資源簡介

5.2.3　簡單復合函數的導數
[學習目標]　1．了解復合函數的概念，掌握復合函數的求導法則．(數學運算)
2．綜合運用函數的求導法則解決簡單的問題．(邏輯推理、數學運算)
[討論交流]　
問題1．復合函數的定義是什么？
問題2．復合函數的求導法則是什么？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認知，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　復合函數的概念
探究問題1　函數y＝log2(3x＋2)是如何構成的？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
復合函數的概念
一般地，對于兩個函數y＝f (u)和u＝g(x)，如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數，那么稱這個函數為函數y＝f (u)和u＝g(x)的復合函數，記作y＝________．
[典例講評]　1．(多選)下列函數是復合函數的是(　　)
A．y＝x ln x　　　　 B．y＝(3x＋6)2
C．y＝esin x D．y＝sin
[嘗試解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　若f (x)與g(x)均為基本初等函數，則函數y＝f (g(x))或函數y＝g(f (x))均為復合函數．
[學以致用]　1．函數y＝sin (2x－1)如果看成復合函數y＝f (φ(x))，下列式子正確的是(　　)
A．φ(x)＝2x B．φ(x)＝sin x
C．φ(x)＝2x－1 D．φ(x)＝sin (2x－1)
探究2　復合函數的導數
探究問題2　你能用導數的運算法則求出函數y＝sin 2x的導數嗎？它與函數y＝sin u，u＝2x的導數有什么關系？你能用文字語言描述復合函數的導數運算法則嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
一般地，對于由函數y＝f (u)和u＝g(x)復合而成的函數y＝f (g(x))，它的導數與函數y＝f (u)，u＝g(x)的導數間的關系為________．即y對x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積．
[典例講評]　2．求下列函數的導數：
(1)y＝；
(2)y＝log2(2x＋1)；
(3)y＝e3x+2；
(4)y＝sin ．
[嘗試解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1．求復合函數的導數的步驟
2．求復合函數的導數的注意點
(1)分解的函數通常為基本初等函數．
(2)求導時分清是對哪個變量求導．
[學以致用]　2．求下列函數的導數：
(1)y＝(2x－1)4；
(2)y＝102x+3；
(3)y＝e－x·sin 2x；
(4)y＝．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究3　復合函數的導數的應用
[典例講評]　3．(1)曲線y＝ln (2x－1)上的點到直線2x－y＋3＝0的最短距離是(　　)
A．　　　B．2　　　C．3　　　D．0
(2)設曲線y＝eax在點(0，1)處的切線與直線x＋2y＋1＝0垂直，則a＝________．
[思路導引]　(1) → →
(2)→
[母題探究]　
1．本例(1)的條件變為“曲線y＝ln (2x－1)上的點到直線2x－y＋m＝0的最小距離為2”，求m的值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．求本例(2)中曲線的切線與坐標軸圍成的面積．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　本題正確的求出復合函數的導數是前提，審題時注意所給點是不是切點，挖掘題目隱含條件，求出參數．解決已知經過一定點的切線問題，尋求切點是解決問題的關鍵．
[學以致用]　3．已知函數f (x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x，f ′(x)是f (x)的導函數，且a＝f ′，求曲線y＝x3在x＝a處的切線方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究4　復合函數的導數的綜合應用
[典例講評]　4．某港口在一天24小時內潮水的高度近似滿足關系式s(t)＝3sin (0≤t≤24)，其中s的單位是m，t的單位是h，求函數在t＝18時的導數，并解釋它的實際意義．
[嘗試解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　將復合函數的求導與導數的實際意義結合，函數在某點處的導數反映了函數在該點的瞬時變化率，體現導數揭示物體在某時刻的變化狀況．
[學以致用]　4．我國魏晉時期的科學家劉徽創立了“割圓術”，實施“以直代曲”的近似計算，用正n邊形進行“內外夾逼”的辦法求出了圓周率π的精度較高的近似值，這是我國最優秀的傳統科學文化之一．借用“以直代曲”的近似計算方法，在切點附近，可以用函數圖象的切線近似代替在切點附近的曲線來近似計算．設f (x)＝，則f ′(x)＝________，其圖象在點(0，1)處的切線方程為________．
1．已知函數f (x)＝sin 2x＋cos 2x，那么f ′＝(　　)
A．－2 B．2 C． D．－
2．(多選)下列求導正確的是(　　)
A．(e3x)′＝3e2x
B．(2sin x－3)′＝2cos x
C．′＝
D．(x cos x)′＝cos x－x sin x
3．設曲線y＝ax－ln (x＋1)在點(0，0)處的切線方程為y＝2x，則a＝(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
4．設f (x)＝ln (x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R)．若直線y＝x與曲線y＝f (x)在點(0，0)處相切，則a＝________，b＝________．
1．知識鏈：(1)復合函數的概念．
(2)復合函數的求導法則．
(3)復合函數的導數的應用．
2．方法鏈：轉化法．
3．警示牌：求復合函數的導數時不能正確分解函數；求導時不能分清是對哪個變量求導；計算結果復雜化．
3/5(共64張PPT)
5.2.3　簡單復合函數的導數
第五章　一元函數的導數及其應用
5.2　導數的運算
整體感知
[學習目標]　1．了解復合函數的概念，掌握復合函數的求導法則．(數學運算)
2．綜合運用函數的求導法則解決簡單的問題．(邏輯推理、數學運算)
(教師用書)
法國著名哲學家、數學家、物理學家笛卡爾說過：“我只會做兩件事，一件是簡單的事，一件是把復雜的事情變簡單”．我們學習了較簡單的基本初等函數，還可以把兩個或幾個函數進行“復合”，怎樣復合呢？那么，對于復合后的函數如何求導呢？我們是否也有簡單的方法？
[討論交流]　
問題1．復合函數的定義是什么？
問題2．復合函數的求導法則是什么？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認知，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究建構
探究1　復合函數的概念
探究問題1　函數y＝log2(3x＋2)是如何構成的？
[提示]　y＝log2(3x＋2)，其中3x＋2“占據”了對數函數y＝log2x中x的位置，f (x)＝log2x，而f (3x＋2)＝log2(3x＋2)，這里有代入、代換的思想，則函數y＝log2(3x＋2)是由內層函數一次函數和外層函數對數函數復合而成，是復合函數．
[新知生成]
復合函數的概念
一般地，對于兩個函數y＝f (u)和u＝g(x)，如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數，那么稱這個函數為函數y＝f (u)和u＝g(x)的復合函數，記作y＝_________．
f (g(x))
[典例講評]　1．(多選)下列函數是復合函數的是(　　)
A．y＝x ln x　　　　 B．y＝(3x＋6)2
C．y＝esin x　　 D．y＝sin
BCD　[A不是復合函數；BCD都是復合函數．]
√
√
√
反思領悟　若f (x)與g(x)均為基本初等函數，則函數y＝f (g(x))或函數y＝g(f (x))均為復合函數．
[學以致用]　1．函數y＝sin (2x－1)如果看成復合函數y＝f (φ(x))，下列式子正確的是(　　)
A．φ(x)＝2x　　 B．φ(x)＝sin x
C．φ(x)＝2x－1　　 D．φ(x)＝sin (2x－1)
√
C　[y＝sin (2x－1)是由函數y＝sin u和u＝2x－1復合而成，可見φ(x)＝2x－1．故選C．]
探究2　復合函數的導數
探究問題2　你能用導數的運算法則求出函數y＝sin 2x的導數嗎？它與函數y＝sin u，u＝2x的導數有什么關系？你能用文字語言描述復合函數的導數運算法則嗎？
[提示]　y＝2sin x cos x，由兩個函數相乘的求導法則可知：y′＝2cos2x－2sin2x＝2cos2x；從整體上來看，外層函數是基本初等函數y＝sin u，它的導數y′＝cos u，內層函數是u＝2x，它的導數是u′＝2，發現y′x＝y′u·u′x．復合函數y對自變量x的導數等于因變量y對中間變量u的導數與中間變量u對自變量x的導數的乘積．
[新知生成]
一般地，對于由函數y＝f (u)和u＝g(x)復合而成的函數y＝f (g(x))，它的導數與函數y＝f (u)，u＝g(x)的導數間的關系為____________．即y對x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積．
y′x＝y′u·u′x
【教用·微提醒】　(1)中間變量的選擇應是基本初等函數的結構；求導由外向內，并保持對外層函數求導時，內層不變的原則．
(2)求每層函數的導數時，注意分清是對哪個變量求導．
(3)該公式可以推廣至多層復合函數．
【鏈接·教材例題】
例6　求下列函數的導數：
(1)y＝(3x＋5)3；(2)y＝e-0.05x+1；(3)y＝ln (2x－1)．
[解]　(1)函數y＝(3x＋5)3可以看作函數y＝u3和u＝3x＋5的復合函數．根據復合函數的求導法則，有
y′x＝y′u·u′x＝(u3)′·(3x＋5)′＝3u2×3＝9(3x＋5)2．
(2)函數y＝e-0.05x+1可以看作函數y＝eu和u＝－0.05x＋1的復合函數．根據復合函數的求導法則，有
y′x＝y′u·u′x
＝(eu)′·(－0.05x＋1)′
＝－0.05eu
＝－0.05e-0.05x+1．
(3)函數y＝ln (2x－1)可以看作函數y＝ln u和u＝2x－1的復合函數．根據復合函數的求導法則，有
y′x＝y′u·u′x
＝(ln u)′·(2x－1)′
＝×2
＝．
[典例講評]　2．求下列函數的導數：
(1)y＝；(2)y＝log2(2x＋1)；(3)y＝e3x+2；(4)y＝sin ．
[解]　(1)y＝，設y＝，u＝1－2x，
則y′x＝y′u·u′x＝(1－2x)′＝·(－2)＝．
即y′＝．
(2)設y＝log2u，u＝2x＋1，
則y′x＝y′u·u′x＝(log2u)′(2x＋1)′＝×2＝，
即y′＝．
(3)設y＝eu，u＝3x＋2，
則y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(3x＋2)′＝3eu＝3e3x+2，即y′＝3e3x+2．
(4)設y＝sin u，u＝2x＋，
則y′x＝y′u·u′x＝(sin u)′＝2cos u
＝2cos ，即y′＝2cos ．
【教用·備選題】　求下列函數的導數：
(1)y＝e2x+1sin x；(2)f (x)＝；(3)f (x)＝．
[解]　(1)y′＝2e2x+1sin x＋e2x+1cos x＝(2sin x＋cos x)e2x+1．
(2)f (x)＝，f ′(x)＝．
(3)f (x)＝，f ′(x)＝．
反思領悟　1．求復合函數的導數的步驟
2．求復合函數的導數的注意點
(1)分解的函數通常為基本初等函數．
(2)求導時分清是對哪個變量求導．
[學以致用]　2．求下列函數的導數：
(1)y＝(2x－1)4；(2)y＝102x+3；(3)y＝e－x·sin 2x；(4)y＝．
[解]　(1)設y＝u4，u＝2x－1，
則y′x＝y′u·u′x＝(u4)′(2x－1)′＝4u3·2＝8(2x－1)3．
(2)設y＝10u，u＝2x＋3，
則y′x＝y′u·u′x＝(10u)′(2x＋3)′
＝10u ln 10×2＝2×102x+3×ln 10＝102x+3×ln 100．
(3)y′x＝(e－x)′sin 2x＋e－x·(sin 2x)′＝－e－xsin 2x＋2e－xcos 2x．
(4)y′x＝＝＝．
探究3　復合函數的導數的應用
[典例講評]　3．(1)曲線y＝ln (2x－1)上的點到直線2x－y＋3＝0的最短距離是(　　)
A．　　　B．2　　　C．3　　　D．0
(2)設曲線y＝eax在點(0，1)處的切線與直線x＋2y＋1＝0垂直，則a＝________．
[思路導引]　(1) → →
(2)→
√
2
(1)A　(2)2　[(1)設曲線y＝ln (2x－1)在點(x0，y0)處的切線與直線2x－y＋3＝0平行．
因為y′＝，所以y′|x＝＝＝2，
解得x0＝1，所以y0＝ln (2－1)＝0，
即切點坐標為(1，0)，
所以切點(1，0)到直線2x－y＋3＝0的距離為d＝＝，
即曲線y＝ln (2x－1)上的點到直線2x－y＋3＝0的最短距離是．故選A．
(2)令y＝f (x)，則曲線y＝eax在點(0，1)處的切線的斜率為f ′(0)．又切線與直線x＋2y＋1＝0垂直，所以f ′(0)＝2．因為f (x)＝eax，所以f ′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f ′(0)＝ae0＝a，故a＝2．]
[母題探究]　
1．本例(1)的條件變為“曲線y＝ln (2x－1)上的點到直線2x－y＋m＝0的最小距離為2”，求m的值．
[解]　設切點P(x0，y0)，由題意可知，y′|x＝＝＝2，
∴x0＝1，即切點P(1，0)，∴＝2，
解得m＝8或－12(舍，直線與曲線有交點，最小距離為0，不合題意)．即實數m的值為8．
2．求本例(2)中曲線的切線與坐標軸圍成的面積．
[解]　由題意可知，切線方程為y－1＝2x，
即2x－y＋1＝0．
令x＝0，得y＝1；
令y＝0，得x＝－，
∴切線與坐標軸圍成的面積S＝×1＝．
反思領悟　本題正確的求出復合函數的導數是前提，審題時注意所給點是不是切點，挖掘題目隱含條件，求出參數．解決已知經過一定點的切線問題，尋求切點是解決問題的關鍵．
[學以致用]　3．已知函數f (x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x，f ′(x)是f (x)的導函數，且a＝f ′，求曲線y＝x3在x＝a處的切線方程．
[解]　由f (x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x，
得f ′(x)＝3－2sin 2x＋2cos 2x，
則a＝f ′＝3－2sin ＋2cos ＝1．
由y＝x3得y′＝3x2，∴k＝y′|x＝1＝3．又x＝1時，y＝1，∴所求切線方程為y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0．
【鏈接·教材例題】
例7　某個彈簧振子在振動過程中的位移y(單位：mm)與時間t(單位：s)之間的關系為y＝18sin ．求函數y在t＝3 s時的導數，并解釋它的實際意義．
探究4　復合函數的導數的綜合應用
[解]　函數y＝18sin 可以看作函數y＝18sin u和u＝t－的復合函數，根據復合函數的求導法則，有
y′t＝y′u·u′t
＝(18sin u)′·′＝18cos u×＝12πcos ．
當t＝3時，y′t＝12πcos ＝0．
它表示當t＝3 s時，彈簧振子振動的瞬時速度為0 mm/s．
[典例講評]　4．某港口在一天24小時內潮水的高度近似滿足關系式s(t)＝3sin (0≤t≤24)，其中s的單位是m，t的單位是h，求函數在t＝18時的導數，并解釋它的實際意義．
[解]　設f (x)＝3sin x，x＝φ(t)＝t＋，
所以s′(t)＝f ′(x)φ′(t)＝3cos x·＝cos ．
將t＝18代入s′(t)，得s′(18)＝cos ＝．
s′(18)表示當t＝18 h時，潮水的高度上升的速度為 m/h．
反思領悟　將復合函數的求導與導數的實際意義結合，函數在某點處的導數反映了函數在該點的瞬時變化率，體現導數揭示物體在某時刻的變化狀況．
[學以致用]　4．我國魏晉時期的科學家劉徽創立了“割圓術”，實施“以直代曲”的近似計算，用正n邊形進行“內外夾逼”的辦法求出了圓周率π的精度較高的近似值，這是我國最優秀的傳統科學文化之一．借用“以直代曲”的近似計算方法，在切點附近，可以用函數圖象的切線近似代替在切點附近的曲線來近似計算．設f (x)＝，則f ′(x)＝________，其圖象在點(0，1)處的切線方程為________．
y＝1
　y＝1　[∵f (x)＝，故f ′(x)＝＝，則f ′(0)＝0．故曲線y＝f (x)在點(0，1)處的切線方程為y＝1．]
2
4
3
題號
1
應用遷移
√
A　[由題意，f ′(x)＝2cos 2x－2sin 2x，所以f ′＝2cos π－2sin π＝－2．]
1．已知函數f (x)＝sin 2x＋cos 2x，那么f ′＝(　　)
A．－2　　B．2　　C．　　D．－
2
3
題號
1
4
2．(多選)下列求導正確的是(　　)
A．(e3x)′＝3e2x B．(2sin x－3)′＝2cos x
C．＝ D．(x cos x)′＝cos x－x sin x
√
BD　[(e3x)′＝3e3x，故A錯誤；(2sin x－3)′＝2cos x，故B正確；
＝＝＝，故C錯誤；
(x cos x)′＝(x)′cos x＋x(cos x)′＝cos x－x sin x，故D正確．故選BD．]
√
2
3
題號
4
1
3．設曲線y＝ax－ln (x＋1)在點(0，0)處的切線方程為y＝2x，則a＝(　　)
A．0　　B．1　　C．2　　D．3
D　[令f (x)＝ax－ln (x＋1)，∴f ′(x)＝a－．
由題意，得f ′(0)＝2，解得a＝3．]
√
2
4
3
題號
1
4．設f (x)＝ln (x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R)．若直線y＝x與曲線y＝f (x)在點(0，0)處相切，則a＝________，b＝________．
0　－1　[由曲線y＝f (x)過點(0，0)，可得ln 1＋1＋b＝0，故b＝－1．
由f (x)＝ln (x＋1)＋＋ax＋b，得f ′(x)＝＋a，則f ′(0)＝1＋＋a＝＋a，此即曲線y＝f (x)在點(0，0)處的切線的斜率．由題意知＋a＝，故a＝0．]
0
－1
1．知識鏈：(1)復合函數的概念．
(2)復合函數的求導法則．
(3)復合函數的導數的應用．
2．方法鏈：轉化法．
3．警示牌：求復合函數的導數時不能正確分解函數；求導時不能分清是對哪個變量求導；計算結果復雜化．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．你認為如何對多個整式乘積形式的函數求導？
[提示]　(1)若待求導的函數為多個整式乘積的形式，可以利用多項式的乘法法則，化為和差的形式，再求導，其運算過程將會簡化，運算量將會減?。?br/>(2)若乘積因式不多時，也可以利用積的導數運算法則求導．
2．求復合函數的導數，應該注意哪些問題？
[提示]　求復合函數的導數的注意點：
(1)分解的函數通常為基本初等函數；
(2)求導時分清是對哪個變量求導；
(3)計算結果盡量簡潔．
3．利用復合函數求導法則求復合函數的導數的一般步驟是什么？
[提示]　“分解—求導—還原”．
即：①弄清復合關系，將復合函數分解成基本初等函數的形式；
②利用求導法則分層求導；
③最終結果要將中間變量還原成自變量．注意不要漏掉第③步．
一、選擇題
1．已知函數f (x)＝(2x－1)3，則f ′(1)＝(　　)
A．8　　B．6　　C．3　　D．1
課時分層作業(十七)　簡單復合函數的導數
題號
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
B　[根據題意，函數f (x)＝(2x－1)3，則f ′(x)＝6(2x－1)2，
則f ′(1)＝6(2－1)2＝6．故選B．]
題號
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
2．函數y＝cos (1＋x2)的導數是(　　)
A．2x sin (1＋x2)　　 B．－sin(1＋x2)
C．－2x sin (1＋x2)　　 D．2cos(1＋x2)
√
14
15
C　[y′＝－sin (1＋x2)·(1＋x2)′＝－2x sin (1＋x2)．故選C．]
題號
3
2
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
3．(多選)下列計算正確的有(　　)
A．(x2)′＝2x　　 B．(sin x)′＝cos x
C．(e－x)′＝e－x　　 D．[ln (x＋1)]′＝
√
14
15
ABD　[對于A，(x2)′＝2x，故A正確；對于B，(sin x)′＝cos x，故B正確；
對于C，令u＝－x，則y＝eu，所以(e－x)′＝(－x)′·(eu)′＝－eu＝－e－x，故C錯誤；對于D，令u＝x＋1，則y＝ln u，所以[ln (x＋1)]′＝(x＋1)′·(ln u)′＝1×＝，故D正確．故選ABD．]
√
√
題號
4
2
3
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
4．曲線y＝在點(4，e2)處的切線與坐標軸所圍成的三角形的面積為(　　)
A．4e2　　B．2e2　　C．e2　　D．e2
√
14
15
C　[由導數的幾何意義，可得切線的斜率
k＝y′|x＝4＝|x＝4＝e2，
所以切線方程為y－e2＝e2(x－4)．
令x＝0，得y＝－e2；令y＝0，得x＝2．
所以切線與坐標軸所圍成的三角形的面積為S＝×2e2＝e2．故選C．]
題號
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
5．已知函數f (x)＝xex－a，曲線y＝f (x)在點(a，f (a))處的切線方程為y＝3x＋b，則a＋b＝(　　)
A．－4　　B．－2　　C．2　　D．4
√
14
15
B　[由題得f ′(x)＝(x＋1)ex－a，所以f ′(a)＝a＋1＝3，解得a＝2，所以f (x)＝xex-2，可得f (2)＝2×e2-2＝2，所以切點為(2，2)，將點(2，2)的坐標代入切線方程得b＝－4，所以a＋b＝－2．故選B．]
題號
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
二、填空題
6．已知某質點的位移s與時間t滿足s(t)＝tet-1，則質點在t＝1時的瞬時速度為________．
14
15
2　[s′(t)＝(t＋1)et-1，當t＝1時，s′(1)＝2．]
2
題號
2
4
5
3
7
6
8
9
10
11
12
13
1
7．已知函數f (x)＝ax＋ln (x＋1)，f ′(0)＝4，則a＝________．
14
15
e3　[由題意，得f ′(x)＝ax ln a＋，則f ′(0)＝ln a＋1＝4，解得a＝e3．]
e3
題號
2
4
5
3
8
6
7
9
10
11
12
13
1
8．若函數f (x)＝3sin2＋5，則f ′的值為________．
14
15
－3　[由f (x)＝3sin2＋5，得f ′(x)＝6sin×
cos ×2，f ′＝6sin ×cos ×2＝
－3．]
－3
題號
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
三、解答題
9．求下列函數的導數：
(1)y＝(2x＋3)10；(2)y＝e2x+1；(3)y＝ln (3x－2)．
14
15
[解]　(1)函數y＝(2x＋3)10可以看作y＝u10與u＝2x＋3復合而成，根據復合函數求導法則有
y′x＝y′u·u′x＝(u10)′·(2x＋3)′＝10u9·2＝20(2x＋3)9．
題號
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
(2)函數y＝e2x+1可以看作y＝eu與u＝2x＋1復合而成，根據復合函數求導法則有
y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(2x＋1)′＝eu·2＝2e2x+1．
(3)函數y＝ln (3x－2)可以看作y＝ln u與u＝3x－2復合而成，根據復合函數求導法則有
y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·(3x－2)′＝·3＝．
14
15
題號
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
10．(多選)下列求導運算錯誤的是(　　)
A．若f (x)＝cos x，則f ′(x)＝－sin x
B．若f (x)＝e-2x+1，則f ′(x)＝e-2x+1
C．若f (x)＝，則f ′(x)＝
D．若f (x)＝x ln x，則f ′(x)＝
√
14
15
√
題號
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
BD　[A選項，f ′(x)＝(cos x)′＝－sin x，A正確；
B選項，f ′(x)＝e-2x+1·(－2x＋1)′＝－2e-2x+1，B錯誤；
C選項，f ′(x)＝＝，C正確；
D選項，f ′(x)＝ln x＋x·＝ln x＋1，D錯誤．故選BD．]
14
15
題號
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
11．(多選)曲線y＝e2xcos 3x在點(0，1)處的切線與其平行直線l的距離為，則直線l的方程可能為(　　)
A．y＝2x＋6　　 B．y＝2x－4
C．y＝3x＋1　　 D．y＝3x－4
√
14
15
√
題號
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
AB　[y′＝e2x(2cos 3x－3sin 3x)，
∴y′|x＝0＝2，
則所求的切線方程為y＝2x＋1．
設直線l的方程為y＝2x＋b，
則＝，解得b＝6或－4．
∴直線l的方程為y＝2x＋6或y＝2x－4．故選AB．]
14
15
題號
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
12．曲線y＝e-2x＋1在點(0，2)處的切線與直線y＝0和y＝x圍成的三角形的面積為(　　)
A．　　B．　　C．　　D．1
√
14
15
題號
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
A　[∵y′＝(－2x)′e-2x＝－2e-2x，
∴k＝－2e0＝－2，
因此切線方程為y－2＝－2(x－0)，
即y＝－2x＋2．如圖所示．
∵y＝－2x＋2與y＝x的交點坐標為，y＝－2x＋2與x軸的交點坐標為(1，0)，
∴S＝×1×＝．故選A．]
14
15
題號
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
13．已知f (x)為偶函數，當x≤0時，f (x)＝e－x-1－x，則曲線y＝f (x)在點(1，2)處的切線方程是___________．
14
15
2x－y＝0　[設x＞0，則－x＜0．因為x≤0時，f (x)＝e－x-1－x，所以
f (－x)＝ex-1＋x．又因為f (x)為偶函數，所以f (x)＝ex-1＋x，f ′(x)＝ex-1＋1，f ′(1)＝e1-1＋1＝2，所以切線方程為y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0．]
2x－y＝0
題號
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
14．設函數f (x)＝aex ln x＋．
(1)求導函數f ′(x)；
(2)若曲線y＝f (x)在點(1，f (1))處的切線方程為y＝e(x－1)＋2，求a，b的值．
14
15
[解]　(1)由f (x)＝aex ln x＋，
得f ′(x)＝(aex ln x)′＋＝aex ln x＋．
題號
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
(2)由于切點既在曲線y＝f (x)上，又在切線y＝e(x－1)＋2上，
將x＝1代入切線方程得y＝2，將x＝1代入函數f (x)的解析式得f (1)＝b，∴b＝2．
將x＝1代入導函數f ′(x)的解析式中，
得f ′(1)＝ae＝e，∴a＝1，∴a＝1，b＝2．
14
15
題號
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
15．對于y＝ax(a＞0且a≠1)這類函數的求導，可以使用下面的方式進行：
第一步：ln y＝ln ax＝x ln a；
第二步：(ln y)′＝(x ln a)′；
第三步：·y′＝ln a；
第四步：y′＝y·ln a＝ax·ln a．
根據框內的信息，函數y＝xx(x＞0)的導數y′＝_____________．
14
15
xx(ln x＋1)
題號
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
xx(ln x＋1)　[因為y＝xx，故可得ln y＝x ln x，所以(ln y)′＝(x ln x)′，即·y′＝ln x＋1，所以y′＝y(ln x＋1)＝xx(ln x＋1)．]
14
15
THANKS5.2.3　簡單復合函數的導數
[學習目標]　1．了解復合函數的概念，掌握復合函數的求導法則．(數學運算)
2．綜合運用函數的求導法則解決簡單的問題．(邏輯推理、數學運算)
(教師用書)
法國著名哲學家、數學家、物理學家笛卡爾說過：“我只會做兩件事，一件是簡單的事，一件是把復雜的事情變簡單”．我們學習了較簡單的基本初等函數，還可以把兩個或幾個函數進行“復合”，怎樣復合呢？那么，對于復合后的函數如何求導呢？我們是否也有簡單的方法？
[討論交流]　
問題1．復合函數的定義是什么？
問題2．復合函數的求導法則是什么？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認知，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　復合函數的概念
探究問題1　函數y＝log2(3x＋2)是如何構成的？
[提示]　y＝log2(3x＋2)，其中3x＋2“占據”了對數函數y＝log2x中x的位置，f (x)＝log2x，而f (3x＋2)＝log2(3x＋2)，這里有代入、代換的思想，則函數y＝log2(3x＋2)是由內層函數一次函數和外層函數對數函數復合而成，是復合函數．
[新知生成]
復合函數的概念
一般地，對于兩個函數y＝f (u)和u＝g(x)，如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數，那么稱這個函數為函數y＝f (u)和u＝g(x)的復合函數，記作y＝f (g(x))．
[典例講評]　1．(多選)下列函數是復合函數的是(　　)
A．y＝x ln x　　　　 B．y＝(3x＋6)2
C．y＝esin x D．y＝sin
BCD　[A不是復合函數；BCD都是復合函數．]
　若f (x)與g(x)均為基本初等函數，則函數y＝f (g(x))或函數y＝g(f (x))均為復合函數．
[學以致用]　1．函數y＝sin (2x－1)如果看成復合函數y＝f (φ(x))，下列式子正確的是(　　)
A．φ(x)＝2x B．φ(x)＝sin x
C．φ(x)＝2x－1 D．φ(x)＝sin (2x－1)
C　[y＝sin (2x－1)是由函數y＝sin u和u＝2x－1復合而成，可見φ(x)＝2x－1．故選C．]
探究2　復合函數的導數
探究問題2　你能用導數的運算法則求出函數y＝sin 2x的導數嗎？它與函數y＝sin u，u＝2x的導數有什么關系？你能用文字語言描述復合函數的導數運算法則嗎？
[提示]　y＝2sin x cos x，由兩個函數相乘的求導法則可知：y′＝2cos2x－2sin2x＝2cos2x；從整體上來看，外層函數是基本初等函數y＝sin u，它的導數y′＝cos u，內層函數是u＝2x，它的導數是u′＝2，發現y′x＝y′u·u′x．復合函數y對自變量x的導數等于因變量y對中間變量u的導數與中間變量u對自變量x的導數的乘積．
[新知生成]
一般地，對于由函數y＝f (u)和u＝g(x)復合而成的函數y＝f (g(x))，它的導數與函數y＝f (u)，u＝g(x)的導數間的關系為y′x＝y′u·u′x．即y對x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積．
【教用·微提醒】　(1)中間變量的選擇應是基本初等函數的結構；求導由外向內，并保持對外層函數求導時，內層不變的原則．
(2)求每層函數的導數時，注意分清是對哪個變量求導．
(3)該公式可以推廣至多層復合函數．
【鏈接·教材例題】
例6　求下列函數的導數：
(1)y＝(3x＋5)3；
(2)y＝e-0.05x+1；
(3)y＝ln (2x－1)．
[解]　(1)函數y＝(3x＋5)3可以看作函數y＝u3和u＝3x＋5的復合函數．根據復合函數的求導法則，有
y′x＝y′u·u′x
＝(u3)′·(3x＋5)′
＝3u2×3
＝9(3x＋5)2．
(2)函數y＝e-0.05x+1可以看作函數y＝eu和u＝－0.05x＋1的復合函數．根據復合函數的求導法則，有
y′x＝y′u·u′x
＝(eu)′·(－0.05x＋1)′
＝－0.05eu
＝－0.05e-0.05x+1．
(3)函數y＝ln (2x－1)可以看作函數y＝ln u和u＝2x－1的復合函數．根據復合函數的求導法則，有
y′x＝y′u·u′x
＝(ln u)′·(2x－1)′
＝×2
＝．
[典例講評]　2．求下列函數的導數：
(1)y＝；
(2)y＝log2(2x＋1)；
(3)y＝e3x+2；
(4)y＝sin ．
[解]　(1)y＝，設y＝，u＝1－2x，
則y′x＝y′u·u′x＝(1－2x)′
＝·(－2)＝．
即y′＝．
(2)設y＝log2u，u＝2x＋1，
則y′x＝y′u·u′x＝(log2u)′(2x＋1)′
＝×2＝，
即y′＝．
(3)設y＝eu，u＝3x＋2，
則y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(3x＋2)′＝3eu＝3e3x+2，即y′＝3e3x+2．
(4)設y＝sin u，u＝2x＋，
則y′x＝y′u·u′x＝(sin u)′＝2cos u
＝2cos ，即y′＝2cos ．
【教用·備選題】　求下列函數的導數：
(1)y＝e2x+1sin x；
(2)f (x)＝；
(3)f (x)＝．
[解]　(1)y′＝2e2x+1sin x＋e2x+1cos x＝(2sin x＋cos x)e2x+1．
(2)f (x)＝，f ′(x)＝．
(3)f (x)＝，f ′(x)＝．
　1．求復合函數的導數的步驟
2．求復合函數的導數的注意點
(1)分解的函數通常為基本初等函數．
(2)求導時分清是對哪個變量求導．
[學以致用]　2．求下列函數的導數：
(1)y＝(2x－1)4；
(2)y＝102x+3；
(3)y＝e－x·sin 2x；
(4)y＝．
[解]　(1)設y＝u4，u＝2x－1，
則y′x＝y′u·u′x＝(u4)′(2x－1)′
＝4u3·2＝8(2x－1)3．
(2)設y＝10u，u＝2x＋3，
則y′x＝y′u·u′x＝(10u)′(2x＋3)′
＝10u ln 10×2＝2×102x+3×ln 10＝102x+3×ln 100．
(3)y′x＝(e－x)′sin 2x＋e－x·(sin 2x)′＝－e－xsin 2x＋2e－xcos 2x．
(4)y′x＝＝＝．
探究3　復合函數的導數的應用
[典例講評]　3．(1)曲線y＝ln (2x－1)上的點到直線2x－y＋3＝0的最短距離是(　　)
A．　　　B．2　　　C．3　　　D．0
(2)設曲線y＝eax在點(0，1)處的切線與直線x＋2y＋1＝0垂直，則a＝________．
[思路導引]　(1) → →
(2)→
(1)A　(2)2　[(1)設曲線y＝ln (2x－1)在點(x0，y0)處的切線與直線2x－y＋3＝0平行．
因為y′＝，所以y′|x＝＝＝2，
解得x0＝1，所以y0＝ln (2－1)＝0，
即切點坐標為(1，0)，
所以切點(1，0)到直線2x－y＋3＝0的距離為d＝＝，
即曲線y＝ln (2x－1)上的點到直線2x－y＋3＝0的最短距離是．故選A．
(2)令y＝f (x)，則曲線y＝eax在點(0，1)處的切線的斜率為f ′(0)．又切線與直線x＋2y＋1＝0垂直，所以f ′(0)＝2．因為f (x)＝eax，所以f ′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f ′(0)＝ae0＝a，故a＝2．]
[母題探究]　
1．本例(1)的條件變為“曲線y＝ln (2x－1)上的點到直線2x－y＋m＝0的最小距離為2”，求m的值．
[解]　設切點P(x0，y0)，由題意可知，
y′|x＝＝＝2，
∴x0＝1，即切點P(1，0)，
∴＝2，
解得m＝8或－12(舍，直線與曲線有交點，最小距離為0，不合題意)．即實數m的值為8．
2．求本例(2)中曲線的切線與坐標軸圍成的面積．
[解]　由題意可知，切線方程為y－1＝2x，
即2x－y＋1＝0．
令x＝0，得y＝1；
令y＝0，得x＝－，
∴切線與坐標軸圍成的面積S＝×1＝．
　本題正確的求出復合函數的導數是前提，審題時注意所給點是不是切點，挖掘題目隱含條件，求出參數．解決已知經過一定點的切線問題，尋求切點是解決問題的關鍵．
[學以致用]　3．已知函數f (x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x，f ′(x)是f (x)的導函數，且a＝f ′，求曲線y＝x3在x＝a處的切線方程．
[解]　由f (x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x，
得f ′(x)＝3－2sin 2x＋2cos 2x，
則a＝f ′＝3－2sin ＋2cos ＝1．
由y＝x3得y′＝3x2，
∴k＝y′|x＝1＝3．又x＝1時，y＝1，∴所求切線方程為y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0．
探究4　復合函數的導數的綜合應用
【鏈接·教材例題】
例7　某個彈簧振子在振動過程中的位移y(單位：mm)與時間t(單位：s)之間的關系為y＝18sin ．求函數y在t＝3 s時的導數，并解釋它的實際意義．
[解]　函數y＝18sin 可以看作函數y＝18sin u和u＝t－的復合函數，根據復合函數的求導法則，有
y′t＝y′u·u′t
＝(18sin u)′·′
＝18cos u×
＝12πcos ．
當t＝3時，y′t＝12πcos ＝0．
它表示當t＝3 s時，彈簧振子振動的瞬時速度為0 mm/s．
[典例講評]　4．某港口在一天24小時內潮水的高度近似滿足關系式s(t)＝3sin (0≤t≤24)，其中s的單位是m，t的單位是h，求函數在t＝18時的導數，并解釋它的實際意義．
[解]　設f (x)＝3sin x，x＝φ(t)＝t＋，
所以s′(t)＝f ′(x)φ′(t)＝3cos x·
＝cos ．
將t＝18代入s′(t)，
得s′(18)＝cos ＝．
s′(18)表示當t＝18 h時，潮水的高度上升的速度為 m/h．
　將復合函數的求導與導數的實際意義結合，函數在某點處的導數反映了函數在該點的瞬時變化率，體現導數揭示物體在某時刻的變化狀況．
[學以致用]　4．我國魏晉時期的科學家劉徽創立了“割圓術”，實施“以直代曲”的近似計算，用正n邊形進行“內外夾逼”的辦法求出了圓周率π的精度較高的近似值，這是我國最優秀的傳統科學文化之一．借用“以直代曲”的近似計算方法，在切點附近，可以用函數圖象的切線近似代替在切點附近的曲線來近似計算．設f (x)＝，則f ′(x)＝________，其圖象在點(0，1)處的切線方程為________．
　y＝1　[∵f (x)＝，故f ′(x)＝＝，則f ′(0)＝0．故曲線y＝f (x)在點(0，1)處的切線方程為y＝1．]
1．已知函數f (x)＝sin 2x＋cos 2x，那么f ′＝(　　)
A．－2 B．2 C． D．－
A　[由題意，f ′(x)＝2cos 2x－2sin 2x，所以f ′＝2cos π－2sin π＝－2．]
2．(多選)下列求導正確的是(　　)
A．(e3x)′＝3e2x
B．(2sin x－3)′＝2cos x
C．′＝
D．(x cos x)′＝cos x－x sin x
BD　[(e3x)′＝3e3x，故A錯誤；(2sin x－3)′＝2cos x，故B正確；
′＝＝＝，故C錯誤；(x cos x)′＝(x)′cos x＋x(cos x)′＝cos x－x sin x，故D正確．
故選BD．]
3．設曲線y＝ax－ln (x＋1)在點(0，0)處的切線方程為y＝2x，則a＝(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
D　[令f (x)＝ax－ln (x＋1)，∴f ′(x)＝a－．
由題意，得f ′(0)＝2，解得a＝3．]
4．設f (x)＝ln (x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R)．若直線y＝x與曲線y＝f (x)在點(0，0)處相切，則a＝________，b＝________．
0?。?　[由曲線y＝f (x)過點(0，0)，可得ln 1＋1＋b＝0，故b＝－1．
由f (x)＝ln (x＋1)＋＋ax＋b，得f ′(x)＝＋a，則f ′(0)＝1＋＋a＝＋a，此即曲線y＝f (x)在點(0，0)處的切線的斜率．由題意知＋a＝，故a＝0．]
1．知識鏈：(1)復合函數的概念．
(2)復合函數的求導法則．
(3)復合函數的導數的應用．
2．方法鏈：轉化法．
3．警示牌：求復合函數的導數時不能正確分解函數；求導時不能分清是對哪個變量求導；計算結果復雜化．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．你認為如何對多個整式乘積形式的函數求導？
[提示]　(1)若待求導的函數為多個整式乘積的形式，可以利用多項式的乘法法則，化為和差的形式，再求導，其運算過程將會簡化，運算量將會減?。?br/>(2)若乘積因式不多時，也可以利用積的導數運算法則求導．
2．求復合函數的導數，應該注意哪些問題？
[提示]　求復合函數的導數的注意點：
(1)分解的函數通常為基本初等函數；
(2)求導時分清是對哪個變量求導；
(3)計算結果盡量簡潔．
3．利用復合函數求導法則求復合函數的導數的一般步驟是什么？
[提示]　“分解—求導—還原”．
即：①弄清復合關系，將復合函數分解成基本初等函數的形式；
②利用求導法則分層求導；
③最終結果要將中間變量還原成自變量．注意不要漏掉第③步．
課時分層作業(十七)　簡單復合函數的導數
一、選擇題
1．已知函數f (x)＝(2x－1)3，則f ′(1)＝(　　)
A．8 B．6 C．3 D．1
B　[根據題意，函數f (x)＝(2x－1)3，則f ′(x)＝6(2x－1)2，
則f ′(1)＝6(2－1)2＝6．故選B．]
2．函數y＝cos (1＋x2)的導數是(　　)
A．2x sin (1＋x2) B．－sin(1＋x2)
C．－2x sin (1＋x2) D．2cos(1＋x2)
C　[y′＝－sin (1＋x2)·(1＋x2)′＝－2x sin (1＋x2)．故選C．]
3．(多選)下列計算正確的有(　　)
A．(x2)′＝2x B．(sin x)′＝cos x
C．(e－x)′＝e－x D．[ln (x＋1)]′＝
ABD　[對于A，(x2)′＝2x，故A正確；
對于B，(sin x)′＝cos x，故B正確；
對于C，令u＝－x，則y＝eu，所以(e－x)′＝(－x)′·(eu)′＝－eu＝－e－x，故C錯誤；對于D，令u＝x＋1，則y＝ln u，所以[ln (x＋1)]′＝(x＋1)′·(ln u)′＝1×＝，故D正確．
故選ABD．]
4．曲線y＝在點(4，e2)處的切線與坐標軸所圍成的三角形的面積為(　　)
A．4e2 B．2e2 C．e2 D．e2
C　[由導數的幾何意義，可得切線的斜率
k＝y′|x＝4＝|x＝4＝e2，
所以切線方程為y－e2＝e2(x－4)．
令x＝0，得y＝－e2；令y＝0，得x＝2．
所以切線與坐標軸所圍成的三角形的面積為S＝×2e2＝e2．故選C．]
5．已知函數f (x)＝xex－a，曲線y＝f (x)在點(a，f (a))處的切線方程為y＝3x＋b，則a＋b＝(　　)
A．－4 B．－2 C．2 D．4
B　[由題得f ′(x)＝(x＋1)ex－a，所以f ′(a)＝a＋1＝3，解得a＝2，所以f (x)＝xex-2，可得f (2)＝2×e2-2＝2，所以切點為(2，2)，將點(2，2)的坐標代入切線方程得b＝－4，所以a＋b＝－2．故選B．]
二、填空題
6．已知某質點的位移s與時間t滿足s(t)＝tet-1，則質點在t＝1時的瞬時速度為________．
2　[s′(t)＝(t＋1)et-1，當t＝1時，s′(1)＝2．]
7．已知函數f (x)＝ax＋ln (x＋1)，f ′(0)＝4，則a＝________．
e3　[由題意，得f ′(x)＝ax ln a＋，則f ′(0)＝ln a＋1＝4，解得a＝e3．]
8．若函數f (x)＝3sin2＋5，則f ′的值為________．
－3　[由f (x)＝3sin2＋5，得f ′(x)＝6sin×cos ×2，f ′＝6sin ×cos ×2＝－3．]
三、解答題
9．求下列函數的導數：
(1)y＝(2x＋3)10；
(2)y＝e2x+1；
(3)y＝ln (3x－2)．
[解]　(1)函數y＝(2x＋3)10可以看作y＝u10與u＝2x＋3復合而成，根據復合函數求導法則有
y′x＝y′u·u′x＝(u10)′·(2x＋3)′＝10u9·2＝20(2x＋3)9．
(2)函數y＝e2x+1可以看作y＝eu與u＝2x＋1復合而成，根據復合函數求導法則有
y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(2x＋1)′＝eu·2＝2e2x+1．
(3)函數y＝ln (3x－2)可以看作y＝ln u與u＝3x－2復合而成，根據復合函數求導法則有
y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·(3x－2)′＝·3＝．
10．(多選)下列求導運算錯誤的是(　　)
A．若f (x)＝cos x，則f ′(x)＝－sin x
B．若f (x)＝e-2x+1，則f ′(x)＝e-2x+1
C．若f (x)＝，則f ′(x)＝
D．若f (x)＝x ln x，則f ′(x)＝
BD　[A選項，f ′(x)＝(cos x)′＝－sin x，A正確；
B選項，f ′(x)＝e-2x+1·(－2x＋1)′＝－2e-2x+1，B錯誤；
C選項，f ′(x)＝＝，C正確；
D選項，f ′(x)＝ln x＋x·＝ln x＋1，D錯誤．故選BD．]
11．(多選)曲線y＝e2xcos 3x在點(0，1)處的切線與其平行直線l的距離為，則直線l的方程可能為(　　)
A．y＝2x＋6 B．y＝2x－4
C．y＝3x＋1 D．y＝3x－4
AB　[y′＝e2x(2cos 3x－3sin 3x)，
∴y′|x＝0＝2，
則所求的切線方程為y＝2x＋1．
設直線l的方程為y＝2x＋b，
則＝，解得b＝6或－4．
∴直線l的方程為y＝2x＋6或y＝2x－4．故選AB．]
12．曲線y＝e-2x＋1在點(0，2)處的切線與直線y＝0和y＝x圍成的三角形的面積為(　　)
A． B． C． D．1
A　[∵y′＝(－2x)′e-2x＝－2e-2x，
∴k＝－2e0＝－2，
因此切線方程為y－2＝－2(x－0)，
即y＝－2x＋2．如圖所示．
∵y＝－2x＋2與y＝x的交點坐標為，y＝－2x＋2與x軸的交點坐標為(1，0)，
∴S＝×1×＝．故選A．]
13．已知f (x)為偶函數，當x≤0時，f (x)＝e－x-1－x，則曲線y＝f (x)在點(1，2)處的切線方程是________．
2x－y＝0　[設x＞0，則－x＜0．因為x≤0時，f (x)＝e－x-1－x，所以f (－x)＝ex-1＋x．又因為f (x)為偶函數，所以f (x)＝ex-1＋x，f ′(x)＝ex-1＋1，f ′(1)＝e1-1＋1＝2，所以切線方程為y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0．]
14．設函數f (x)＝aex ln x＋．
(1)求導函數f ′(x)；
(2)若曲線y＝f (x)在點(1，f (1))處的切線方程為y＝e(x－1)＋2，求a，b的值．
[解]　(1)由f (x)＝aex ln x＋，
得f ′(x)＝(aex ln x)′＋＝aex ln x＋．
(2)由于切點既在曲線y＝f (x)上，又在切線y＝e(x－1)＋2上，
將x＝1代入切線方程得y＝2，將x＝1代入函數f (x)的解析式得f (1)＝b，∴b＝2．
將x＝1代入導函數f ′(x)的解析式中，
得f ′(1)＝ae＝e，∴a＝1，∴a＝1，b＝2．
15．對于y＝ax(a＞0且a≠1)這類函數的求導，可以使用下面的方式進行：
第一步：ln y＝ln ax＝x ln a；
第二步：(ln y)′＝(x ln a)′；
第三步：·y′＝ln a；
第四步：y′＝y·ln a＝ax·ln a．
根據框內的信息，函數y＝xx(x＞0)的導數y′＝________．
xx(ln x＋1)　[因為y＝xx，故可得ln y＝x ln x，所以(ln y)′＝(x ln x)′，即·y′＝ln x＋1，所以y′＝y(ln x＋1)＝xx(ln x＋1)．]
14/14

展開更多......

收起↑