資源簡介

5.3　導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用
5.3.1　函數(shù)的單調(diào)性
第1課時　函數(shù)的單調(diào)性
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1．理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系．(數(shù)學(xué)抽象)
2．掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法．(數(shù)學(xué)運算)
3．對于多項式函數(shù)，能求不超過三次的多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
(教師用書)
如圖為某市一天內(nèi)的氣溫變化圖：
(1)觀察這個氣溫變化圖，說出氣溫在這一天內(nèi)的變化情況．
(2)怎樣用數(shù)學(xué)語言刻畫在這一天內(nèi)“隨著時間的推移，氣溫逐漸升高或下降”這一特征？
問題：觀察圖形，你能得到什么信息？
[討論交流]　
問題1．函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系？
問題2．函數(shù)值變化快慢與導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系？
[自我感知]　經(jīng)過認(rèn)真的預(yù)習(xí)，結(jié)合對本節(jié)課的理解和認(rèn)知，請畫出本節(jié)課的知識邏輯體系．
探究1　利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷單調(diào)性
探究問題1　已知函數(shù)：(1)y＝2x－1，(2)y＝－3x，(3)y＝2x，它們的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與它們的單調(diào)性之間有怎樣的關(guān)系？
[提示]　(1)y′＝2＞0，y＝2x－1是增函數(shù)．
(2)y′＝－3＜0，y＝－3x是減函數(shù)．
(3)y′＝2x ln 2＞0，y＝2x是增函數(shù)．
探究問題2　如果函數(shù)f (x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有無數(shù)個點滿足f ′(x)＞0，能認(rèn)為f (x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增嗎？
[提示]　不能，無數(shù)不代表任意，所以有可能在某點處導(dǎo)數(shù)為負(fù)．
[新知生成]
函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系
定義在區(qū)間(a，b)內(nèi)的函數(shù)y＝f (x)：
f ′(x)的正負(fù) f (x)的單調(diào)性
f ′(x)＞0 單調(diào)遞增
f ′(x)＜0 單調(diào)遞減
【教用·微提醒】　(1)f ′(x)＞0(f ′(x)＜0)是函數(shù)在(a，b)上單調(diào)遞增(遞減)的充分條件．
(2)f ′(x)＝0在某個區(qū)間內(nèi)恒成立時，該區(qū)間內(nèi)f (x)為常函數(shù)．
【鏈接·教材例題】
例1　利用導(dǎo)數(shù)判斷下列函數(shù)的單調(diào)性：
(1)f (x)＝x3＋3x；
(2)f (x)＝sin x－x，x∈(0，π)；
(3)f (x)＝．
[解]　(1)因為f (x)＝x3＋3x，所以
f ′(x)＝3x2＋3＝3(x2＋1)＞0．
所以，函數(shù)f (x)＝x3＋3x在R上單調(diào)遞增，如圖5.3-4(1)所示．
(2)因為f (x)＝sin x－x，x∈(0，π)，所以
f ′(x)＝cos x－1＜0．
所以，函數(shù)f (x)＝sin x－x在(0，π)內(nèi)單調(diào)遞減，如圖5.3-4(2)所示．
(3)因為f (x)＝1－，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以f ′(x)＝＞0．
所以，函數(shù)f (x)＝在區(qū)間(－∞，0)和(0，＋∞)上單調(diào)遞增，如圖5.3-4(3)所示．
[典例講評]　1．利用導(dǎo)數(shù)判斷下列函數(shù)的單調(diào)性：
(1)f (x)＝x3－x2＋2x－5；
(2)f (x)＝x－－ln x．
[解]　(1)因為f (x)＝x3－x2＋2x－5，所以f ′(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0，所以函數(shù)f (x)＝x3－x2＋2x－5在R上單調(diào)遞增．
(2)因為f (x)＝x－－ln x，x∈(0，＋∞)，
所以f ′(x)＝1＋＝＝＞0，所以f (x)＝x－－ln x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．
　利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟
(1)確定函數(shù)的定義域．
(2)求導(dǎo)數(shù)f ′(x)．
(3)確定f ′(x)在定義域內(nèi)的符號，在此過程中，需要對導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行通分、因式分解等變形．
(4)得出結(jié)論．
[學(xué)以致用]　1．下列函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減的是(　　)
A．y＝xex　　　　　 B．y＝x3－3x2
C．y＝ln x－x D．y＝x－ex
D　[當(dāng)x＞0時，函數(shù)y＝xex的導(dǎo)函數(shù)y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)＞0，故函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；函數(shù)y＝x3－3x2的導(dǎo)函數(shù)y′＝3x2－6x＝3x(x－2)，故函數(shù)在(0，2)上單調(diào)遞減，在(2，＋∞)上單調(diào)遞增；令y＝ln x－x的導(dǎo)函數(shù)y′＝－1＝＞0，解得x＜1，所以函數(shù)y＝ln x－x在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減；函數(shù)y＝x－ex的導(dǎo)函數(shù)y′＝1－ex，在(0，＋∞)上y′＝1－ex＜0，所以y＝x－ex在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．故選D．]
探究2　利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
【鏈接·教材例題】
例3　求函數(shù)f (x)＝x3－x2－2x＋1的單調(diào)區(qū)間．
[解]　函數(shù)f (x)＝x3－x2－2x＋1的定義域為R．對f (x)求導(dǎo)數(shù)，得
f ′(x)＝x2－x－2＝(x＋1)(x－2)．
令f ′(x)＝0，解得
x＝－1，或x＝2．
x＝－1和x＝2把函數(shù)定義域劃分成三個區(qū)間，f ′(x)在各區(qū)間上的正負(fù)，以及f (x)的單調(diào)性如表5.3-1所示．
表5.3-1
x (－∞，－1) －1 (－1，2) 2 (2，＋∞)
f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f (x) 單調(diào) 遞增 f (－1)＝ 單調(diào) 遞減 f (2)＝－ 單調(diào) 遞增
所以，f (x)在(－∞，－1)和(2，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－1，2)內(nèi)單調(diào)遞減，如圖5.3-6所示．
[典例講評]　2．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：
(1)f (x)＝x2－ln x；
(2)f (x)＝2x3＋3x2－36x＋1．
[思路導(dǎo)引]　根據(jù)函數(shù)解析式求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間．
[解]　(1)函數(shù)定義域為(0，＋∞)，且f ′(x)＝2x－．
令f ′(x)>0，即2x－>0，解得x>；
令f ′(x)<0，即2x－<0，解得0故函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．
(2)f ′(x)＝6x2＋6x－36＝6(x＋3)(x－2)．
令f ′(x)＝0，解得x＝－3或x＝2，x＝－3和x＝2把函數(shù)的定義域劃分為三個區(qū)間，f ′(x)在各個區(qū)間上的正負(fù)以及f (x)的單調(diào)性如表，
x (－∞，－3) －3 (－3，2) 2 (2，＋∞)
f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f (x) 單調(diào) 遞增 f (－3) 單調(diào)遞減 f (2) 單調(diào) 遞增
故f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，－3)，(2，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－3，2)．
【教用·備選題】　求函數(shù)f (x)＝x3－2x2＋x－1的單調(diào)區(qū)間．
[解]　對函數(shù)求導(dǎo)得f ′(x)＝3x2－4x＋1．
令f ′(x)＝3x2－4x＋1＞0，則
x＜或x＞1，
因此，函數(shù)f (x)＝x3－2x2＋x－1在區(qū)間和(1，＋∞)上單調(diào)遞增．
令f ′(x)＝3x2－4x＋1＜0，
則＜x＜1，
因此，函數(shù)f (x)＝x3－2x2＋x－1在區(qū)間上單調(diào)遞減．
　利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟
(1)確定函數(shù)y＝f (x)的定義域．
(2)求出導(dǎo)數(shù)f ′(x)的零點．
(3)用f ′(x)的零點將f (x)的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出f ′(x)在各區(qū)間上的正負(fù)，進(jìn)而求出單調(diào)區(qū)間．
[學(xué)以致用]　2．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：
(1)f (x)＝x2·e－x；
(2)f (x)＝x＋．
[解]　(1)函數(shù)的定義域為(－∞，＋∞)．
∵f ′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′＝2xe－x－x2e－x＝e－x(2x－x2)，令f ′(x)＝0，由于e－x＞0，∴x1＝0，x2＝2，用x1，x2分割定義域，如表所示：
x (－∞，0) 0 (0，2) 2 (2，＋∞)
f ′(x) － 0 ＋ 0 －
f (x) 單調(diào)遞減 f (0) 單調(diào)遞增 f (2) 單調(diào)遞減
∴f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0)和(2，＋∞)，單調(diào)遞增區(qū)間為(0，2)．
(2)函數(shù)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)．
∵f ′(x)＝1－，令f ′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1，用x1，x2分割定義域，如表所示：
x (－∞， －1) －1 (－1，0) (0，1) 1 (1， ＋∞)
f ′(x) ＋ 0 － － 0 ＋
f (x) 單調(diào) 遞增 f (－1) 單調(diào) 遞減 單調(diào) 遞減 f (1) 單調(diào) 遞增
∴函數(shù)f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－1，0)和(0，1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1)和(1，＋∞)．
探究3　導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)聯(lián)圖象
【鏈接·教材例題】
例2　已知導(dǎo)函數(shù)f ′(x)的下列信息：
當(dāng)1＜x＜4時，f ′(x)＞0；
當(dāng)x＜1，或x＞4時，f ′(x)＜0；
當(dāng)x＝1，或x＝4時，f ′(x)＝0．
試畫出函數(shù)f (x)圖象的大致形狀．
[解]　當(dāng)1＜x＜4時，f ′(x)＞0，可知f (x)在區(qū)間(1，4)內(nèi)單調(diào)遞增；
當(dāng)x＜1，或x＞4時，f ′(x)＜0，可知f (x)在區(qū)間(－∞，1)和(4，＋∞)上都單調(diào)遞減；
當(dāng)x＝1，或x＝4時，f ′(x)＝0，這兩點比較特殊，我們稱它們?yōu)椤胺€(wěn)定點”．
綜上，函數(shù)f (x)圖象的大致形狀如圖5.3-5所示．
例4　設(shè)x＞0，f (x)＝ln x，g(x)＝1－，兩個函數(shù)的圖象如圖5.3-8所示．判斷f (x)，g(x)的圖象與C1，C2之間的對應(yīng)關(guān)系．
[解]　因為f (x)＝ln x，g(x)＝1－，所以
f ′(x)＝，g′(x)＝．
當(dāng)x＝1時，f ′(x)＝g′(x)＝1；
當(dāng)0＜x＜1時，g′(x)＞f ′(x)＞1；
當(dāng)x＞1時，0＜g′(x)＜f ′(x)＜1．
所以，f (x)，g(x)在(0，＋∞)上都是增函數(shù)．在區(qū)間(0，1)內(nèi)，g(x)的圖象比f (x)的圖象要“陡峭”；在區(qū)間(1，＋∞)上，g(x)的圖象比f (x)的圖象要“平緩”．
所以，f (x)，g(x)的圖象依次是圖5.3-8中的C2，C1．
[典例講評]　3．(1)已知函數(shù)f (x)的導(dǎo)函數(shù)f ′(x)的圖象如圖所示，那么函數(shù)f (x)的圖象最有可能是(　　)
A　　　　 B　　　　　C　　　　 D
(2)函數(shù)f (x)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)f ′(x)的圖象可能為(　　)
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
(1)A　(2)C　[(1)當(dāng)x＜－2時，f ′(x)＜0，則f (x)單調(diào)遞減；當(dāng)－2＜x＜0時，f ′(x)＞0，則f (x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>0時，f ′(x)<0，則f (x)單調(diào)遞減．
則符合上述條件的只有選項A．故選A．
(2)由f (x)的圖象知，當(dāng)x∈(－∞，1)時，f (x)單調(diào)遞減，f ′(x)＜0；
當(dāng)x∈(1，4)時，f (x)單調(diào)遞增，f ′(x)＞0；
當(dāng)x∈(4，＋∞)時，f (x)單調(diào)遞減，f ′(x)＜0．
由選項各圖知，選項C符合題意．故選C．]
　(1)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)看原函數(shù)的增減．
①觀察原函數(shù)的圖象，重在找出“上升”“下降”產(chǎn)生變化的點，分析函數(shù)值的變化趨勢．
②觀察導(dǎo)函數(shù)的圖象，重在找出導(dǎo)函數(shù)圖象與x軸的交點，分析導(dǎo)數(shù)的正負(fù)．
(2)導(dǎo)函數(shù)的絕對值大小決定原函數(shù)增減快慢．
某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較大，那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化得較快，這時函數(shù)的圖象就比較“陡峭”(向上或向下)；反之，函數(shù)的圖象就比較“平緩”．
(3)解決問題時，要分清是原函數(shù)圖象還是導(dǎo)函數(shù)圖象．
[學(xué)以致用]　3．設(shè)函數(shù)y＝f (x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y＝f (x)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y＝f ′(x)的圖象可能為(　　)
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
D　[由題中函數(shù)f (x)的圖象可知，函數(shù)f (x)在(－∞，0)上先增后減，所以其對應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)符號先正后負(fù)，在y軸左側(cè)導(dǎo)函數(shù)的圖象由左上到右下穿過x軸；當(dāng)x∈(0，＋∞)時，f (x)單調(diào)遞減，所以x∈(0，＋∞)時，f ′(x)＜0，只有D選項符合條件．故選D．]
1．f ′(x)是f (x)的導(dǎo)函數(shù)，f ′(x)的圖象如圖所示，則f (x)的圖象只可能是(　　)
A　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　D
A　[由f ′(x)圖象可知f ′(0)＝0，f ′(2)＝0，f (x)在區(qū)間[0，2]上的增長速度先快后慢，A選項符合．故選A．]
2．命題甲：對任意x∈(a，b)，有f ′(x)＞0；命題乙：f (x)在(a，b)內(nèi)是單調(diào)遞增的，則甲是乙的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
A　[例如，f (x)＝x3在(－1，1)內(nèi)是單調(diào)遞增的，但f ′(x)＝3x2≥0(－1＜x＜1)，故甲是乙的充分不必要條件．故選A．]
3．下列函數(shù)中，在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增的是(　　)
A．y＝sin x B．y＝xe2
C．y＝x3－x D．y＝ln x－x
B　[對于B，y＝xe2，則y′＝e2，
∴y＝xe2在R上為增函數(shù)，在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增．其他選項可同理逐一求導(dǎo)排除．故選B．]
4．函數(shù)y＝ln (x2－x－2)的單調(diào)遞減區(qū)間為________．
(－∞，－1)　[函數(shù)y＝ln (x2－x－2)的定義域為(－∞，－1)∪(2，＋∞)，令f (x)＝x2－x－2，f ′(x)＝2x－1＜0，得x＜，
∴函數(shù)y＝ln (x2－x－2)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－1)．]
1．知識鏈：(1)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．
(2)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性．
(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
(4)原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系．
2．方法鏈：方程思想、分類討論．
3．警示牌：忽略定義域的限制而出錯．
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
1．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的思路是怎樣的？
[提示]　利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性一般通過解不等式的方法完成，其步驟為：①確定函數(shù)f (x)的定義域；②求導(dǎo)函數(shù)f ′(x)；③解不等式f ′(x)>0(或f ′(x)<0)，并寫出解集；④根據(jù)③的結(jié)果確定函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間．
2．原函數(shù)圖象與導(dǎo)函數(shù)圖象之間有何關(guān)系？
[提示]　導(dǎo)函數(shù)f ′(x)圖象在x軸上方時對應(yīng)的自變量的取值區(qū)間為原函數(shù)f (x)圖象上升部分對應(yīng)的區(qū)間(單調(diào)遞增區(qū)間)，導(dǎo)函數(shù)f ′(x)圖象在x軸下方時對應(yīng)的自變量的取值區(qū)間為原函數(shù)f (x)圖象下降部分對應(yīng)的區(qū)間(單調(diào)遞減區(qū)間)．
課時分層作業(yè)(十八)　函數(shù)的單調(diào)性
一、選擇題
1．函數(shù)y＝x3－x2－x的單調(diào)遞增區(qū)間為(　　)
A．和(1，＋∞)
B．
C．∪(1，＋∞)
D．
A　[由題意知，y′＝3x2－2x－1(x∈R)．由y′＞0可解得x＜－或x＞1，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和(1，＋∞)．故選A．]
2．函數(shù)y＝x ln x在(0，5)上的單調(diào)性是(　　)
A．單調(diào)遞增
B．單調(diào)遞減
C．在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
D．在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
C　[由已知得函數(shù)y＝x ln x的定義域為(0，＋∞)．
y′＝ln x＋1，令y′＞0，得x＞；令y′＜0，得0＜x＜．∴函數(shù)y＝x ln x在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．]
3．設(shè)函數(shù)f (x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y＝f (x)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y＝f ′(x)的圖象可能為(　　)
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
D　[觀察函數(shù)f (x)的圖象得：f (x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，在(0，＋∞)上先單調(diào)遞增，再單調(diào)遞減，后又單調(diào)遞增，則當(dāng)x∈(－∞，0)時，f ′(x)＞0，即當(dāng)x∈(－∞，0)時，函數(shù)y＝f ′(x)的圖象在x軸上方，于是排除A，C．當(dāng)x∈(0，＋∞)時，f ′(x)的值先大于0，接著變?yōu)樾∮?，之后又變?yōu)榇笥?，即當(dāng)x∈(0，＋∞)時，函數(shù)y＝f ′(x)的圖象先在x軸上方，接著變化到x軸下方，最后又變到x軸上方，于是排除B，選項D相符．故選D．]
4．(多選)下列函數(shù)在定義域上為增函數(shù)的有(　　)
A．f (x)＝x－ B．f (x)＝xex
C．f (x)＝x＋sin x D．f (x)＝ex－e－x－2x
CD　[根據(jù)題意，依次分析選項．對于A，f (x)＝x－，有f (－1)＝f (1)＝0，則f (x)在其定義域上不是單調(diào)函數(shù)，不符合題意；對于B，f (x)＝xex，其導(dǎo)數(shù)f ′(x)＝xex＋ex＝(x＋1)ex，在區(qū)間(－∞，－1)上，f ′(x)＜0，則f (x)單調(diào)遞減，不符合題意；對于C，f (x)＝x＋sin x，其導(dǎo)數(shù)f ′(x)＝1＋cos x≥0，則f (x)在定義域上為增函數(shù)，符合題意；對于D，f (x)＝ex－e－x－2x，其導(dǎo)數(shù)f ′(x)＝ex＋e－x－2≥0，則f (x)在定義域上為增函數(shù)，符合題意．故選CD．]
5．(多選)函數(shù)f (x)＝(x－3)ex在下列區(qū)間上單調(diào)遞增的是(　　)
A．(－∞，2) B．(0，3)
C．(3，4) D．(2，＋∞)
CD　[∵f ′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，
由f ′(x)＞0，得(x－2)ex＞0，∴x＞2．
∴f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2，＋∞)，CD符合．]
二、填空題
6．已知函數(shù)f (x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f ′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間是________．
(－1，2)，(4，＋∞)　[由題圖可知，在區(qū)間(－1，2)，(4，＋∞)上，f ′(x)＞0；在區(qū)間(－∞，－1)，(2，4)上，f ′(x)＜0．
由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可得，函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－1，2)，(4，＋∞)．]
7．已知m是實數(shù)，函數(shù)f (x)＝x2(x－m)，若f ′(－1)＝－1，則函數(shù)f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間是________．
　[f ′(x)＝2x(x－m)＋x2，因為f ′(－1)＝－1，所以－2(－1－m)＋1＝－1，解得m＝－2，令f ′(x)＝2x(x＋2)＋x2＜0，解得－＜x＜0，則函數(shù)f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間是．]
8．函數(shù)f (x)＝x2－5x＋2ln (2x)的單調(diào)遞增區(qū)間是________．
，(2，＋∞)　[f (x)的定義域是(0，＋∞)，f ′(x)＝，由f ′(x)＞0，得x＞2或0＜x＜，故f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，(2，＋∞)．]
三、解答題
9．已知導(dǎo)函數(shù)f ′(x)的下列信息：
當(dāng)2＜x＜3時，f ′(x)＜0；
當(dāng)x＞3或x＜2時，f ′(x)＞0；
當(dāng)x＝3或x＝2時，f ′(x)＝0；
試畫出函數(shù)f (x)圖象的大致形狀．
[解]　當(dāng)2＜x＜3時，f ′(x)＜0，可知函數(shù)在此區(qū)間上單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞3或x＜2時，f ′(x)＞0，可知函數(shù)在這兩個區(qū)間上單調(diào)遞增；
當(dāng)x＝3或x＝2時，f ′(x)＝0，可知在這兩點處的兩側(cè)，函數(shù)單調(diào)性發(fā)生改變．
綜上可畫出函數(shù)f (x)圖象的大致形狀，如圖所示(答案不唯一)．
10．函數(shù)f (x)＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c為實數(shù)，當(dāng)a2－3b＜0時，f (x)是(　　)
A．增函數(shù)
B．減函數(shù)
C．常數(shù)函數(shù)
D．既不是增函數(shù)也不是減函數(shù)
A　[求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f ′(x)＝3x2＋2ax＋b，導(dǎo)函數(shù)對應(yīng)方程f ′(x)＝0的Δ＝4(a2－3b)＜0，所以f ′(x)＞0恒成立，故f (x)是增函數(shù)．]
11．(多選)已知函數(shù)f (x)＝(x2－4x＋1)ex，則函數(shù)f (x)在下列區(qū)間上單調(diào)遞增的是(　　)
A．(－1，0) B．(－2，－1)
C．(－1，3) D．(3，4)
BD　[f ′(x)＝(2x－4)ex＋(x2－4x＋1)ex＝(x2－2x－3)ex，令f ′(x)＞0，可得x2－2x－3＞0，解得x＜－1或x＞3，所以f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，－1)，(3，＋∞)，
所以f (x)在(－2，－1)與(3，4)上單調(diào)遞增．故選BD．]
12．已知函數(shù)f (x)＝2x－ln |x|，則f (x)的大致圖象為(　　)
A　　　 B　　　　 C　　　　　D
A　[當(dāng)x＜0時，f (x)＝2x－ln (－x)，f ′(x)＝2－·(－1)＝2－＞0，所以f (x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，則B，D錯誤；
當(dāng)x＞0時，f (x)＝2x－ln x，f ′(x)＝2－＝，則f (x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以A正確，故選A．]
13．函數(shù)f (x)＝e2x－2(x＋2)的單調(diào)遞增區(qū)間為________．
(0，＋∞)　[f (x)＝e2x－2x－4，求導(dǎo)得f ′(x)＝2e2x－2，令f ′(x)＞0，解得x∈(0，＋∞)，所以f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)．]
14．已知函數(shù)f (x)＝－1．
(1)求函數(shù)在點(1，f (1))處的切線方程；
(2)試判斷函數(shù)f (x)的單調(diào)性．
[解]　(1)由題可知，f ′(x)＝，所以f ′(1)＝1，f (1)＝－1．
∴函數(shù)在點(1，f (1))處的切線方程為y－(－1)＝x－1，即y＝x－2．
(2)因為函數(shù)的定義域為(0，＋∞)且f ′(x)＝，
令f ′(x)＝＞0，得0＜x＜e，令f ′(x)＝＜0，得x＞e，
因此函數(shù)f (x)在區(qū)間(0，e)上單調(diào)遞增，在(e，＋∞)上單調(diào)遞減．
15．(多選)若函數(shù)f (x)在定義域D內(nèi)的某個區(qū)間I上是單調(diào)遞增函數(shù)，且F(x)＝在區(qū)間I上也是單調(diào)遞增函數(shù)，則稱y＝f (x)是I上的“一致遞增函數(shù)”．已知f (x)＝x＋，若函數(shù)f (x)是區(qū)間I上的“一致遞增函數(shù)”，則區(qū)間I可能是(　　)
A．(－∞，－2) B．(－∞，0)
C．(0，＋∞) D．(2，＋∞)
AD　[f (x)＝x＋，
則f ′(x)＝．
F(x)＝＝1＋，則F′(x)＝，
當(dāng)x∈(－∞，－2)時，f ′(x)＝＞＞0，函數(shù)f (x)單調(diào)遞增，
F′(x)＝＞0，函數(shù)F(x)單調(diào)遞增，故A滿足；
f ′＝＜0，故B不滿足；
F′(1)＝－e＜0，故C不滿足；
當(dāng)x∈(2，＋∞)時，f ′(x)＝＞0，函數(shù)f (x)單調(diào)遞增，F(xiàn)′(x)＝＞0，函數(shù)F(x)單調(diào)遞增．故D滿足．故選AD．]
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第1課時　函數(shù)的單調(diào)性
第五章　一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
5.3　導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用
5.3.1　函數(shù)的單調(diào)性
整體感知
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1．理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系．(數(shù)學(xué)抽象)
2．掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法．(數(shù)學(xué)運算)
3．對于多項式函數(shù)，能求不超過三次的多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
(教師用書)
如圖為某市一天內(nèi)的氣溫變化圖：
(1)觀察這個氣溫變化圖，說出氣溫在這一天內(nèi)的變化情況．
(2)怎樣用數(shù)學(xué)語言刻畫在這一天內(nèi)“隨著時間的推移，氣溫逐漸升高或下降”這一特征？
問題：觀察圖形，你能得到什么信息？
[討論交流]　
問題1．函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系？
問題2．函數(shù)值變化快慢與導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系？
[自我感知]　經(jīng)過認(rèn)真的預(yù)習(xí)，結(jié)合對本節(jié)課的理解和認(rèn)知，請畫出本節(jié)課的知識邏輯體系．
探究建構(gòu)
探究1　利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷單調(diào)性
探究問題1　已知函數(shù)：(1)y＝2x－1，(2)y＝－3x，(3)y＝2x，它們的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與它們的單調(diào)性之間有怎樣的關(guān)系？
[提示]　(1)y′＝2＞0，y＝2x－1是增函數(shù)．
(2)y′＝－3＜0，y＝－3x是減函數(shù)．
(3)y′＝2x ln 2＞0，y＝2x是增函數(shù)．
探究問題2　如果函數(shù)f (x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有無數(shù)個點滿足f ′(x)＞0，能認(rèn)為f (x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增嗎？
[提示]　不能，無數(shù)不代表任意，所以有可能在某點處導(dǎo)數(shù)為負(fù)．
[新知生成]
函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系
定義在區(qū)間(a，b)內(nèi)的函數(shù)y＝f (x)：
f ′(x)的正負(fù) f (x)的單調(diào)性
f ′(x)＞0 單調(diào)遞__
f ′(x)＜0 單調(diào)遞__
增
減
【教用·微提醒】　(1)f ′(x)＞0(f ′(x)＜0)是函數(shù)在(a，b)上單調(diào)遞增(遞減)的充分條件．
(2)f ′(x)＝0在某個區(qū)間內(nèi)恒成立時，該區(qū)間內(nèi)f (x)為常函數(shù)．
【鏈接·教材例題】
例1　利用導(dǎo)數(shù)判斷下列函數(shù)的單調(diào)性：
(1) f (x)＝x3＋3x；
(2) f (x)＝sin x－x，x∈(0，π)；
(3) f (x)＝．
[解]　(1)因為f (x)＝x3＋3x，所以f ′(x)＝3x2＋3＝3(x2＋1)＞0．
所以，函數(shù)f (x)＝x3＋3x在R上單調(diào)遞增，如圖5.3-4(1)所示．
(2)因為f (x)＝sin x－x，x∈(0，π)，所以
f ′(x)＝cos x－1＜0．
所以，函數(shù)f (x)＝sin x－x在(0，π)內(nèi)單調(diào)遞減，如圖5.3-4(2)所示．
(3)因為f (x)＝1－，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以f ′(x)＝＞0．
所以，函數(shù)f (x)＝在區(qū)間(－∞，0)和(0，＋∞)上單調(diào)遞增，
如圖5.3-4(3)所示．
[典例講評]　1．利用導(dǎo)數(shù)判斷下列函數(shù)的單調(diào)性：
(1) f (x)＝x3－x2＋2x－5；(2)f (x)＝x－－ln x．
[解]　(1)因為f (x)＝x3－x2＋2x－5，所以f ′(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0，所以函數(shù)f (x)＝x3－x2＋2x－5在R上單調(diào)遞增．
(2)因為f (x)＝x－－ln x，x∈(0，＋∞)，
所以f ′(x)＝1＋＝＝＞0，所以f (x)＝x－－ln x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．
反思領(lǐng)悟　利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟
(1)確定函數(shù)的定義域．
(2)求導(dǎo)數(shù)f ′(x)．
(3)確定f ′(x)在定義域內(nèi)的符號，在此過程中，需要對導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行通分、因式分解等變形．
(4)得出結(jié)論．
[學(xué)以致用]　1．下列函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減的是(　　)
A．y＝xex　　　　　 B．y＝x3－3x2
C．y＝ln x－x　　 D．y＝x－ex
√
D　[當(dāng)x＞0時，函數(shù)y＝xex的導(dǎo)函數(shù)y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)＞0，故函數(shù)在(0，
＋∞)上單調(diào)遞增；函數(shù)y＝x3－3x2的導(dǎo)函數(shù)y′＝3x2－6x＝3x(x－2)，故函數(shù)在(0，2)上單調(diào)遞減，在(2，＋∞)上單調(diào)遞增；令y＝ln x－x的導(dǎo)函數(shù)y′＝－1＝＞0，解得x＜1，所以函數(shù)y＝ln x－x在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減；函數(shù)y＝x－ex的導(dǎo)函數(shù)y′＝1－ex，在(0，＋∞)上y′＝1－ex＜0，所以y＝x－ex在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．故選D．]
【鏈接·教材例題】
例3　求函數(shù)f (x)＝x3－x2－2x＋1的單調(diào)區(qū)間．
探究2　利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
[解]　函數(shù)f (x)＝x3－x2－2x＋1的定義域為R．對f (x)求導(dǎo)數(shù)，得
f ′(x)＝x2－x－2＝(x＋1)(x－2)．
令f ′(x)＝0，解得
x＝－1，或x＝2．
x＝－1和x＝2把函數(shù)定義域劃分成三個區(qū)間，f ′(x)在各區(qū)間上的正負(fù)，以及f (x)的單調(diào)性如表5.3-1所示．
表5.3-1
x (－∞，－1) －1 (－1，2) 2 (2，＋∞)
f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f (x) 單調(diào) 遞增 f (－1)＝ 單調(diào) 遞減 f (2)＝－ 單調(diào)
遞增
所以，f (x)在(－∞，－1)和(2，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－1，2)內(nèi)單調(diào)遞減，如圖5.3-6所示．
[典例講評]　2．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：
(1)f (x)＝x2－ln x；
(2)f (x)＝2x3＋3x2－36x＋1．
[思路導(dǎo)引]　根據(jù)函數(shù)解析式求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間．
[解]　(1)函數(shù)定義域為(0，＋∞)，且f ′(x)＝2x－．
令f ′(x)>0，即2x－>0，解得x>；
令f ′(x)<0，即2x－<0，解得0故函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．
(2)f ′(x)＝6x2＋6x－36＝6(x＋3)(x－2)．
令f ′(x)＝0，解得x＝－3或x＝2，x＝－3和x＝2把函數(shù)的定義域劃分為三個區(qū)間，f ′(x)在各個區(qū)間上的正負(fù)以及f (x)的單調(diào)性如表，
x (－∞，－3) －3 (－3，2) 2 (2，＋∞)
f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f (x) 單調(diào)遞增 f (－3) 單調(diào)遞減 f (2) 單調(diào)遞增
故f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，－3)，(2，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－3，2)．
【教用·備選題】　求函數(shù)f (x)＝x3－2x2＋x－1的單調(diào)區(qū)間．
[解]　對函數(shù)求導(dǎo)得f ′(x)＝3x2－4x＋1．
令f ′(x)＝3x2－4x＋1＞0，則x＜或x＞1，
因此，函數(shù)f (x)＝x3－2x2＋x－1在區(qū)間和(1，＋∞)上單調(diào)遞增．
令f ′(x)＝3x2－4x＋1＜0，則＜x＜1，
因此，函數(shù)f (x)＝x3－2x2＋x－1在區(qū)間上單調(diào)遞減．
反思領(lǐng)悟　利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟
(1)確定函數(shù)y＝f (x)的定義域．
(2)求出導(dǎo)數(shù)f ′(x)的零點．
(3)用f ′(x)的零點將f (x)的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出f ′(x)在各區(qū)間上的正負(fù)，進(jìn)而求出單調(diào)區(qū)間．
[學(xué)以致用]　2．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：
(1)f (x)＝x2·e－x；(2)f (x)＝x＋．
[解]　(1)函數(shù)的定義域為(－∞，＋∞)．
∵f ′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′＝2xe－x－x2e－x＝e－x(2x－x2)，令f ′(x)＝0，由于e－x＞0，∴x1＝0，x2＝2，用x1，x2分割定義域，如表所示：
x (－∞，0) 0 (0，2) 2 (2，＋∞)
f ′(x) － 0 ＋ 0 －
f (x) 單調(diào)遞減 f (0) 單調(diào)遞增 f (2) 單調(diào)遞減
∴f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0)和(2，＋∞)，單調(diào)遞增區(qū)間為(0，2)．
(2)函數(shù)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)．
∵f ′(x)＝1－，令f ′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1，用x1，x2分割定義域，如表所示：
x (－∞，－1) －1 (－1，0) (0，1) 1 (1，＋∞)
f ′(x) ＋ 0 － － 0 ＋
f (x) 單調(diào)遞增 f (－1) 單調(diào)遞減 單調(diào)遞減 f (1) 單調(diào)遞增
∴函數(shù)f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－1，0)和(0，1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1)和(1，＋∞)．
【鏈接·教材例題】
例2　已知導(dǎo)函數(shù)f ′(x)的下列信息：
當(dāng)1＜x＜4時，f ′(x)＞0；
當(dāng)x＜1，或x＞4時，f ′(x)＜0；
當(dāng)x＝1，或x＝4時，f ′(x)＝0．
試畫出函數(shù)f (x)圖象的大致形狀．
探究3　導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)聯(lián)圖象
[解]　當(dāng)1＜x＜4時，f ′(x)＞0，可知f (x)在區(qū)間(1，4)內(nèi)單調(diào)遞增；
當(dāng)x＜1，或x＞4時，f ′(x)＜0，可知f (x)在區(qū)間(－∞，1)和(4，＋∞)上都單調(diào)遞減；
當(dāng)x＝1，或x＝4時，f ′(x)＝0，這兩點比較特殊，
我們稱它們?yōu)椤胺€(wěn)定點”．
綜上，函數(shù)f (x)圖象的大致形狀如圖5.3-5所示．
【鏈接·教材例題】
例4　設(shè)x＞0，f (x)＝ln x，g(x)＝1－，兩個函數(shù)的圖象如圖5.3-8所示．判斷f (x)，g(x)的圖象與C1，C2之間的對應(yīng)關(guān)系．
[解]　因為f (x)＝ln x，g(x)＝1－，所以f ′(x)＝，g′(x)＝．
當(dāng)x＝1時，f ′(x)＝g′(x)＝1；
當(dāng)0＜x＜1時，g′(x)＞f ′(x)＞1；
當(dāng)x＞1時，0＜g′(x)＜f ′(x)＜1．
所以，f (x)，g(x)在(0，＋∞)上都是增函數(shù)．在區(qū)間(0，1)內(nèi)，g(x)的圖象比f (x)的圖象要“陡峭”；在區(qū)間(1，＋∞)上，g(x)的圖象比f (x)的圖象要“平緩”．
所以，f (x)，g(x)的圖象依次
是圖5.3-8中的C2，C1．
[典例講評]　3．(1)已知函數(shù)f (x)的導(dǎo)函數(shù)f ′(x)的圖象如圖所示，那么函數(shù)f (x)的圖象最有可能是(　　)
A　　　　 B　　　　C　　　　 D
(2)函數(shù)f (x)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)f ′(x)的圖象可能為(　　)
A　　　　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　　D
√
√
(1)A　(2)C　[(1)當(dāng)x＜－2時，f ′(x)＜0，則f (x)單調(diào)遞減；當(dāng)－2＜x＜0時，f ′(x)＞0，則f (x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>0時，f ′(x)<0，則f (x)單調(diào)遞減．
則符合上述條件的只有選項A．故選A．
(2)由f (x)的圖象知，當(dāng)x∈(－∞，1)時，f (x)單調(diào)遞減，f ′(x)＜0；
當(dāng)x∈(1，4)時，f (x)單調(diào)遞增，f ′(x)＞0；
當(dāng)x∈(4，＋∞)時，f (x)單調(diào)遞減，f ′(x)＜0．
由選項各圖知，選項C符合題意．故選C．]
反思領(lǐng)悟　(1)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)看原函數(shù)的增減．
①觀察原函數(shù)的圖象，重在找出“上升”“下降”產(chǎn)生變化的點，分析函數(shù)值的變化趨勢．
②觀察導(dǎo)函數(shù)的圖象，重在找出導(dǎo)函數(shù)圖象與x軸的交點，分析導(dǎo)數(shù)的正負(fù)．
(2)導(dǎo)函數(shù)的絕對值大小決定原函數(shù)增減快慢．
某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較大，那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化得較快，這時函數(shù)的圖象就比較“陡峭”(向上或向下)；反之，函數(shù)的圖象就比較“平緩”．
(3)解決問題時，要分清是原函數(shù)圖象還是導(dǎo)函數(shù)圖象．
[學(xué)以致用]　3．設(shè)函數(shù)y＝f (x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y＝f (x)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y＝f ′(x)的圖象可能為(　　)
A　　　　　　　　B　　　　 　C　　　　 　　　D
√
D　[由題中函數(shù)f (x)的圖象可知，函數(shù)f (x)在(－∞，0)上先增后減，所以其對應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)符號先正后負(fù)，在y軸左側(cè)導(dǎo)函數(shù)的圖象由左上到右下穿過x軸；當(dāng)x∈(0，＋∞)時，f (x)單調(diào)遞減，所以x∈(0，＋∞)時，f ′(x)＜0，只有D選項符合條件．故選D．]
2
4
3
題號
1
應(yīng)用遷移
1．f ′(x)是f (x)的導(dǎo)函數(shù)，f ′(x)的圖象如圖所示，則f (x)的圖象只可能是(　　)
A　　　　　　　　B　　　　 　C　　　　 　　 　D
√
A　[由f ′(x)圖象可知f ′(0)＝0，f ′(2)＝0，f (x)在區(qū)間[0，2]上的增長速度先快后慢，A選項符合．故選A．]
2
3
題號
1
4
2．命題甲：對任意x∈(a，b)，有f ′(x)＞0；命題乙：f (x)在(a，b)內(nèi)是單調(diào)遞增的，則甲是乙的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
√
A　[例如，f (x)＝x3在(－1，1)內(nèi)是單調(diào)遞增的，但f ′(x)＝3x2≥0(－1＜x＜1)，故甲是乙的充分不必要條件．故選A．]
2
3
題號
4
1
3．下列函數(shù)中，在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增的是(　　)
A．y＝sin x　　 B．y＝xe2
C．y＝x3－x　　 D．y＝ln x－x
B　[對于B，y＝xe2，則y′＝e2，
∴y＝xe2在R上為增函數(shù)，在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增．其他選項可同理逐一求導(dǎo)排除．故選B．]
√
2
4
3
題號
1
4．函數(shù)y＝ln (x2－x－2)的單調(diào)遞減區(qū)間為_____________．
(－∞，－1)　[函數(shù)y＝ln (x2－x－2)的定義域為(－∞，－1)∪(2，＋∞)，令f (x)＝x2－x－2，f ′(x)＝2x－1＜0，得x＜，
∴函數(shù)y＝ln (x2－x－2)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－1)．]
(－∞，－1)
1．知識鏈：(1)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．
(2)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性．
(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
(4)原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系．
2．方法鏈：方程思想、分類討論．
3．警示牌：忽略定義域的限制而出錯．
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
1．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的思路是怎樣的？
[提示]　利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性一般通過解不等式的方法完成，其步驟為：①確定函數(shù)f (x)的定義域；②求導(dǎo)函數(shù)f ′(x)；③解不等式f ′(x)>0(或f ′(x)<0)，并寫出解集；④根據(jù)③的結(jié)果確定函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間．
2．原函數(shù)圖象與導(dǎo)函數(shù)圖象之間有何關(guān)系？
[提示]　導(dǎo)函數(shù)f ′(x)圖象在x軸上方時對應(yīng)的自變量的取值區(qū)間為原函數(shù)f (x)圖象上升部分對應(yīng)的區(qū)間(單調(diào)遞增區(qū)間)，導(dǎo)函數(shù)f ′(x)圖象在x軸下方時對應(yīng)的自變量的取值區(qū)間為原函數(shù)f (x)圖象下降部分對應(yīng)的區(qū)間(單調(diào)遞減區(qū)間)．
一、選擇題
1．函數(shù)y＝x3－x2－x的單調(diào)遞增區(qū)間為(　　)
A．和(1，＋∞) B．
C．∪(1，＋∞) D．
課時分層作業(yè)(十八)　函數(shù)的單調(diào)性
題號
1
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√
14
15
A　[由題意知，y′＝3x2－2x－1(x∈R)．由y′＞0可解得x＜－或x＞1，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和(1，＋∞)．故選A．]
題號
2
1
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2．函數(shù)y＝x ln x在(0，5)上的單調(diào)性是(　　)
A．單調(diào)遞增
B．單調(diào)遞減
C．在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
D．在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
√
14
15
C　[由已知得函數(shù)y＝x ln x的定義域為(0，＋∞)．
y′＝ln x＋1，令y′＞0，得x＞；令y′＜0，得0＜x＜．∴函數(shù)y＝x ln x在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．]
A　　　　　　　　B　　　　 　C　　　　 　　 　D
題號
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1
3．設(shè)函數(shù)f (x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y＝f (x)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y＝f ′(x)的圖象可能為(　　)
√
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題號
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D　[觀察函數(shù)f (x)的圖象得：f (x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，在(0，
＋∞)上先單調(diào)遞增，再單調(diào)遞減，后又單調(diào)遞增，則當(dāng)x∈(－∞，0)時，f ′(x)＞0，即當(dāng)x∈(－∞，0)時，函數(shù)y＝f ′(x)的圖象在x軸上方，于是排除A，C．當(dāng)x∈(0，＋∞)時，f ′(x)的值先大于0，接著變?yōu)樾∮?，之后又變?yōu)榇笥?，即當(dāng)x∈(0，＋∞)時，函數(shù)y＝f ′(x)的圖象先在x軸上方，接著變化到x軸下方，最后又變到x軸上方，于是排除B，選項D相符．故選D．]
題號
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1
4．(多選)下列函數(shù)在定義域上為增函數(shù)的有(　　)
A．f (x)＝x－　　 B．f (x)＝xex
C．f (x)＝x＋sin x　　 D．f (x)＝ex－e－x－2x
√
14
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√
題號
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CD　[根據(jù)題意，依次分析選項．對于A，f (x)＝x－，有f (－1)＝
f (1)＝0，則f (x)在其定義域上不是單調(diào)函數(shù)，不符合題意；對于B，f (x)＝xex，其導(dǎo)數(shù)f ′(x)＝xex＋ex＝(x＋1)ex，在區(qū)間(－∞，－1)上，
f ′(x)＜0，則f (x)單調(diào)遞減，不符合題意；對于C，f (x)＝x＋sin x，其導(dǎo)數(shù)f ′(x)＝1＋cos x≥0，則f (x)在定義域上為增函數(shù)，符合題意；對于D，f (x)＝ex－e－x－2x，其導(dǎo)數(shù)f ′(x)＝ex＋e－x－2≥0，則f (x)在定義域上為增函數(shù)，符合題意．故選CD．]
題號
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1
5．(多選)函數(shù)f (x)＝(x－3)ex在下列區(qū)間上單調(diào)遞增的是(　　)
A．(－∞，2)　　 B．(0，3)
C．(3，4)　　 D．(2，＋∞)
√
14
15
CD　[∵f ′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，
由f ′(x)＞0，得(x－2)ex＞0，∴x＞2．
∴f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2，＋∞)，CD符合．]
√
題號
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1
二、填空題
6．已知函數(shù)f (x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f ′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間是_________________________．
14
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(－1，2)，(4，＋∞)
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(－1，2)，(4，＋∞)　[由題圖可知，在區(qū)間(－1，2)，(4，＋∞)上，f ′(x)＞0；在區(qū)間(－∞，－1)，(2，4)上，f ′(x)＜0．
由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可得，函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－1，2)，(4，＋∞)．]
題號
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1
7．已知m是實數(shù)，函數(shù)f (x)＝x2(x－m)，若f ′(－1)＝－1，則函數(shù)f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間是____________．
14
15
　[f ′(x)＝2x(x－m)＋x2，因為f ′(－1)＝－1，所以－2(－1－m)＋1＝－1，解得m＝－2，令f ′(x)＝2x(x＋2)＋x2＜0，解得－＜x＜0，則函數(shù)f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間是．]
題號
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1
8．函數(shù)f (x)＝x2－5x＋2ln (2x)的單調(diào)遞增區(qū)間是_______________．
14
15
，(2，＋∞)　[f (x)的定義域是(0，＋∞)，f ′(x)＝，由f ′(x)＞0，得x＞2或0＜x＜，故f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，(2，＋∞)．]
，(2，＋∞)
題號
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1
三、解答題
9．已知導(dǎo)函數(shù)f ′(x)的下列信息：
當(dāng)2＜x＜3時，f ′(x)＜0；
當(dāng)x＞3或x＜2時，f ′(x)＞0；
當(dāng)x＝3或x＝2時，f ′(x)＝0；
試畫出函數(shù)f (x)圖象的大致形狀．
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題號
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[解]　當(dāng)2＜x＜3時，f ′(x)＜0，可知函數(shù)在此區(qū)間上單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞3或x＜2時，f ′(x)＞0，可知函數(shù)在這兩個區(qū)間上單調(diào)遞增；
當(dāng)x＝3或x＝2時，f ′(x)＝0，可知在這兩點處的兩側(cè)，函數(shù)單調(diào)性發(fā)生改變．
綜上可畫出函數(shù)f (x)圖象的大致形狀，如圖所示(答案不唯一)．
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題號
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1
10．函數(shù)f (x)＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c為實數(shù)，當(dāng)a2－3b＜0時，f (x)是(　　)
A．增函數(shù) B．減函數(shù)
C．常數(shù)函數(shù) D．既不是增函數(shù)也不是減函數(shù)
√
14
15
A　[求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f ′(x)＝3x2＋2ax＋b，導(dǎo)函數(shù)對應(yīng)方程f ′(x)＝0的Δ＝4(a2－3b)＜0，所以f ′(x)＞0恒成立，故f (x)是增函數(shù)．]
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11．(多選)已知函數(shù)f (x)＝(x2－4x＋1)ex，則函數(shù)f (x)在下列區(qū)間上單調(diào)遞增的是(　　)
A．(－1，0)　　 B．(－2，－1)
C．(－1，3)　　 D．(3，4)
√
14
15
BD　[f ′(x)＝(2x－4)ex＋(x2－4x＋1)ex＝(x2－2x－3)ex，令f ′(x)＞0，可得x2－2x－3＞0，解得x＜－1或x＞3，所以f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，－1)，(3，＋∞)，所以f (x)在(－2，－1)與(3，4)上單調(diào)遞增．故選BD．]
√
12．已知函數(shù)f (x)＝2x－ln |x|，則f (x)的大致圖象為(　　)
A　　 　 B　　　 　 C　　 　　D
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1
A　[當(dāng)x＜0時，f (x)＝2x－ln (－x)，f ′(x)＝2－·(－1)＝2－＞0，所以f (x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，則B，D錯誤；
當(dāng)x＞0時，f (x)＝2x－ln x，f ′(x)＝2－＝，則f (x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以A正確，故選A．]
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1
13．函數(shù)f (x)＝e2x－2(x＋2)的單調(diào)遞增區(qū)間為___________．
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(0，＋∞)　[f (x)＝e2x－2x－4，求導(dǎo)得f ′(x)＝2e2x－2，令f ′(x)＞0，解得x∈(0，＋∞)，所以f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)．]
(0，＋∞)
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14．已知函數(shù)f (x)＝－1．
(1)求函數(shù)在點(1，f (1))處的切線方程；
(2)試判斷函數(shù)f (x)的單調(diào)性．
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1
[解]　(1)由題可知，f ′(x)＝，所以f ′(1)＝1，f (1)＝－1．
∴函數(shù)在點(1，f (1))處的切線方程為y－(－1)＝x－1，即y＝x－2．
(2)因為函數(shù)的定義域為(0，＋∞)且f ′(x)＝，
令f ′(x)＝＞0，得0＜x＜e，令f ′(x)＝＜0，得x＞e，
因此函數(shù)f (x)在區(qū)間(0，e)上單調(diào)遞增，在(e，＋∞)上單調(diào)遞減
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15．(多選)若函數(shù)f (x)在定義域D內(nèi)的某個區(qū)間I上是單調(diào)遞增函數(shù)，且F(x)＝在區(qū)間I上也是單調(diào)遞增函數(shù)，則稱y＝f (x)是I上的“一致遞增函數(shù)”．已知f (x)＝x＋，若函數(shù)f (x)是區(qū)間I上的“一致遞增函數(shù)”，則區(qū)間I可能是(　　)
A．(－∞，－2)　　 B．(－∞，0)
C．(0，＋∞)　　 D．(2，＋∞)
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√
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1
AD　[f (x)＝x＋，
則f ′(x)＝．
F(x)＝＝1＋，則F′(x)＝，
當(dāng)x∈(－∞，－2)時，f ′(x)＝＞＞0，函數(shù)f (x)單調(diào)遞增，
F′(x)＝＞0，函數(shù)F(x)單調(diào)遞增，故A滿足；
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f ′＝＜0，故B不滿足；
F′(1)＝－e＜0，故C不滿足；
當(dāng)x∈(2，＋∞)時，f ′(x)＝＞0，函數(shù)f (x)單調(diào)遞增，F(xiàn)′(x)＝＞0，函數(shù)F(x)單調(diào)遞增．故D滿足．故選AD．]
14
15
THANKS5.3　導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用
5.3.1　函數(shù)的單調(diào)性
第1課時　函數(shù)的單調(diào)性
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1．理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系．(數(shù)學(xué)抽象)
2．掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法．(數(shù)學(xué)運算)
3．對于多項式函數(shù)，能求不超過三次的多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
[討論交流]　
問題1．函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系？
問題2．函數(shù)值變化快慢與導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系？
[自我感知]　經(jīng)過認(rèn)真的預(yù)習(xí)，結(jié)合對本節(jié)課的理解和認(rèn)知，請畫出本節(jié)課的知識邏輯體系．
探究1　利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷單調(diào)性
探究問題1　已知函數(shù)：(1)y＝2x－1，(2)y＝－3x，(3)y＝2x，它們的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與它們的單調(diào)性之間有怎樣的關(guān)系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究問題2　如果函數(shù)f (x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有無數(shù)個點滿足f ′(x)＞0，能認(rèn)為f (x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系
定義在區(qū)間(a，b)內(nèi)的函數(shù)y＝f (x)：
f ′(x)的正負(fù) f (x)的單調(diào)性
f ′(x)＞0 單調(diào)遞________
f ′(x)＜0 單調(diào)遞________
[典例講評]　1．利用導(dǎo)數(shù)判斷下列函數(shù)的單調(diào)性：
(1)f (x)＝x3－x2＋2x－5；
(2)f (x)＝x－－ln x．
[嘗試解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟
(1)確定函數(shù)的定義域．
(2)求導(dǎo)數(shù)f ′(x)．
(3)確定f ′(x)在定義域內(nèi)的符號，在此過程中，需要對導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行通分、因式分解等變形．
(4)得出結(jié)論．
[學(xué)以致用]　1．下列函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減的是(　　)
A．y＝xex　　　　　 B．y＝x3－3x2
C．y＝ln x－x D．y＝x－ex
探究2　利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
[典例講評]　2．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：
(1)f (x)＝x2－ln x；
(2)f (x)＝2x3＋3x2－36x＋1．
[思路導(dǎo)引]　根據(jù)函數(shù)解析式求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間．
[嘗試解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟
(1)確定函數(shù)y＝f (x)的定義域．
(2)求出導(dǎo)數(shù)f ′(x)的零點．
(3)用f ′(x)的零點將f (x)的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出f ′(x)在各區(qū)間上的正負(fù)，進(jìn)而求出單調(diào)區(qū)間．
[學(xué)以致用]　2．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：
(1)f (x)＝x2·e－x；
(2)f (x)＝x＋．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究3　導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)聯(lián)圖象
[典例講評]　3．(1)已知函數(shù)f (x)的導(dǎo)函數(shù)f ′(x)的圖象如圖所示，那么函數(shù)f (x)的圖象最有可能是(　　)
A　　　　 B　　　　　C　　　　 D
(2)函數(shù)f (x)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)f ′(x)的圖象可能為(　　)
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
[嘗試解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　(1)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)看原函數(shù)的增減．
①觀察原函數(shù)的圖象，重在找出“上升”“下降”產(chǎn)生變化的點，分析函數(shù)值的變化趨勢．
②觀察導(dǎo)函數(shù)的圖象，重在找出導(dǎo)函數(shù)圖象與x軸的交點，分析導(dǎo)數(shù)的正負(fù)．
(2)導(dǎo)函數(shù)的絕對值大小決定原函數(shù)增減快慢．
某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較大，那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化得較快，這時函數(shù)的圖象就比較“陡峭”(向上或向下)；反之，函數(shù)的圖象就比較“平緩”．
(3)解決問題時，要分清是原函數(shù)圖象還是導(dǎo)函數(shù)圖象．
[學(xué)以致用]　3．設(shè)函數(shù)y＝f (x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y＝f (x)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y＝f ′(x)的圖象可能為(　　)
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
1．f ′(x)是f (x)的導(dǎo)函數(shù)，f ′(x)的圖象如圖所示，則f (x)的圖象只可能是(　　)
A　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　D
2．命題甲：對任意x∈(a，b)，有f ′(x)＞0；命題乙：f (x)在(a，b)內(nèi)是單調(diào)遞增的，則甲是乙的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
3．下列函數(shù)中，在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增的是(　　)
A．y＝sin x B．y＝xe2
C．y＝x3－x D．y＝ln x－x
4．函數(shù)y＝ln (x2－x－2)的單調(diào)遞減區(qū)間為________．
1．知識鏈：(1)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．
(2)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性．
(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
(4)原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系．
2．方法鏈：方程思想、分類討論．
3．警示牌：忽略定義域的限制而出錯．
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第2課時　函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
第五章　一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
5.3　導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用
5.3.1　函數(shù)的單調(diào)性
整體感知
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1．進(jìn)一步理解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和其單調(diào)性的關(guān)系．(數(shù)學(xué)運算)
2．能求簡單的含參的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍．(數(shù)學(xué)運算)
(教師用書)
請大家解這樣一個關(guān)于x的一元一次不等式：ax－2＞0，根據(jù)不等式的性質(zhì)可知，我們無法直接進(jìn)行求解，它依賴于a的符號，于是我們分類討論進(jìn)行求解如下：當(dāng)a＞0時，得x＞；當(dāng)a＝0時，x無解；當(dāng)a＜0時，得x＜，參數(shù)的存在不僅對解不等式有影響，對于一些函數(shù)的單調(diào)性也有影響，如何解答含參函數(shù)的單調(diào)性問題，今天我們就來探究一下．
[討論交流]　
問題1．若函數(shù)f (x)為可導(dǎo)函數(shù)，且在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增(或遞減)，則f ′(x)滿足什么條件？
問題2．對于函數(shù)y＝f (x)，f ′(x)≥0是f (x)為增函數(shù)的充要條件嗎？
[自我感知]　經(jīng)過認(rèn)真的預(yù)習(xí)，結(jié)合對本節(jié)課的理解和認(rèn)知，請畫出本節(jié)課的知識邏輯體系．
探究建構(gòu)
探究1　討論含參函數(shù)的單調(diào)性
[典例講評]　1．已知函數(shù)f (x)＝ln x－ax2＋(1－a)x＋a(a∈R)，判斷函數(shù)f (x)的單調(diào)性．
[解]　函數(shù)f (x)的定義域為(0，＋∞)，
f ′(x)＝－ax＋1－a＝＝．
當(dāng)a≤0時，f ′(x)＞0，函數(shù)f (x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．
當(dāng)a＞0時，令f ′(x)＞0，解得0＜x＜，則f (x)在上單調(diào)遞增；
令f ′(x)＜0，解得x＞，則f (x)在上單調(diào)遞減．
綜上，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f (x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a＞0時，函數(shù)f (x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
反思領(lǐng)悟　(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進(jìn)行分類討論．
(2)劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，要在函數(shù)的定義域內(nèi)討論，還要確定導(dǎo)數(shù)為0的點和函數(shù)的間斷點．
【教用·備選題】　已知函數(shù)f (x)＝x3＋ax2－3a2x＋1(a≤0)．試求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間．
[解]　f ′(x)＝x2＋2ax－3a2＝(x＋3a)(x－a)，且x∈(－∞，＋∞)．
當(dāng)a＝0時，f ′(x)＝x2≥0，此時f (x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增．
當(dāng)a＜0，x∈(－∞，a)時，f ′(x)＞0，此時f (x)單調(diào)遞增；
x∈(a，－3a)時，f ′(x)＜0，此時f (x)單調(diào)遞減；
x∈(－3a，＋∞)時，f ′(x)＞0，此時f (x)單調(diào)遞增．
綜上，當(dāng)a＝0時，函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞)，無單調(diào)遞減區(qū)間；
當(dāng)a＜0時，函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，a)，(－3a，＋∞)；
函數(shù)f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(a，－3a)．
[學(xué)以致用]　1．求函數(shù)f (x)＝＋a ln x(a∈R)的單調(diào)遞減區(qū)間．
[解]　易得函數(shù)f (x)的定義域是(0，＋∞)，
f ′(x)＝－＝．
①當(dāng)a≤0時，f ′(x)＜0在(0，＋∞)上恒成立，
故f (x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．
②當(dāng)a＞0時，若0＜x＜，則f ′(x)＜0；
若x＞，則f ′(x)＞0，
所以f (x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
綜上可知，當(dāng)a≤0時，f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，＋∞)，當(dāng)a＞0時，f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為．
探究2　根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍
探究問題1　如果函數(shù)y＝f (x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增，則f ′(x)有什么特點？
[提示]　f ′(x)≥0，但f ′(x)不可以恒為0．
探究問題2　如果函數(shù)y＝f (x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則
f ′(x)有什么特點？
[提示]　f ′(x)＞0有解．
[新知生成]
導(dǎo)數(shù)的符號與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系
(1)在某區(qū)間D上，若f ′(x)＞0 函數(shù)f (x)在D上________；在某區(qū)間D上，若f ′(x)＜0 函數(shù)f (x)在D上________．
(2)若函數(shù)f (x)在D上單調(diào)遞增 f ′(x)≥0；若函數(shù)f (x)在D上單調(diào)遞減 _________．需要檢驗f ′(x)＝0不能恒成立．
(3)若函數(shù)f (x)在D上存在單調(diào)遞增區(qū)間 f ′(x)＞0有解．
若函數(shù)f (x)在D上存在單調(diào)遞減區(qū)間 ______________．
單調(diào)遞增
單調(diào)遞減
f ′(x)≤0
f ′(x)＜0有解
【教用·微提醒】　(1)單調(diào)區(qū)間可以寫成閉區(qū)間，我們習(xí)慣上寫成開區(qū)間．
(2)注意以下區(qū)別：若單調(diào)遞增，則f ′(x)≥0恒成立；若存在單調(diào)遞增區(qū)間，則f ′(x)＞0能成立．
[典例講評]　2．已知函數(shù)f (x)＝x3－ax－1為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．
[思路導(dǎo)引]　→→
[解]　由已知得f ′(x)＝3x2－a，
因為f (x)在R上是增函數(shù)，
所以f ′(x)＝3x2－a≥0在R上恒成立，
即a≤3x2對x∈R恒成立．因為3x2≥0，所以只需a≤0．又因為a＝0時，f ′(x)＝3x2≥0且不恒為0，f (x)＝x3－1在R上是增函數(shù)，所以a≤0．
[母題探究]　
1．若函數(shù)f (x)＝x3－ax－1的單調(diào)遞減區(qū)間為(－1，1)，求a的值．
[解]　由題意得f ′(x)＝3x2－a，函數(shù)f (x)的定義域為R．
①當(dāng)a≤0時，f ′(x)≥0，
∴f (x)在R上為增函數(shù)，與已知矛盾，不符合題意．
②當(dāng)a＞0時，令3x2－a＝0，得x＝±，
當(dāng)－＜x＜時，f ′(x)＜0．∴f (x)在上單調(diào)遞減，
∴f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，
又函數(shù)f (x)＝x3－ax－1的單調(diào)遞減區(qū)間為(－1，1)，∴＝1，即a＝3．
2．若函數(shù)f (x)＝x3－ax－1在(－1，1)上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．
[解]　由題意可知f ′(x)＝3x2－a≤0在(－1，1)上恒成立，∴即
∴a≥3．即a的取值范圍是[3，＋∞)．
3．若函數(shù)f (x)＝x3－ax－1在(－1，1)上不單調(diào)，求a的取值范圍．
[解]　∵f (x)＝x3－ax－1，∴f ′(x)＝3x2－a，
由題意可知a＞0，由f ′(x)＝0，得x＝±(a＞0)．
∵f (x)在區(qū)間(－1，1)上不單調(diào)，∴0＜＜1，即0＜a＜3．
故a的取值范圍為(0，3)．
發(fā)現(xiàn)規(guī)律　利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，常用方法如下：
1 函數(shù)f (x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增 ___________在區(qū)間D上恒成立
2 函數(shù)f (x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減 ___________在區(qū)間D上恒成立
3 函數(shù)f (x)在區(qū)間D上不單調(diào) f ′(x)在區(qū)間D上存在變號____
f ′(x)≥0
f ′(x)≤0
零點
4 函數(shù)f (x)在區(qū)間D上存在單調(diào)遞增區(qū)間 x0∈D，使得___________成立
5 函數(shù)f (x)在區(qū)間D上存在單調(diào)遞減區(qū)間 x0∈D，使得___________成立
6 若已知f (x)在區(qū)間D上的單調(diào)性，區(qū)間D上含有參數(shù)時，可先求出
f (x)的單調(diào)區(qū)間，令D是其單調(diào)區(qū)間的________，從而求出參數(shù)的取值范圍
f ′(x0)>0
f ′(x0)<0
非空子集
[學(xué)以致用]　2．已知a∈R，函數(shù)f (x)＝x3－6x2＋3(4－a)x．
(1)若曲線y＝f (x)在點(3，f (3))處的切線與直線x－3y＝0垂直，求a的值；
(2)若函數(shù)f (x)在區(qū)間(1，4)上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．
[解]　(1)因為f ′(x)＝3x2－12x＋12－3a，所以曲線y＝f (x)在點(3，
f (3))處的切線斜率k＝f ′(3)＝27－36＋12－3a＝3－3a．而直線x－3y＝0的斜率為，則3－3a＝－3，解得a＝2．
(2)由f (x)在(1，4)上單調(diào)遞減，得f ′(x)＝3x2－12x＋12－3a≤0在(1，4)上恒成立，即a≥x2－4x＋4在(1，4)上恒成立．又x∈(1，4)時，y＝x2－4x＋4＜4，所以a≥4，所以a的取值范圍是[4，＋∞)．
探究3　根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小或解不等式
[典例講評]　3．(1)函數(shù)f (x)＝sin x＋2xf ′，f ′(x)為f (x)的導(dǎo)函數(shù)，令a＝，b＝log32，則下列關(guān)系正確的是(　　)
A．f (a)＜f (b)　　 B．f (a)＞f (b)
C．f (a)＝f (b)　　 D．f (a)≤f (b)
√
(2)已知函數(shù)f (x)的定義域為R，f ′(x)為f (x)的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)y＝f ′(x)的圖象如圖所示，且f (－2)＝1，f (3)＝1，則不等式f (x2－6)＞1的解集是(　　)
A．(－3，－2)∪(2，3)
B．(－)
C．(2，3)
D．(－∞，－)∪(，＋∞)
√
(1)B　(2)A　[(1)由題意得f ′(x)＝cos x＋2f ′，f ′＝cos ＋
2f ′，
解得f ′＝－，所以f (x)＝sin x－x，
所以f ′(x)＝cos x－1≤0，所以f (x)為減函數(shù)．
因為b＝log32＞log3＝＝a，
所以f (a)＞f (b)．故選B．
(2)由y＝f ′(x)的圖象知，函數(shù)f (x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，在(0，
＋∞)上單調(diào)遞減，且f (－2)＝1，f (3)＝1，則不等式f (x2－6)＞1可轉(zhuǎn)化為－2＜x2－6＜3，
解得2＜x＜3或－3＜x＜－2．故選A．]
反思領(lǐng)悟　(1)在比較兩數(shù)(式)的大小關(guān)系時，首先要判斷所給函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小．
(2)在解一些不等式時，先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性脫去f，即可得到變量的大小關(guān)系．
[學(xué)以致用]　3．(1)設(shè)函數(shù)f (x)＝2x＋sin x，則(　　)
A．f (1)＞f (2)　　 B．f (1)＜f (2)
C．f (1)＝f (2)　　 D．以上都不正確
(2)已知f (x)是定義在R上的偶函數(shù)且連續(xù)，當(dāng)x＞0時，f ′(x)＜0，若
f (lg x)＞f (1)，則x的取值范圍是________．
√
(1)B　(2)　[(1)f ′(x)＝2＋cos x＞0，
故f (x)是R上的增函數(shù)，故f (1)＜f (2)．故選B．
(2)由題設(shè)知，當(dāng)x＞0時，f (x)單調(diào)遞減；
當(dāng)x＜0時，f (x)單調(diào)遞增，
∴f (lg x)＞f (1) |lg x|＜1 －1＜lg x＜1 ＜x＜10．]
2
4
3
題號
1
應(yīng)用遷移
√
B　[由題意可得，f ′(x)＝sin x＋a≥0恒成立，故a≥－sin x恒成立，因為－1≤－sin x≤1，所以a≥1．故選B．]
1．若函數(shù)f (x)＝－cos x＋ax為增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為(　　)
A．[－1，＋∞)　　 B．[1，＋∞)
C．(－1，＋∞)　　 D．(1，＋∞)
2
3
題號
1
4
2．已知函數(shù)f (x)＝＋ln x，則下列選項正確的是(　　)
A．f (e)＜f (π)＜f (2.7)　　 B．f (π)＜f (e)＜f (2.7)
C．f (e)＜f (2.7)＜f (π)　　 D．f (2.7)＜f (e)＜f (π)
√
D　[因為函數(shù)f (x)＝＋ln x(x＞0)，所以f ′(x)＝＞0，所以函數(shù)f (x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．又因為2.7＜e＜π，所以f (2.7)＜f (e)＜f (π)．故選D．]
2
3
題號
4
1
3．函數(shù)f (x)＝x3－mx2＋m－2的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，3)，則m＝________．
　[令f ′(x)＝3x2－2mx＝0，解得x＝0或x＝m，所以m＝3，解得m＝．]
2
4
3
題號
1
4．函數(shù)f (x)的圖象如圖所示，f ′(x)為函數(shù)f (x)的導(dǎo)函數(shù)，則不等式＜0的解集為___________________．
(－3，－1)∪(0，1)　[由題圖知，當(dāng)x∈(－∞，－3)∪(－1，1)時，f ′(x)＜0；
當(dāng)x∈(－3，－1)∪(1，＋∞)時，f ′(x)＞0，故不等式＜0的解集為(－3，－1)∪(0，1)．]
(－3，－1)∪(0，1)
1．知識鏈：(1)求含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
(2)由單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍．
(3)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用．
2．方法鏈：分類討論、數(shù)形結(jié)合．
3．警示牌：求參數(shù)的取值范圍時容易忽略對端點值的討論．
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
1．利用導(dǎo)數(shù)研究含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，一般有哪幾種情況？如何解決這幾種情況？
[提示]　利用導(dǎo)數(shù)研究含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時，常遇到三種情況：
①區(qū)間端點大小不確定型
由于函數(shù)導(dǎo)數(shù)不等式中的區(qū)間端點大小不定，因此需根據(jù)區(qū)間端點的大小確定參數(shù)的范圍，再分類討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
②區(qū)間端點與定義域關(guān)系不確定型
此類問題一般會有定義域限制，解函數(shù)導(dǎo)數(shù)不等式的區(qū)間端點含參數(shù)，此端點與函數(shù)定義域的端點大小不確定，因此需分類討論．
③最高次項系數(shù)不確定型
此類問題一般要對最高次項的系數(shù)a，分a＞0，a＝0，a＜0進(jìn)行討論．
2．總結(jié)由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法有哪幾種？
[提示]　①可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)，實際上就是在該區(qū)間上f ′(x)≥0(或
f ′(x)≤0)恒成立，得到關(guān)于參數(shù)的不等式，根據(jù)已知條件，求出參數(shù)的取值范圍，但最后要注意檢驗．
②可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(a，b)上存在單調(diào)區(qū)間，實際上就是f ′(x)>0(或f ′(x)<0)在區(qū)間(a，b)上存在解集，從而轉(zhuǎn)化為不等式問題，求出參數(shù)的取值范圍．
③若已知f (x)在區(qū)間I上的單調(diào)性，且區(qū)間I含有參數(shù)時，可先求出f ′(x)為正或負(fù)時的區(qū)間，令I(lǐng)是f (x)的單調(diào)區(qū)間的非空子集，從而求出參數(shù)的取值范圍．
課時分層作業(yè)(十九)　函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
題號
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√
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一、選擇題
1．若函數(shù)y＝x3＋x2＋mx＋2(m∈R)是R上的單調(diào)函數(shù)，則m的取值范圍是(　　)
A．(－∞，1)　　 B．(－∞，1]
C．(1，＋∞)　　 D．[1，＋∞)
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D　[函數(shù)y＝x3＋x2＋mx＋2是R上的單調(diào)函數(shù)，即y′＝x2＋2x＋m≥0(y′＝x2＋2x＋m≤0舍去)在R上恒成立，
所以Δ＝4－4m≤0，解得m≥1．故選D．]
題號
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2．(多選)已知定義在R上的函數(shù)f (x)，其導(dǎo)函數(shù)y＝f ′(x)的大致圖象如圖所示，則下列結(jié)論一定正確的是(　　)
A．f (b)＞f (a)　　
B．f (d)＞f (e)
C．f (a)＞f (d)　　
D．f (c)＞f (e)
√
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√
√
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ABD　[由題圖可得，當(dāng)x∈(－∞，c)∪(e，＋∞)時，f ′(x)＞0，
當(dāng)x∈(c，e)時，f ′(x)＜0，
故f (x)在(－∞，c)，(e，＋∞)上單調(diào)遞增，在(c，e)上單調(diào)遞減，
所以f (b)＞f (a)，f (d)＞f (e)，f (c)＞f (e)．故選ABD．]
題號
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3．若函數(shù)h(x)＝2x－在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，則實數(shù)k的取值范圍是(　　)
A．[－2，＋∞)　　 B．[2，＋∞)
C．(－∞，－2]　　 D．(－∞，2]
√
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A　[根據(jù)條件得h′(x)＝2＋＝≥0在(1，＋∞)上恒成立，
即k≥－2x2在(1，＋∞)上恒成立，
所以k的取值范圍是[－2，＋∞)．]
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4．已知函數(shù)f (x)＝x2－ax＋3在(0，1)上單調(diào)遞減，函數(shù)g(x)＝x2－
a ln x在(1，2)上單調(diào)遞增，則a＝(　　)
A．1　　B．2　　C．0　　D．
√
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B　[∵函數(shù)f (x)＝x2－ax＋3在(0，1)上單調(diào)遞減，
∴≥1，得a≥2．g′(x)＝2x－，
依題意g′(x)≥0在(1，2)上恒成立，
即2x2≥a在x∈(1，2)時恒成立，則a≤2，
∴a＝2．故選B．]
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5．已知函數(shù)y＝f (x)(x∈R)的圖象如圖所示，則不等式xf ′(x)＜0的解集為(　　)
A．(－∞，0)
B．
C．∪(2，＋∞)
D．(－1，0)∪(1，3)
√
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A　[由題圖可得，f (x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，所以在上，f ′(x)＞0，在上，f ′(x)＜0，在(2，＋∞)上，f ′(x)＞0．則不等式xf ′(x)＜0可化為或解得＜x＜2或x＜0．
故原不等式的解集為(－∞，0)．故選A．]
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二、填空題
6．若函數(shù)f (x)＝x2－16ln 2x在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是________．
14
15
　[顯然x＞0，且f ′(x)＝x－，令f ′(x)≤0，解得0＜x≤4．
∵f (x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴解得＜a≤．]
題號
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7．已知函數(shù)f (x)＝x3＋x2－6x＋1在(－1，1)上單調(diào)遞減，則m的取值范圍為___________．
14
15
[－5，5]　[∵f (x)在(－1，1)上單調(diào)遞減，∴f ′(x)＝x2＋mx－6≤0在(－1，1)上恒成立，
又f ′(x)＝x2＋mx－6是開口向上的二次函數(shù)，為使f ′(x)≤0在(－1，1)上恒成立，
只需即則m∈[－5，5]．]
[－5，5]
題號
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8．已知函數(shù)f (x)＝ln x＋在[2，＋∞)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是___________．
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15
(－∞，2]　[∵f (x)＝ln x＋在[2，＋∞)上單調(diào)遞增，f ′(x)＝＝，
∴f ′(x)＝≥0在[2，＋∞)上恒成立，即a≤x在[2，＋∞)上恒成立，∴a≤2．
當(dāng)a＝2時，f ′(x)＝不恒為零，故a的取值范圍是(－∞，2]．]
(－∞，2]
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三、解答題
9．(源自人教B版教材)討論函數(shù)f (x)＝a ln x＋x的單調(diào)性，其中a為實常數(shù)．
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[解]　函數(shù)f (x)的定義域為(0，＋∞)．
因為f ′(x)＝＋1，令f ′(x)>0，可得＋1>0，即x>－a．
所以當(dāng)－a≤0，即a≥0時，f ′(x)>0恒成立，此時f (x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；
當(dāng)－a>0，即a<0時，f ′(x)>0的解為x>－a，此時f (x)在(0，－a)上單調(diào)遞減，在(－a，＋∞)上單調(diào)遞增．
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10．若函數(shù)f (x)＝ex(x2＋a)在[－2，2]上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．(－∞，0]　　 B．(－∞，－8)
C．(－∞，－8]　　 D．[0，＋∞)
√
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C　[因為函數(shù)f (x)＝ex(x2＋a)，
所以f ′(x)＝ex(x2＋2x＋a)．
因為函數(shù)f (x)＝ex(x2＋a)在[－2，2]上單調(diào)遞減，所以f ′(x)＝ex(x2＋2x＋a)≤0在[－2，2]上恒成立，即a≤－x2－2x在[－2，2]上恒成立．
令t＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1，則在[－2，2]上，tmin＝－8，則a≤
－8，當(dāng)a＝－8時，f ′(x)＝ex(x2＋2x－8)＝ex[(x＋1)2－9]不恒為零，也符合題意，所以實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－8]．故選C．]
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11．若函數(shù)f (x)＝(e為自然對數(shù)的底數(shù))是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是________．
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15
[0，1]　[f (x)＝，f ′(x)＝．
因為函數(shù)f (x)是減函數(shù)，所以f ′(x)≤0恒成立．
令g(x)＝2ax－ax2－1，則g(x)≤0恒成立，
當(dāng)a＝0時，g(x)＝－1成立，所以a＝0滿足條件．
[0，1]
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當(dāng)a＜0時，則g(x)的圖象開口向上，g(x)≤0不恒成立，不符合題意，舍去．
當(dāng)a＞0時，要使g(x)≤0恒成立，則Δ＝4a2－4a≤0，解得0≤a≤1，又a＞0，所以0＜a≤1．綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是[0，1]．]
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12．已知函數(shù)f (x)＝2x2－ln x，若f (x)在區(qū)間(2m，m＋1)上單調(diào)遞增，則實數(shù)m
的取值范圍是________．
14
15
　[由f (x)＝2x2－ln x，得f ′(x)＝4x－＝，
由于函數(shù)f (x)的定義域為(0，＋∞)，故令f ′(x)≥0，解得x≥，
故f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，若f (x)在區(qū)間(2m，m＋1)上單調(diào)遞增，
則解得≤m＜1．]
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13．已知函數(shù)f (x)＝aex－ln x在區(qū)間(1，2)上單調(diào)遞增，則a的最小值為________．
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　[因為f (x)＝aex－ln x(x＞0)，所以f ′(x)＝aex－．
由于函數(shù)f (x)＝aex－ln x在區(qū)間(1，2)上單調(diào)遞增，
即f ′(x)≥0在(1，2)上恒成立，顯然a＞0，所以問題轉(zhuǎn)化為xex≥在(1，2)上恒成立，設(shè)g(x)＝xex，x∈(1，2)，所以g′(x)＝ex＋xex＝(1＋x)ex＞0，
所以g(x)在(1，2)上單調(diào)遞增，所以g(x)＞g(1)＝e，
所以e≥，a≥，所以a的最小值為．]
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14．設(shè)函數(shù)f (x)＝ex－ax－2(a∈R)，求f (x)的單調(diào)區(qū)間．
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[解]　f (x)的定義域為R，f ′(x)＝ex－a．
若a≤0，則f ′(x)＞0，所以f (x)在R上單調(diào)遞增．
若a＞0，則當(dāng)x∈(－∞，ln a)時，f ′(x)＜0；
當(dāng)x∈(ln a，＋∞)時，f ′(x)＞0．
所以f (x)在(－∞，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，＋∞)上單調(diào)遞增．
綜上所述，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞)，無單調(diào)遞減區(qū)間；
當(dāng)a＞0時，f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，ln a)，
單調(diào)遞增區(qū)間為(ln a，＋∞)．
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15．函數(shù)f (x)＝ax3＋x2＋5x－1恰有3個單調(diào)區(qū)間的必要不充分條件是(　　)
A．a(chǎn)∈　　 B．a(chǎn)∈
C．a(chǎn)∈(－∞，0) D．a(chǎn)∈(－∞，0)
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A　[由f (x)＝ax3＋x2＋5x－1，
得f ′(x)＝3ax2＋2x＋5，
當(dāng)a＝0時，由f ′(x)＝0，解得x＝－，函數(shù)f (x)有兩個單調(diào)區(qū)間；
當(dāng)a＞0時，由Δ＝4－60a＞0，解得a＜，即0＜a＜，此時函數(shù)f (x)＝ax3＋x2＋5x－1恰有3個單調(diào)區(qū)間；
當(dāng)a＜0時，Δ＝4－60a＞0，解得a＜，即a＜0，此時函數(shù)f (x)＝ax3＋x2＋5x－1恰有3個單調(diào)區(qū)間．
綜上所述，a∈(－∞，0)是函數(shù)f (x)＝ax3＋x2＋5x－1恰有3個單調(diào)區(qū)間的充要條件，分析可得a∈是其必要不充分條件．]
14
15
THANKS第2課時　函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1．進(jìn)一步理解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和其單調(diào)性的關(guān)系．(數(shù)學(xué)運算)
2．能求簡單的含參的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍．(數(shù)學(xué)運算)
[討論交流]　
問題1．若函數(shù)f (x)為可導(dǎo)函數(shù)，且在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增(或遞減)，則f ′(x)滿足什么條件？
問題2．對于函數(shù)y＝f (x)，f ′(x)≥0是f (x)為增函數(shù)的充要條件嗎？
[自我感知]　經(jīng)過認(rèn)真的預(yù)習(xí)，結(jié)合對本節(jié)課的理解和認(rèn)知，請畫出本節(jié)課的知識邏輯體系．
探究1　討論含參函數(shù)的單調(diào)性
[典例講評]　1．已知函數(shù)f (x)＝ln x－ax2＋(1－a)x＋a(a∈R)，判斷函數(shù)f (x)的單調(diào)性．
[嘗試解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進(jìn)行分類討論．
(2)劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，要在函數(shù)的定義域內(nèi)討論，還要確定導(dǎo)數(shù)為0的點和函數(shù)的間斷點．
[學(xué)以致用]　1．求函數(shù)f (x)＝＋a ln x(a∈R)的單調(diào)遞減區(qū)間．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究2　根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍
探究問題1　如果函數(shù)y＝f (x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增，則f ′(x)有什么特點？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究問題2　如果函數(shù)y＝f (x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則f ′(x)有什么特點？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
導(dǎo)數(shù)的符號與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系
(1)在某區(qū)間D上，若f ′(x)＞0 函數(shù)f (x)在D上________；在某區(qū)間D上，若f ′(x)＜0 函數(shù)f (x)在D上________．
(2)若函數(shù)f (x)在D上單調(diào)遞增 f ′(x)≥0；若函數(shù)f (x)在D上單調(diào)遞減 ________．需要檢驗f ′(x)＝0不能恒成立．
(3)若函數(shù)f (x)在D上存在單調(diào)遞增區(qū)間 f ′(x)＞0有解．
若函數(shù)f (x)在D上存在單調(diào)遞減區(qū)間 ________．
[典例講評]　2．已知函數(shù)f (x)＝x3－ax－1為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．
[思路導(dǎo)引]　→→
[嘗試解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]　
1．若函數(shù)f (x)＝x3－ax－1的單調(diào)遞減區(qū)間為(－1，1)，求a的值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．若函數(shù)f (x)＝x3－ax－1在(－1，1)上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3．若函數(shù)f (x)＝x3－ax－1在(－1，1)上不單調(diào)，求a的取值范圍．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，常用方法如下：
1 函數(shù)f (x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增 ________在區(qū)間D上恒成立
2 函數(shù)f (x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減 ________在區(qū)間D上恒成立
3 函數(shù)f (x)在區(qū)間D上不單調(diào) f ′(x)在區(qū)間D上存在變號________
4 函數(shù)f (x)在區(qū)間D上存在單調(diào)遞增區(qū)間 x0∈D，使得________成立
5 函數(shù)f (x)在區(qū)間D上存在單調(diào)遞減區(qū)間 x0∈D，使得________成立
6 若已知f (x)在區(qū)間D上的單調(diào)性，區(qū)間D上含有參數(shù)時，可先求出f (x)的單調(diào)區(qū)間，令D是其單調(diào)區(qū)間的________，從而求出參數(shù)的取值范圍
[學(xué)以致用]　2．已知a∈R，函數(shù)f (x)＝x3－6x2＋3(4－a)x．
(1)若曲線y＝f (x)在點(3，f (3))處的切線與直線x－3y＝0垂直，求a的值；
(2)若函數(shù)f (x)在區(qū)間(1，4)上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究3　根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小或解不等式
[典例講評]　3．(1)函數(shù)f (x)＝sin x＋2xf ′，f ′(x)為f (x)的導(dǎo)函數(shù)，令a＝，b＝log32，則下列關(guān)系正確的是(　　)
A．f (a)＜f (b) B．f (a)＞f (b)
C．f (a)＝f (b) D．f (a)≤f (b)
(2)已知函數(shù)f (x)的定義域為R，f ′(x)為f (x)的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)y＝f ′(x)的圖象如圖所示，且f (－2)＝1，f (3)＝1，則不等式f (x2－6)＞1的解集是(　　)
A．(－3，－2)∪(2，3)
B．(－)
C．(2，3)
D．(－∞，－)∪(，＋∞)
[嘗試解答] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　(1)在比較兩數(shù)(式)的大小關(guān)系時，首先要判斷所給函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小．
(2)在解一些不等式時，先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性脫去f，即可得到變量的大小關(guān)系．
[學(xué)以致用]　3．(1)設(shè)函數(shù)f (x)＝2x＋sin x，則(　　)
A．f (1)＞f (2) B．f (1)＜f (2)
C．f (1)＝f (2) D．以上都不正確
(2)已知f (x)是定義在R上的偶函數(shù)且連續(xù)，當(dāng)x＞0時，f ′(x)＜0，若f (lg x)＞f (1)，則x的取值范圍是________．
1．若函數(shù)f (x)＝－cos x＋ax為增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為(　　)
A．[－1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－1，＋∞) D．(1，＋∞)
2．已知函數(shù)f (x)＝＋ln x，則下列選項正確的是(　　)
A．f (e)＜f (π)＜f (2.7) B．f (π)＜f (e)＜f (2.7)
C．f (e)＜f (2.7)＜f (π) D．f (2.7)＜f (e)＜f (π)
3．函數(shù)f (x)＝x3－mx2＋m－2的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，3)，則m＝________．
4．函數(shù)f (x)的圖象如圖所示，f ′(x)為函數(shù)f (x)的導(dǎo)函數(shù)，則不等式＜0的解集為________．
1．知識鏈：(1)求含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
(2)由單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍．
(3)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用．
2．方法鏈：分類討論、數(shù)形結(jié)合．
3．警示牌：求參數(shù)的取值范圍時容易忽略對端點值的討論．
3/5第2課時　函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1．進(jìn)一步理解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和其單調(diào)性的關(guān)系．(數(shù)學(xué)運算)
2．能求簡單的含參的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍．(數(shù)學(xué)運算)
(教師用書)
請大家解這樣一個關(guān)于x的一元一次不等式：ax－2＞0，根據(jù)不等式的性質(zhì)可知，我們無法直接進(jìn)行求解，它依賴于a的符號，于是我們分類討論進(jìn)行求解如下：當(dāng)a＞0時，得x＞；當(dāng)a＝0時，x無解；當(dāng)a＜0時，得x＜，參數(shù)的存在不僅對解不等式有影響，對于一些函數(shù)的單調(diào)性也有影響，如何解答含參函數(shù)的單調(diào)性問題，今天我們就來探究一下．
[討論交流]　
問題1．若函數(shù)f (x)為可導(dǎo)函數(shù)，且在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增(或遞減)，則f ′(x)滿足什么條件？
問題2．對于函數(shù)y＝f (x)，f ′(x)≥0是f (x)為增函數(shù)的充要條件嗎？
[自我感知]　經(jīng)過認(rèn)真的預(yù)習(xí)，結(jié)合對本節(jié)課的理解和認(rèn)知，請畫出本節(jié)課的知識邏輯體系．
探究1　討論含參函數(shù)的單調(diào)性
[典例講評]　1．已知函數(shù)f (x)＝ln x－ax2＋(1－a)x＋a(a∈R)，判斷函數(shù)f (x)的單調(diào)性．
[解]　函數(shù)f (x)的定義域為(0，＋∞)，
f ′(x)＝－ax＋1－a＝＝．
當(dāng)a≤0時，f ′(x)＞0，函數(shù)f (x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．
當(dāng)a＞0時，令f ′(x)＞0，解得0＜x＜，則f (x)在上單調(diào)遞增；
令f ′(x)＜0，解得x＞，則f (x)在上單調(diào)遞減．
綜上，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f (x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a＞0時，函數(shù)f (x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
　(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進(jìn)行分類討論．
(2)劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，要在函數(shù)的定義域內(nèi)討論，還要確定導(dǎo)數(shù)為0的點和函數(shù)的間斷點．
【教用·備選題】　已知函數(shù)f (x)＝x3＋ax2－3a2x＋1(a≤0)．試求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間．
[解]　f ′(x)＝x2＋2ax－3a2＝(x＋3a)(x－a)，且x∈(－∞，＋∞)．
當(dāng)a＝0時，f ′(x)＝x2≥0，此時f (x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增．
當(dāng)a＜0，x∈(－∞，a)時，f ′(x)＞0，此時f (x)單調(diào)遞增；
x∈(a，－3a)時，f ′(x)＜0，此時f (x)單調(diào)遞減；
x∈(－3a，＋∞)時，f ′(x)＞0，此時f (x)單調(diào)遞增．
綜上，當(dāng)a＝0時，函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞)，無單調(diào)遞減區(qū)間；
當(dāng)a＜0時，函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，a)，(－3a，＋∞)；
函數(shù)f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(a，－3a)．
[學(xué)以致用]　1．求函數(shù)f (x)＝＋a ln x(a∈R)的單調(diào)遞減區(qū)間．
[解]　易得函數(shù)f (x)的定義域是(0，＋∞)，
f ′(x)＝－＝．
①當(dāng)a≤0時，f ′(x)＜0在(0，＋∞)上恒成立，
故f (x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．
②當(dāng)a＞0時，若0＜x＜，則f ′(x)＜0；
若x＞，則f ′(x)＞0，
所以f (x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
綜上可知，當(dāng)a≤0時，f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，＋∞)，當(dāng)a＞0時，f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為．
探究2　根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍
探究問題1　如果函數(shù)y＝f (x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增，則f ′(x)有什么特點？
[提示]　f ′(x)≥0，但f ′(x)不可以恒為0．
探究問題2　如果函數(shù)y＝f (x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則f ′(x)有什么特點？
[提示]　f ′(x)＞0有解．
[新知生成]
導(dǎo)數(shù)的符號與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系
(1)在某區(qū)間D上，若f ′(x)＞0 函數(shù)f (x)在D上單調(diào)遞增；在某區(qū)間D上，若f ′(x)＜0 函數(shù)f (x)在D上單調(diào)遞減．
(2)若函數(shù)f (x)在D上單調(diào)遞增 f ′(x)≥0；若函數(shù)f (x)在D上單調(diào)遞減 f ′(x)≤0．需要檢驗f ′(x)＝0不能恒成立．
(3)若函數(shù)f (x)在D上存在單調(diào)遞增區(qū)間 f ′(x)＞0有解．
若函數(shù)f (x)在D上存在單調(diào)遞減區(qū)間 f ′(x)＜0有解．
【教用·微提醒】　(1)單調(diào)區(qū)間可以寫成閉區(qū)間，我們習(xí)慣上寫成開區(qū)間．
(2)注意以下區(qū)別：若單調(diào)遞增，則f ′(x)≥0恒成立；若存在單調(diào)遞增區(qū)間，則f ′(x)＞0能成立．
[典例講評]　2．已知函數(shù)f (x)＝x3－ax－1為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．
[思路導(dǎo)引]　→→
[解]　由已知得f ′(x)＝3x2－a，
因為f (x)在R上是增函數(shù)，
所以f ′(x)＝3x2－a≥0在R上恒成立，
即a≤3x2對x∈R恒成立．因為3x2≥0，所以只需a≤0．又因為a＝0時，f ′(x)＝3x2≥0且不恒為0，f (x)＝x3－1在R上是增函數(shù)，所以a≤0．
[母題探究]　
1．若函數(shù)f (x)＝x3－ax－1的單調(diào)遞減區(qū)間為(－1，1)，求a的值．
[解]　由題意得f ′(x)＝3x2－a，函數(shù)f (x)的定義域為R．
①當(dāng)a≤0時，f ′(x)≥0，
∴f (x)在R上為增函數(shù)，與已知矛盾，不符合題意．
②當(dāng)a＞0時，令3x2－a＝0，得x＝±，
當(dāng)－＜x＜時，f ′(x)＜0．
∴f (x)在上單調(diào)遞減，
∴f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，
又函數(shù)f (x)＝x3－ax－1的單調(diào)遞減區(qū)間為(－1，1)，∴＝1，即a＝3．
2．若函數(shù)f (x)＝x3－ax－1在(－1，1)上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．
[解]　由題意可知f ′(x)＝3x2－a≤0在(－1，1)上恒成立，∴即
∴a≥3．即a的取值范圍是[3，＋∞)．
3．若函數(shù)f (x)＝x3－ax－1在(－1，1)上不單調(diào)，求a的取值范圍．
[解]　∵f (x)＝x3－ax－1，∴f ′(x)＝3x2－a，
由題意可知a＞0，
由f ′(x)＝0，得x＝±(a＞0)．
∵f (x)在區(qū)間(－1，1)上不單調(diào)，
∴0＜＜1，即0＜a＜3．
故a的取值范圍為(0，3)．
　利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，常用方法如下：
1 函數(shù)f (x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增 f ′(x)≥0在區(qū)間D上恒成立
2 函數(shù)f (x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減 f ′(x)≤0在區(qū)間D上恒成立
3 函數(shù)f (x)在區(qū)間D上不單調(diào) f ′(x)在區(qū)間D上存在變號零點
4 函數(shù)f (x)在區(qū)間D上存在單調(diào)遞增區(qū)間 x0∈D，使得f ′(x0)>0成立
5 函數(shù)f (x)在區(qū)間D上存在單調(diào)遞減區(qū)間 x0∈D，使得f ′(x0)<0成立
6 若已知f (x)在區(qū)間D上的單調(diào)性，區(qū)間D上含有參數(shù)時，可先求出f (x)的單調(diào)區(qū)間，令D是其單調(diào)區(qū)間的非空子集，從而求出參數(shù)的取值范圍
[學(xué)以致用]　2．已知a∈R，函數(shù)f (x)＝x3－6x2＋3(4－a)x．
(1)若曲線y＝f (x)在點(3，f (3))處的切線與直線x－3y＝0垂直，求a的值；
(2)若函數(shù)f (x)在區(qū)間(1，4)上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．
[解]　(1)因為f ′(x)＝3x2－12x＋12－3a，所以曲線y＝f (x)在點(3，f (3))處的切線斜率k＝f ′(3)＝27－36＋12－3a＝3－3a．而直線x－3y＝0的斜率為，則3－3a＝－3，解得a＝2．
(2)由f (x)在(1，4)上單調(diào)遞減，得f ′(x)＝3x2－12x＋12－3a≤0在(1，4)上恒成立，即a≥x2－4x＋4在(1，4)上恒成立．又x∈(1，4)時，y＝x2－4x＋4＜4，所以a≥4，所以a的取值范圍是[4，＋∞)．
探究3　根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小或解不等式
[典例講評]　3．(1)函數(shù)f (x)＝sin x＋2xf ′，f ′(x)為f (x)的導(dǎo)函數(shù)，令a＝，b＝log32，則下列關(guān)系正確的是(　　)
A．f (a)＜f (b) B．f (a)＞f (b)
C．f (a)＝f (b) D．f (a)≤f (b)
(2)已知函數(shù)f (x)的定義域為R，f ′(x)為f (x)的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)y＝f ′(x)的圖象如圖所示，且f (－2)＝1，f (3)＝1，則不等式f (x2－6)＞1的解集是(　　)
A．(－3，－2)∪(2，3)
B．(－)
C．(2，3)
D．(－∞，－)∪(，＋∞)
(1)B　(2)A　[(1)由題意得f ′(x)＝cos x＋2f ′，f ′＝cos ＋2f ′，
解得f ′＝－，所以f (x)＝sin x－x，
所以f ′(x)＝cos x－1≤0，所以f (x)為減函數(shù)．
因為b＝log32＞log3＝＝a，
所以f (a)＞f (b)．故選B．
(2)由y＝f ′(x)的圖象知，函數(shù)f (x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，且f (－2)＝1，f (3)＝1，則不等式f (x2－6)＞1可轉(zhuǎn)化為－2＜x2－6＜3，
解得2＜x＜3或－3＜x＜－2．故選A．]
　(1)在比較兩數(shù)(式)的大小關(guān)系時，首先要判斷所給函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小．
(2)在解一些不等式時，先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性脫去f，即可得到變量的大小關(guān)系．
[學(xué)以致用]　3．(1)設(shè)函數(shù)f (x)＝2x＋sin x，則(　　)
A．f (1)＞f (2) B．f (1)＜f (2)
C．f (1)＝f (2) D．以上都不正確
(2)已知f (x)是定義在R上的偶函數(shù)且連續(xù)，當(dāng)x＞0時，f ′(x)＜0，若f (lg x)＞f (1)，則x的取值范圍是________．
(1)B　(2)　[(1)f ′(x)＝2＋cos x＞0，
故f (x)是R上的增函數(shù)，故f (1)＜f (2)．故選B．
(2)由題設(shè)知，當(dāng)x＞0時，f (x)單調(diào)遞減；
當(dāng)x＜0時，f (x)單調(diào)遞增，
∴f (lg x)＞f (1) |lg x|＜1 －1＜lg x＜1 ＜x＜10．]
1．若函數(shù)f (x)＝－cos x＋ax為增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為(　　)
A．[－1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－1，＋∞) D．(1，＋∞)
B　[由題意可得，f ′(x)＝sin x＋a≥0恒成立，故a≥－sin x恒成立，因為－1≤－sin x≤1，所以a≥1．故選B．]
2．已知函數(shù)f (x)＝＋ln x，則下列選項正確的是(　　)
A．f (e)＜f (π)＜f (2.7) B．f (π)＜f (e)＜f (2.7)
C．f (e)＜f (2.7)＜f (π) D．f (2.7)＜f (e)＜f (π)
D　[因為函數(shù)f (x)＝＋ln x(x＞0)，所以f ′(x)＝＞0，所以函數(shù)f (x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．又因為2.7＜e＜π，所以f (2.7)＜f (e)＜f (π)．故選D．]
3．函數(shù)f (x)＝x3－mx2＋m－2的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，3)，則m＝________．
　[令f ′(x)＝3x2－2mx＝0，解得x＝0或x＝m，所以m＝3，解得m＝．]
4．函數(shù)f (x)的圖象如圖所示，f ′(x)為函數(shù)f (x)的導(dǎo)函數(shù)，則不等式＜0的解集為________．
(－3，－1)∪(0，1)　[由題圖知，當(dāng)x∈(－∞，－3)∪(－1，1)時，f ′(x)＜0；
當(dāng)x∈(－3，－1)∪(1，＋∞)時，f ′(x)＞0，故不等式＜0的解集為(－3，－1)∪(0，1)．]
1．知識鏈：(1)求含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
(2)由單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍．
(3)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用．
2．方法鏈：分類討論、數(shù)形結(jié)合．
3．警示牌：求參數(shù)的取值范圍時容易忽略對端點值的討論．
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
1．利用導(dǎo)數(shù)研究含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，一般有哪幾種情況？如何解決這幾種情況？
[提示]　利用導(dǎo)數(shù)研究含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時，常遇到三種情況：
①區(qū)間端點大小不確定型
由于函數(shù)導(dǎo)數(shù)不等式中的區(qū)間端點大小不定，因此需根據(jù)區(qū)間端點的大小確定參數(shù)的范圍，再分類討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
②區(qū)間端點與定義域關(guān)系不確定型
此類問題一般會有定義域限制，解函數(shù)導(dǎo)數(shù)不等式的區(qū)間端點含參數(shù)，此端點與函數(shù)定義域的端點大小不確定，因此需分類討論．
③最高次項系數(shù)不確定型
此類問題一般要對最高次項的系數(shù)a，分a＞0，a＝0，a＜0進(jìn)行討論．
2．總結(jié)由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法有哪幾種？
[提示]　①可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)，實際上就是在該區(qū)間上f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)恒成立，得到關(guān)于參數(shù)的不等式，根據(jù)已知條件，求出參數(shù)的取值范圍，但最后要注意檢驗．
②可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(a，b)上存在單調(diào)區(qū)間，實際上就是f ′(x)>0(或f ′(x)<0)在區(qū)間(a，b)上存在解集，從而轉(zhuǎn)化為不等式問題，求出參數(shù)的取值范圍．
③若已知f (x)在區(qū)間I上的單調(diào)性，且區(qū)間I含有參數(shù)時，可先求出f ′(x)為正或負(fù)時的區(qū)間，令I(lǐng)是f (x)的單調(diào)區(qū)間的非空子集，從而求出參數(shù)的取值范圍．
課時分層作業(yè)(十九)　函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
一、選擇題
1．若函數(shù)y＝x3＋x2＋mx＋2(m∈R)是R上的單調(diào)函數(shù)，則m的取值范圍是(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
D　[函數(shù)y＝x3＋x2＋mx＋2是R上的單調(diào)函數(shù)，即y′＝x2＋2x＋m≥0(y′＝x2＋2x＋m≤0舍去)在R上恒成立，
所以Δ＝4－4m≤0，解得m≥1．故選D．]
2．(多選)已知定義在R上的函數(shù)f (x)，其導(dǎo)函數(shù)y＝f ′(x)的大致圖象如圖所示，則下列結(jié)論一定正確的是(　　)
A．f (b)＞f (a) B．f (d)＞f (e)
C．f (a)＞f (d) D．f (c)＞f (e)
ABD　[由題圖可得，當(dāng)x∈(－∞，c)∪(e，＋∞)時，f ′(x)＞0，
當(dāng)x∈(c，e)時，f ′(x)＜0，
故f (x)在(－∞，c)，(e，＋∞)上單調(diào)遞增，在(c，e)上單調(diào)遞減，
所以f (b)＞f (a)，f (d)＞f (e)，f (c)＞f (e)．故選ABD．]
3．若函數(shù)h(x)＝2x－在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，則實數(shù)k的取值范圍是(　　)
A．[－2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(－∞，－2] D．(－∞，2]
A　[根據(jù)條件得h′(x)＝2＋＝≥0在(1，＋∞)上恒成立，
即k≥－2x2在(1，＋∞)上恒成立，
所以k的取值范圍是[－2，＋∞)．]
4．已知函數(shù)f (x)＝x2－ax＋3在(0，1)上單調(diào)遞減，函數(shù)g(x)＝x2－a ln x在(1，2)上單調(diào)遞增，則a＝(　　)
A．1 B．2 C．0 D．
B　[∵函數(shù)f (x)＝x2－ax＋3在(0，1)上單調(diào)遞減，
∴≥1，得a≥2．
g′(x)＝2x－，
依題意g′(x)≥0在(1，2)上恒成立，
即2x2≥a在x∈(1，2)時恒成立，則a≤2，
∴a＝2．故選B．]
5．已知函數(shù)y＝f (x)(x∈R)的圖象如圖所示，則不等式xf ′(x)＜0的解集為(　　)
A．(－∞，0)
B．
C．∪(2，＋∞)
D．(－1，0)∪(1，3)
A　[由題圖可得，f (x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，所以在上，f ′(x)＞0，在上，f ′(x)＜0，在(2，＋∞)上，f ′(x)＞0．則不等式xf ′(x)＜0可化為或解得＜x＜2或x＜0．
故原不等式的解集為(－∞，0)．故選A．]
二、填空題
6．若函數(shù)f (x)＝x2－16ln 2x在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是________．
　[顯然x＞0，且f ′(x)＝x－，令f ′(x)≤0，解得0＜x≤4．
∵f (x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
∴解得＜a≤．]
7．已知函數(shù)f (x)＝x3＋x2－6x＋1在(－1，1)上單調(diào)遞減，則m的取值范圍為________．
[－5，5]　[∵f (x)在(－1，1)上單調(diào)遞減，∴f ′(x)＝x2＋mx－6≤0在(－1，1)上恒成立，
又f ′(x)＝x2＋mx－6是開口向上的二次函數(shù)，為使f ′(x)≤0在(－1，1)上恒成立，
只需
即
則m∈[－5，5]．]
8．已知函數(shù)f (x)＝ln x＋在[2，＋∞)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是________．
(－∞，2]　[∵f (x)＝ln x＋在[2，＋∞)上單調(diào)遞增，f ′(x)＝＝，
∴f ′(x)＝≥0在[2，＋∞)上恒成立，即a≤x在[2，＋∞)上恒成立，∴a≤2．
當(dāng)a＝2時，f ′(x)＝不恒為零，故a的取值范圍是(－∞，2]．]
三、解答題
9．(源自人教B版教材)討論函數(shù)f (x)＝a ln x＋x的單調(diào)性，其中a為實常數(shù)．
[解]　函數(shù)f (x)的定義域為(0，＋∞)．
因為f ′(x)＝＋1，令f ′(x)>0，可得＋1>0，即x>－a．
所以當(dāng)－a≤0，即a≥0時，f ′(x)>0恒成立，此時f (x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；
當(dāng)－a>0，即a<0時，f ′(x)>0的解為x>－a，此時f (x)在(0，－a)上單調(diào)遞減，在(－a，＋∞)上單調(diào)遞增．
10．若函數(shù)f (x)＝ex(x2＋a)在[－2，2]上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．(－∞，0] B．(－∞，－8)
C．(－∞，－8] D．[0，＋∞)
C　[因為函數(shù)f (x)＝ex(x2＋a)，
所以f ′(x)＝ex(x2＋2x＋a)．
因為函數(shù)f (x)＝ex(x2＋a)在[－2，2]上單調(diào)遞減，所以f ′(x)＝ex(x2＋2x＋a)≤0在[－2，2]上恒成立，即a≤－x2－2x在[－2，2]上恒成立．
令t＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1，則在[－2，2]上，tmin＝－8，則a≤－8，當(dāng)a＝－8時，f ′(x)＝ex(x2＋2x－8)＝ex[(x＋1)2－9]不恒為零，也符合題意，所以實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－8]．故選C．]
11．若函數(shù)f (x)＝(e為自然對數(shù)的底數(shù))是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是________．
[0，1]　[f (x)＝，f ′(x)＝．
因為函數(shù)f (x)是減函數(shù)，所以f ′(x)≤0恒成立．
令g(x)＝2ax－ax2－1，則g(x)≤0恒成立，
當(dāng)a＝0時，g(x)＝－1成立，所以a＝0滿足條件．
當(dāng)a＜0時，則g(x)的圖象開口向上，g(x)≤0不恒成立，不符合題意，舍去．
當(dāng)a＞0時，要使g(x)≤0恒成立，則Δ＝4a2－4a≤0，解得0≤a≤1，又a＞0，所以0＜a≤1．綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是[0，1]．]
12．已知函數(shù)f (x)＝2x2－ln x，若f (x)在區(qū)間(2m，m＋1)上單調(diào)遞增，則實數(shù)m的取值范圍是________．
　[由f (x)＝2x2－ln x，得f ′(x)＝4x－＝，
由于函數(shù)f (x)的定義域為(0，＋∞)，故令f ′(x)≥0，解得x≥，
故f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，若f (x)在區(qū)間(2m，m＋1)上單調(diào)遞增，
則解得≤m＜1．]
13．已知函數(shù)f (x)＝aex－ln x在區(qū)間(1，2)上單調(diào)遞增，則a的最小值為________．
　[因為f (x)＝aex－ln x(x＞0)，所以f ′(x)＝aex－．
由于函數(shù)f (x)＝aex－ln x在區(qū)間(1，2)上單調(diào)遞增，
即f ′(x)≥0在(1，2)上恒成立，顯然a＞0，所以問題轉(zhuǎn)化為xex≥在(1，2)上恒成立，設(shè)g(x)＝xex，x∈(1，2)，所以g′(x)＝ex＋xex＝(1＋x)ex＞0，
所以g(x)在(1，2)上單調(diào)遞增，所以g(x)＞g(1)＝e，
所以e≥，a≥，所以a的最小值為．]
14．設(shè)函數(shù)f (x)＝ex－ax－2(a∈R)，求f (x)的單調(diào)區(qū)間．
[解]　f (x)的定義域為R，f ′(x)＝ex－a．
若a≤0，則f ′(x)＞0，
所以f (x)在R上單調(diào)遞增．
若a＞0，則當(dāng)x∈(－∞，ln a)時，f ′(x)＜0；
當(dāng)x∈(ln a，＋∞)時，f ′(x)＞0．
所以f (x)在(－∞，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，＋∞)上單調(diào)遞增．
綜上所述，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞)，無單調(diào)遞減區(qū)間；
當(dāng)a＞0時，f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，ln a)，
單調(diào)遞增區(qū)間為(ln a，＋∞)．
15．函數(shù)f (x)＝ax3＋x2＋5x－1恰有3個單調(diào)區(qū)間的必要不充分條件是(　　)
A．a(chǎn)∈
B．a(chǎn)∈
C．a(chǎn)∈(－∞，0)
D．a(chǎn)∈(－∞，0)
A　[由f (x)＝ax3＋x2＋5x－1，
得f ′(x)＝3ax2＋2x＋5，
當(dāng)a＝0時，由f ′(x)＝0，解得x＝－，函數(shù)f (x)有兩個單調(diào)區(qū)間；
當(dāng)a＞0時，由Δ＝4－60a＞0，解得a＜，即0＜a＜，此時函數(shù)f (x)＝ax3＋x2＋5x－1恰有3個單調(diào)區(qū)間；
當(dāng)a＜0時，Δ＝4－60a＞0，解得a＜，即a＜0，此時函數(shù)f (x)＝ax3＋x2＋5x－1恰有3個單調(diào)區(qū)間．
綜上所述，a∈(－∞，0)是函數(shù)f (x)＝ax3＋x2＋5x－1恰有3個單調(diào)區(qū)間的充要條件，分析可得a∈是其必要不充分條件．]
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