資源簡介

第2課時　公式五和公式六
[學習目標]　1．了解公式五和公式六的推導方法．(邏輯推理)
2．靈活運用誘導公式進行三角函數式的化簡、求值和證明．(數學運算)
[討論交流]　預習教材P191－P193，并思考以下問題：
問題1．角－α的終邊與角α的終邊有怎樣的對稱關系？
問題2．誘導公式五、六的內容是什么？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　誘導公式五、六
探究問題1　在初中數學中講銳角三角函數時，曾根據直角三角形兩銳角互余關系得出銳角α與它的余角－α的三角函數之間的關系：
sin ＝cos α，cos ＝sin α，
這樣的關系式是否對任意角α成立呢？請結合如圖所示的單位圓給予分析．
提示：成立．由單位圓可知，角－α與角α的終邊關于直線y＝x對稱．
所以P1的橫坐標與P2的縱坐標相同，P1的縱坐標與P2的橫坐標相同．
[新知生成]
1．公式五
sin ＝cos α，
cos ＝sin α．
2．公式六
sin ＝cos α，
cos ＝－sin α．
【教用·微提醒】　誘導公式五、六反映的是角±α與α的三角函數值之間的關系．可借用口訣“函數名改變，符號看象限”來記憶．
【鏈接·教材例題】
例3　證明：
(1)sin ＝－cos α；(2)cos ＝sin α．
證明：(1)sin ＝sin
＝－sin ＝－cos α；
(2)cos ＝cos
＝－cos ＝sin α．
[典例講評]　1．化簡：．
[解]　原式＝＝＝－cos α．
　三角函數式化簡的方法和技巧
(1)方法：三角函數式化簡的關鍵是抓住函數名稱之間的關系和角之間的關系，據此靈活應用相關的公式及變形，解決問題．
(2)技巧：①異名化同名．②異角化同角．③切化弦．
[學以致用]　1．化簡：cos ＝(　　)
A．sin x 　　B．cos x　　C．－sin x 　　D．－cos x
C　[＝cos
＝cos ＝－sin x．]
【教用·備選題】
求證：
＝－tan a．
[證明]　左邊＝
＝－tan a＝右邊，所以原等式成立．
探究2　利用誘導公式求值
【鏈接·教材例題】
例5　已知sin (53°－α)＝，且－270°<α<－90°，求sin (37°＋α)的值．
分析：聯系條件與結論，注意到(53°－α)＋(37°＋α)＝90°，由此可利用誘導公式解決問題．
解：因為(53°－α)＋(37°＋α)＝90°，所以由誘導公式五，得
sin (37°＋α)＝sin [90°－(53°－α)]
＝cos (53°－α)
因為
－270°<α<－90°，
所以
143°<53°－α<323°．
由sin (53°－α)＝>0，得143°<53°－α<180°．
所以cos (53°－α)＝－
＝－，
所以sin(37°＋α)＝－．
[典例講評]　2．(源自蘇教版教材)已知cos (75°＋α)＝，且－180°<α<－90°，求cos (15°－α) 的值．
[解]　由－180°<α<－90°，得
－105°<75°＋α<－15°，
則sin (75°＋α)<0．
又cos (75°＋α)＝，
所以cos (15°－α)＝cos [90°－(75°＋α)]＝sin (75°＋α)＝－．
　利用互余(互補)關系求值的步驟
(1)定關系．確定已知角與所求角之間的關系，一般常見的互余關系有：－α與＋α；＋α與－α；＋α與－α等．常見的互補關系有：＋α與－α；＋α與－α等．
(2)定公式．依據確定的關系，選擇要使用的誘導公式．
(3)得結論．根據選擇的誘導公式，得到已知值和所求值之間的關系，從而得到結果．
[學以致用]　2．已知cos ，求下列各式的值：
(1)sin ；(2)sin ．
[解]　(1)sin ＝sin ＝cos ．
(2)sin ＝sin
＝－sin ＝－cos ．
探究3　誘導公式的綜合應用
【鏈接·教材例題】
例4　化簡．
解：原式
＝
＝
＝－＝－tan ．
[典例講評]　3．已知是第三象限角，
f ()＝．
(1)若cos ＝，求f ()的值；
(2)若＝－1 920°，求f ()的值．
[解]　f ()＝＝
＝－sin ·＝－cos ．
(1)∵cos ＝cos ＝－sin ＝，
∴sin ＝－．
又是第三象限角，
所以cos ＝－，
因此f ()＝－cos＝．
(2)f (－1 920°)＝－cos (－1 920°)
＝－cos (－5×360°－120°)
＝－cos (－120°)
＝－cos 120°
＝cos 60°＝．
　誘導公式綜合應用要“三看”
一看角：(1)化大為小．
(2)看角與角之間的聯系，可通過相加、相減分析兩角的關系．
二看名：一般是弦切互化．
三看形：通過分析式子，選擇合適的方法，如分式可對分子分母同乘一個式子變形．
[學以致用]　3．如圖，在平面直角坐標系中，銳角和鈍角β的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊分別與單位圓交于A，B兩點，且OA⊥OB．
(1)求的值；
(2)若點A的橫坐標為，求2sin cos β的值．
[解]　(1)∵β＝＋，
∴sin β＝sin ＝cos ，
cos β＝cos ＝－sin ，
∴＝－＝－1．
(2)∵點A的橫坐標為，
∴cos ＝，sin ＝，
cos β＝－sin ＝－，
∴2sin cos β＝2×．
【教用·備選題】　在△ABC中，已知sin ＝sin ，試判斷△ABC的形狀．
[解]　∵A＋B＋C＝π，
∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B．
又sin ＝sin ，
∴sin ＝sin ，
∴sin ＝sin ，
∴cos C＝cos B，
又B，C為△ABC的內角，∴C＝B，
∴△ABC為等腰三角形．
1．已知sin 25.3°＝a，則cos 64.7°＝(　　)
A．a　　　B．－a　　　C．a2　　　D．
A　[cos 64.7°＝cos (90°－25.3°)＝sin 25.3°＝a．]
2．(多選)若角終邊在第一象限，則下列三角函數值中是sin 的是(　　)
A．cos B．cos
C．－cos D．cos
ABC　[對于A，B，cos ＝cos ＝sin ，A，B正確；對于C，－cos ＝－(－sin )＝sin ，C正確；對于D，cos ＝－sin ，D錯誤．故選ABC．]
3．已知sin ，則cos 的值為(　　)
A． 　　　B．－ 　　　C． 　　　D．－
C　[＝cos ＝sin ＝．]
4．化簡sin (π＋)cos ＋sin cos (π＋)＝________．
－1　[原式＝(－sin )sin ＋cos (－cos )＝－sin2－cos2＝－1．]
1．知識鏈：(1)誘導公式五、六．
(2)利用誘導公式進行化簡、求值與證明．
2．方法鏈：公式法、角的構造．
3．警示牌：函數符號的變化，角與角之間的聯系與構造．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．公式一～四和公式五～六的函數名稱有什么不同？
[提示]　公式一～四中函數名稱不變，公式五～六中函數名稱改變．
2．如何用一個口訣描述誘導公式一～六？
[提示]　“奇變偶不變、符號看象限”．
課時分層作業(四十七)　公式五和公式六
一、選擇題
1．若cos >0，且sin <0，則θ是(　　)
A．第一象限角 　　　 B．第二象限角　
C．第三象限角 　　　 D．第四象限角
C　[∵cos ＝－sin θ >0，∴sin θ<0，
又sin ＝cos θ<0，
∴θ是第三象限角．故選C．]
2．已知sin 10°＝k，則cos 620°的值為(　　)
A．k 　　　B．－k 　　　C．±k 　　　D．不確定
B　[cos 620°＝cos (360°＋260°)＝cos 260°
＝cos (270°－10°)＝－sin 10°＝－k．故選B．]
3．若α為第三象限角且sin (π－α)＝－，則cos ＝(　　)
A．－ 　　　B．－ 　　　C． 　　　D．
B　[因為sin (π－α)＝sin α＝－，
則cos ＝sin α＝－．故選B．]
4．已知角α的終邊上有一點P(1，3)，則的值為(　　)
A．－ 　　　B．－ 　　　C．－ 　　　D．－4
A　[∵點P在角α的終邊上，則tan α＝3，
∴，故選A．]
5．(多選)已知sin (π＋α)＝－，則下列計算正確的是(　　)
A．sin (5π－α)＝ 　　　 B．sin ＝
C．cos ＝－ 　　　 D．tan ＝
AC　[依題意，sin (π＋α)＝－sin α＝－，sin α＝，
所以cos α＝±＝±，
所以sin(5π－α)＝sin α＝，A選項正確；
sin ＝cos α＝±，B選項錯誤；
cos ＝－sin α＝－，C選項正確；
tan ＝±，D選項錯誤．故選AC．]
二、填空題
6．已知角α＋的終邊經過點(－3，4)，則cos α＝______．
　[因為角α＋的終邊經過點(－3，4)，
所以sin ，
所以cos α＝．]
7．若sin ＝，則cos ＝________ ．
　[＝cos ＝cos ＝sin ．]
8．若f (cos x)＝cos 2x，則f (sin 15°)的值為______．
－　[因為f (sin 15°)＝f (cos 75°)＝cos 150°＝－cos 30°＝－．]
三、解答題
9．已知cos ＝，且－π<α<－，求cos 的值．
[解]　∵，
∴α－．
∵－π<α<－，
∴－＋α<－．
∵cos ，
∴sin ＝－，
∴cos＝cos []
＝sin
＝－．
10．已知角α的頂點與坐標原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它的終邊經過點P(4，－3)，則sin ·cos 的值是(　　)
A．－ 　　　B．　　　C．－ 　　　D．
A　[因為α的終邊經過點P(4，－3)，
所以sin α＝，cos α＝．
所以sin ·cos ＝cos αsin α＝＝－．故選A．]
11．(多選)cos ＝(　　)
A．sin 　　　 B．sin
C．cos 　　　 D．cos
BD　[＝sin
＝－sin ，A錯誤；
sin ＝sin
＝cos ，B正確；
cos ＝cos ＝－cos ，C錯誤；
cos ＝cos ＝cos ，D正確．
故選BD．]
12．已知0<α<，且sin ＝，則sin ＝(　　)
A．－ 　　　 B．－
C． 　　　 D．
C　[因為0<α<，所以－<α－，
又sin ，
所以cos ，
sin ＝sin ＝cos ＝cos ．
故選C．]
13．M＝cos21°＋cos22°＋…＋cos290°的值為________．
　[∵M＝cos21°＋cos22°＋…＋cos290°，
∴M＝cos21°＋cos22°＋…＋cos289°．
又M＝cos289°＋cos288°＋…＋cos21°
＝sin21°＋sin22°＋…＋sin289°，
∴2M＝1×89，即M＝．]
14．已知sin(53°－α)＝，且－270°<α<－90°．
(1)求sin (127°＋α)的值；
(2)求sin (37°＋α)的值．
[解]　(1)因為sin (53°－α)＝，所以sin (127°＋α)＝sin [180°－(53°－α)]＝sin (53°－α)＝．
(2)因為sin (53°－α)＝，且－270°<α<－90°，
所以143°<53°－α<323°，又sin (53°－α)＝>0，
所以143°<53°－α<180°，
所以cos (53°－α)＝－＝－，
所以sin(37°＋α)＝cos (53°－α)＝－．
15．是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式sin (3π－α)＝cos cos (－α)＝－cos (π＋β)同時成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，請說明理由．
[解]　由條件，得
①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2，
又sin2α＋cos2α＝1，
所以sin2α＝，cos2α＝．
又α∈，
所以α＝或α＝－．
將α＝代入②，得cos β＝．
又β∈(0，π)，
所以β＝，代入①可知符合．
將α＝－代入②得cos β＝，
又β∈(0，π)，所以β＝，代入①可知不符合．
綜上可知，存在α＝滿足條件．
12/12第2課時　公式五和公式六
[學習目標]　1．了解公式五和公式六的推導方法．(邏輯推理)
2．靈活運用誘導公式進行三角函數式的化簡、求值和證明．(數學運算)
[討論交流]　預習教材P191－P193，并思考以下問題：
問題1．角－α的終邊與角α的終邊有怎樣的對稱關系？
問題2．誘導公式五、六的內容是什么？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　誘導公式五、六
探究問題1　在初中數學中講銳角三角函數時，曾根據直角三角形兩銳角互余關系得出銳角α與它的余角－α的三角函數之間的關系：
sin ＝cos α，cos ＝sin α，
這樣的關系式是否對任意角α成立呢？請結合如圖所示的單位圓給予分析．
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[新知生成]
1．公式五
sin ＝________，
cos ＝________．
2．公式六
sin ＝________，
cos ＝________．
[典例講評]　1．化簡：．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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　三角函數式化簡的方法和技巧
(1)方法：三角函數式化簡的關鍵是抓住函數名稱之間的關系和角之間的關系，據此靈活應用相關的公式及變形，解決問題．
(2)技巧：①異名化同名．②異角化同角．③切化弦．
[學以致用]　1．化簡：cos ＝(　　)
A．sin x　　　 B．cos x
C．－sin x D．－cos x
探究2　利用誘導公式求值
[典例講評]　2．(源自蘇教版教材)已知cos (75°＋α)＝，且－180°<α<－90°，求cos (15°－α)的值．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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　利用互余(互補)關系求值的步驟
(1)定關系．確定已知角與所求角之間的關系，一般常見的互余關系有：－α與＋α；＋α與－α；＋α與－α等．常見的互補關系有：＋α與－α；＋α與－α等．
(2)定公式．依據確定的關系，選擇要使用的誘導公式．
(3)得結論．根據選擇的誘導公式，得到已知值和所求值之間的關系，從而得到結果．
[學以致用]　2．已知cos ，求下列各式的值：
(1)sin ；(2)sin ．
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探究3　誘導公式的綜合應用
[典例講評]　3．已知α是第三象限角，
f (α)＝．
(1)若cos ＝，求f (α)的值；
(2)若α＝－1 920°，求f (α)的值．
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　誘導公式綜合應用要“三看”
一看角：(1)化大為小．(2)看角與角之間的聯系，可通過相加、相減分析兩角的關系．
二看名：一般是弦切互化．
三看形：通過分析式子，選擇合適的方法，如分式可對分子分母同乘一個式子變形．
[學以致用]　3．如圖，在平面直角坐標系中，銳角α和鈍角β的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊分別與單位圓交于A，B兩點，且OA⊥OB．
(1)求的值；
(2)若點A的橫坐標為，求2sin αcos β的值．
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1．已知sin 25.3°＝a，則cos 64.7°＝(　　)
A．a B．－a
C．a2 D．
2．(多選)若角α終邊在第一象限，則下列三角函數值中是sin α的是(　　)
A．cos B．cos
C．－cos D．cos
3．已知sin ，則cos 的值為(　　)
A． B．－
C． D．－
4．化簡sin (π＋α)cos ＋sin ·cos (π＋α)＝________．
1．知識鏈：(1)誘導公式五、六．
(2)利用誘導公式進行化簡、求值與證明．
2．方法鏈：公式法、角的構造．
3．警示牌：函數符號的變化，角與角之間的聯系與構造．
1/25.3　誘導公式
第1課時　公式二、公式三和公式四
[學習目標]　1．了解公式二、公式三和公式四的推導方法．(邏輯推理)
2．掌握公式二、公式三和公式四，并能靈活應用．(數學運算)
[討論交流]　預習教材P188－P190，并思考以下問題：
問題1．π±α，－α的終邊與α的終邊有怎樣的對稱關系？
問題2．誘導公式二、三、四的內容是什么？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　誘導公式二～四
探究問題1　觀察單位圓，回答下列問題：
(1)角α與角π＋α的終邊有什么關系？
(2)角α與角π＋α的終邊與單位圓的交點P，P1有什么對稱關系？
(3)在(2)中，點P，P1的坐標有什么關系？由此你能得到它們的正弦、余弦、正切之間的關系嗎？
提示：(1)角π＋α的終邊與角α的終邊關于原點對稱；(2)點P1與點P關于原點對稱．
(3)sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan (π＋α)＝tan α．
探究問題2 (1)角－α的終邊與角α的終邊有什么關系？角－α的終邊與單位圓的交點P2(cos (－α)，sin (－α))與點P(cos α，sin α)有怎樣的關系？
(2)點P與點P2的坐標有什么關系？
提示：(1)角－α的終邊與角α的終邊關于x軸對稱，點P2與點P關于x軸對稱．
(2)點P與點P2的橫坐標相等，縱坐標相反．
探究問題3　你能否借助π＋α，－α與α的終邊關系，猜想到角π－α與α終邊與單位圓的交點之間的關系，兩交點的坐標有什么聯系？
提示：角π－α與角α的終邊與單位圓的交點關于y軸對稱，兩點的橫坐標相反，縱坐標相等．
[新知生成]
1．公式二
sin(π＋α)＝－sin α，
cos (π＋α)＝－cos α，
tan (π＋α)＝tan α．
2．公式三
sin (－α)＝－sin α，
cos (－α)＝cos α，
tan (－α)＝－tan α．
3．公式四
sin (π－α)＝sin α，
cos (π－α)＝－cos α，
tan (π－α)＝－tan α．
【教用·微提醒】　“函數名不變，符號看象限”．
【鏈接·教材例題】
例1　利用公式求下列三角函數值：
(1)cos 225°；(2)sin ；(3)sin ；(4)tan (－2 040°)．
解：(1)cos 225°＝cos (180°＋45°)＝－cos 45°＝－；
(2)sin ＝sin ＝sin ＝sin ＝sin ；
(3)sin ＝－sin ＝－sin ＝－；
(4)tan (－2 040°)＝－tan 2 040°
＝－tan (6×360°－120°)
＝tan 120°＝tan (180°－60°)
＝－tan 60°＝－．
[典例講評]　1．(源自蘇教版教材)求值：
(1)sin ；(2)cos ；(3)tan (－1 560°)．
[解]　(1)sin ＝sin ＝－sin ．
(2)cos ＝cos ＝cos ＝cos
＝－cos ．
(3)tan (－1 560°)＝－tan 1 560°＝－tan (4×360°＋120°)＝－tan 120°＝－tan (180°－60°)＝tan 60°＝．
　利用誘導公式求任意角三角函數值的步驟
(1)“負化正”——用公式一或三來轉化．
(2)“大化小”——用公式一將角化為0°到360°間的角．
(3)“小化銳”——用公式二或四將大于90°的角轉化為銳角．
(4)“銳求值”——得到銳角的三角函數后求值．
[學以致用]　1．求值：sin (－1 200°)cos 1 290°＋cos (－1 020°)sin (－1 050°)＝________．
1　[由題意，原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin 1 050°
＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)
－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)
＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°
＝－sin(180°－60°)·cos(180°＋30°)
－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)
＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°
＝
＝1．]
探究2　給值(式)求值問題
[典例講評]　2．已知cos ＝，求cos －sin2的值．
[解]　因為cos＝cos
＝－cos ＝－，
sin2＝sin2＝sin2
＝1－cos2＝1－＝，
所以cos－sin2＝－．
[母題探究]　
1．若本例的條件不變，求cos的值．
[解]　cos ＝cos
＝cos ＝cos ．
2．若本例的條件不變，求cos －sin2的值．
[解]　cos－sin2
＝cos－sin2
＝－cos－sin2＝－
＝－．
　解決條件求值問題的技巧
[學以致用]　2．已知cos(75°＋α)＝，則cos (105°－α)的值為(　　)
A．－ 　　　B．－ 　　　C． 　　　D．
A　[因為105°－α＝180°－(75°＋α)，cos (75°＋α)＝，
所以cos (105°－α)＝cos [180°－(75°＋α)]
＝－cos (75°＋α)＝－．
故選A．]
【教用·備選題】　已知cos (α－75°)＝－，且α為第四象限角，求sin (105°＋α)的值．
[解]　∵cos (α－75°)＝－＜0，且α為第四象限角，
∴α－75°是第三象限角．
∴sin (α－75°)＝－
＝－，
∴sin(105°＋α)＝sin [180°＋(α－75°)]
＝－sin (α－75°)＝．
探究3　利用誘導公式化簡
【鏈接·教材例題】
例2　化簡．
解：tan (－α－180°)＝tan [－(180°＋α)]
＝－tan (180°＋α)
＝－tan α，
cos (－180°＋α)＝cos [－(180°－α)]
＝cos (180°－α)
＝－cos α，
所以原式＝＝－cos α．
[典例講評]　3．(1)化簡：＝________．
(2)＝________．
(1)－1　(2)－1　[(1)
＝＝－1．
(2)原式＝
＝＝－1．]
　三角函數式化簡的常用方法
(1)利用誘導公式，將任意角的三角函數轉化為銳角三角函數．
(2)切化弦：一般需將表達式中的正切函數轉化為正弦、余弦函數．
(3)注意“1”的代換：1＝sin2α＋cos2α＝tan．
[學以致用]　3．已知tan (π＋α)＝3，求的值．
[解]　因為tan (π＋α)＝3，所以tan α＝3．
故
＝
＝＝7．
1．sin (－390°)的值為(　　)
A． 　　　B．－ 　　　C． 　　　D．－
D　[sin (－390°)＝sin (－360°－30°)＝sin (－30°)＝－sin 30°＝－．故選D．]
2．(多選)如果α＋β＝180°，那么下列等式中不成立的是(　　)
A．cos α＝cos β 　　　 B．cos α＝－cos β
C．sin α＝－sin β 　　　 D．sin α＝cos β
ACD　[因為α＋β＝180°，所以α＝180°－β．
對于A選項，cos α＝cos (180°－β)＝－cos β，故A選項錯誤，B選項正確；
對于C選項，sin α＝sin (180°－β)＝sin β，故C選項錯誤，
對于D選項，由于sin α＝sin β，
所以sin β＝cos β，顯然不一定成立，故D選項錯誤．故選ACD．]
3．已知sin (45°＋α)＝，則sin (135°－α)＝________．
　[sin (135°－α)＝sin [180°－(45°＋α)]
＝sin (45°＋α)＝．]
4．化簡：(1)＝________；
(2)＝________．
(1)－cos2α　(2)－cos α　[(1)
＝＝＝－cos2α．
(2)＝－cos α．]
1．知識鏈：(1)誘導公式二～四．
(2)給角求值，給值(式)求值．
2．方法鏈：數形結合、公式法．
3．警示牌：符號的確定．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．你能概括一下公式一～四的特征嗎？
[提示]　誘導公式一～四可簡要概括為“α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函數值，等于α的同名函數值，前面加上一個把α看成銳角時原函數值的符號”，或者簡述為“函數名不變，符號看象限”．
2．如何應用公式一～四把任意角的三角函數轉化為銳角三角函數？
[提示]　
課時分層作業(四十六)　公式二、公式三和公式四
一、選擇題
1．若sin A＝，則sin (6π－A)的值為(　　)
A． 　　　B．－ 　　　C．－ 　　　D．
B　[利用誘導公式可得sin (6π－A)＝sin (－A)＝－sin A＝－．故選B．]
2．如圖所示，角θ的終邊與單位圓交于點P，則cos (π－θ)的值為(　　)
A．－　　　B．－　　　C． 　　　D．
C　[由題意可知cos θ＝－，cos (π－θ)＝－cos θ＝－．故選C．]
3．sin 210°cos 120°的值為(　　)
A． 　　　B．－ 　　　C．－ 　　　D．
A　[sin 210°cos 120°＝sin (180°＋30°)cos (180°－60°)＝－sin 30°(－cos 60°)＝－，故選A．]
4．已知sin ＝，則sin ＝(　　)
A． 　　　B．－ 　　　C． 　　　D．－
B　[∵sin ，
∴sin ＝－sin
＝－sin ＝－sin ＝－，
故選B．]
5．(多選)已知△ABC的內角A，B，C，下列式子中正確的有(　　)
A．sin (B＋C )＝sin A
B．cos (B＋C )＝cos A
C．tan (B＋C )＝tan A
D．sin2A＋cos2(B＋C )＝1
AD　[依題意，在△ABC中，B＋C＝π－A，sin(B＋C )＝sin (π－A)＝sin A，A正確；
cos (B＋C )＝cos (π－A)＝－cos A，B錯誤；
tan (B＋C )＝tan (π－A)＝－tan A，C錯誤；
sin2A＋cos2(B＋C )＝sin2A＋cos2A＝1，D正確．故選AD．]
二、填空題
6．已知sin(π－α)＝，則cos (α－2 025π)＝________．
±　[∵sin (π－α)＝，∴sin α＝，
cos (α－2 025π)＝－cos α＝±．]
7．已知tan ＝5，則tan ＝________．
－5　[＝tan
＝－tan ＝－5．]
8．若tan (5π＋α)＝m，則的值為________．
　[因為tan (5π＋α)＝tan α＝m，
所以原式＝．]
三、解答題
9．設角α的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它的終邊上有一點P，且tan α＝－．
(1)求a及sin α，cos α的值；
(2)求的值．
[解]　(1)∵tan α＝，∴a＝－4．
又P＝1，
∴sin α＝y＝－，cos α＝x＝．
(2)原式＝＝cos2α＝．
10．在△ABC中，A＝，則sin A－cos (B＋C )的值為(　　)
A． 　　　B． 　　　C． 　　　D．2
B　[∵A＝，A＋B＋C＝π，
∴sin A－cos (B＋C )＝sin A－cos (π－A)
＝sin A＋cos A＝．故選B．]
11．已知sin (α－360°)－cos (180°－α)＝m，則sin (180°＋α)·cos (180°－α)＝(　　)
A． 　　　B．　　　C． 　　　D．－
A　[sin (α－360°)－cos (180°－α)＝sin α＋cos α＝m，
sin (180°＋α)cos (180°－α)＝sin αcos α
＝．]
12．(多選)定義：角θ與φ都是任意角，若滿足θ＋φ＝π，則稱θ與φ“廣義互補”．已知sin (π＋α)＝－，下列角β中，可能與角α“廣義互補”的是(　　)
A．sin β＝
B．cos (π＋β)＝
C．tan β＝
D．cos (2π－β)＝－
ABD　[∵sin (π＋α)＝－sin α＝－，
∴sin α＝，若α＋β＝π，則β＝π－α．
A中，sin β＝sin (π－α)＝sin α＝．故A符合條件；
B中，cos (π＋β)＝cos (2π－α)＝cos α＝±，故B符合條件；
C中，tan β＝，即sin β＝cos β，
又sin2β＋cos2β＝1，
故sin β＝±，即C不符合條件；
D中，cos (2π－β)＝cos [2π－(π－α)]＝cos (π＋α)＝－cos α＝±，故D符合條件．故選ABD．]
13．(2021·北京高考)若點P(cos θ，sin θ)關于y軸的對稱點為Q，則θ的一個取值為________．
(答案不唯一)　[由題意可知
結合誘導公式可知θ＋＝π－θ＋2kπ，k∈Z，解得θ＝＋kπ，k∈Z．
即符合題意的θ可取．]
14．已知<α<，cos ＝m(m≠0)，求tan 的值．
[解]　∵＝π，
∴－α＝π－，
∵<α<，
∴<α＋<π，
∴sin ，
∴tan＝tan
＝－tan ＝－
＝－．
15．設k為整數，化簡：．
[解]　法一：(分類討論)當k為偶數時，設k＝2m(m∈Z)，
則原式＝
＝
＝＝－1；
當k為奇數時，設k＝2m＋1(m∈Z)，同理可得原式＝－1．所以原式＝－1．
法二：(配角法)由于kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，故cos [(k－1)π－α]＝cos [(k＋1)π＋α]＝－cos (kπ＋α)，sin [(k＋1)π＋α]＝－sin (kπ＋α)，
sin (kπ－α)＝－sin (kπ＋α)．
所以原式＝＝－1．
12/12(共33張PPT)
第2課時　公式五和公式六
第五章　三角函數
5.3　誘導公式
[學習目標]　1．了解公式五和公式六的推導方法．(邏輯推理)
2．靈活運用誘導公式進行三角函數式的化簡、求值和證明．(數學運算)
[討論交流]　預習教材P191－P193，并思考以下問題：
問題1．角－α的終邊與角α的終邊有怎樣的對稱關系？
問題2．誘導公式五、六的內容是什么？
整體感知
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　誘導公式五、六
探究問題1　在初中數學中講銳角三角函數時，曾根據直角三角形兩銳角互余關系得出銳角α與它的余角－α的三角函數之間的關系：
sin ＝cos α，cos ＝sin α，
探究建構
這樣的關系式是否對任意角α成立呢？請結合如圖所示的單位圓給予分析．
提示：成立．由單位圓可知，角－α與角α的終邊關于直線y＝x對稱．
所以P1的橫坐標與P2的縱坐標相同，P1的縱坐標與P2的橫坐標相同．
[新知生成]
1．公式五
sin ＝______，
cos ＝______．
2．公式六
sin ＝______，
cos ＝________．
【教用·微提醒】　誘導公式五、六反映的是角±α與α的三角函數值之間的關系．可借用口訣“函數名改變，符號看象限”來記憶．
cos α
sin α
cos α
－sin α
【鏈接·教材例題】
例3　證明：(1)sin ＝－cos α；(2)cos ＝sin α．
證明：(1)sin ＝sin
＝－sin ＝－cos α；
(2)cos ＝cos
＝－cos ＝sin α．
[典例講評]　1．化簡：．
[解]　原式＝＝＝－cos α．
反思領悟　三角函數式化簡的方法和技巧
(1)方法：三角函數式化簡的關鍵是抓住函數名稱之間的關系和角之間的關系，據此靈活應用相關的公式及變形，解決問題．
(2)技巧：①異名化同名．②異角化同角．③切化弦．
[學以致用]　1．化簡：cos ＝(　　)
A．sin x 　　B．cos x　　C．－sin x 　　D．－cos x
C　[＝cos
＝cos ＝－sin x．]
√
【教用·備選題】
求證：＝－tan a．
[證明]　左邊＝
＝－tan a＝右邊，所以原等式成立．
探究2　利用誘導公式求值
【鏈接·教材例題】
例5　已知sin (53°－α)＝，且－270°<α<－90°，求sin (37°＋α)的值．
分析：聯系條件與結論，注意到(53°－α)＋(37°＋α)＝90°，由此可利用誘導公式解決問題．
解：因為(53°－α)＋(37°＋α)＝90°，所以由誘導公式五，得
sin (37°＋α)＝sin [90°－(53°－α)]＝cos (53°－α)
因為－270°<α<－90°，所以143°<53°－α<323°．
由sin (53°－α)＝>0，得143°<53°－α<180°．
所以cos (53°－α)＝－＝－，
所以sin(37°＋α)＝－．
[典例講評]　2．(源自蘇教版教材)已知cos (75°＋α)＝，且－180°
<α<－90°，求cos (15°－α) 的值．
[解]　由－180°<α<－90°，得－105°<75°＋α<－15°，
則sin (75°＋α)<0．又cos (75°＋α)＝，
所以cos (15°－α)＝cos [90°－(75°＋α)]＝sin (75°＋α)
＝－．
反思領悟　利用互余(互補)關系求值的步驟
(1)定關系．確定已知角與所求角之間的關系，一般常見的互余關系有：－α與＋α；＋α與－α；＋α與－α等．常見的互補關系有：＋α與－α；＋α與－α等．
(2)定公式．依據確定的關系，選擇要使用的誘導公式．
(3)得結論．根據選擇的誘導公式，得到已知值和所求值之間的關系，從而得到結果．
[學以致用]　2．已知cos ，求下列各式的值：
(1)sin ；(2)sin ．
[解]　(1)sin ＝sin ＝cos ．
(2)sin ＝sin
＝－sin ＝－cos ．
探究3　誘導公式的綜合應用
【鏈接·教材例題】
例4　化簡．
解：原式
＝
＝＝－＝－tan ．
[典例講評]　3．已知是第三象限角，
f ()＝．
(1)若cos ＝，求f ()的值；
(2)若＝－1 920°，求f ()的值．
[解]　f ()＝＝
＝－sin ·＝－cos ．
(1)∵cos ＝cos ＝－sin ＝，
∴sin ＝－．
又是第三象限角，
所以cos ＝－，
因此f ()＝－cos＝．
(2) f (－1 920°)＝－cos (－1 920°)
＝－cos (－5×360°－120°)
＝－cos (－120°)
＝－cos 120°
＝cos 60°＝．
反思領悟　誘導公式綜合應用要“三看”
一看角：(1)化大為小．
(2)看角與角之間的聯系，可通過相加、相減分析兩角的關系．
二看名：一般是弦切互化．
三看形：通過分析式子，選擇合適的方法，如分式可對分子分母同乘一個式子變形．
[學以致用]　3．如圖，在平面直角坐標系中，銳角和鈍角β的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊分別與單位圓交于A，B兩點，且OA⊥OB．
(1)求的值；
(2)若點A的橫坐標為，求2sin cos β的值．
[解]　(1)∵β＝＋，
∴sin β＝sin ＝cos ，
cos β＝cos ＝－sin ，
∴＝－＝－1．
(2)∵點A的橫坐標為，
∴cos ＝，sin ＝，
cos β＝－sin ＝－，
∴2sin cos β＝2×．
【教用·備選題】　在△ABC中，已知sin ＝sin ，試判斷△ABC的形狀．
[解]　∵A＋B＋C＝π，∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B．
又sin ＝sin ，∴sin ＝sin ，
∴sin ＝sin ，∴cos C＝cos B，
又B，C為△ABC的內角，∴C＝B，∴△ABC為等腰三角形．
1．已知sin 25.3°＝a，則cos 64.7°＝(　　)
A．a　　　B．－a　　　C．a2　　　D．
2
4
3
題號
1
應用遷移
√
A　[cos 64.7°＝cos (90°－25.3°)＝sin 25.3°＝a．]
2．(多選)若角終邊在第一象限，則下列三角函數值中是sin 的是(　　)
A．cos B．cos
C．－cos D．cos
2
3
題號
1
4
√
ABC　[對于A，B，cos ＝cos ＝sin ，A，B正確；對于C，－cos ＝－(－sin )＝sin ，C正確；對于D，
cos ＝－sin ，D錯誤．故選ABC．]
√
√
3．已知sin ，則cos 的值為(　　)
A． 　　　B．－ 　　　C． 　　　D．－
2
3
題號
4
1
√
C　[＝cos ＝sin ＝．]
4．化簡sin (π＋)cos ＋sin cos (π＋)＝______．
2
4
3
題號
1
－1　[原式＝(－sin )sin ＋cos (－cos )＝－sin2－cos2
＝－1．]
－1　
1．知識鏈：(1)誘導公式五、六．
(2)利用誘導公式進行化簡、求值與證明．
2．方法鏈：公式法、角的構造．
3．警示牌：函數符號的變化，角與角之間的聯系與構造．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．公式一～四和公式五～六的函數名稱有什么不同？
[提示]　公式一～四中函數名稱不變，公式五～六中函數名稱改變．
2．如何用一個口訣描述誘導公式一～六？
[提示]　“奇變偶不變、符號看象限”．
課時分層作業(四十七)
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公式五和公式六
（WORD版）
鞏固課堂所學 · 激發學習思維
夯實基礎知識 · 熟悉命題方式
自我檢測提能 · 及時矯正不足
本節課掌握了哪些考點？
本節課還有什么疑問點？
課后訓練
學習反思
課時小結
THANKS課時分層作業(四十七)　公式五和公式六
一、選擇題
1．若cos >0，且sin <0，則θ是(　　)
A．第一象限角 　　　 B．第二象限角　
C．第三象限角 　　　 D．第四象限角
2．已知sin 10°＝k，則cos 620°的值為(　　)
A．k 　　　B．－k 　　　C．±k 　　　D．不確定
3．若α為第三象限角且sin (π－α)＝－，則cos ＝(　　)
A．－ 　　　B．－ 　　　C． 　　　D．
4．已知角α的終邊上有一點P(1，3)，則的值為(　　)
A．－ 　　　B．－ 　　　C．－ 　　　D．－4
5．(多選)已知sin (π＋α)＝－，則下列計算正確的是(　　)
A．sin (5π－α)＝ 　　　 B．sin ＝
C．cos ＝－ 　　　 D．tan ＝
二、填空題
6．已知角α＋的終邊經過點(－3，4)，則cos α＝______．
7．若sin ＝，則cos ＝________ ．
8．若f (cos x)＝cos 2x，則f (sin 15°)的值為______．
三、解答題
9．已知cos ＝，且－π<α<－，求cos 的值．
10．已知角α的頂點與坐標原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它的終邊經過點P(4，－3)，則sin ·cos 的值是(　　)
A．－ 　　　B．　　　C．－ 　　　D．
11．(多選)cos ＝(　　)
A．sin 　　　 B．sin
C．cos 　　　 D．cos
12．已知0<α<，且sin ＝，則sin ＝(　　)
A．－ 　　　 B．－
C． 　　　 D．
13．M＝cos21°＋cos22°＋…＋cos290°的值為________．
14．已知sin(53°－α)＝，且－270°<α<－90°．
(1)求sin (127°＋α)的值；
(2)求sin (37°＋α)的值．
15．是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式sin (3π－α)＝cos cos (－α)＝－cos (π＋β)同時成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，請說明理由．
2/2(共31張PPT)
第1課時　公式二、公式三和公式四
第五章　三角函數
5.3　誘導公式
[學習目標]　1．了解公式二、公式三和公式四的推導方法．(邏輯推理)
2．掌握公式二、公式三和公式四，并能靈活應用．(數學運算)
[討論交流]　預習教材P188－P190，并思考以下問題：
問題1．π±α，－α的終邊與α的終邊有怎樣的對稱關系？
問題2．誘導公式二、三、四的內容是什么？
整體感知
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　誘導公式二～四
探究問題1　觀察單位圓，回答下列問題：
探究建構
(1)角α與角π＋α的終邊有什么關系？
(2)角α與角π＋α的終邊與單位圓的交點P，
P1有什么對稱關系？
(3)在(2)中，點P，P1的坐標有什么關系？由此你能得到它們的正弦、余弦、正切之間的關系嗎？
提示：(1)角π＋α的終邊與角α的終邊關于原點對稱；
(2)點P1與點P關于原點對稱．
(3)sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan (π＋α)＝tan α．
探究問題2(1)角－α的終邊與角α的終邊有什么關系？角－α的終邊與單位圓的交點P2(cos (－α)，sin (－α))與點P(cos α，sin α)有怎樣的關系？
(2)點P與點P2的坐標有什么關系？
提示：(1)角－α的終邊與角α的終邊關于x軸對稱，
點P2與點P關于x軸對稱．
(2)點P與點P2的橫坐標相等，縱坐標相反．
探究問題3　你能否借助π＋α，－α與α的終邊關系，猜想到角π－α與α終邊與單位圓的交點之間的關系，兩交點的坐標有什么聯系？
提示：角π－α與角α的終邊與單位圓的交點關于y軸對稱，兩點的橫坐標相反，縱坐標相等．
[新知生成]
1．公式二
sin(π＋α)＝________，
cos (π＋α)＝________，
tan (π＋α)＝_____．
3．公式四
sin (π－α)＝______，
cos (π－α)＝________，
tan (π－α)＝________．
【教用·微提醒】　“函數名不變，符號看象限”．
－sin α
－cos α
tan α
－sin α
cos α
－tan α
sin α
－cos α
－tan α
2．公式三
sin (－α)＝_______，
cos (－α)＝______，
tan (－α)＝________．
【鏈接·教材例題】
例1　利用公式求下列三角函數值：
(1)cos 225°；(2)sin ；(3)sin ；(4)tan (－2 040°)．
解：(1)cos 225°＝cos (180°＋45°)＝－cos 45°＝－；
(2)sin ＝sin ＝sin ＝sin ＝sin ；
(3)sin ＝－sin ＝－sin ＝－；
(4)tan (－2 040°)＝－tan 2 040°＝－tan (6×360°－120°)
＝tan 120°＝tan (180°－60°)＝－tan 60°＝－．
[典例講評]　1．(源自蘇教版教材)求值：
(1)sin ；(2)cos ；(3)tan (－1 560°)．
[解]　(1)sin ＝sin ＝－sin ．
(2)cos ＝cos ＝cos ＝cos ＝－cos ．
(3)tan (－1 560°)＝－tan 1 560°＝－tan (4×360°＋120°)
＝－tan 120°＝－tan (180°－60°)＝tan 60°＝．
反思領悟　利用誘導公式求任意角三角函數值的步驟
(1)“負化正”——用公式一或三來轉化．
(2)“大化小”——用公式一將角化為0°到360°間的角．
(3)“小化銳”——用公式二或四將大于90°的角轉化為銳角．
(4)“銳求值”——得到銳角的三角函數后求值．
[學以致用]　1．求值：sin (－1 200°)cos 1 290°＋cos (－1 020°) sin (－1 050°)＝_____．
1　[由題意，原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin 1 050°
＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)
－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)
＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°
＝－sin(180°－60°)·cos(180°＋30°)
－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)
＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝＝1．]
1　
探究2　給值(式)求值問題
[典例講評]　2．已知cos ＝，求cos －sin2的值．
[解]　因為cos＝cos ＝－cos ＝－，
sin2＝sin2＝sin2
＝1－cos2＝1－＝，
所以cos－sin2＝－．
[母題探究]　
1．若本例的條件不變，求cos的值．
[解]　cos ＝cos
＝cos ＝cos ．
2．若本例的條件不變，求cos －sin2的值．
[解]　cos－sin2
＝cos－sin2
＝－cos－sin2＝－
＝－．
反思領悟　解決條件求值問題的技巧
[學以致用]　2．已知cos(75°＋α)＝，則cos (105°－α)的值為(　　)
A．－ 　　　B．－ 　　　C． 　　　D．
A　[因為105°－α＝180°－(75°＋α)，cos (75°＋α)＝，
所以cos (105°－α)＝cos [180°－(75°＋α)]
＝－cos (75°＋α)＝－．
故選A．]
√
【教用·備選題】　已知cos (α－75°)＝－，且α為第四象限角，求sin (105°＋α)的值．
[解]　∵cos (α－75°)＝－＜0，且α為第四象限角，
∴α－75°是第三象限角．
∴sin (α－75°)＝－＝－，
∴sin(105°＋α)＝sin [180°＋(α－75°)]＝－sin (α－75°)＝．
探究3　利用誘導公式化簡
【鏈接·教材例題】
例2　化簡．
解：tan (－α－180°)＝tan [－(180°＋α)]＝－tan (180°＋α)＝－tan α，
cos (－180°＋α)＝cos [－(180°－α)]＝cos (180°－α)＝－cos α，
所以原式＝＝－cos α．
[典例講評]　3．(1)化簡：＝______．
(2)＝________．
(1)－1　(2)－1　[(1)
＝＝－1．
(2)原式＝＝＝－1．]
－1
－1
反思領悟　三角函數式化簡的常用方法
(1)利用誘導公式，將任意角的三角函數轉化為銳角三角函數．
(2)切化弦：一般需將表達式中的正切函數轉化為正弦、余弦函數．
(3)注意“1”的代換：1＝sin2α＋cos2α＝tan．
[學以致用]　3．已知tan (π＋α)＝3，求的值．
[解]　因為tan (π＋α)＝3，所以tan α＝3．
故
＝
＝＝7．
1．sin (－390°)的值為(　　)
A． 　　　B．－ 　　　C． 　　　D．－
2
4
3
題號
1
應用遷移
√
D　[sin (－390°)＝sin (－360°－30°)＝sin (－30°)＝－sin 30°＝－．故選D．]
2．(多選)如果α＋β＝180°，那么下列等式中不成立的是(　　)
A．cos α＝cos β 　　　 B．cos α＝－cos β
C．sin α＝－sin β 　　　 D．sin α＝cos β
2
3
題號
1
4
√
ACD　[因為α＋β＝180°，所以α＝180°－β．
對于A選項，cos α＝cos (180°－β)＝－cos β，故A選項錯誤，B選項正確；
對于C選項，sin α＝sin (180°－β)＝sin β，故C選項錯誤，
對于D選項，由于sin α＝sin β，
所以sin β＝cos β，顯然不一定成立，故D選項錯誤．故選ACD．]
√
√
3．已知sin (45°＋α)＝，則sin (135°－α)＝________．
2
3
題號
4
1
　[sin (135°－α)＝sin [180°－(45°＋α)]
＝sin (45°＋α)＝．]
　
4．化簡：(1)＝________；
(2)＝________．
2
4
3
題號
1
(1)－cos2α　(2)－cos α　[(1)
＝＝＝－cos2α．
(2)＝－cos α．]
－cos α
－cos2α　
1．知識鏈：(1)誘導公式二～四．
(2)給角求值，給值(式)求值．
2．方法鏈：數形結合、公式法．
3．警示牌：符號的確定．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．你能概括一下公式一～四的特征嗎？
[提示]　誘導公式一～四可簡要概括為“α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函數值，等于α的同名函數值，前面加上一個把α看成銳角時原函數值的符號”，或者簡述為“函數名不變，符號看象限”．
2．如何應用公式一～四把任意角的三角函數轉化為銳角三角函數？
[提示]　
課時分層作業(四十六)
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公式二、公式三和公式四
（WORD版）
鞏固課堂所學 · 激發學習思維
夯實基礎知識 · 熟悉命題方式
自我檢測提能 · 及時矯正不足
本節課掌握了哪些考點？
本節課還有什么疑問點？
課后訓練
學習反思
課時小結
s
THANKS課時分層作業(四十六)　公式二、公式三和公式四
一、選擇題
1．若sin A＝，則sin (6π－A)的值為(　　)
A． 　　　B．－ 　　　C．－ 　　　D．
2．如圖所示，角θ的終邊與單位圓交于點P，則cos (π－θ)的值為(　　)
A．－　　　B．－　　　C． 　　　D．
3．sin 210°cos 120°的值為(　　)
A． 　　　B．－ 　　　C．－ 　　　D．
4．已知sin ＝，則sin ＝(　　)
A． 　　　B．－ 　　　C． 　　　D．－
5．(多選)已知△ABC的內角A，B，C，下列式子中正確的有(　　)
A．sin (B＋C )＝sin A
B．cos (B＋C )＝cos A
C．tan (B＋C )＝tan A
D．sin2A＋cos2(B＋C )＝1
二、填空題
6．已知sin(π－α)＝，則cos (α－2 025π)＝________．
7．已知tan ＝5，則tan ＝________．
8．若tan (5π＋α)＝m，則的值為________．
三、解答題
9．設角α的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它的終邊上有一點P，且tan α＝－．
(1)求a及sin α，cos α的值；
(2)求的值．
10．在△ABC中，A＝，則sin A－cos (B＋C )的值為(　　)
A． 　　　B． 　　　C． 　　　D．2
11．已知sin (α－360°)－cos (180°－α)＝m，則sin (180°＋α)·cos (180°－α)＝(　　)
A． 　　　B．　　　C． 　　　D．－
12．(多選)定義：角θ與φ都是任意角，若滿足θ＋φ＝π，則稱θ與φ“廣義互補”．已知sin (π＋α)＝－，下列角β中，可能與角α“廣義互補”的是(　　)
A．sin β＝
B．cos (π＋β)＝
C．tan β＝
D．cos (2π－β)＝－
13．(2021·北京高考)若點P(cos θ，sin θ)關于y軸的對稱點為Q，則θ的一個取值為________．
14．已知<α<，cos ＝m(m≠0)，求tan 的值．
15．設k為整數，化簡：．
2/35.3　誘導公式
第1課時　公式二、公式三和公式四
[學習目標]　1．了解公式二、公式三和公式四的推導方法．(邏輯推理)
2．掌握公式二、公式三和公式四，并能靈活應用．(數學運算)
[討論交流]　預習教材P188－P190，并思考以下問題：
問題1．π±α，－α的終邊與α的終邊有怎樣的對稱關系？
問題2．誘導公式二、三、四的內容是什么？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　誘導公式二～四
探究問題1　觀察單位圓，回答下列問題：
(1)角α與角π＋α的終邊有什么關系？
(2)角α與角π＋α的終邊與單位圓的交點P，P1有什么對稱關系？
(3)在(2)中，點P，P1的坐標有什么關系？由此你能得到它們的正弦、余弦、正切之間的關系嗎？
探究問題2 (1)角－α的終邊與角α的終邊有什么關系？角－α的終邊與單位圓的交點P2(cos (－α)，sin (－α))與點P(cos α，sin α)有怎樣的關系？
(2)點P與點P2的坐標有什么關系？
探究問題3　你能否借助π＋α，－α與α的終邊關系，猜想到角π－α與α終邊與單位圓的交點之間的關系，兩交點的坐標有什么聯系？
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[新知生成]
1．公式二
sin(π＋α)＝________，
cos (π＋α)＝________，
tan (π＋α)＝________．
2．公式三
sin (－α)＝________，
cos (－α)＝________，
tan (－α)＝________．
3．公式四
sin (π－α)＝________，
cos (π－α)＝________，
tan (π－α)＝________．
[典例講評]　1．(源自蘇教版教材)求值：
(1)sin ；(2)cos ；
[嘗試解答]___________________________________________________________
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(3)tan (－1 560°)．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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　利用誘導公式求任意角三角函數值的步驟
(1)“負化正”——用公式一或三來轉化．
(2)“大化小”——用公式一將角化為0°到360°間的角．
(3)“小化銳”——用公式二或四將大于90°的角轉化為銳角．
(4)“銳求值”——得到銳角的三角函數后求值．
[學以致用]　1．求值：sin (－1 200°)cos 1 290°＋cos (－1 020°)sin (－1 050°)＝________．
探究2　給值(式)求值問題
[典例講評]　2．已知cos ＝，求cos －sin2的值．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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[母題探究]　
1．若本例的條件不變，求cos的值．
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2．若本例的條件不變，求cos －sin2的值．
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　解決條件求值問題的技巧
[學以致用]　2．已知cos(75°＋α)＝，則cos (105°－α)的值為(　　)
A．－　　　B．－　　　C．　　　D．
探究3　利用誘導公式化簡
[典例講評]　3．(1)化簡：＝________．
(2)＝________．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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　三角函數式化簡的常用方法
(1)利用誘導公式，將任意角的三角函數轉化為銳角三角函數．
(2)切化弦：一般需將表達式中的正切函數轉化為正弦、余弦函數．
(3)注意“1”的代換：1＝sin2α＋cos2α＝tan ．
[學以致用]　3．已知tan (π＋α)＝3，
求的值．
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1．sin (－390°)的值為(　　)
A．　　　B．－　　　C．　　　D．－
2．(多選)如果α＋β＝180°，那么下列等式中不成立的是(　　)
A．cos α＝cos β B．cos α＝－cos β
C．sin α＝－sin β D．sin α＝cos β
3．已知sin (45°＋α)＝，則sin (135°－α)＝________．
4．化簡：(1)＝______；
(2)＝________．
1．知識鏈：(1)誘導公式二～四．
(2)給角求值，給值(式)求值．
2．方法鏈：數形結合、公式法．
3．警示牌：符號的確定．
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