)司機(jī)開始緊急剎車，在剎車的過程中，汽車的速度v是關(guān)于剎車時(shí)間t的函數(shù)，其圖象可能是(　　)
√
A　　　　B　　　　C　　　　D
2
3
題號(hào)
1
4
A　[根據(jù)題意，剎車過程中，汽車速度呈下降趨勢，排除選項(xiàng)CD；由于是緊急剎車，則汽車速度下降非常快，則圖象較陡，排除選項(xiàng)B．故選A．]
2
3
題號(hào)
4
1
3．如果曲線y＝f (x)在點(diǎn)(x0，f (x0))處的切線方程為x＋2y－3＝0，那么(　　)
A．f ′(x0)＞0　　 B．f ′(x0)＜0
C．f ′(x0)＝0　　 D．f ′(x0)不存在
B　[由x＋2y－3＝0知斜率k＝－，∴f ′(x0)＝－＜0．故選B．]
√
2
4
3
題號(hào)
1
4．已知函數(shù)y＝ax2＋b的圖象在其上點(diǎn)(1，3)處的切線斜率為2，則a＝________，b＝________．
1　2　[＝＝2a＝2，所以a＝1．又3＝a×12＋b，所以b＝2．]
1
2
1．知識(shí)鏈：(1)導(dǎo)數(shù)的幾何意義．
(2)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．
(3)導(dǎo)函數(shù)的概念．
2．方法鏈：方程思想、數(shù)形結(jié)合．
3．警示牌：切線過某點(diǎn)，這點(diǎn)不一定是切點(diǎn)．
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：
1．f ′(x0)是如何反映函數(shù)y＝f (x)的圖象特征的？
[提示]　曲線的升降、切線的斜率與f ′(x0)的關(guān)系如下：
f ′(x0)的符號(hào) 曲線f (x)在x＝x0附近的升降情況 切線的斜率k 切線的傾斜角
f ′(x0)＞0 上升 k＞0 銳角
f ′(x0)＜0 下降 k＜0 鈍角
f ′(x0)＝0 平坦 k＝0 零角(切線與x軸平行)
2．函數(shù)y＝f (x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f ′(x0)與導(dǎo)函數(shù)f ′(x)之間的區(qū)別和聯(lián)系是什么？
[提示]　區(qū)別：①f ′(x0)是函數(shù)f (x)在x＝x0處函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比的極限，是一個(gè)常數(shù)，不是變量；
②f ′(x)是函數(shù)f (x)的導(dǎo)函數(shù)，是對(duì)某一區(qū)間內(nèi)任意x而言的，即如果函數(shù)y＝f (x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的每一點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)，此時(shí)對(duì)于每一個(gè)x∈(a，b)，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)f ′(x)，從而構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù)——導(dǎo)函數(shù)f ′(x)．
聯(lián)系：函數(shù)f (x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f ′(x0)就是導(dǎo)函數(shù)f ′(x)在x＝x0處的函數(shù)值．這也是求函數(shù)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的方法之一．
3．曲線f (x)在點(diǎn)(x0，f (x0))處的切線與曲線f (x)過點(diǎn)(x0，y0)的切線有什么不同？
[提示]　曲線f (x)在點(diǎn)(x0，f (x0))處的切線，點(diǎn)(x0，f (x0))一定是切點(diǎn)，只要求出k＝f ′(x0)，利用點(diǎn)斜式寫出切線方程即可；而曲線f (x)過某點(diǎn)(x0，y0)的切線，給出的點(diǎn)(x0，y0)不一定在曲線上，即使在曲線上也不一定是切點(diǎn)．
課時(shí)分層作業(yè)(十四)　導(dǎo)數(shù)的幾何意義
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
一、選擇題
1．已知點(diǎn)P(－1，1)為曲線上的一點(diǎn)，PQ為曲線的割線，P，Q兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之差為Δx，當(dāng)Δx→0時(shí)，若kPQ的極限為－2，則在點(diǎn)P處的切線方程為(　　)
A．y＝－2x＋1　　 B．y＝－2x－1
C．y＝－2x＋3　　 D．y＝－2x－2
課時(shí)分層作業(yè)(十四)　導(dǎo)數(shù)的幾何意義
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
B　[當(dāng)Δx→0時(shí)，kPQ的極限為－2，則曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率為－2，所以在點(diǎn)P處的切線方程為y－1＝－2(x＋1)，整理可得y＝－2x－1．]
A　　　　　B　　　 　C　　　　D
題號(hào)
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
2．已知函數(shù)f (x)滿足f ′(x1)＞0，f ′(x2)＜0，則在x1和x2附近符合條件的f (x)的圖象大致是(　　)
√
14
15
D　[由f ′(x1)＞0，f ′(x2)＜0可知，f (x)的圖象在x1處切線的斜率為正，在x2處切線的斜率為負(fù)．故選D．]
題號(hào)
3
2
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
3．已知函數(shù)f (x)在x＝2附近可導(dǎo)，且＝－2，f (2)＝2，則
f (x)的圖象在點(diǎn)(2，f (2))處的切線方程為(　　)
A．2x＋y－6＝0　　 B．2x－y－2＝0
C．x＋2y－6＝0　　 D．x－2y＋2＝0
√
14
15
A　[∵＝－2，∴函數(shù)f (x)的圖象在x＝2處的切線的斜率為k＝－2．∵f (2)＝2，∴切線過點(diǎn)(2，2)，∴切線方程為y－2＝－2(x－2)，即2x＋y－6＝0．故選A．]
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4．曲線y＝x3－2在點(diǎn)處的切線的傾斜角為(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
√
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B　[∵y′＝＝＝x2，
∴切線的斜率k＝y(tǒng)′|x＝1＝1，∴切線的傾斜角為．故選B．]
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5．(多選)若直線y＝kx＋1與曲線f (x)＝x3＋ax＋b相切于點(diǎn)A(1，3)，則(　　)
A．a(chǎn)＝－1　　 B．b＝3
C．k＝2　　 D．f ′(1)＝3
√
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ABC　[由題意可得，由此解得
f ′(1)＝k＝2，D錯(cuò)誤．故選ABC．]
√
√
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二、填空題
6．如圖，函數(shù)y＝f (x)的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是y＝－x＋8，則f (5)＋f ′(5)＝________．
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2　[由函數(shù)y＝f (x)的圖象在點(diǎn)P(5，f (5))處的切線方程是y＝－x＋8，得切線斜率k＝f ′(5)＝－1，又由切點(diǎn)P既在函數(shù)y＝f (x)的圖象上又在切線上，得f (5)＝3，則f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2．]
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7．曲線y＝－在點(diǎn)處的切線方程為____________．
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4x－y－4＝0　[先求y＝－的導(dǎo)數(shù)，Δy＝＝＝＝＝，即y′＝，所以曲線y＝－在點(diǎn)處的切線斜率k＝＝4，所以切線方程是y＋2＝4，即4x－y－4＝0．]
4x－y－4＝0
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8．已知f (x)＝x2＋ax，f ′(1)＝4，曲線f (x)在x＝1處的切線在y軸上的截距為－1，則實(shí)數(shù)a的值為________．
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2　[由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得切線的斜率k＝f ′(1)＝4．又切線在y軸上的截距為－1，所以曲線f (x)在x＝1處的切線方程為y＝4x－1，從而可得切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，3)，所以f (1)＝1＋a＝3，即a＝2．]
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三、解答題
9．設(shè)P0為曲線f (x)＝x3＋x－2上的點(diǎn)，且曲線在P0處的切線平行于直線y＝4x－1，求點(diǎn)P0的坐標(biāo)．
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[解]　設(shè)P0(x0，y0)．
∵f ′(x)＝＝＝3x2＋1，
∴f ′(x0)＝＋1．
∵曲線f (x)＝x3＋x－2在P0處的切線平行于直線y＝＋1＝4，解得x0＝±1．
當(dāng)x0＝1時(shí)，y0＝0；
當(dāng)x0＝－1時(shí)，y0＝－4．
∴點(diǎn)P0的坐標(biāo)為(1，0)或(－1，－4)．
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10．若曲線y＝x＋上任意一點(diǎn)P處的切線的斜率為k，則k的取值范圍是(　　)
A．(－∞，－1)　　 B．(－1，1)
C．(－∞，1)　　 D．(1，＋∞)
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√
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C　[y＝x＋上任意一點(diǎn)P(x0，y0)處的切線斜率
k＝
＝＝＜1，即k＜1．]
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11．已知函數(shù)f (x)在R上可導(dǎo)，f (x)的圖象如圖所示，則下列不等式正確的是(　　)
A．f ′(a)＜f ′(b)＜f ′(c)
B．f ′(b)＜f ′(c)＜f ′(a)
C．f ′(a)＜f ′(c)＜f ′(b)
D．f ′(c)＜f ′(a)＜f ′(b)
√
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A　[如圖，分別作曲線在x＝a，x＝b，x＝c三處的切線l1，l2，l3，設(shè)切線的斜率分別為k1，k2，k3，易知k1＜k2＜k3，又f ′(a)＝k1，f ′(b)＝k2，f ′(c)＝k3，所以f ′(a)＜f ′(b)＜f ′(c)．故選A．]
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12．函數(shù)y＝(x－1)2的導(dǎo)數(shù)是(　　)
A．－2　　 B．(x－1)2
C．2(x－1)　　 D．2(1－x)
√
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C　[y′＝＝
＝＝2x－2＝2(x－1)．]
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13．已知y＝f (x)＝mx2＋n，且f (1)＝－1，f (x)的導(dǎo)函數(shù)f ′(x)＝4x，則m＝________，n＝________．
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2　－3　[＝＝＝mΔx＋2mx，
故f ′(x)＝＝＝2mx＝4x，所以m＝2．
又f (1)＝－1，即2＋n＝－1，所以n＝－3，
故m＝2，n＝－3．]
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14．在曲線y＝x2上某點(diǎn)P處的切線滿足下列條件，分別求出點(diǎn)P．
(1)平行于直線y＝4x－5；
(2)垂直于直線2x－6y＋5＝0；
(3)傾斜角為135°．
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[解]　f ′(x)＝＝＝2x，
設(shè)P(x0，y0)是滿足條件的點(diǎn)．
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(1)∵切線與直線y＝4x－5平行，
∴2x0＝4，得x0＝2，y0＝4，此時(shí)切線方程是y－4＝4(x－2)，即y＝4x－4，與直線y＝4x－5平行，∴P(2，4)是滿足條件的點(diǎn)．
(2)∵切線與直線2x－6y＋5＝0垂直，∴2x0·＝－1，得x0＝－，y0＝，即P是滿足條件的點(diǎn)．
(3)∵切線的傾斜角為135°，
∴其斜率為－1．
即2x0＝－1，得x0＝－，y0＝，即P是滿足條件的點(diǎn)．
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15．點(diǎn)P在曲線 f (x)＝x2＋1上，且曲線在點(diǎn)P處的切線與曲線y＝
－2x2－1相切，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
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[解]　設(shè)P(x0，y0)，則y0＝＋1，
f ′(x0)＝＝2x0，
所以在點(diǎn)P處的切線方程為y－y0＝2x0(x－x0)，
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即y＝，
而此直線與曲線y＝－2x2－1相切，
所以切線與曲線y＝－2x2－1只有一個(gè)公共點(diǎn)，
由
得＝0，
則Δ＝＝0，
解得x0＝±，則y0＝，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．
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THANKS(共62張PPT)
第1課時(shí)　導(dǎo)數(shù)的概念
第五章　一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
5.1　導(dǎo)數(shù)的概念及其意義
5.1.2　導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義
整體感知
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1．了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景．(數(shù)學(xué)抽象)
2．理解導(dǎo)數(shù)是關(guān)于瞬時(shí)變化率的數(shù)學(xué)表達(dá)，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵與思想．(數(shù)學(xué)抽象、直觀想象)
(教師用書)
17世紀(jì)下半葉，在前人工作的基礎(chǔ)上，英國科學(xué)家牛頓和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國度里獨(dú)立研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，他們建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無窮小量，因此這門學(xué)科早期也稱為無窮小分析．作為微分學(xué)基礎(chǔ)的極限理論來說，早在我國的古代也已經(jīng)有比較清楚的論述，比如莊周所著的《莊子·雜篇·天下》中，記有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”；三國時(shí)期的劉徽在他的割圓術(shù)中提到“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣．”這些都是樸素的，也是很典型的極限概念．那么這種極限思想對(duì)于函數(shù)來說有什么意義嗎？這就是我們今天要講的導(dǎo)數(shù)．
[討論交流]　
問題1．函數(shù)的平均變化率與瞬時(shí)變化率有什么關(guān)系？
問題2．瞬時(shí)變化率的幾何意義是什么？
問題3．函數(shù)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)是什么含義？
[自我感知]　經(jīng)過認(rèn)真的預(yù)習(xí)，結(jié)合對(duì)本節(jié)課的理解和認(rèn)知，請(qǐng)畫出本節(jié)課的知識(shí)邏輯體系．
探究建構(gòu)
探究1　導(dǎo)數(shù)的概念
探究問題1　類比平均速度與瞬時(shí)速度的關(guān)系，瞬時(shí)變化率的幾何意義是什么？
[提示]　瞬時(shí)變化率為＝，其幾何意義是曲線的切線斜率．
[新知生成]
1．平均變化率
對(duì)于函數(shù)y＝f (x)，設(shè)自變量x從x0變化到x0＋Δx，相應(yīng)地，函數(shù)值y就從f (x0)變化到f (x0＋Δx)．這時(shí)，x的變化量為Δx，y的變化量為Δy＝f (x0＋Δx)－f (x0)．我們把比值，即＝叫做函數(shù)y＝f (x)從x0到x0＋Δx的平均變化率．
2．導(dǎo)數(shù)
如果當(dāng)Δx→0時(shí)，平均變化率無限趨近于一個(gè)確定的值，即有極限，則稱y＝f (x)在x＝x0處____，并把這個(gè)確定的值叫做y＝f (x)在______處的____(也稱為瞬時(shí)變化率)，記作______或，即f ′(x0)＝＝．
可導(dǎo)
x＝x0
導(dǎo)數(shù)
f '(x0)
y'
【教用·微提醒】　(1)平均變化率＝的幾何意義就是函數(shù)y＝f (x)圖象上的兩點(diǎn)(x0，f (x0))與(x0＋Δx，f (x0＋Δx))所在直線的斜率．
(2)在導(dǎo)數(shù)定義中增量Δx的形式是多種多樣的，但不論Δx選擇哪一種形式，相應(yīng)的Δy也必須選擇對(duì)應(yīng)的形式，即深刻理解定義，牢固掌握概念形式．
【鏈接·教材例題】
例1　設(shè)f (x)＝，求f ′(1)．
[解]　f ′(1)＝
＝＝＝－1．
[典例講評(píng)]　1．已知函數(shù)y＝f (x)＝2x2＋1．
(1)求函數(shù)f (x)在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上的平均變化率；
(2)求函數(shù)f (x)在區(qū)間[2，2.01]上的平均變化率；
(3)求函數(shù)f (x)在x＝2處的瞬時(shí)變化率．
[解]　(1)∵Δy＝f (x0＋Δx)－f (x0)
＝－1＝2Δx(2x0＋Δx)，
∴函數(shù)f (x)在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上的平均變化率為＝＝4x0＋2Δx．
(2)由(1)可知＝4x0＋2Δx，
當(dāng)x0＝2，Δx＝0.01時(shí)，
＝4×2＋2×0.01＝8.02，
即函數(shù)f (x)在區(qū)間[2，2.01]上的平均變化率為8.02．
(3)Δy＝f (2＋Δx)－f (2)＝2(2＋Δx)2＋1－(2×22＋1)＝2(Δx)2＋8Δx．
∴＝2Δx＋8．
故函數(shù)f (x)在x＝2處的瞬時(shí)變化率為＝＝8．
反思領(lǐng)悟　求瞬時(shí)變化率的主要步驟
(1)先計(jì)算函數(shù)值的改變量Δy＝f (x2)－f (x1)．
(2)再計(jì)算自變量的改變量Δx＝x2－x1．
(3)得平均變化率＝．
(4)得瞬時(shí)變化率．
[學(xué)以致用]　1．已知函數(shù)f (x)＝－．
(1)函數(shù)f (x)在區(qū)間[1，1.5]，[1，1.1]上的平均變化率各是多少？
(2)函數(shù)f (x)在x＝1處的瞬時(shí)變化率是多少？
[解]　(1)∵f (x)＝－，
∴f (1)＝－6，f (1.5)＝－4，f (1.1)＝－，
∴該函數(shù)在區(qū)間[1，1.5]上的平均變化率為＝＝4，
在區(qū)間[1，1.1]上的平均變化率為＝＝．
(2)函數(shù)f (x)在x＝1處的瞬時(shí)變化率為
＝＝＝＝6．
探究2　導(dǎo)數(shù)定義的應(yīng)用
[典例講評(píng)]　2．(源自北師大版教材)求函數(shù)y＝f (x)＝＋x在下列各點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)：
(1)x＝1；(2)x＝x0．
[解]　(1)Δy＝f (1＋Δx)－f (1)＝＋(1＋Δx)－＝＋Δx．
＝＋1．
當(dāng)Δx趨于0時(shí)，得到導(dǎo)數(shù)f ′(1)＝＝＝－1．
(2)Δy＝f (x0＋Δx)－f (x0)＝＋(x0＋Δx)－＝＋Δx．
＝＋1．
當(dāng)Δx趨于0時(shí)，得到導(dǎo)數(shù)
f ′(x0)＝＝＝＋1．
發(fā)現(xiàn)規(guī)律　求一個(gè)函數(shù)y＝f (x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的步驟
(1)求函數(shù)值的變化量Δy＝．
(2)求平均變化率＝．
(3)取極限，得導(dǎo)數(shù)f ′(x0)＝．
f (x0＋Δx)－f (x0)
[學(xué)以致用]　2．函數(shù)y＝在x＝1處的導(dǎo)數(shù)為________．
－2　[因?yàn)棣＝＝＝，
所以＝，
所以y′|x＝1＝＝＝－2，
即函數(shù)y＝在x＝1處的導(dǎo)數(shù)為－2．]
－2
探究3　導(dǎo)數(shù)定義式的運(yùn)用
[典例講評(píng)]　3．已知奇函數(shù)f (x)滿足f ′(－1)＝1，則＝(　　)
A．－　　　B．　　　C．1　　　D．－1
B　[∵f (x)是奇函數(shù)且f ′(－1)＝1，
∴＝＝f ′(－1)＝．
故選B．]
√
反思領(lǐng)悟　由導(dǎo)數(shù)的定義可知，若函數(shù)y＝f (x)在x＝x0處可導(dǎo)，則
f ′(x0)＝，它僅與x0有關(guān)，與Δx無關(guān)，因此使用導(dǎo)數(shù)的定義時(shí)要明確公式的形式，當(dāng)分子為f (1－Δx)－f (1)時(shí)，分母也應(yīng)該是(1－Δx)－1，要注意公式的變形．
[學(xué)以致用]　3．已知函數(shù)f (x)在x＝x0處可導(dǎo)，若＝2，則f ′(x0)＝(　　)
A．1　　B．　　C．2　　D．8
√
B　[函數(shù)f (x)在x＝x0處可導(dǎo)，
f ′(x0)＝＝＝×2＝．故選B．]
【教用·備選題】　一條水管中流出的水量y(單位：m3)關(guān)于時(shí)間t(單位：s)的函數(shù)為y＝f (t)＝t2＋7t＋15(0≤t≤8)．計(jì)算2 s和6 s時(shí)，函數(shù)的瞬時(shí)變化率，并說明它們的實(shí)際意義．
[解]　當(dāng)t＝2時(shí)，＝
＝＝＝Δt＋11．
當(dāng)Δt無限趨近于0時(shí)，無限趨近于11．
同理可得當(dāng)t＝6時(shí)，Δt無限趨近于0時(shí)，無限趨近于19．在2 s與6 s時(shí)，函數(shù)的瞬時(shí)變化率分別為11與19．
它說明在2 s附近，水流大約以11 m3/s的速度流出，在6 s附近，水流大約以19 m3/s的速度流出．
【鏈接·教材例題】
例2　將原油精煉為汽油、些油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱．已知在第x h時(shí)，原油的溫度(單位：℃)為y＝f (x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．計(jì)算第2 h與第6 h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說明它們的意義．
探究4　導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的意義
[解]　在第2 h和第6 h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率就是f ′(2)和f ′(6)．
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，
＝＝
＝＝Δx－3，
所以f ′(2)＝＝＝－3．
同理可得f ′(6)＝5．
在第2 h與第6 h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率分別為－3 ℃/h與
5 ℃/h．說明在第2 h附近，原油溫度大約以3 ℃/h的速率下降；在第6 h附近，原油溫度大約以5 ℃/h的速率上升．
一般地，f ′(x0)(0≤x0≤8)反映了原油溫度在時(shí)刻x0附近的變化情況．
【鏈接·教材例題】
例3　一輛汽車在公路上沿直線變速行駛，假設(shè)汽車在某一路段內(nèi)t s時(shí)的速度(單位：m/s)為y＝v(t)＝－t2＋6t＋17，求汽車在第2 s與第
6 s時(shí)的瞬時(shí)加速度，并說明它們的意義．
分析：瞬時(shí)加速度是速度關(guān)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率．因此，在第2 s與第6 s時(shí)，汽車的瞬時(shí)加速度分別為v′(2)，v′(6)．
[解]　在第2 s和第6 s時(shí)，汽車的瞬時(shí)加速度就是v′(2)和v′(6)．
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，
＝＝＝－Δt＋2，
所以v′(2)＝＝＝2．
同理可得v′(6)＝－6．
在第2 s與第6 s時(shí)，汽車的瞬時(shí)加速度分別是2 m/s2與－6 m/s2．說明在第2 s附近，汽車的速度每秒大約增加2 m/s；在第6 s附近，汽車的速度每秒大約減少
6 m/s．
[典例講評(píng)]　4．蜥蜴的體溫與陽光的照射有關(guān)，其關(guān)系為T(t)＝＋15，其中T(t)為體溫(單位：℃)，t為太陽落山后的時(shí)間(單位：min)．
(1)從t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的體溫的平均變化率是多少？它表示什么意義？
(2)求T ′(5)，并說明它的實(shí)際意義．
[解]　(1)從t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的體溫的平均變化率為
＝＝－＝－1.6，
它表示從t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的體溫平均每分鐘下降1.6 ℃．
(2)T′(5)＝＝＝－1.2，
∴T′(5)表示當(dāng)t＝5 min時(shí)，蜥蜴的體溫下降的瞬時(shí)速度為1.2 ℃/min．
反思領(lǐng)悟　導(dǎo)數(shù)的物理意義是：函數(shù)y＝f (x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)即為它的瞬時(shí)變化率．
[學(xué)以致用]　4．某機(jī)械廠生產(chǎn)一種木材旋切機(jī)，已知總利潤c(單位：萬元)與產(chǎn)量x(單位：千臺(tái))之間的關(guān)系式為c(x)＝－2x2＋7x＋6．求c′(1)與c′(2)，并說明它們的實(shí)際意義．
[解]　設(shè)x＝1時(shí)產(chǎn)量的改變量為Δx，
則＝＝＝－2Δx＋3，
c′(1)＝＝＝3，
設(shè)x＝2時(shí)產(chǎn)量的改變量為Δx，
則＝＝＝－2Δx－1，
c′(2)＝＝＝－1．
c′(1)的實(shí)際意義：當(dāng)產(chǎn)量為1千臺(tái)時(shí)，多生產(chǎn)1千臺(tái)旋切機(jī)可多獲利3萬元；
c′(2)的實(shí)際意義：當(dāng)產(chǎn)量為2千臺(tái)時(shí)，多生產(chǎn)1千臺(tái)旋切機(jī)少獲利1萬元．
1．函數(shù)y＝f (x)＝x2在x＝1處的導(dǎo)數(shù)為(　　)
A．2x　　B．2　　C．－2　　D．±2
2
4
3
題號(hào)
1
應(yīng)用遷移
√
B　[f ′(1)＝＝
＝＝＝2．故選B．]
2
3
題號(hào)
1
4
2．設(shè)f (x)是可導(dǎo)函數(shù)，且＝2，則f ′(1)＝(　　)
A．　　B．－1　　C．0　　D．－2
√
B　[＝－2＝－2f ′(1)＝2，
則f ′(1)＝－1．故選B．]
2
3
題號(hào)
4
1
3．函數(shù)f (x)＝x2－1在x0到x0＋Δx之間的平均變化率為(　　)
A．2x0－1　　 B．2x0＋Δx
C．2x0Δx＋(Δx)2　　 D．(Δx)2－Δx＋1
B　[根據(jù)定義，平均變化率為＝＝2x0＋Δx．故選B．]
√
2
4
3
題號(hào)
1
4．已知函數(shù)y＝f (x)＝－x2＋x在區(qū)間[t，1]上的平均變化率為2，則t＝________．
－2　[∵Δy＝f (1)－f (t)＝(－12＋1)－(－t2＋t)＝t2－t，
∴＝＝－t．
又∵＝2，∴t＝－2．]
－2
1．知識(shí)鏈：(1)導(dǎo)數(shù)的概念．
(2)導(dǎo)數(shù)定義的應(yīng)用．
(3)導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的意義．
2．方法鏈：定義法．
3．警示牌：對(duì)函數(shù)的平均變化率、瞬時(shí)變化率及導(dǎo)數(shù)概念理解不到位．
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：
1．你是如何理解的？它的意義是什么？
[提示]　的實(shí)質(zhì)是函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)函數(shù)值變化量與自變量變化量之比，它的意義是刻畫函數(shù)的函數(shù)值在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上變化的快慢．
2．如何理解導(dǎo)數(shù)的概念？
[提示]　①函數(shù)應(yīng)在x＝x0的附近有定義，否則導(dǎo)數(shù)不存在；②導(dǎo)數(shù)是一個(gè)局部概念，它只與函數(shù)y＝f (x)在x＝x0及其附近的函數(shù)值有關(guān)，與Δx無關(guān)；③導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)是一個(gè)極限值．
一、選擇題
1．已知函數(shù)y＝f (x)＝x2＋3，當(dāng)自變量由1變到1.1時(shí)，函數(shù)的平均變化率為(　　)
A．1　　B．1.1　　C．2　　D．2.1
課時(shí)分層作業(yè)(十三)　導(dǎo)數(shù)的概念
題號(hào)
1
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2
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√
14
15
D　[＝＝＝2.1．故選D．]
題號(hào)
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2．設(shè)函數(shù)f (x)＝x2＋x，則＝(　　)
A．－6　　B．－3　　C．3　　D．6
√
14
15
C　[f (1＋Δx)－f (1)＝(1＋Δx)2＋(1＋Δx)－1－1＝(Δx)2＋3Δx，
∴＝
＝＝3．故選C．]
題號(hào)
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1
3．函數(shù)f (x)＝x2在區(qū)間[0，2]上的平均變化率等于x＝m時(shí)的瞬時(shí)變化率，則m＝(　　)
A．　　B．1　　C．2　　D．
√
14
15
B　[函數(shù)f (x)＝x2在區(qū)間[0，2]上的平均變化率為＝＝2，f (x)＝x2在x＝m時(shí)的瞬時(shí)變化率為＝＝2m，所以2＝2m，解得m＝1．故選B．]
題號(hào)
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1
4．設(shè)函數(shù)y＝f (x)在x＝x0的附近有定義，且有f (x0＋Δx)－f (x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b為常數(shù))，則(　　)
A．f ′(x)＝a　　 B．f ′(x)＝b
C．f ′(x0)＝a　　 D．f ′(x0)＝b
√
14
15
C　[∵＝＝a＋bΔx，
∴f ′(x0)＝＝a．]
題號(hào)
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1
5．若函數(shù)y＝f (x)在x＝x0處可導(dǎo)，且＝1，則
f ′(x0)＝(　　)
A．0　　B．1　　C．3　　D．
√
14
15
D　[因?yàn)椋?，所以3＝1，
所以3f ′(x0)＝1，所以f ′(x0)＝，故選D．]
題號(hào)
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1
二、填空題
6．若函數(shù)y＝f (x)＝，且f ′(m)＝－，則m的值等于________．
14
15
±2　[因?yàn)椋剑剑剑?br/>所以f ′(m)＝＝－，
所以－＝－，m2＝4，解得m＝±2．]
±2
題號(hào)
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1
7．函數(shù)f (x)＝x4在區(qū)間[a，2a]上的平均變化率為15，則實(shí)數(shù)a的值為________．
14
15
1　[由區(qū)間可知2a＞a，可得a＞0，
又由＝＝15a3＝15，解得a＝1．]
1
題號(hào)
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1
8．已知球的體積V是關(guān)于半徑r的函數(shù)，V(r)＝，則當(dāng)r＝2時(shí)，球的體積的瞬時(shí)變化率為________．
14
15
16π　[∵ΔV＝V(2＋Δr)－V(2)＝＝，∴＝[12＋6Δr＋(Δr)2]，∴＝16π．]
16π
題號(hào)
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1
三、解答題
9．已知函數(shù)f (x)＝求函數(shù)f (x)在x＝2和x＝4處的導(dǎo)數(shù)．
14
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題號(hào)
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1
[解]　當(dāng)1≤x＜3時(shí)，f (x)＝3x2＋1，
f ′(2)＝＝＝＝12．
當(dāng)x≥3時(shí)，f (x)＝2＋3(x－3)2，
f ′(4)＝＝
＝＝＝6．
14
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題號(hào)
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1
10．已知函數(shù)f (x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)為12，則＝(　　)
A．－4　　B．4　　C．－36　　D．36
√
14
15
A　[因?yàn)楹瘮?shù)f (x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)為12，
則＝－＝－f ′(x0)＝－×12＝
－4．故選A．]
題號(hào)
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1
11．下列四個(gè)函數(shù)中，在區(qū)間[0，1]上的平均變化率最大的為(　　)
A．y＝x　　 B．y＝ex
C．y＝sin x　　 D．y＝
√
14
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題號(hào)
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1
B　[對(duì)于A，y＝x在[0，1]上的平均變化率為＝1；
對(duì)于B，y＝ex在[0，1]上的平均變化率為＝e－1；
對(duì)于C，y＝sin x在[0，1]上的平均變化率為＝sin 1；
對(duì)于D，y＝在[0，1]上的平均變化率為＝－．
故選B．]
14
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題號(hào)
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1
12．如圖，函數(shù)y＝f (x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x1，x3]，[x3，x4]這幾個(gè)區(qū)間內(nèi)，平均變化率最大的一個(gè)區(qū)間是(　　)
A．[x1，x2]　　
B．[x2，x3]
C．[x1，x3]　　
D．[x3，x4]
√
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題號(hào)
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D　[由題可得函數(shù)f (x)在[x1，x2]上的平均變化率為P1＝＞0，函數(shù)f (x)在[x2，x3]上的平均變化率為P2＝＜0，函數(shù)
f (x)在[x1，x3]上的平均變化率為P3＝＜0，函數(shù)f (x)在[x3，x4]上的平均變化率為P4＝＞0，結(jié)合函數(shù)y＝f (x)的圖象，可得P2＜P3＜0＜P1＜P4．故選D．]
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13．設(shè)函數(shù)y＝f (x)＝mx3＋2，若f ′(－1)＝3，則m＝________．
14
15
1　[∵Δy＝f (－1＋Δx)－f (－1)＝m(－1＋Δx)3＋m＝3mΔx－3m(Δx)2＋m(Δx)3，
∴＝3m－3mΔx＋m(Δx)2，
∴f ′(－1)＝＝3m，
由f ′(－1)＝3，得3m＝3，
∴m＝1．]
1
題號(hào)
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14．一只昆蟲的爬行路程s(單位：米)關(guān)于時(shí)間t(單位：分鐘)的函數(shù)關(guān)系式為s(t)＝求s′(1)與s′(4)，并解釋它們的實(shí)際意義．
14
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題號(hào)
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1
[解]　當(dāng)0≤t＜3時(shí)，s(t)＝3t2，
＝＝＝6＋3Δt，
∴s′(1)＝＝＝6．
當(dāng)t≥3時(shí)，s(t)＝15＋3(t－1)2，
＝＝＝18＋3Δt，
∴s′(4)＝＝＝18．
s′(1)＝6說明在第1分鐘附近時(shí)，該昆蟲的爬行速度為6米/分鐘，s′(4)＝18說明在第4分鐘附近時(shí)，該昆蟲的爬行速度為18米/分鐘．
14
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題號(hào)
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1
15．一小球沿一斜面自由滾下，其運(yùn)動(dòng)方程是s(t)＝t2(位移單位：m，時(shí)間單位：s)．求小球在5 s～6 s間的平均速度和5 s～5.1 s間的平均速度，并與用勻加速直線運(yùn)動(dòng)速度公式求得的t＝5 s時(shí)的瞬時(shí)速度進(jìn)行比較．
14
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題號(hào)
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1
[解]　小球在5 s～6 s間的平均速度為
＝＝36－25＝11(m/s)，
在5 s～5.1 s間的平均速度為
＝＝＝10.1(m/s)，
因?yàn)閟＝t2，所以t＝5 s時(shí)的瞬時(shí)速度為
v＝＝＝10(m/s)．
所以5 s～5.1 s間的平均速度更接近5 s時(shí)的瞬時(shí)速度．
14
15
THANKS5.1.2　導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義
第1課時(shí)　導(dǎo)數(shù)的概念
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1．了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景．(數(shù)學(xué)抽象)
2．理解導(dǎo)數(shù)是關(guān)于瞬時(shí)變化率的數(shù)學(xué)表達(dá)，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵與思想．(數(shù)學(xué)抽象、直觀想象)
(教師用書)
17世紀(jì)下半葉，在前人工作的基礎(chǔ)上，英國科學(xué)家牛頓和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國度里獨(dú)立研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，他們建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無窮小量，因此這門學(xué)科早期也稱為無窮小分析．作為微分學(xué)基礎(chǔ)的極限理論來說，早在我國的古代也已經(jīng)有比較清楚的論述，比如莊周所著的《莊子·雜篇·天下》中，記有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”；三國時(shí)期的劉徽在他的割圓術(shù)中提到“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣．”這些都是樸素的，也是很典型的極限概念．那么這種極限思想對(duì)于函數(shù)來說有什么意義嗎？這就是我們今天要講的導(dǎo)數(shù)．
[討論交流]　
問題1．函數(shù)的平均變化率與瞬時(shí)變化率有什么關(guān)系？
問題2．瞬時(shí)變化率的幾何意義是什么？
問題3．函數(shù)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)是什么含義？
[自我感知]　經(jīng)過認(rèn)真的預(yù)習(xí)，結(jié)合對(duì)本節(jié)課的理解和認(rèn)知，請(qǐng)畫出本節(jié)課的知識(shí)邏輯體系．
探究1　導(dǎo)數(shù)的概念
探究問題1　類比平均速度與瞬時(shí)速度的關(guān)系，瞬時(shí)變化率的幾何意義是什么？
[提示]　瞬時(shí)變化率為＝，其幾何意義是曲線的切線斜率．
[新知生成]
1．平均變化率
對(duì)于函數(shù)y＝f (x)，設(shè)自變量x從x0變化到x0＋Δx，相應(yīng)地，函數(shù)值y就從f (x0)變化到f (x0＋Δx)．這時(shí)，x的變化量為Δx，y的變化量為Δy＝f (x0＋Δx)－f (x0)．我們把比值，即＝叫做函數(shù)y＝f (x)從x0到x0＋Δx的平均變化率．
2．導(dǎo)數(shù)
如果當(dāng)Δx→0時(shí)，平均變化率無限趨近于一個(gè)確定的值，即有極限，則稱y＝f (x)在x＝x0處可導(dǎo)，并把這個(gè)確定的值叫做y＝f (x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)(也稱為瞬時(shí)變化率)，記作f ′(x0)或，即f ′(x0)＝＝．
【教用·微提醒】　(1)平均變化率＝的幾何意義就是函數(shù)y＝f (x)圖象上的兩點(diǎn)(x0，f (x0))與(x0＋Δx，f (x0＋Δx))所在直線的斜率．
(2)在導(dǎo)數(shù)定義中增量Δx的形式是多種多樣的，但不論Δx選擇哪一種形式，相應(yīng)的Δy也必須選擇對(duì)應(yīng)的形式，即深刻理解定義，牢固掌握概念形式．
【鏈接·教材例題】
例1　設(shè)f (x)＝，求f ′(1)．
[解]　f ′(1)＝
＝＝＝－1．
[典例講評(píng)]　1．已知函數(shù)y＝f (x)＝2x2＋1．
(1)求函數(shù)f (x)在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上的平均變化率；
(2)求函數(shù)f (x)在區(qū)間[2，2.01]上的平均變化率；
(3)求函數(shù)f (x)在x＝2處的瞬時(shí)變化率．
[解]　(1)∵Δy＝f (x0＋Δx)－f (x0)
＝－1
＝2Δx(2x0＋Δx)，
∴函數(shù)f (x)在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上的平均變化率為＝＝4x0＋2Δx．
(2)由(1)可知＝4x0＋2Δx，
當(dāng)x0＝2，Δx＝0.01時(shí)，
＝4×2＋2×0.01＝8.02，
即函數(shù)f (x)在區(qū)間[2，2.01]上的平均變化率為8.02．
(3)Δy＝f (2＋Δx)－f (2)＝2(2＋Δx)2＋1－(2×22＋1)＝2(Δx)2＋8Δx．
∴＝2Δx＋8．
故函數(shù)f (x)在x＝2處的瞬時(shí)變化率為＝＝8．
　求瞬時(shí)變化率的主要步驟
(1)先計(jì)算函數(shù)值的改變量Δy＝f (x2)－f (x1)．
(2)再計(jì)算自變量的改變量Δx＝x2－x1．
(3)得平均變化率＝．
(4)得瞬時(shí)變化率．
[學(xué)以致用]　1．已知函數(shù)f (x)＝－．
(1)函數(shù)f (x)在區(qū)間[1，1.5]，[1，1.1]上的平均變化率各是多少？
(2)函數(shù)f (x)在x＝1處的瞬時(shí)變化率是多少？
[解]　(1)∵f (x)＝－，
∴f (1)＝－6，f (1.5)＝－4，f (1.1)＝－，
∴該函數(shù)在區(qū)間[1，1.5]上的平均變化率為
＝＝4，
在區(qū)間[1，1.1]上的平均變化率為
＝＝．
(2)函數(shù)f (x)在x＝1處的瞬時(shí)變化率為
＝＝＝＝6．
探究2　導(dǎo)數(shù)定義的應(yīng)用
[典例講評(píng)]　2．(源自北師大版教材)求函數(shù)y＝f (x)＝＋x在下列各點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)：
(1)x＝1；(2)x＝x0．
[解]　(1)Δy＝f (1＋Δx)－f (1)＝＋(1＋Δx)－
＝＋Δx．
＝＋1．
當(dāng)Δx趨于0時(shí)，得到導(dǎo)數(shù)
f ′(1)＝＝＝－1．
(2)Δy＝f (x0＋Δx)－f (x0)＝＋(x0＋Δx)－＝＋Δx．
＝＋1．
當(dāng)Δx趨于0時(shí)，得到導(dǎo)數(shù)
f ′(x0)＝＝＝＋1．
　求一個(gè)函數(shù)y＝f (x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的步驟
(1)求函數(shù)值的變化量Δy＝f (x0＋Δx)－f (x0)．
(2)求平均變化率＝．
(3)取極限，得導(dǎo)數(shù)f ′(x0)＝．
[學(xué)以致用]　2．函數(shù)y＝在x＝1處的導(dǎo)數(shù)為________．
－2　[因?yàn)棣＝＝＝，
所以＝，
所以y′|x＝1＝＝＝－2，
即函數(shù)y＝在x＝1處的導(dǎo)數(shù)為－2．]
探究3　導(dǎo)數(shù)定義式的運(yùn)用
[典例講評(píng)]　3．已知奇函數(shù)f (x)滿足f ′(－1)＝1，則＝(　　)
A．－　　　B．　　　C．1　　　D．－1
B　[∵f (x)是奇函數(shù)且f ′(－1)＝1，
∴
＝＝f ′(－1)＝．
故選B．]
　由導(dǎo)數(shù)的定義可知，若函數(shù)y＝f (x)在x＝x0處可導(dǎo)，則f ′(x0)＝，它僅與x0有關(guān)，與Δx無關(guān)，因此使用導(dǎo)數(shù)的定義時(shí)要明確公式的形式，當(dāng)分子為f (1－Δx)－f (1)時(shí)，分母也應(yīng)該是(1－Δx)－1，要注意公式的變形．
[學(xué)以致用]　3．已知函數(shù)f (x)在x＝x0處可導(dǎo)，若＝2，則f ′(x0)＝(　　)
A．1 B． C．2 D．8
B　[函數(shù)f (x)在x＝x0處可導(dǎo)，
f ′(x0)＝
＝＝×2＝．故選B．]
【教用·備選題】　一條水管中流出的水量y(單位：m3)關(guān)于時(shí)間t(單位：s)的函數(shù)為y＝f (t)＝t2＋7t＋15(0≤t≤8)．計(jì)算2 s和6 s時(shí)，函數(shù)的瞬時(shí)變化率，并說明它們的實(shí)際意義．
[解]　當(dāng)t＝2時(shí)，＝
＝
＝＝Δt＋11．
當(dāng)Δt無限趨近于0時(shí)，無限趨近于11．
同理可得當(dāng)t＝6時(shí)，Δt無限趨近于0時(shí)，無限趨近于19．在2 s與6 s時(shí)，函數(shù)的瞬時(shí)變化率分別為11與19．
它說明在2 s附近，水流大約以11 m3/s的速度流出，在6 s附近，水流大約以19 m3/s的速度流出．
探究4　導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的意義
【鏈接·教材例題】
例2　將原油精煉為汽油、些油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱．已知在第x h時(shí)，原油的溫度(單位：℃)為y＝f (x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．計(jì)算第2 h與第6 h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說明它們的意義．
[解]　在第2 h和第6 h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率就是f ′(2)和f ′(6)．
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，
＝
＝
＝
＝Δx－3，
所以f ′(2)＝＝＝－3．
同理可得
f ′(6)＝5．
在第2 h與第6 h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率分別為－3 ℃/h與5 ℃/h．說明在第2 h附近，原油溫度大約以3 ℃/h的速率下降；在第6 h附近，原油溫度大約以5 ℃/h的速率上升．
一般地，f ′(x0)(0≤x0≤8)反映了原油溫度在時(shí)刻x0附近的變化情況．
【鏈接·教材例題】
例3　一輛汽車在公路上沿直線變速行駛，假設(shè)汽車在某一路段內(nèi)t s時(shí)的速度(單位：m/s)為y＝v(t)＝－t2＋6t＋17，求汽車在第2 s與第6 s時(shí)的瞬時(shí)加速度，并說明它們的意義．
分析：瞬時(shí)加速度是速度關(guān)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率．因此，在第2 s與第6 s時(shí)，汽車的瞬時(shí)加速度分別為v′(2)，v′(6)．
[解]　在第2 s和第6 s時(shí)，汽車的瞬時(shí)加速度就是v′(2)和v′(6)．
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，
＝＝＝－Δt＋2，
所以v′(2)＝＝＝2．
同理可得
v′(6)＝－6．
在第2 s與第6 s時(shí)，汽車的瞬時(shí)加速度分別是2 m/s2與－6 m/s2．說明在第2 s附近，汽車的速度每秒大約增加2 m/s；在第6 s附近，汽車的速度每秒大約減少6 m/s．
[典例講評(píng)]　4．蜥蜴的體溫與陽光的照射有關(guān)，其關(guān)系為T(t)＝＋15，其中T(t)為體溫(單位：℃)，t為太陽落山后的時(shí)間(單位：min)．
(1)從t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的體溫的平均變化率是多少？它表示什么意義？
(2)求T ′(5)，并說明它的實(shí)際意義．
[解]　(1)從t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的體溫的平均變化率為
＝＝－＝－1.6，
它表示從t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的體溫平均每分鐘下降1.6 ℃．
(2)T′(5)＝＝＝－1.2，
∴T′(5)表示當(dāng)t＝5 min時(shí)，蜥蜴的體溫下降的瞬時(shí)速度為1.2 ℃/min．
　導(dǎo)數(shù)的物理意義是：函數(shù)y＝f (x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)即為它的瞬時(shí)變化率．
[學(xué)以致用]　4．某機(jī)械廠生產(chǎn)一種木材旋切機(jī)，已知總利潤c(單位：萬元)與產(chǎn)量x(單位：千臺(tái))之間的關(guān)系式為c(x)＝－2x2＋7x＋6．求c′(1)與c′(2)，并說明它們的實(shí)際意義．
[解]　設(shè)x＝1時(shí)產(chǎn)量的改變量為Δx，
則＝＝＝－2Δx＋3，
c′(1)＝＝＝3，
設(shè)x＝2時(shí)產(chǎn)量的改變量為Δx，
則＝
＝＝－2Δx－1，
c′(2)＝＝＝－1．
c′(1)的實(shí)際意義：當(dāng)產(chǎn)量為1千臺(tái)時(shí)，多生產(chǎn)1千臺(tái)旋切機(jī)可多獲利3萬元；
c′(2)的實(shí)際意義：當(dāng)產(chǎn)量為2千臺(tái)時(shí)，多生產(chǎn)1千臺(tái)旋切機(jī)少獲利1萬元．
1．函數(shù)y＝f (x)＝x2在x＝1處的導(dǎo)數(shù)為(　　)
A．2x B．2 C．－2 D．±2
B　[f ′(1)＝＝
＝＝＝2．故選B．]
2．設(shè)f (x)是可導(dǎo)函數(shù)，且＝2，則f ′(1)＝(　　)
A． B．－1 C．0 D．－2
B　[＝－2＝－2f ′(1)＝2，
則f ′(1)＝－1．故選B．]
3．函數(shù)f (x)＝x2－1在x0到x0＋Δx之間的平均變化率為(　　)
A．2x0－1 B．2x0＋Δx
C．2x0Δx＋(Δx)2 D．(Δx)2－Δx＋1
B　[根據(jù)定義，平均變化率為＝＝2x0＋Δx．故選B．]
4．已知函數(shù)y＝f (x)＝－x2＋x在區(qū)間[t，1]上的平均變化率為2，則t＝________．
－2　[∵Δy＝f (1)－f (t)＝(－12＋1)－(－t2＋t)＝t2－t，
∴＝＝－t．
又∵＝2，∴t＝－2．]
1．知識(shí)鏈：(1)導(dǎo)數(shù)的概念．
(2)導(dǎo)數(shù)定義的應(yīng)用．
(3)導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的意義．
2．方法鏈：定義法．
3．警示牌：對(duì)函數(shù)的平均變化率、瞬時(shí)變化率及導(dǎo)數(shù)概念理解不到位．
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：
1．你是如何理解的？它的意義是什么？
[提示]　的實(shí)質(zhì)是函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)函數(shù)值變化量與自變量變化量之比，它的意義是刻畫函數(shù)的函數(shù)值在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上變化的快慢．
2．如何理解導(dǎo)數(shù)的概念？
[提示]　①函數(shù)應(yīng)在x＝x0的附近有定義，否則導(dǎo)數(shù)不存在；②導(dǎo)數(shù)是一個(gè)局部概念，它只與函數(shù)y＝f (x)在x＝x0及其附近的函數(shù)值有關(guān)，與Δx無關(guān)；③導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)是一個(gè)極限值．
課時(shí)分層作業(yè)(十三)　導(dǎo)數(shù)的概念
一、選擇題
1．已知函數(shù)y＝f (x)＝x2＋3，當(dāng)自變量由1變到1.1時(shí)，函數(shù)的平均變化率為(　　)
A．1 B．1.1 C．2 D．2.1
D　[＝＝＝2.1．故選D．]
2．設(shè)函數(shù)f (x)＝x2＋x，則＝(　　)
A．－6 B．－3 C．3 D．6
C　[f (1＋Δx)－f (1)＝(1＋Δx)2＋(1＋Δx)－1－1＝(Δx)2＋3Δx，
∴＝
＝＝3．故選C．]
3．函數(shù)f (x)＝x2在區(qū)間[0，2]上的平均變化率等于x＝m時(shí)的瞬時(shí)變化率，則m＝(　　)
A． B．1 C．2 D．
B　[函數(shù)f (x)＝x2在區(qū)間[0，2]上的平均變化率為＝＝2，f (x)＝x2在x＝m時(shí)的瞬時(shí)變化率為＝＝2m，
所以2＝2m，解得m＝1．故選B．]
4．設(shè)函數(shù)y＝f (x)在x＝x0的附近有定義，且有f (x0＋Δx)－f (x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b為常數(shù))，則(　　)
A．f ′(x)＝a B．f ′(x)＝b
C．f ′(x0)＝a D．f ′(x0)＝b
C　[∵＝＝a＋bΔx，
∴f ′(x0)＝＝a．]
5．若函數(shù)y＝f (x)在x＝x0處可導(dǎo)，且＝1，則f ′(x0)＝(　　)
A．0 B．1 C．3 D．
D　[因?yàn)椋?，
所以3＝1，
所以3f ′(x0)＝1，
所以f ′(x0)＝，故選D．]
二、填空題
6．若函數(shù)y＝f (x)＝，且f ′(m)＝－，則m的值等于________．
±2　[因?yàn)椋?br/>＝＝，
所以f ′(m)＝＝－，
所以－＝－，m2＝4，解得m＝±2．]
7．函數(shù)f (x)＝x4在區(qū)間[a，2a]上的平均變化率為15，則實(shí)數(shù)a的值為________．
1　[由區(qū)間可知2a＞a，可得a＞0，
又由＝＝15a3＝15，解得a＝1．]
8．已知球的體積V是關(guān)于半徑r的函數(shù)，V(r)＝，則當(dāng)r＝2時(shí)，球的體積的瞬時(shí)變化率為________．
16π　[∵ΔV＝V(2＋Δr)－V(2)＝＝，∴＝[12＋6Δr＋(Δr)2]，∴＝16π．]
三、解答題
9．已知函數(shù)f (x)＝求函數(shù)f (x)在x＝2和x＝4處的導(dǎo)數(shù)．
[解]　當(dāng)1≤x＜3時(shí)，f (x)＝3x2＋1，
f ′(2)＝
＝＝＝12．
當(dāng)x≥3時(shí)，f (x)＝2＋3(x－3)2，
f ′(4)＝
＝
＝＝＝6．
10．已知函數(shù)f (x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)為12，則＝(　　)
A．－4 B．4 C．－36 D．36
A　[因?yàn)楹瘮?shù)f (x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)為12，
則＝－＝－f ′(x0)＝－×12＝－4．故選A．]
11．下列四個(gè)函數(shù)中，在區(qū)間[0，1]上的平均變化率最大的為(　　)
A．y＝x B．y＝ex
C．y＝sin x D．y＝
B　[對(duì)于A，y＝x在[0，1]上的平均變化率為＝1；
對(duì)于B，y＝ex在[0，1]上的平均變化率為＝e－1；
對(duì)于C，y＝sin x在[0，1]上的平均變化率為＝sin 1；
對(duì)于D，y＝在[0，1]上的平均變化率為＝－．
故選B．]
12．如圖，函數(shù)y＝f (x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x1，x3]，[x3，x4]這幾個(gè)區(qū)間內(nèi)，平均變化率最大的一個(gè)區(qū)間是(　　)
A．[x1，x2] B．[x2，x3]
C．[x1，x3] D．[x3，x4]
D　[由題可得函數(shù)f (x)在[x1，x2]上的平均變化率為P1＝＞0，函數(shù)f (x)在[x2，x3]上的平均變化率為P2＝＜0，函數(shù)f (x)在[x1，x3]上的平均變化率為P3＝＜0，函數(shù)f (x)在[x3，x4]上的平均變化率為P4＝＞0，結(jié)合函數(shù)y＝f (x)的圖象，可得P2＜P3＜0＜P1＜P4．故選D．]
13．設(shè)函數(shù)y＝f (x)＝mx3＋2，若f ′(－1)＝3，則m＝________．
1　[∵Δy＝f (－1＋Δx)－f (－1)＝m(－1＋Δx)3＋m＝3mΔx－3m(Δx)2＋m(Δx)3，
∴＝3m－3mΔx＋m(Δx)2，
∴f ′(－1)＝＝3m，
由f ′(－1)＝3，得3m＝3，
∴m＝1．]
14．一只昆蟲的爬行路程s(單位：米)關(guān)于時(shí)間t(單位：分鐘)的函數(shù)關(guān)系式為s(t)＝求s′(1)與s′(4)，并解釋它們的實(shí)際意義．
[解]　當(dāng)0≤t＜3時(shí)，s(t)＝3t2，
＝＝＝6＋3Δt，
∴s′(1)＝＝＝6．
當(dāng)t≥3時(shí)，s(t)＝15＋3(t－1)2，
＝＝＝18＋3Δt，
∴s′(4)＝＝＝18．
s′(1)＝6說明在第1分鐘附近時(shí)，該昆蟲的爬行速度為6米/分鐘，s′(4)＝18說明在第4分鐘附近時(shí)，該昆蟲的爬行速度為18米/分鐘．
15．一小球沿一斜面自由滾下，其運(yùn)動(dòng)方程是s(t)＝t2(位移單位：m，時(shí)間單位：s)．求小球在5 s～6 s間的平均速度和5 s～5.1 s間的平均速度，并與用勻加速直線運(yùn)動(dòng)速度公式求得的t＝5 s時(shí)的瞬時(shí)速度進(jìn)行比較．
[解]　小球在5 s～6 s間的平均速度為
＝＝36－25＝11(m/s)，
在5 s～5.1 s間的平均速度為
＝＝＝10.1(m/s)，
因?yàn)閟＝t2，所以t＝5 s時(shí)的瞬時(shí)速度為
v＝＝＝10(m/s)．
所以5 s～5.1 s間的平均速度更接近5 s時(shí)的瞬時(shí)速度．
13/13第2課時(shí)　導(dǎo)數(shù)的幾何意義
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1．了解導(dǎo)函數(shù)的概念，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義．(數(shù)學(xué)建模)
2．會(huì)求導(dǎo)函數(shù)．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
3．根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求曲線上某點(diǎn)處的切線方程．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
4．正確理解曲線“過某點(diǎn)”和“在某點(diǎn)”處的切線，并會(huì)求其方程．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)．
(教師用書)
在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，對(duì)于我們遇到的一些新知識(shí)不僅要學(xué)習(xí)它的定義、公式，還要學(xué)習(xí)它所具有的性質(zhì)或幾何意義，比如復(fù)數(shù)除了是一種數(shù)外，它可以與平面內(nèi)的點(diǎn)、向量一一對(duì)應(yīng)；數(shù)列{an}除了是一列有規(guī)律(或無規(guī)律)的數(shù)外，它可能還具有函數(shù)的性質(zhì)……，同樣地，導(dǎo)數(shù)除了代表瞬時(shí)變化率外，它還具有其他的意義嗎？
[討論交流]　
問題1．導(dǎo)數(shù)的幾何意義是什么？
問題2．如何求曲線上某點(diǎn)處的切線方程？
問題3．導(dǎo)函數(shù)的定義是什么？它與函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)有何關(guān)系？
[自我感知]　經(jīng)過認(rèn)真的預(yù)習(xí)，結(jié)合對(duì)本節(jié)課的理解和認(rèn)知，請(qǐng)畫出本節(jié)課的知識(shí)邏輯體系．
探究1　導(dǎo)數(shù)的幾何意義
探究問題1　在前面的課時(shí)中我們已經(jīng)了解到曲線的切線斜率與函數(shù)的瞬時(shí)變化率的關(guān)系，也知道對(duì)于一般的曲線，平均變化率可以代表曲線的割線斜率，那么導(dǎo)數(shù)(即瞬時(shí)變化率)能代表曲線的切線斜率嗎？
[提示]　k＝f ′(x0)＝適用于求一般曲線的切線斜率．
[新知生成]
函數(shù)y＝f (x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y＝f (x)在點(diǎn)P(x0，f (x0))處的切線的斜率．也就是說，曲線y＝f (x)在點(diǎn)P(x0，f (x0))處的切線的斜率是f ′(x0)．相應(yīng)地，切線方程為y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)．
【教用·微提醒】　切線的斜率k只與橫坐標(biāo)x0有關(guān)，與Δx無關(guān)．
[典例講評(píng)]　1．已知曲線C：y＝x3．
(1)求曲線C在橫坐標(biāo)為x＝1的點(diǎn)處的切線方程；
(2)求曲線C過點(diǎn)(1，1)的切線方程．
[思路導(dǎo)引]　(1)→→
(2)→→→
[解]　(1)將x＝1代入曲線C的方程得y＝1，∴切點(diǎn)P(1，1)．
y′|x＝1＝＝＝＝3．
∴k＝y(tǒng)′|x＝1＝3，∴曲線在點(diǎn)P(1，1)處的切線方程為y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0．
(2)設(shè)切點(diǎn)為Q(x0，y0)，由(1)可知y′|x＝＝，由題意可知kPQ＝y(tǒng)′|x＝，
即＝，又y0＝，所以＝，
即＋1＝0，解得x0＝1或x0＝－．
①當(dāng)x0＝1時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，相應(yīng)的切線方程為3x－y－2＝0．
②當(dāng)x0＝－時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為，相應(yīng)的切線方程為y＋＝，即3x－4y＋1＝0．
[母題探究]　
本例(1)中的切線與曲線C是否還有其他的公共點(diǎn)？
[解]　由解得或
從而求得公共點(diǎn)為(1，1)或(－2，－8)，即切線與曲線C的公共點(diǎn)除了切點(diǎn)外，還有另一個(gè)公共點(diǎn)(－2，－8)．
【教用·備選題】　已知拋物線y＝f (x)＝2x2＋1．
(1)求拋物線在點(diǎn)P(1，3)處的切線方程；
(2)若拋物線在某點(diǎn)處的切線的傾斜角為45°，求該切點(diǎn)的坐標(biāo)．
[解]　(1)因?yàn)棣＝2(1＋Δx)2＋1－2×12－1＝4Δx＋2(Δx)2，所以＝4＋2Δx，
所以切線的斜率為＝4，所以切線的方程為y－3＝4(x－1)，即4x－y－1＝0．
(2)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，
則Δy＝－1，
所以＝4x0＋2Δx，
所以切線的斜率為＝4x0．
又因?yàn)榍芯€的斜率為k＝tan 45°＝1，
所以4x0＝1，即x0＝，
所以y0＝2×＋1＝，
所以切點(diǎn)坐標(biāo)為．
　利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程的方法
(1)若已知點(diǎn)(x0，y0)在曲線上，求在點(diǎn)(x0，y0)處的切線方程，先求出函數(shù)y＝f (x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，得切線方程y－y0＝f ′(x0)(x－x0)．
(2)若點(diǎn)(x0，y0)不在曲線上，求過點(diǎn)(x0，y0)的切線方程，首先應(yīng)設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出等式，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出切線方程．
[學(xué)以致用]　1．已知曲線f (x)＝x3＋ax在x＝1處的切線與直線x＋4y＝0垂直，則實(shí)數(shù)a＝(　　)
A．2　　　B．1　　　C．－1　　　D．－2
B　[f ′(1)＝＝
＝＝3＋a．
又曲線f (x)在x＝1處的切線與直線x＋4y＝0垂直，∴f ′(1)·＝(3＋a)·＝－1，解得a＝1．]
探究2　利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷函數(shù)的變化
探究問題2　函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系？
導(dǎo)數(shù)值的大小與函數(shù)變化的快慢有什么關(guān)系？
[提示]　當(dāng)t＝t0時(shí)，函數(shù)的圖象在t＝t0處的切線平行于t軸，即h′(t0)＝0，這時(shí)，在t＝t0附近曲線比較平坦，幾乎沒有升降．
當(dāng)t＝t1時(shí)，函數(shù)的圖象在t＝t1處的切線l1的斜率h′(t1)＜0，這時(shí)，在t＝t1附近曲線下降，即函數(shù)在t＝t1附近單調(diào)遞減．
當(dāng)t＝t2時(shí)，函數(shù)的圖象在t＝t2處的切線l2的斜率h′(t2)＜0，這時(shí)，在t＝t2附近曲線下降，即函數(shù)在t＝t2附近單調(diào)遞減．
通過研究t＝t1和t＝t2發(fā)現(xiàn)直線l1的傾斜程度小于直線l2的傾斜程度，這說明曲線在t＝t1附近比在t＝t2附近下降的緩慢．
同理，t＝t3，t＝t4時(shí)都有h′(t)＞0，h(t)在各自附近單調(diào)遞增，且曲線在t＝t3附近比在t＝t4附近上升的快．
[新知生成]
若f ′(x0)＝0，則函數(shù)的圖象在x＝x0處切線斜率k＝0；
若f ′(x0)＞0，則函數(shù)的圖象在x＝x0處切線斜率k＞0，則函數(shù)在x＝x0附近單調(diào)遞增，且f ′(x0)越大，說明函數(shù)圖象變化得越快；
若f ′(x0)＜0，則函數(shù)的圖象在x＝x0處切線斜率k＜0，且函數(shù)在x＝x0附近單調(diào)遞減，且|f ′(x0)|越大，說明函數(shù)圖象變化得越快．
【教用·微提醒】　f ′(x0)的正負(fù)決定增減，|f ′(x0)|的大小決定快慢．
【鏈接·教材例題】
例4　圖5.1-6是跳水運(yùn)動(dòng)中某運(yùn)動(dòng)員的重心相對(duì)于水面的高度隨時(shí)間變化的函數(shù)h(t)＝－4.9t2＋2.8t＋11的圖象．根據(jù)圖象，請(qǐng)描述、比較曲線h(t)在t＝t0，t1，t2附近的變化情況．
[解]　我們用曲線h(t)在t＝t0，t1，t2處的切線斜率，刻畫曲線h(t)在上述三個(gè)時(shí)刻附近的變化情況．
(1)當(dāng)t＝t0時(shí)，曲線h(t)在t＝t0處的切線l0平行于t軸，h′(t0)＝0．這時(shí)，在t＝t0附近曲線比較平坦，幾乎沒有升降．
(2)當(dāng)t＝t1時(shí)，曲線h(t)在t＝t1處的切線l1的斜率h′(t1)＜0．這時(shí)，在t＝t1附近曲線下降，即函數(shù)h(t)在t＝t1附近單調(diào)遞減．
(3)當(dāng)t＝t2時(shí)，曲線h(t)在t＝t2處的切線l2的斜率h′(t2)＜0．這時(shí)，在t＝t2附近曲線下降，即函數(shù)h(t)在t＝t2附近也單調(diào)遞減．
從圖5.1-6可以看出，直線l1的傾斜程度小于直線l2的傾斜程度，這說明曲線h(t)在t＝t1附近比在t＝t2附近下降得緩慢．
[典例講評(píng)]　2．已知y＝f (x)的圖象如圖所示，則f ′(xA)與f ′(xB)的大小關(guān)系是(　　)
A．f ′(xA)>f ′(xB)
B．f ′(xA)C．f ′(xA)＝f ′(xB)
D．不能確定
B　[由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，f ′(xA)，f ′(xB)分別是函數(shù)的圖象在點(diǎn)A，B處切線的斜率，
由題干圖象可知，f ′(xA)　導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是函數(shù)圖象切線的斜率，所以比較導(dǎo)數(shù)大小的問題可以用數(shù)形結(jié)合思想來解決．
(1)曲線f (x)在x＝x0附近的變化情況可通過x＝x0處的切線刻畫．f ′(x0)＞0說明曲線在x＝x0處的切線的斜率為正值，從而得出在x＝x0附近曲線是上升的；f ′(x0)＜0說明在x＝x0附近曲線是下降的．
(2)曲線在某點(diǎn)處的切線斜率的大小反映了曲線在相應(yīng)點(diǎn)處的變化情況，由切線的傾斜程度，可以判斷出曲線升降的快慢．
[學(xué)以致用]　2．已知函數(shù)f (x)在R上可導(dǎo)，其部分圖象如圖所示，設(shè)＝a，則下列不等式正確的是(　　)
A．f ′(1)＜f ′(2)＜a
B．f ′(1)＜a＜f ′(2)
C．f ′(2)＜f ′(1)＜a
D．a(chǎn)＜f ′(1)＜f ′(2)
B　[由題圖可知，函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上的增長越來越快，∴f ′(1)＜f ′(2)，∵＝a，∴通過作切線與割線可得f ′(1)＜a＜f ′(2)，故選B．]
探究3　導(dǎo)函數(shù)(導(dǎo)數(shù))
探究問題3　由前面所學(xué)知識(shí)可知，求函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)在該點(diǎn)附近的變化，能否通過求導(dǎo)研究函數(shù)的整體變化？
[提示]　這涉及函數(shù)在任意一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)問題，通過f ′(x0)＝可知f ′(x)＝，這就是函數(shù)在任意一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，即導(dǎo)函數(shù)，它不再是一個(gè)唯一確定的數(shù)，而是一個(gè)函數(shù)．
[新知生成]
對(duì)于函數(shù)y＝f (x)，當(dāng)x＝x0時(shí)，f ′(x0)是一個(gè)唯一確定的數(shù)，當(dāng)x變化時(shí)，y＝f ′(x)就是x的函數(shù)，我們稱它為y＝f (x)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù))．y＝f (x)的導(dǎo)函數(shù)有時(shí)也記作y′，即f ′(x)＝y(tǒng)′＝．
【教用·微提醒】　(1)f ′(x0)是具體的值，是數(shù)值．
(2)f ′(x)是函數(shù)f (x)在某區(qū)間I上每一點(diǎn)都存在導(dǎo)數(shù)而定義的一個(gè)新函數(shù)，是函數(shù)．
[典例講評(píng)]　3．已知函數(shù)y＝f (x)＝x2－x，求：
(1)f ′(x)；
(2)f (x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)．
[解]　(1)因?yàn)棣＝f (x＋Δx)－f (x)＝(Δx)2＋2x·Δx－Δx，所以＝2x＋Δx－，
所以f ′(x)＝＝2x－．
(2)由(1)知f ′(x)＝2x－，所以f ′(1)＝2×1－＝．
　求導(dǎo)函數(shù)的主要步驟
(1)求函數(shù)的增量Δy＝f (x＋Δx)－f (x)；
(2)求平均變化率＝；
(3)求極限，即f ′(x)＝．
[學(xué)以致用]　3．(源自北師大版教材)求y＝f (x)＝3x2－x的導(dǎo)數(shù)f ′(x)，并利用f ′(x)求f ′(1)，f ′(－2)，f ′(0)．
[解]　Δy＝f (x＋Δx)－f (x)＝3(x＋Δx)2－(x＋Δx)－(3x2－x)
＝3(Δx)2＋6xΔx－Δx．
＝＝3Δx＋6x－1．
當(dāng)Δx趨于0時(shí)，得到導(dǎo)數(shù)
f ′(x)＝＝＝6x－1．
可得
f ′(1)＝6×1－1＝5，
f ′(－2)＝6×(－2)－1＝－13，
f ′(0)＝6×0－1＝－1．
1．下面說法正確的是(　　)
A．若f ′(x0)不存在，則曲線y＝f (x)在點(diǎn)(x0，f (x0))處沒有切線
B．若曲線y＝f (x)在點(diǎn)(x0，f (x0))處有切線，則f ′(x0)必存在
C．若f ′(x0)不存在，則曲線y＝f (x)在點(diǎn)(x0，f (x0))處的切線斜率不存在
D．若曲線y＝f (x)在點(diǎn)(x0，f (x0))處沒有切線，則f ′(x0)有可能存在
C　[根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及切線的定義知曲線在(x0，y0)處有導(dǎo)數(shù)，則切線一定存在，但反之不一定成立．故ABD錯(cuò)誤．]
2．某司機(jī)看見前方50 m處有行人橫穿馬路，這時(shí)司機(jī)開始緊急剎車，在剎車的過程中，汽車的速度v是關(guān)于剎車時(shí)間t的函數(shù)，其圖象可能是(　　)
A　　　　　B　　　　C　　　　　D
A　[根據(jù)題意，剎車過程中，汽車速度呈下降趨勢，排除選項(xiàng)CD；由于是緊急剎車，則汽車速度下降非常快，則圖象較陡，排除選項(xiàng)B．故選A．]
3．如果曲線y＝f (x)在點(diǎn)(x0，f (x0))處的切線方程為x＋2y－3＝0，那么(　　)
A．f ′(x0)＞0 B．f ′(x0)＜0
C．f ′(x0)＝0 D．f ′(x0)不存在
B　[由x＋2y－3＝0知斜率k＝－，∴f ′(x0)＝－＜0．故選B．]
4．已知函數(shù)y＝ax2＋b的圖象在其上點(diǎn)(1，3)處的切線斜率為2，則a＝________，b＝________．
1　2　[＝＝2a＝2，所以a＝1．又3＝a×12＋b，所以b＝2．]
1．知識(shí)鏈：(1)導(dǎo)數(shù)的幾何意義．
(2)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．
(3)導(dǎo)函數(shù)的概念．
2．方法鏈：方程思想、數(shù)形結(jié)合．
3．警示牌：切線過某點(diǎn)，這點(diǎn)不一定是切點(diǎn)．
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：
1．f ′(x0)是如何反映函數(shù)y＝f (x)的圖象特征的？
[提示]　曲線的升降、切線的斜率與f ′(x0)的關(guān)系如下：
f ′(x0)的符號(hào) 曲線f (x)在x＝x0附近的升降情況 切線的斜率k 切線的傾斜角
f ′(x0)＞0 上升 k＞0 銳角
f ′(x0)＜0 下降 k＜0 鈍角
f ′(x0)＝0 平坦 k＝0 零角(切線與x軸平行)
2．函數(shù)y＝f (x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f ′(x0)與導(dǎo)函數(shù)f ′(x)之間的區(qū)別和聯(lián)系是什么？
[提示]　區(qū)別：①f ′(x0)是函數(shù)f (x)在x＝x0處函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比的極限，是一個(gè)常數(shù)，不是變量；
②f ′(x)是函數(shù)f (x)的導(dǎo)函數(shù)，是對(duì)某一區(qū)間內(nèi)任意x而言的，即如果函數(shù)y＝f (x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的每一點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)，此時(shí)對(duì)于每一個(gè)x∈(a，b)，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)f ′(x)，從而構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù)——導(dǎo)函數(shù)f ′(x)．
聯(lián)系：函數(shù)f (x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f ′(x0)就是導(dǎo)函數(shù)f ′(x)在x＝x0處的函數(shù)值．這也是求函數(shù)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的方法之一．
3．曲線f (x)在點(diǎn)(x0，f (x0))處的切線與曲線f (x)過點(diǎn)(x0，y0)的切線有什么不同？
[提示]　曲線f (x)在點(diǎn)(x0，f (x0))處的切線，點(diǎn)(x0，f (x0))一定是切點(diǎn)，只要求出k＝f ′(x0)，利用點(diǎn)斜式寫出切線方程即可；而曲線f (x)過某點(diǎn)(x0，y0)的切線，給出的點(diǎn)(x0，y0)不一定在曲線上，即使在曲線上也不一定是切點(diǎn)．
課時(shí)分層作業(yè)(十四)　導(dǎo)數(shù)的幾何意義
一、選擇題
1．已知點(diǎn)P(－1，1)為曲線上的一點(diǎn)，PQ為曲線的割線，P，Q兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之差為Δx，當(dāng)Δx→0時(shí)，若kPQ的極限為－2，則在點(diǎn)P處的切線方程為(　　)
A．y＝－2x＋1 B．y＝－2x－1
C．y＝－2x＋3 D．y＝－2x－2
B　[當(dāng)Δx→0時(shí)，kPQ的極限為－2，則曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率為－2，所以在點(diǎn)P處的切線方程為y－1＝－2(x＋1)，整理可得y＝－2x－1．]
2．已知函數(shù)f (x)滿足f ′(x1)＞0，f ′(x2)＜0，則在x1和x2附近符合條件的f (x)的圖象大致是(　　)
A　　　　　B　　　 　C　　　　　D
D　[由f ′(x1)＞0，f ′(x2)＜0可知，f (x)的圖象在x1處切線的斜率為正，在x2處切線的斜率為負(fù)．故選D．]
3．已知函數(shù)f (x)在x＝2附近可導(dǎo)，且＝－2，f (2)＝2，則f (x)的圖象在點(diǎn)(2，f (2))處的切線方程為(　　)
A．2x＋y－6＝0 B．2x－y－2＝0
C．x＋2y－6＝0 D．x－2y＋2＝0
A　[∵＝－2，∴函數(shù)f (x)的圖象在x＝2處的切線的斜率為k＝－2．
∵f (2)＝2，∴切線過點(diǎn)(2，2)，
∴切線方程為y－2＝－2(x－2)，即2x＋y－6＝0．故選A．]
4．曲線y＝x3－2在點(diǎn)處的切線的傾斜角為(　　)
A． B． C． D．
B　[∵y′＝＝＝x2，
∴切線的斜率k＝y(tǒng)′|x＝1＝1，
∴切線的傾斜角為．故選B．]
5．(多選)若直線y＝kx＋1與曲線f (x)＝x3＋ax＋b相切于點(diǎn)A(1，3)，則(　　)
A．a(chǎn)＝－1 B．b＝3
C．k＝2 D．f ′(1)＝3
ABC　[由題意可得，
由此解得
f ′(1)＝k＝2，D錯(cuò)誤．故選ABC．]
二、填空題
6．如圖，函數(shù)y＝f (x)的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是y＝－x＋8，則f (5)＋f ′(5)＝________．
2　[由函數(shù)y＝f (x)的圖象在點(diǎn)P(5，f (5))處的切線方程是y＝－x＋8，得切線斜率k＝f ′(5)＝－1，又由切點(diǎn)P既在函數(shù)y＝f (x)的圖象上又在切線上，得f (5)＝3，則f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2．]
7．曲線y＝－在點(diǎn)處的切線方程為________．
4x－y－4＝0　[先求y＝－的導(dǎo)數(shù)，Δy＝＝＝＝＝，即y′＝，所以曲線y＝－在點(diǎn)處的切線斜率k＝＝4，所以切線方程是y＋2＝4，即4x－y－4＝0．]
8．已知f (x)＝x2＋ax，f ′(1)＝4，曲線f (x)在x＝1處的切線在y軸上的截距為－1，則實(shí)數(shù)a的值為________．
2　[由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得切線的斜率k＝f ′(1)＝4．又切線在y軸上的截距為－1，所以曲線f (x)在x＝1處的切線方程為y＝4x－1，從而可得切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，3)，所以f (1)＝1＋a＝3，即a＝2．]
三、解答題
9．設(shè)P0為曲線f (x)＝x3＋x－2上的點(diǎn)，且曲線在P0處的切線平行于直線y＝4x－1，求點(diǎn)P0的坐標(biāo)．
[解]　設(shè)P0(x0，y0)．
∵f ′(x)＝＝＝3x2＋1，
∴f ′(x0)＝＋1．
∵曲線f (x)＝x3＋x－2在P0處的切線平行于直線y＝＋1＝4，解得x0＝±1．
當(dāng)x0＝1時(shí)，y0＝0；
當(dāng)x0＝－1時(shí)，y0＝－4．
∴點(diǎn)P0的坐標(biāo)為(1，0)或(－1，－4)．
10．若曲線y＝x＋上任意一點(diǎn)P處的切線的斜率為k，則k的取值范圍是(　　)
A．(－∞，－1) B．(－1，1)
C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
C　[y＝x＋上任意一點(diǎn)P(x0，y0)處的切線斜率
k＝
＝＝＜1，即k＜1．]
11．已知函數(shù)f (x)在R上可導(dǎo)，f (x)的圖象如圖所示，則下列不等式正確的是(　　)
A．f ′(a)＜f ′(b)＜f ′(c)
B．f ′(b)＜f ′(c)＜f ′(a)
C．f ′(a)＜f ′(c)＜f ′(b)
D．f ′(c)＜f ′(a)＜f ′(b)
A　[如圖，分別作曲線在x＝a，x＝b，x＝c三處的切線l1，l2，l3，設(shè)切線的斜率分別為k1，k2，k3，易知k1＜k2＜k3，又f ′(a)＝k1，f ′(b)＝k2，f ′(c)＝k3，
所以f ′(a)＜f ′(b)＜f ′(c)．故選A．
]
12．函數(shù)y＝(x－1)2的導(dǎo)數(shù)是(　　)
A．－2 B．(x－1)2
C．2(x－1) D．2(1－x)
C　[y′＝＝
＝＝2x－2＝2(x－1)．]
13．已知y＝f (x)＝mx2＋n，且f (1)＝－1，f (x)的導(dǎo)函數(shù)f ′(x)＝4x，則m＝________，n＝________．
2　－3　[＝＝＝mΔx＋2mx，
故f ′(x)＝＝＝2mx＝4x，所以m＝2．
又f (1)＝－1，即2＋n＝－1，所以n＝－3，
故m＝2，n＝－3．]
14．在曲線y＝x2上某點(diǎn)P處的切線滿足下列條件，分別求出點(diǎn)P．
(1)平行于直線y＝4x－5；
(2)垂直于直線2x－6y＋5＝0；
(3)傾斜角為135°．
[解]　f ′(x)＝
＝＝2x，
設(shè)P(x0，y0)是滿足條件的點(diǎn)．
(1)∵切線與直線y＝4x－5平行，
∴2x0＝4，得x0＝2，y0＝4，此時(shí)切線方程是y－4＝4(x－2)，即y＝4x－4，與直線y＝4x－5平行，∴P(2，4)是滿足條件的點(diǎn)．
(2)∵切線與直線2x－6y＋5＝0垂直，∴2x0·＝－1，得x0＝－，y0＝，即P是滿足條件的點(diǎn)．
(3)∵切線的傾斜角為135°，
∴其斜率為－1．
即2x0＝－1，得x0＝－，y0＝，
即P是滿足條件的點(diǎn)．
15．點(diǎn)P在曲線f (x)＝x2＋1上，且曲線在點(diǎn)P處的切線與曲線y＝－2x2－1相切，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
[解]　設(shè)P(x0，y0)，則y0＝＋1，
f ′(x0)＝＝2x0，
所以在點(diǎn)P處的切線方程為
y－y0＝2x0(x－x0)，
即y＝，
而此直線與曲線y＝－2x2－1相切，
所以切線與曲線y＝－2x2－1只有一個(gè)公共點(diǎn)，
由
得＝0，
則Δ＝＝0，
解得x0＝±，則y0＝，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．
2/14第2課時(shí)　導(dǎo)數(shù)的幾何意義
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1．了解導(dǎo)函數(shù)的概念，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義．(數(shù)學(xué)建模)
2．會(huì)求導(dǎo)函數(shù)．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
3．根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求曲線上某點(diǎn)處的切線方程．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
4．正確理解曲線“過某點(diǎn)”和“在某點(diǎn)”處的切線，并會(huì)求其方程．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)．
[討論交流]　
問題1．導(dǎo)數(shù)的幾何意義是什么？
問題2．如何求曲線上某點(diǎn)處的切線方程？
問題3．導(dǎo)函數(shù)的定義是什么？它與函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)有何關(guān)系？
[自我感知]　經(jīng)過認(rèn)真的預(yù)習(xí)，結(jié)合對(duì)本節(jié)課的理解和認(rèn)知，請(qǐng)畫出本節(jié)課的知識(shí)邏輯體系．
探究1　導(dǎo)數(shù)的幾何意義
探究問題1　在前面的課時(shí)中我們已經(jīng)了解到曲線的切線斜率與函數(shù)的瞬時(shí)變化率的關(guān)系，也知道對(duì)于一般的曲線，平均變化率可以代表曲線的割線斜率，那么導(dǎo)數(shù)(即瞬時(shí)變化率)能代表曲線的切線斜率嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
函數(shù)y＝f (x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y＝f (x)在點(diǎn)P(x0，f (x0))處的________．也就是說，曲線y＝f (x)在點(diǎn)P(x0，f (x0))處的切線的斜率是________．相應(yīng)地，切線方程為________．
[典例講評(píng)]　1．已知曲線C：y＝x3．
(1)求曲線C在橫坐標(biāo)為x＝1的點(diǎn)處的切線方程；
(2)求曲線C過點(diǎn)(1，1)的切線方程．
[思路導(dǎo)引]　(1)→→
(2)→→→
[嘗試解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]　
本例(1)中的切線與曲線C是否還有其他的公共點(diǎn)？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程的方法
(1)若已知點(diǎn)(x0，y0)在曲線上，求在點(diǎn)(x0，y0)處的切線方程，先求出函數(shù)y＝f (x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，得切線方程y－y0＝f ′(x0)(x－x0)．
(2)若點(diǎn)(x0，y0)不在曲線上，求過點(diǎn)(x0，y0)的切線方程，首先應(yīng)設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出等式，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出切線方程．
[學(xué)以致用]　1．已知曲線f (x)＝x3＋ax在x＝1處的切線與直線x＋4y＝0垂直，則實(shí)數(shù)a＝(　　)
A．2　　　B．1　　　C．－1　　　D．－2
探究2　利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷函數(shù)的變化
探究問題2　函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系？
導(dǎo)數(shù)值的大小與函數(shù)變化的快慢有什么關(guān)系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
若f ′(x0)＝0，則函數(shù)的圖象在x＝x0處切線斜率k＝________；
若f ′(x0)＞0，則函數(shù)的圖象在x＝x0處切線斜率k________0，則函數(shù)在x＝x0附近________，且f ′(x0)越大，說明函數(shù)圖象變化得越快；
若f ′(x0)＜0，則函數(shù)的圖象在x＝x0處切線斜率k________0，且函數(shù)在x＝x0附近________，且|f ′(x0)|越大，說明函數(shù)圖象變化得越快．
[典例講評(píng)]　2．已知y＝f (x)的圖象如圖所示，則f ′(xA)與f ′(xB)的大小關(guān)系是(　　)
A．f ′(xA)>f ′(xB)
B．f ′(xA)C．f ′(xA)＝f ′(xB)
D．不能確定
[嘗試解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是函數(shù)圖象切線的斜率，所以比較導(dǎo)數(shù)大小的問題可以用數(shù)形結(jié)合思想來解決．
(1)曲線f (x)在x＝x0附近的變化情況可通過x＝x0處的切線刻畫．f ′(x0)＞0說明曲線在x＝x0處的切線的斜率為正值，從而得出在x＝x0附近曲線是上升的；f ′(x0)＜0說明在x＝x0附近曲線是下降的．
(2)曲線在某點(diǎn)處的切線斜率的大小反映了曲線在相應(yīng)點(diǎn)處的變化情況，由切線的傾斜程度，可以判斷出曲線升降的快慢．
[學(xué)以致用]　2．已知函數(shù)f (x)在R上可導(dǎo)，其部分圖象如圖所示，設(shè)＝a，則下列不等式正確的是(　　)
A．f ′(1)＜f ′(2)＜a
B．f ′(1)＜a＜f ′(2)
C．f ′(2)＜f ′(1)＜a
D．a(chǎn)＜f ′(1)＜f ′(2)
探究3　導(dǎo)函數(shù)(導(dǎo)數(shù))
探究問題3　由前面所學(xué)知識(shí)可知，求函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)在該點(diǎn)附近的變化，能否通過求導(dǎo)研究函數(shù)的整體變化？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
對(duì)于函數(shù)y＝f (x)，當(dāng)x＝x0時(shí)，f ′(x0)是一個(gè)唯一確定的數(shù)，當(dāng)x變化時(shí)，y＝f ′(x)就是x的函數(shù)，我們稱它為y＝f (x)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù))．y＝f (x)的導(dǎo)函數(shù)有時(shí)也記作y′，即f ′(x)＝y(tǒng)′＝．
[典例講評(píng)]　3．已知函數(shù)y＝f (x)＝x2－x，求：
(1)f ′(x)；
(2)f (x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)．
[嘗試解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求導(dǎo)函數(shù)的主要步驟
(1)求函數(shù)的增量Δy＝f (x＋Δx)－f (x)；
(2)求平均變化率＝；
(3)求極限，即f ′(x)＝．
[學(xué)以致用]　3．(源自北師大版教材)求y＝f (x)＝3x2－x的導(dǎo)數(shù)f ′(x)，并利用f ′(x)求f ′(1)，f ′(－2)，f ′(0)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．下面說法正確的是(　　)
A．若f ′(x0)不存在，則曲線y＝f (x)在點(diǎn)(x0，f (x0))處沒有切線
B．若曲線y＝f (x)在點(diǎn)(x0，f (x0))處有切線，則f ′(x0)必存在
C．若f ′(x0)不存在，則曲線y＝f (x)在點(diǎn)(x0，f (x0))處的切線斜率不存在
D．若曲線y＝f (x)在點(diǎn)(x0，f (x0))處沒有切線，則f ′(x0)有可能存在
2．某司機(jī)看見前方50 m處有行人橫穿馬路，這時(shí)司機(jī)開始緊急剎車，在剎車的過程中，汽車的速度v是關(guān)于剎車時(shí)間t的函數(shù)，其圖象可能是(　　)
A　　　　　B　　　　C　　　　　D
3．如果曲線y＝f (x)在點(diǎn)(x0，f (x0))處的切線方程為x＋2y－3＝0，那么(　　)
A．f ′(x0)＞0 B．f ′(x0)＜0
C．f ′(x0)＝0 D．f ′(x0)不存在
4．已知函數(shù)y＝ax2＋b的圖象在其上點(diǎn)(1，3)處的切線斜率為2，則a＝________，b＝________．
1．知識(shí)鏈：(1)導(dǎo)數(shù)的幾何意義．
(2)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．
(3)導(dǎo)函數(shù)的概念．
2．方法鏈：方程思想、數(shù)形結(jié)合．
3．警示牌：切線過某點(diǎn)，這點(diǎn)不一定是切點(diǎn)．
6/65.1.2　導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義
第1課時(shí)　導(dǎo)數(shù)的概念
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1．了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景．(數(shù)學(xué)抽象)
2．理解導(dǎo)數(shù)是關(guān)于瞬時(shí)變化率的數(shù)學(xué)表達(dá)，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵與思想．(數(shù)學(xué)抽象、直觀想象)
[討論交流]　
問題1．函數(shù)的平均變化率與瞬時(shí)變化率有什么關(guān)系？
問題2．瞬時(shí)變化率的幾何意義是什么？
問題3．函數(shù)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)是什么含義？
[自我感知]　經(jīng)過認(rèn)真的預(yù)習(xí)，結(jié)合對(duì)本節(jié)課的理解和認(rèn)知，請(qǐng)畫出本節(jié)課的知識(shí)邏輯體系．
探究1　導(dǎo)數(shù)的概念
探究問題1　類比平均速度與瞬時(shí)速度的關(guān)系，瞬時(shí)變化率的幾何意義是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
1．平均變化率
對(duì)于函數(shù)y＝f (x)，設(shè)自變量x從x0變化到x0＋Δx，相應(yīng)地，函數(shù)值y就從f (x0)變化到f (x0＋Δx)．這時(shí)，x的變化量為Δx，y的變化量為Δy＝f (x0＋Δx)－f (x0)．我們把比值，即＝________叫做函數(shù)y＝f (x)從x0到x0＋Δx的平均變化率．
2．導(dǎo)數(shù)
如果當(dāng)Δx→0時(shí)，平均變化率無限趨近于一個(gè)確定的值，即有極限，則稱y＝f (x)在x＝x0處________，并把這個(gè)確定的值叫做y＝f (x)在________處的________(也稱為瞬時(shí)變化率)，記作________或________，即f ′(x0)＝＝________．
　求瞬時(shí)變化率的主要步驟
(1)先計(jì)算函數(shù)值的改變量Δy＝f (x2)－f (x1)．
(2)再計(jì)算自變量的改變量Δx＝x2－x1．
(3)得平均變化率＝．
(4)得瞬時(shí)變化率．
[學(xué)以致用]　1．已知函數(shù)f (x)＝－．
(1)函數(shù)f (x)在區(qū)間[1，1.5]，[1，1.1]上的平均變化率各是多少？
(2)函數(shù)f (x)在x＝1處的瞬時(shí)變化率是多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究2　導(dǎo)數(shù)定義的應(yīng)用
[典例講評(píng)]　2．(源自北師大版教材)求函數(shù)y＝f (x)＝＋x在下列各點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)：
(1)x＝1；(2)x＝x0．
[嘗試解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求一個(gè)函數(shù)y＝f (x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的步驟
(1)求函數(shù)值的變化量Δy＝________．
(2)求平均變化率＝________．
(3)取極限，得導(dǎo)數(shù)f ′(x0)＝________．
[學(xué)以致用]　2．函數(shù)y＝在x＝1處的導(dǎo)數(shù)為________．
探究3　導(dǎo)數(shù)定義式的運(yùn)用
[典例講評(píng)]　3．已知奇函數(shù)f (x)滿足f ′(－1)＝1，則＝(　　)
A．－　　　B．　　　C．1　　　D．－1
[嘗試解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　由導(dǎo)數(shù)的定義可知，若函數(shù)y＝f (x)在x＝x0處可導(dǎo)，則f ′(x0)＝，它僅與x0有關(guān)，與Δx無關(guān)，因此使用導(dǎo)數(shù)的定義時(shí)要明確公式的形式，當(dāng)分子為f (1－Δx)－f (1)時(shí)，分母也應(yīng)該是(1－Δx)－1，要注意公式的變形．
[學(xué)以致用]　3．已知函數(shù)f (x)在x＝x0處可導(dǎo)，若＝2，則f ′(x0)＝(　　)
A．1 B． C．2 D．8
探究4　導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的意義
[典例講評(píng)]　4．蜥蜴的體溫與陽光的照射有關(guān)，其關(guān)系為T(t)＝＋15，其中T(t)為體溫(單位：℃)，t為太陽落山后的時(shí)間(單位：min)．
(1)從t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的體溫的平均變化率是多少？它表示什么意義？
(2)求T ′(5)，并說明它的實(shí)際意義．
[嘗試解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　導(dǎo)數(shù)的物理意義是：函數(shù)y＝f (x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)即為它的瞬時(shí)變化率．
[學(xué)以致用]　4．某機(jī)械廠生產(chǎn)一種木材旋切機(jī)，已知總利潤c(單位：萬元)與產(chǎn)量x(單位：千臺(tái))之間的關(guān)系式為c(x)＝－2x2＋7x＋6．求c′(1)與c′(2)，并說明它們的實(shí)際意義．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．函數(shù)y＝f (x)＝x2在x＝1處的導(dǎo)數(shù)為(　　)
A．2x B．2 C．－2 D．±2
2．設(shè)f (x)是可導(dǎo)函數(shù)，且＝2，則f ′(1)＝(　　)
A． B．－1 C．0 D．－2
3．函數(shù)f (x)＝x2－1在x0到x0＋Δx之間的平均變化率為(　　)
A．2x0－1 B．2x0＋Δx
C．2x0Δx＋(Δx)2 D．(Δx)2－Δx＋1
4．已知函數(shù)y＝f (x)＝－x2＋x在區(qū)間[t，1]上的平均變化率為2，則t＝________．
1．知識(shí)鏈：(1)導(dǎo)數(shù)的概念．
(2)導(dǎo)數(shù)定義的應(yīng)用．
(3)導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的意義．
2．方法鏈：定義法．
3．警示牌：對(duì)函數(shù)的平均變化率、瞬時(shí)變化率及導(dǎo)數(shù)概念理解不到位．
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