資源簡介

(共61張PPT)
5.2.2　導數的四則運算法則
第五章　一元函數的導數及其應用
5.2　導數的運算
整體感知
[學習目標]　1．能利用導數的運算法則求函數的導數．(數學運算)
2．掌握導數的四則運算法則及應用．(邏輯推理、數學運算)
(教師用書)
同學們，上節課我們學習了基本初等函數的導數，實際上，它是我們整個導數的基礎，而且我們也只會冪函數、指數函數、對數函數、三角函數這四類函數的求導法則，我們知道，可以對基本初等函數進行加、減形式的組合，組合后的函數，又如何求導，這將是我們本節課要學習的內容．
[討論交流]　
問題1．導數的四則運算法則是什么？
問題2．在導數的四則運算法則中，若g(x)＝c(c為常數)時，[f (x)±c]′
等于什么？等于什么？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認知，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究建構
探究1　f (x)±g(x)的導數
探究問題1　設f (x)＝x3，g(x)＝x，計算[f (x)＋g(x)]′與[f (x)－g(x)]′，它們與f ′(x)和g′(x)有什么關系？
[提示]　設y＝f (x)＋g(x)＝x3＋x，Δy＝(x＋Δx)3＋(x＋Δx)－(x3＋x)＝3x2Δx＋3x(Δx)2＋(Δx)3＋Δx，＝3x2＋1＋3xΔx＋(Δx)2，y′＝＝3x2＋1，
而f ′(x)＝3x2，g′(x)＝1，
所以[f (x)＋g(x)]′＝f ′(x)＋g′(x)．
設y＝f (x)－g(x)＝x3－x，
Δy＝(x＋Δx)3－(x＋Δx)－(x3－x)＝3x2Δx＋3x(Δx)2＋(Δx)3－Δx，＝3x2－1＋3xΔx＋(Δx)2，y′＝＝3x2－1，而f ′(x)＝3x2，g′(x)＝1，
所以[f (x)－g(x)]′＝f ′(x)－g′(x)．
[新知生成]
兩個函數f (x)和g(x)的和(或差)的導數：[f (x)±g(x)]′＝__________．
【教用·微提醒】　推廣式：[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f ′1(x)±
f ′2(x)±…±f ′n(x)．
f ′(x)±g′(x)
【鏈接·教材例題】
例3　求下列函數的導數：
(1)y＝x3－x＋3；(2)y＝2x＋cos x．
[解]　(1)y′＝(x3－x＋3)′
＝(x3)′－(x)′＋(3)′＝3x2－1；
(2)y′＝(2x＋cos x)′＝(2x)′＋(cos x)′
＝2x ln 2－sin x．
[典例講評]　1．求下列函數的導數：
(1)y＝x4－x2＋cos x；(2)y＝log3x－ex．
[解]　(1)y′＝(x4)′－(x2)′＋(cos x)′＝4x3－2x－sin x．
(2)y′＝(log3x)′－(ex)′＝－ex．
反思領悟　兩個函數和(或差)的導數，等于這兩個函數的導數的和(或差)，對于每一項分別利用導數的運算法則即可．
[學以致用]　1．求下列函數的導數：
(1)y＝3x＋；(2)y＝lg x＋x-2－3．
[解]　(1)y′＝(3x)′＋()′＝3x ln 3＋．
(2)y′＝(lg x)′＋(x-2)′－(3)′＝－2x-3．
探究2　f (x)g(x)和的導數
探究問題2　設f (x)＝x3，g(x)＝x，計算[f (x)·g(x)]′與f ′(x)g′(x)，它們是否相等？與是否相等？
[提示]　因為[f (x)g(x)]′＝(x4)′＝4x3，
f ′(x)g′(x)＝3x2·1＝3x2，＝(x2)′＝2x，＝＝3x2，
所以[f (x)g(x)]′≠f ′(x)g′(x)，≠．
[新知生成]
1．[f (x)g(x)]′＝________________________，特別地，[cf (x)]′＝________．
2．＝(g(x)≠0)．
f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
cf ′(x)
【教用·微提醒】　積的導數公式，中間用“加號”，前導后不導＋前不導后導；商的導數公式，分母平方，分子用“減號”．
【鏈接·教材例題】
例4　求下列函數的導數：
(1)y＝x3ex；(2)y＝．
[解]　(1)y′＝(x3ex)′＝(x3)′ex＋x3(ex)′＝3x2ex＋x3ex．
(2)y′＝＝＝＝．
[典例講評]　2．(源自北師大版教材)求下列函數的導數：
(1)y＝；
(2)y＝x2(ln x＋sin x)．
[思路導引]　根據每個函數解析式的構成特點，利用求導公式和運算法則進行求解．
[解]　(1)函數y＝是函數f (x)＝x2與g(x)＝ln x的商，根據導數公式表分別得出f ′(x)＝2x，g′(x)＝．
根據求導的除法法則，可得
＝＝．
(2)函數y＝x2(ln x＋sin x)是函數f (x)＝x2與g(x)＝ln x＋sin x的積．
根據導數公式表及求導的加法法則分別得出
f ′(x)＝2x，g′(x)＝＋cos x．
根據求導的乘法法則，可得
[x2(ln x＋sin x)]′＝2x(ln x＋sin x)＋x2·＝x＋2x ln x＋2x sin x＋x2cos x．
反思領悟　利用導數運算法則的策略
(1)分析待求導式子符合哪種求導法則，每一部分式子是由哪種基本初等函數組成的，確定所需的求導法則和基本公式．
(2)如果求導式子比較復雜，則需要對式子先變形再求導．常用的變形有乘積式展開變為和式求導，商式變乘積式求導，三角函數恒等變換后求導等．
(3)利用導數運算法則求導的原則是盡可能化為和、差，能利用和差的求導法則求導的，盡量少用積、商的求導法則求導．
[學以致用]　2．求下列函數的導數：
(1)y＝；(2)y＝x2ex．
[解]　(1)函數y＝是函數f (x)＝cos x－x與g(x)＝x2的商．
根據導數公式表及求導的減法法則分別得出
f ′(x)＝－sin x－1，g′(x)＝2x．
根據求導的除法法則，可得
＝
＝－＝－．
(2)函數y＝x2ex是函數f (x)＝x2與g(x)＝ex的積，根據導數公式表分別得出f ′(x)＝2x，g′(x)＝ex．根據求導的乘法法則，可得
(x2ex)′＝2x·ex＋x2·ex＝(2x＋x2)ex．
【教用·備選題】　求下列函數的導數：
(1)y＝4x3＋x2－ln x＋1；(2)y＝．
[解]　(1)y′＝12x2＋2x－．
(2)y′＝
＝．
【鏈接·教材例題】
例5　日常生活中的飲用水通常是經過凈化的．隨著水的純凈度的提高，所需凈化費用不斷增加．已知將1 t水凈化到純凈度為x%時所需費用(單位：元)為c(x)＝(80＜x＜100)．
求凈化到下列純凈度時，所需凈化費用的瞬時變化率：
(1)90%；(2)98%．
探究3　導數四則運算法則的綜合應用
[解]　凈化費用的瞬時變化率就是凈化費用函數的導數．
c′(x)＝＝
＝＝．
(1)因為c′(90)＝＝52.84，所以，凈化到純凈度為90%時，凈化費用的瞬時變化率是52.84元/噸．
(2)因為c′(98)＝＝1321，所以，凈化到純凈度為98%時，凈化費用的瞬時變化率是1321元/噸．
函數f (x)在某點處導數的大小表示函數在此點附近變化的快慢．由上述計算可知，c′(98)＝25c′(90)．它表示凈化到純凈度為98%左右時凈化費用的變化率，大約是凈化到純凈度為90%左右時凈化費用變化率的25倍．這說明，水的純凈度越高，需要的凈化費用就越多，而且凈化費用增加的速度也越快．
[典例講評]　3．(1)已知函數f (x)＝2cos x－f ′sin x，則f ′＝(　　)
A．　　B．－　　C．2　　D．－2
(2)求曲線f (x)＝＋2x ln x在點(1，0)處的切線的方程．
√
(1)B　[因為f (x)＝2cos x－f ′sin x，所以f ′(x)＝－2sin x－f ′cos x，
故f ′＝－2sin －f ′cos ，即f ′＝－，所以f ′＝－．故選B．]
(2)根據導數公式表及導數的四則運算法則，可得
f ′(x)＝＋(2x)′ln x＋2x(ln x)′
＝＋(2x ln 2)ln x＋＝－＋2x ln 2ln x＋．
將x＝1代入f ′(x)，得所求切線的斜率為f ′(1)＝．
所以曲線f (x)＝＋2x ln x在點(1，0)處的切線的方程為y＝(x－1)，即y＝x－．
反思領悟　(1)此類問題往往涉及切點、切點處的導數、切線方程三個主要元素，其他的條件可以進行轉化，從而轉化為這三個要素間的關系．
(2)準確利用求導法則求出導函數是解決此類問題的第一步，也是解題的關鍵，務必做到準確．
(3)分清“在某點”和“過某點”導數的不同．
[學以致用]　3．(1)日常生活中的飲用水通常都是經過凈化的，隨著水純凈度的提高，所需凈化費用不斷增加．已知1 t水凈化到純凈度為x%時所需費用(單位：元)為c(x)＝(80＜x＜100)．那么凈化到純凈度為90%時所需凈化費用的瞬時變化率是(　　)
A．－40元/t　　 B．－10元/t
C．10元/t　　 D．40元/t
(2)曲線y＝(x－1)ex在點(1，0)處的切線與坐標軸圍成的面積為________．
√
1
(1)D　(2)1　[(1)凈化費用的瞬時變化率就是凈化費用函數的導數，
因為c(x)＝(80＜x＜100)，
所以c′(x)＝′＝，
又因為c′(90)＝＝40，
所以凈化到純凈度為90%時所需凈化費用的瞬時變化率是40元/t．
(2)由題意可知，y′＝x·ex，y′|x＝1＝2，
∴切線方程為y＝2(x－1)，
即2x－y－2＝0．
令x＝0得y＝－2；令y＝0得x＝1．
∴曲線y＝(x－1)ex在點(1，0)處的切線與坐標軸圍成的面積S＝×2×1＝1．]
2
4
3
題號
1
應用遷移
√
C　[由已知可得f ′(x)＝ln x＋1，則f ′(x0)＝ln x0＋1＝2，解得x0＝e．故選C．]
1．已知f (x)＝x ln x，若f ′(x0)＝2，則x0＝(　　)
A．e2　　B．　　C．e　　D．ln 2
2
3
題號
1
4
2．(多選)下列求導運算不正確的是(　　)
A．＝1＋ B．＝
C．(5x)′＝5xlog5x D．(x2cos x)′＝－2x sin x
√
√
√
2
3
題號
1
4
ACD　[對于A項，＝1－，A錯誤；
對于B項，＝，B正確；
對于C項，(5x)′＝5x ln 5，C錯誤；
對于D項，(x2cos x)′＝2x cos x－x2sin x，D錯誤．
故選ACD．]
2
3
題號
4
1
3．(2023·全國甲卷)曲線y＝在點處的切線方程為(　　)
A．y＝x　　 B．y＝x
C．y＝x＋　　 D．y＝x＋
√
2
3
題號
4
1
C　[設曲線y＝在點處的切線方程為y－＝k(x－1)．
因為y＝，所以y′＝＝，
所以k＝y′|x＝1＝，所以y－＝(x－1)，
所以曲線y＝在點處的切線方程為y＝x＋．故選C．]
2
4
3
題號
1
4．已知f (x)＝cos x，則f (π)＋f ′＝________．
－　[因為f (x)＝cos x，
所以f ′(x)＝－cos x－sin x，
所以f ′＝－，
又f (π)＝－，
所以f (π)＋f ′＝－．]
－
1．知識鏈：(1)導數的四則運算法則．
(2)運用導數公式和導數運算法則求函數的導數．
(3)導數四則運算法則的應用．
2．方法鏈：轉化思想、方程思想．
3．警示牌：注意兩個函數的商的導數法則中，分母不能為0，否則無意義．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．應用導數四則運算法則求導數有哪些常用技巧？
[提示]　(1)求導之前，對三角恒等式先進行化簡，然后求導，這樣既減少了計算量，又可少出錯．
(2)利用代數恒等變形可以避開對商的形式求導．
(3)在函數中有兩個以上的因式相乘時，要注意多次使用積的求導法則，能展開的先展開成多項式，再求導．
2．你認為與切線有關的參數問題有哪些處理技巧？
[提示]　通常根據曲線、切線、切點的三個關系列出參數的方程并解出參數：(1)切點處的導數是切線的斜率；(2)切點在切線上；(3)切點在曲線上．
課時分層作業(十六)　導數的四則運算法則
題號
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√
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D　[∵f ′(x)＝9＋2x，∴f ′(x0)＝9＋2x0＝3，∴x0＝－．故選D．]
一、選擇題
1．已知函數f (x)＝9x＋x2＋7，且f ′(x0)＝3，則x0的值為(　　)
A．1　　B．3　　C．　　D．－
題號
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2．已知函數f (x)＝x(x－3)(x－32)(x－33)(x－34)·(x－35)，則f ′(0)＝(　　)
A．315　　B．314　　C．－314　　D．－315
√
14
15
D　[設g(x)＝(x－3)(x－32)(x－33)(x－34)(x－35)，
則f (x)＝xg(x)，求導可得，f ′(x)＝g(x)＋xg′(x)，
當x＝0時，f ′(0)＝g(0)＋0＝(0－3)×(0－32)×(0－33)×(0－34)×(0－35)＝－315．故選D．]
題號
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1
3．某市在一次降雨過程中，降雨量y(單位：mm)與時間t(單位：min)的函數關系可近似地表示為y＝f (t)＝，則在時刻t＝40 min的降雨強度為(　　)
A．20 mm/min　　 B．400 mm/min
C． mm/min　　 D． mm/min
√
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D　[由f (t)＝，得f ′(t)＝，所以f ′(40)＝＝．]
題號
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1
4．當函數y＝(a＞0)在x＝x0處的導數為0時，那么x0等于(　　)
A．a　　B．±a　　C．－a　　D．a2
√
14
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B　[y′＝＝
＝，由－a2＝0，得x0＝±a．]
題號
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1
5．已知曲線y＝aex＋x ln x在點(1，ae)處的切線方程為y＝2x＋b，則(　　)
A．a＝e，b＝－1　　 B．a＝e，b＝1
C．a＝e-1，b＝1　　 D．a＝e-1，b＝－1
√
14
15
D　[因為y′＝aex＋ln x＋1，
所以k＝y′|x＝1＝ae＋1，所以曲線在點(1，ae)處的切線方程為y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)·x－1．
所以即故選D．]
題號
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1
二、填空題
6．設函數f (x)＝，則f ′(1)＝________．
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1　[f ′(x)＝＝，
∴f ′(1)＝＝1．]
1
題號
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1
7．已知某物體在平面上做變速直線運動，且位移s(單位：米)與時間t(單位：秒)之間的關系可用函數s(t)＝ln (t＋1)＋t2－t表示，則該物體在t＝3秒時的瞬時速度為________米/秒．
14
15
　[因為s(t)＝ln (t＋1)＋t2－t，所以s′(t)＝＋2t－1，當t＝3時，s′(3)＝＋6－1＝(米/秒)．]
題號
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1
8．已知函數f (x)＝ln x＋x，當Δx→0時，＝________．
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2　[f (x)＝ln x＋x，則f ′(x)＝＋1，故當Δx→0時，＝
f ′(1)＝1＋1＝2．]
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題號
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1
三、解答題
9．求下列函數的導數：
(1)y＝(2x2＋3)(3x－2)；(2)y＝．
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[解]　(1)y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′＝4x(3x－2)＋3(2x2＋3)＝18x2－8x＋9．
(2)y′＝＝．
題號
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1
10．曲線y＝x ln x上的點到直線x－y－2＝0的最短距離是(　　)
A．　　B．　　C．1　　D．2
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B　[設曲線y＝x ln x在點(x0，y0)處的切線與直線x－y－2＝0平行．
∵y′＝ln x＋1，∴切線斜率k＝ln x0＋1＝1，解得x0＝1，
∴y0＝0，即切點坐標為(1，0)．
∴切點(1，0)到直線x－y－2＝0的距離為d＝＝，即曲線y＝x ln x上的點到直線x－y－2＝0的最短距離是．]
√
題號
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1
11．用數學的眼光看世界就能發現很多數學之“美”．現代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇．衡量曲線彎曲程度的重要指標是曲率，曲線的曲率定義如下：若f ′(x)是f (x)的導函數，f ″(x)是f ′(x)的導
函數，則曲線y＝f (x)在點(x，f (x))處的曲率K＝．若f (x)
＝x－ex，則曲線y＝f (x)在點(0，－1)處的曲率K是(　　)
A．0　　B．　　C．1　　D．e
√
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題號
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1
C　[根據題意，可得f ′(x)＝1－ex，f ′′(x)＝－ex，得f ′(0)＝1－e0＝0，f ″(0)＝－e0＝－1．因此，曲線y＝f (x)在點(0，－1)處的曲率K＝
＝＝1．故選C．]
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1
12．(2024·全國甲卷)設函數f (x)＝，則曲線y＝f (x)在點(0，1)處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
√
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1
A　[f ′(x)＝，
則f ′(0)＝＝3，所以該切線方程為y－1＝3x，
即y＝3x＋1，
令x＝0，則y＝1，令y＝0，則x＝－，
故該切線與兩坐標軸所圍成的三角形面積S＝×1×＝．故選A．]
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13．函數f (x)＝，則f ′＝________．
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　[f ′(x)＝＝，∴f ′＝．]
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1
14．已知函數f (x)(x∈(0，＋∞))的導函數為f ′(x)，且滿足xf ′(x)－
2f (x)＝x3ex，f (1)＝e－1，求f (x)在點(2，f (2))處的切線方程．
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[解]　∵xf ′(x)－2f (x)＝x3ex，x∈(0，＋∞)，
∴＝ex．
令g(x)＝，則g′(x)＝＝ex，
∴g(x)＝＝ex＋c(c為常數)，∴f (x)＝x2(ex＋c)．
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1
又f (1)＝e＋c＝e－1，∴c＝－1，
∴f (x)＝x2(ex－1)，
∴f ′(x)＝2x(ex－1)＋x2ex＝(x2＋2x)ex－2x，
∴f ′(2)＝8e2－4．
又f (2)＝4(e2－1)，∴所求切線方程為y－4(e2－1)＝(8e2－4)·(x－2)，
即y＝(8e2－4)x－12e2＋4．
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1
15．等比數列{an}中，a1＝2，a8＝4，函數f (x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，則f ′(0)＝________．
14
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4 096　[因為f ′(x)＝(x)′·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)＋[(x－a1)·(x－a2)·…·
(x－a8)]′·x，所以f ′(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)＋0＝a1a2·…·a8．
因為數列{an}為等比數列，所以a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝8，
所以f ′(0)＝84＝4 096．]
4 096
THANKS5.2.2　導數的四則運算法則
[學習目標]　1．能利用導數的運算法則求函數的導數．(數學運算)
2．掌握導數的四則運算法則及應用．(邏輯推理、數學運算)
(教師用書)
同學們，上節課我們學習了基本初等函數的導數，實際上，它是我們整個導數的基礎，而且我們也只會冪函數、指數函數、對數函數、三角函數這四類函數的求導法則，我們知道，可以對基本初等函數進行加、減形式的組合，組合后的函數，又如何求導，這將是我們本節課要學習的內容．
[討論交流]　
問題1．導數的四則運算法則是什么？
問題2．在導數的四則運算法則中，若g(x)＝c(c為常數)時，[f (x)±c]′等于什么？等于什么？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認知，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　f (x)±g(x)的導數
探究問題1　設f (x)＝x3，g(x)＝x，計算[f (x)＋g(x)]′與[f (x)－g(x)]′，它們與f ′(x)和g′(x)有什么關系？
[提示]　設y＝f (x)＋g(x)＝x3＋x，Δy＝(x＋Δx)3＋(x＋Δx)－(x3＋x)＝3x2Δx＋3x(Δx)2＋(Δx)3＋Δx，＝3x2＋1＋3xΔx＋(Δx)2，y′＝＝3x2＋1，
而f ′(x)＝3x2，g′(x)＝1，
所以[f (x)＋g(x)]′＝f ′(x)＋g′(x)．
設y＝f (x)－g(x)＝x3－x，
Δy＝(x＋Δx)3－(x＋Δx)－(x3－x)＝3x2Δx＋3x(Δx)2＋(Δx)3－Δx，＝3x2－1＋3xΔx＋(Δx)2，y′＝＝3x2－1，而f ′(x)＝3x2，g′(x)＝1，
所以[f (x)－g(x)]′＝f ′(x)－g′(x)．
[新知生成]
兩個函數f (x)和g(x)的和(或差)的導數：[f (x)±g(x)]′＝f ′(x)±g′(x)．
【教用·微提醒】　推廣式：[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f ′1(x)±f ′2(x)±…±f ′n(x)．
【鏈接·教材例題】
例3　求下列函數的導數：
(1)y＝x3－x＋3；
(2)y＝2x＋cos x．
[解]　(1)y′＝(x3－x＋3)′
＝(x3)′－(x)′＋(3)′
＝3x2－1；
(2)y′＝(2x＋cos x)′
＝(2x)′＋(cos x)′
＝2x ln 2－sin x．
[典例講評]　1．求下列函數的導數：
(1)y＝x4－x2＋cos x；(2)y＝log3x－ex．
[解]　(1)y′＝(x4)′－(x2)′＋(cos x)′＝4x3－2x－sin x．
(2)y′＝(log3x)′－(ex)′＝－ex．
　兩個函數和(或差)的導數，等于這兩個函數的導數的和(或差)，對于每一項分別利用導數的運算法則即可．
[學以致用]　1．求下列函數的導數：
(1)y＝3x＋；(2)y＝lg x＋x-2－3．
[解]　(1)y′＝(3x)′＋()′＝3x ln 3＋．
(2)y′＝(lg x)′＋(x-2)′－(3)′＝－2x-3．
探究2　f (x)g(x)和的導數
探究問題2　設f (x)＝x3，g(x)＝x，計算[f (x)·g(x)]′與f ′(x)g′(x)，它們是否相等？與是否相等？
[提示]　因為[f (x)g(x)]′＝(x4)′＝4x3，
f ′(x)g′(x)＝3x2·1＝3x2，
＝(x2)′＝2x，
＝＝3x2，
所以[f (x)g(x)]′≠f ′(x)g′(x)，
≠．
[新知生成]
1．[f (x)g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，特別地，[cf (x)]′＝cf ′(x)．
2．＝(g(x)≠0)．
【教用·微提醒】　積的導數公式，中間用“加號”，前導后不導＋前不導后導；商的導數公式，分母平方，分子用“減號”．
【鏈接·教材例題】
例4　求下列函數的導數：
(1)y＝x3ex；
(2)y＝．
[解]　(1)y′＝(x3ex)′
＝(x3)′ex＋x3(ex)′
＝3x2ex＋x3ex．
(2)y′＝
＝
＝
＝．
[典例講評]　2．(源自北師大版教材)求下列函數的導數：
(1)y＝；
(2)y＝x2(ln x＋sin x)．
[思路導引]　根據每個函數解析式的構成特點，利用求導公式和運算法則進行求解．
[解]　(1)函數y＝是函數f (x)＝x2與g(x)＝ln x的商，根據導數公式表分別得出f ′(x)＝2x，g′(x)＝．
根據求導的除法法則，可得
＝＝．
(2)函數y＝x2(ln x＋sin x)是函數f (x)＝x2與g(x)＝ln x＋sin x的積．
根據導數公式表及求導的加法法則分別得出
f ′(x)＝2x，g′(x)＝＋cos x．
根據求導的乘法法則，可得
[x2(ln x＋sin x)]′＝2x(ln x＋sin x)＋x2·＝x＋2x ln x＋2x sin x＋x2cos x．
　利用導數運算法則的策略
(1)分析待求導式子符合哪種求導法則，每一部分式子是由哪種基本初等函數組成的，確定所需的求導法則和基本公式．
(2)如果求導式子比較復雜，則需要對式子先變形再求導．常用的變形有乘積式展開變為和式求導，商式變乘積式求導，三角函數恒等變換后求導等．
(3)利用導數運算法則求導的原則是盡可能化為和、差，能利用和差的求導法則求導的，盡量少用積、商的求導法則求導．
[學以致用]　2．求下列函數的導數：
(1)y＝；(2)y＝x2ex．
[解]　(1)函數y＝是函數f (x)＝cos x－x與g(x)＝x2的商．
根據導數公式表及求導的減法法則分別得出
f ′(x)＝－sin x－1，g′(x)＝2x．
根據求導的除法法則，可得
＝
＝－
＝－．
(2)函數y＝x2ex是函數f (x)＝x2與g(x)＝ex的積，根據導數公式表分別得出f ′(x)＝2x，g′(x)＝ex．根據求導的乘法法則，可得
(x2ex)′＝2x·ex＋x2·ex＝(2x＋x2)ex．
【教用·備選題】　求下列函數的導數：
(1)y＝4x3＋x2－ln x＋1；
(2)y＝．
[解]　(1)y′＝12x2＋2x－．
(2)y′＝
＝．
探究3　導數四則運算法則的綜合應用
【鏈接·教材例題】
例5　日常生活中的飲用水通常是經過凈化的．隨著水的純凈度的提高，所需凈化費用不斷增加．已知將1 t水凈化到純凈度為x%時所需費用(單位：元)為
c(x)＝(80＜x＜100)．
求凈化到下列純凈度時，所需凈化費用的瞬時變化率：
(1)90%；(2)98%．
[解]　凈化費用的瞬時變化率就是凈化費用函數的導數．
c′(x)＝
＝
＝
＝．
(1)因為c′(90)＝＝52.84，所以，凈化到純凈度為90%時，凈化費用的瞬時變化率是52.84元/噸．
(2)因為c′(98)＝＝1321，所以，凈化到純凈度為98%時，凈化費用的瞬時變化率是1321元/噸．
函數f (x)在某點處導數的大小表示函數在此點附近變化的快慢．由上述計算可知，c′(98)＝25c′(90)．它表示凈化到純凈度為98%左右時凈化費用的變化率，大約是凈化到純凈度為90%左右時凈化費用變化率的25倍．這說明，水的純凈度越高，需要的凈化費用就越多，而且凈化費用增加的速度也越快．
[典例講評]　3．(1)已知函數f (x)＝2cos x－f ′sin x，則f ′＝(　　)
A．　　B．－　　C．2　　D．－2
(2)求曲線f (x)＝＋2x ln x在點(1，0)處的切線的方程．
(1)B　[因為f (x)＝2cos x－f ′sin x，所以f ′(x)＝－2sin x－f ′cos x，
故f ′＝－2sin －f ′cos ，即f ′＝－，所以f ′＝－．故選B．]
(2)根據導數公式表及導數的四則運算法則，可得
f ′(x)＝＋(2x)′ln x＋2x(ln x)′
＝＋(2x ln 2)ln x＋
＝－＋2x ln 2ln x＋．
將x＝1代入f ′(x)，得所求切線的斜率為
f ′(1)＝．
所以曲線f (x)＝＋2x ln x在點(1，0)處的切線的方程為y＝(x－1)，即y＝x－．
　(1)此類問題往往涉及切點、切點處的導數、切線方程三個主要元素，其他的條件可以進行轉化，從而轉化為這三個要素間的關系．
(2)準確利用求導法則求出導函數是解決此類問題的第一步，也是解題的關鍵，務必做到準確．
(3)分清“在某點”和“過某點”導數的不同．
[學以致用]　3．(1)日常生活中的飲用水通常都是經過凈化的，隨著水純凈度的提高，所需凈化費用不斷增加．已知1 t水凈化到純凈度為x%時所需費用(單位：元)為c(x)＝(80＜x＜100)．那么凈化到純凈度為90%時所需凈化費用的瞬時變化率是(　　)
A．－40元/t B．－10元/t
C．10元/t D．40元/t
(2)曲線y＝(x－1)ex在點(1，0)處的切線與坐標軸圍成的面積為________．
(1)D　(2)1　[(1)凈化費用的瞬時變化率就是凈化費用函數的導數，
因為c(x)＝(80＜x＜100)，
所以c′(x)＝′＝，
又因為c′(90)＝＝40，
所以凈化到純凈度為90%時所需凈化費用的瞬時變化率是40元/t．
(2)由題意可知，y′＝x·ex，y′|x＝1＝2，
∴切線方程為y＝2(x－1)，
即2x－y－2＝0．
令x＝0得y＝－2；令y＝0得x＝1．
∴曲線y＝(x－1)ex在點(1，0)處的切線與坐標軸圍成的面積S＝×2×1＝1．]
1．已知f (x)＝x ln x，若f ′(x0)＝2，則x0＝(　　)
A．e2 B． C．e D．ln 2
C　[由已知可得f ′(x)＝ln x＋1，則f ′(x0)＝ln x0＋1＝2，解得x0＝e．故選C．]
2．(多選)下列求導運算不正確的是(　　)
A．＝1＋
B．＝
C．(5x)′＝5xlog5x
D．(x2cos x)′＝－2x sin x
ACD　[對于A項，＝1－，A錯誤；
對于B項，＝，B正確；
對于C項，(5x)′＝5x ln 5，C錯誤；
對于D項，(x2cos x)′＝2x cos x－x2sin x，D錯誤．
故選ACD．]
3．(2023·全國甲卷)曲線y＝在點處的切線方程為(　　)
A．y＝x B．y＝x
C．y＝x＋ D．y＝x＋
C　[設曲線y＝在點處的切線方程為y－＝k(x－1)．
因為y＝，所以y′＝＝，
所以k＝y′|x＝1＝，所以y－＝(x－1)，
所以曲線y＝在點處的切線方程為y＝x＋．故選C．]
4．已知f (x)＝cos x，則f (π)＋f ′＝________．
－　[因為f (x)＝cos x，
所以f ′(x)＝－cos x－sin x，
所以f ′＝－，
又f (π)＝－，
所以f (π)＋f ′＝－．]
1．知識鏈：(1)導數的四則運算法則．
(2)運用導數公式和導數運算法則求函數的導數．
(3)導數四則運算法則的應用．
2．方法鏈：轉化思想、方程思想．
3．警示牌：注意兩個函數的商的導數法則中，分母不能為0，否則無意義．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．應用導數四則運算法則求導數有哪些常用技巧？
[提示]　(1)求導之前，對三角恒等式先進行化簡，然后求導，這樣既減少了計算量，又可少出錯．
(2)利用代數恒等變形可以避開對商的形式求導．
(3)在函數中有兩個以上的因式相乘時，要注意多次使用積的求導法則，能展開的先展開成多項式，再求導．
2．你認為與切線有關的參數問題有哪些處理技巧？
[提示]　通常根據曲線、切線、切點的三個關系列出參數的方程并解出參數：(1)切點處的導數是切線的斜率；(2)切點在切線上；(3)切點在曲線上．
課時分層作業(十六)　導數的四則運算法則
一、選擇題
1．已知函數f (x)＝9x＋x2＋7，且f ′(x0)＝3，則x0的值為(　　)
A．1 B．3 C． D．－
D　[∵f ′(x)＝9＋2x，∴f ′(x0)＝9＋2x0＝3，∴x0＝－．故選D．]
2．已知函數f (x)＝x(x－3)(x－32)(x－33)(x－34)·(x－35)，則f ′(0)＝(　　)
A．315 B．314 C．－314 D．－315
D　[設g(x)＝(x－3)(x－32)(x－33)(x－34)(x－35)，
則f (x)＝xg(x)，求導可得，f ′(x)＝g(x)＋xg′(x)，
當x＝0時，f ′(0)＝g(0)＋0＝(0－3)×(0－32)×(0－33)×(0－34)×(0－35)＝－315．故選D．]
3．某市在一次降雨過程中，降雨量y(單位：mm)與時間t(單位：min)的函數關系可近似地表示為y＝f (t)＝，則在時刻t＝40 min的降雨強度為(　　)
A．20 mm/min B．400 mm/min
C． mm/min D． mm/min
D　[由f (t)＝，
得f ′(t)＝，
所以f ′(40)＝＝．]
4．當函數y＝(a＞0)在x＝x0處的導數為0時，那么x0等于(　　)
A．a B．±a C．－a D．a2
B　[y′＝＝
＝，由－a2＝0，得x0＝±a．]
5．已知曲線y＝aex＋x ln x在點(1，ae)處的切線方程為y＝2x＋b，則(　　)
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1
C．a＝e-1，b＝1 D．a＝e-1，b＝－1
D　[因為y′＝aex＋ln x＋1，
所以k＝y′|x＝1＝ae＋1，所以曲線在點(1，ae)處的切線方程為y－ae＝(ae＋1)(x－1)，
即y＝(ae＋1)·x－1．
所以即故選D．]
二、填空題
6．設函數f (x)＝，則f ′(1)＝________．
1　[f ′(x)＝＝，
∴f ′(1)＝＝1．]
7．已知某物體在平面上做變速直線運動，且位移s(單位：米)與時間t(單位：秒)之間的關系可用函數s(t)＝ln (t＋1)＋t2－t表示，則該物體在t＝3秒時的瞬時速度為________米/秒．
　[因為s(t)＝ln (t＋1)＋t2－t，所以s′(t)＝＋2t－1，當t＝3時，s′(3)＝＋6－1＝(米/秒)．]
8．已知函數f (x)＝ln x＋x，當Δx→0時，＝________．
2　[f (x)＝ln x＋x，則f ′(x)＝＋1，故當Δx→0時，＝f ′(1)＝1＋1＝2．]
三、解答題
9．求下列函數的導數：
(1)y＝(2x2＋3)(3x－2)；
(2)y＝．
[解]　(1)y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′＝4x(3x－2)＋3(2x2＋3)＝18x2－8x＋9．
(2)y′＝＝．
10．曲線y＝x ln x上的點到直線x－y－2＝0的最短距離是(　　)
A． B． C．1 D．2
B　[設曲線y＝x ln x在點(x0，y0)處的切線與直線x－y－2＝0平行．
∵y′＝ln x＋1，
∴切線斜率k＝ln x0＋1＝1，解得x0＝1，
∴y0＝0，即切點坐標為(1，0)．
∴切點(1，0)到直線x－y－2＝0的距離為d＝＝，即曲線y＝x ln x上的點到直線x－y－2＝0的最短距離是．]
11．用數學的眼光看世界就能發現很多數學之“美”．現代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇．衡量曲線彎曲程度的重要指標是曲率，曲線的曲率定義如下：若f ′(x)是f (x)的導函數，f ″(x)是f ′(x)的導函數，則曲線y＝f (x)在點(x，f (x))處的曲率K＝．若f (x)＝x－ex，則曲線y＝f (x)在點(0，－1)處的曲率K是(　　)
A．0 B． C．1 D．e
C　[根據題意，可得f ′(x)＝1－ex，f ′′(x)＝－ex，得f ′(0)＝1－e0＝0，f ″(0)＝－e0＝－1．因此，曲線y＝f (x)在點(0，－1)處的曲率K＝＝＝1．故選C．]
12．(2024·全國甲卷)設函數f (x)＝，則曲線y＝f (x)在點(0，1)處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為(　　)
A． B． C． D．
A　[f ′(x)＝，
則f ′(0)＝＝3，所以該切線方程為y－1＝3x，
即y＝3x＋1，
令x＝0，則y＝1，令y＝0，則x＝－，
故該切線與兩坐標軸所圍成的三角形面積S＝×1×＝．故選A．]
13．函數f (x)＝，則f ′＝________．
　[f ′(x)＝＝，∴f ′＝．]
14．已知函數f (x)(x∈(0，＋∞))的導函數為f ′(x)，且滿足xf ′(x)－2f (x)＝x3ex，f (1)＝e－1，求f (x)在點(2，f (2))處的切線方程．
[解]　∵xf ′(x)－2f (x)＝x3ex，x∈(0，＋∞)，
∴＝ex．
令g(x)＝，則g′(x)＝＝ex，
∴g(x)＝＝ex＋c(c為常數)，
∴f (x)＝x2(ex＋c)．
又f (1)＝e＋c＝e－1，∴c＝－1，
∴f (x)＝x2(ex－1)，
∴f ′(x)＝2x(ex－1)＋x2ex＝(x2＋2x)ex－2x，
∴f ′(2)＝8e2－4．
又f (2)＝4(e2－1)，∴所求切線方程為y－4(e2－1)＝(8e2－4)·(x－2)，
即y＝(8e2－4)x－12e2＋4．
15．等比數列{an}中，a1＝2，a8＝4，函數f (x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，則f ′(0)＝________．
4 096　[因為f ′(x)＝(x)′·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x，所以f ′(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)＋0＝a1a2·…·a8．
因為數列{an}為等比數列，
所以a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝8，
所以f ′(0)＝84＝4 096．]
13/135.2.2　導數的四則運算法則
[學習目標]　1．能利用導數的運算法則求函數的導數．(數學運算)
2．掌握導數的四則運算法則及應用．(邏輯推理、數學運算)
[討論交流]　
問題1．導數的四則運算法則是什么？
問題2．在導數的四則運算法則中，若g(x)＝c(c為常數)時，[f (x)±c]′等于什么？等于什么？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認知，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　f (x)±g(x)的導數
探究問題1　設f (x)＝x3，g(x)＝x，計算[f (x)＋g(x)]′與[f (x)－g(x)]′，它們與f ′(x)和g′(x)有什么關系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
兩個函數f (x)和g(x)的和(或差)的導數：[f (x)±g(x)]′＝________．
[典例講評]　1．求下列函數的導數：
(1)y＝x4－x2＋cos x；(2)y＝log3x－ex．
[嘗試解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　兩個函數和(或差)的導數，等于這兩個函數的導數的和(或差)，對于每一項分別利用導數的運算法則即可．
[學以致用]　1．求下列函數的導數：
(1)y＝3x＋；(2)y＝lg x＋x-2－3．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究2　f (x)g(x)和的導數
探究問題2　設f (x)＝x3，g(x)＝x，計算[f (x)·g(x)]′與f ′(x)g′(x)，它們是否相等？與是否相等？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
1．[f (x)g(x)]′＝________，特別地，[cf (x)]′＝________．
2．＝________________ (g(x)≠0)．
[典例講評]　2．(源自北師大版教材)求下列函數的導數：
(1)y＝；
(2)y＝x2(ln x＋sin x)．
[思路導引]　根據每個函數解析式的構成特點，利用求導公式和運算法則進行求解．
[嘗試解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用導數運算法則的策略
(1)分析待求導式子符合哪種求導法則，每一部分式子是由哪種基本初等函數組成的，確定所需的求導法則和基本公式．
(2)如果求導式子比較復雜，則需要對式子先變形再求導．常用的變形有乘積式展開變為和式求導，商式變乘積式求導，三角函數恒等變換后求導等．
(3)利用導數運算法則求導的原則是盡可能化為和、差，能利用和差的求導法則求導的，盡量少用積、商的求導法則求導．
[學以致用]　2．求下列函數的導數：
(1)y＝；(2)y＝x2ex．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究3　導數四則運算法則的綜合應用
[典例講評]　3．(1)已知函數f (x)＝2cos x－f ′sin x，則f ′＝(　　)
A．　　B．－　　C．2　　D．－2
(2)求曲線f (x)＝＋2x ln x在點(1，0)處的切線的方程．
[嘗試解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　(1)此類問題往往涉及切點、切點處的導數、切線方程三個主要元素，其他的條件可以進行轉化，從而轉化為這三個要素間的關系．
(2)準確利用求導法則求出導函數是解決此類問題的第一步，也是解題的關鍵，務必做到準確．
(3)分清“在某點”和“過某點”導數的不同．
[學以致用]　3．(1)日常生活中的飲用水通常都是經過凈化的，隨著水純凈度的提高，所需凈化費用不斷增加．已知1 t水凈化到純凈度為x%時所需費用(單位：元)為c(x)＝(80＜x＜100)．那么凈化到純凈度為90%時所需凈化費用的瞬時變化率是(　　)
A．－40元/t B．－10元/t
C．10元/t D．40元/t
(2)曲線y＝(x－1)ex在點(1，0)處的切線與坐標軸圍成的面積為________．
1．已知f (x)＝x ln x，若f ′(x0)＝2，則x0＝(　　)
A．e2 B． C．e D．ln 2
2．(多選)下列求導運算不正確的是(　　)
A．＝1＋
B．＝
C．(5x)′＝5xlog5x
D．(x2cos x)′＝－2x sin x
3．(2023·全國甲卷)曲線y＝在點處的切線方程為(　　)
A．y＝x B．y＝x
C．y＝x＋ D．y＝x＋
4．已知f (x)＝cos x，則f (π)＋f ′＝________．
1．知識鏈：(1)導數的四則運算法則．
(2)運用導數公式和導數運算法則求函數的導數．
(3)導數四則運算法則的應用．
2．方法鏈：轉化思想、方程思想．
3．警示牌：注意兩個函數的商的導數法則中，分母不能為0，否則無意義．
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