資源簡介

5.4.3　正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1．了解正切函數(shù)圖象的畫法，理解并掌握正切函數(shù)的性質(zhì)．(直觀想象、數(shù)學(xué)抽象)
2．能利用正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決有關(guān)問題．(直觀想象、數(shù)學(xué)運算)
[討論交流]　預(yù)習(xí)教材P209－P212，并思考以下問題：
問題1．如何借助單位圓畫正切函數(shù)圖象？
問題2．正切函數(shù)的性質(zhì)有哪些？
[自我感知]　經(jīng)過認(rèn)真的預(yù)習(xí)，結(jié)合對本節(jié)課的理解和認(rèn)識，請畫出本節(jié)課的知識邏輯體系．
探究1　正切函數(shù)的定義域、周期性與奇偶性
探究問題1　結(jié)合與正切有關(guān)的誘導(dǎo)公式：tan (π＋α)＝tan α，tan (－α)＝－tan α，說明正切函數(shù)有什么性質(zhì)？
提示：tan (π＋x)＝tan x說明y＝tan x是周期函數(shù)，tan (－x)＝－tan x說明y＝tan x是奇函數(shù)．
[新知生成]
正切函數(shù)y＝tan x，x∈R且x≠kπ＋，k∈Z，是奇函數(shù)，也是周期函數(shù)，其最小正周期是π．
[典例講評]　1．(1)函數(shù)f (x)＝tan 的最小正周期為(　　)
A． 　　　B． 　　　C．π 　　　D．2π
(2)函數(shù)y＝的定義域為________．
(1)A　(2)　[(1)函數(shù)f (x)＝tan (ωx＋φ)的最小正周期T＝，直接利用公式，可得T＝．故選A．
(2)由題意可知，要使tan x有意義，則x≠＋kπ，k∈Z．
又分母tan x≠0，解得x≠kπ，k∈Z．
綜合可得x≠，k∈Z．
所以y＝的定義域為．]
　與正切函數(shù)有關(guān)的周期性、奇偶性解題策略
(1)一般地，函數(shù)y＝A tan (ωx＋φ)(Aω≠0)的最小正周期為T＝，常常利用此公式來求周期．
(2)判斷函數(shù)的奇偶性要先求函數(shù)的定義域，判斷其是否關(guān)于原點對稱．若不對稱，則該函數(shù)無奇偶性；若對稱，再判斷f (－x)與f (x)的關(guān)系．
[學(xué)以致用]　1．函數(shù)f (x)＝cos ＋tan x為(　　)
A．奇函數(shù)　　　　　 B．偶函數(shù)
C．非奇非偶函數(shù) 　　　 D．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)
A　[f (x)＝cos ＋tan x＝sin x＋tan x，其定義域為，定義域關(guān)于原點對稱，f (－x)＝sin (－x)＋tan (－x)＝－sin x－tan x＝－f (x)，故函數(shù)f (x)為奇函數(shù)．]
探究2　正切函數(shù)的圖象及性質(zhì)
探究問題2　如圖，在單位圓中，切線AT交OB于T，則AT與tan x有什么關(guān)系？由此想一下，如何畫y＝tan x，x∈的圖象？
提示：AT＝tan x．
當(dāng)x∈時，線段AT的長度就是相應(yīng)角x的正切值．我們可以利用線段AT畫出函數(shù)y＝tan x，x∈的圖象，如圖所示．
探究問題3　利用函數(shù)的圖象，你能確定正切曲線的對稱中心嗎？
提示：對稱中心，k∈Z．
[新知生成]
正切函數(shù)的圖象
解析式 y＝tan x
正切曲線
對稱中心 ，k∈Z
漸近線 正切曲線是由被與y軸平行的一系列直線 x＝＋kπ，k∈Z所隔開的無窮多支形狀相同的曲線組成的
【教用·微提醒】　畫正切函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的簡圖，常用“三點兩線”法，三點：，(0，0)，，兩線：x＝－，x＝．
[典例講評]　2．(1)圖中的圖形分別是①y＝|tan x|；②y＝tan x；③y＝tan (－x)；④y＝tan |x|在x∈內(nèi)的大致圖象，那么由a到d對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式應(yīng)是(　　)
a　　　　　　　　b
c　　　　　　　　d
A．①②③④ 　　　 B．①③④②
C．③②④① 　　　 D．①②④③
(2)(多選)與函數(shù)y＝tan 的圖象不相交的一條直線是(　　)
A．x＝ 　　　 B．x＝－
C．x＝ 　　　 D．x＝－
(1)D　(2)AD　[(1)y＝tan (－x)＝－tan x在上是單調(diào)遞減的，只有圖象d符合，即d對應(yīng)③．故選D．
(2)令2x－＋kπ，k∈Z，
得x＝，k∈Z，∴直線x＝，k∈Z與函數(shù)y＝tan (2x－)的圖象不相交，
令k＝－1，得x＝－，
令k＝0，得x＝．]
　解決與正切函數(shù)有關(guān)的圖象識別問題的常用方法
(1)作圖法：先作出相關(guān)函數(shù)的圖象，再對照選項確定正確答案．
(2)性質(zhì)法：研究相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)(特別是定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、對稱性、特殊點、函數(shù)值變化規(guī)律等)，排除相關(guān)選項，從而確定正確答案．
[學(xué)以致用]　2．(1)y＝a(a為常數(shù))與y＝tan 3x圖象相交時，相鄰兩交點間的距離為(　　)
A．π 　　　B． 　　　C． 　　　D．π
(2)函數(shù)y＝tan (x＋)的一個對稱中心是(　　)
A．(0，0) 　　　B． 　　　C． 　　　D．(π，0)
(1)C　(2)C　[(1)y＝tan 3x的周期為，所以y＝a(a為常數(shù))與y＝tan 3x圖象相交時，相鄰兩交點間的距離為．
(2)令x＋，k∈Z，得x＝，k∈Z，
所以函數(shù)y＝tan 的對稱中心是，k∈Z．
令k＝2，可得函數(shù)的一個對稱中心為．]
探究3　正切函數(shù)的單調(diào)性、值域
[新知生成]
單調(diào)性 正切函數(shù)在每一個區(qū)間(k∈Z)上都單調(diào)遞增
值域 正切函數(shù)沒有最大值和最小值，故正切函數(shù)的值域是實數(shù)集R
【教用·微提醒】　正切函數(shù)在每一個區(qū)間(k∈Z)上是單調(diào)遞增的，但在整個定義域上不具有單調(diào)性．
[典例講評]　3．已知函數(shù)f (x)＝3tan ．
(1)求f (x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)試比較f (π)與f 的大小．
[解]　(1)因為f (x)＝3tan ＝－3tan ，
所以f (x)的最小正周期T＝＝4π．
由kπ－得4kπ－因為y＝3tan 在(k∈Z)上單調(diào)遞增，
所以f (x)＝3tan 的單調(diào)遞減區(qū)間為(k∈Z)．
(2)f (π)＝3tan ＝3tan ＝－3tan ，
f ()＝3tan ＝3tan ＝－3tan ，
因為0<，
且y＝tan x在上單調(diào)遞增，
所以tan ，所以f (π)>f ．
　1．運用正切函數(shù)單調(diào)性比較大小的方法
(1)運用函數(shù)的周期性或誘導(dǎo)公式將角化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)．
(2)運用單調(diào)性比較大小關(guān)系．
2．求函數(shù)y＝tan (ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間的方法
當(dāng)ω>0時，先把ωx＋φ看成一個整體，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可；當(dāng)ω<0時，先用誘導(dǎo)公式把ω化為正值再求單調(diào)區(qū)間．
[學(xué)以致用]　3．(源自湘教版教材)利用函數(shù)的單調(diào)性，比較下列各組數(shù)的大小：
(1)tan (－3)，tan (－3.1)；
(2)tan ，tan ．
[解]　(1)由于 －－π<－3.1<－3<－π，
且函數(shù)y＝tan x 在區(qū)間上單調(diào)遞增，
因此tan (－3.1)(2)由于－＋π<＋π，且函數(shù)y＝tan x在區(qū)間上單調(diào)遞增，
因此tan ．
【教用·備選題】　利用正切函數(shù)的單調(diào)性比較下列各組中兩個正切值的大小．
①tan 220°________tan 200°；
②tan ________tan ．
①>　②>　[①tan 220°＝tan 40°，tan 200°＝tan 20°，
因為y＝tan x在上單調(diào)遞增，
所以tan 220°>tan 200°．
②tan ＝tan (π＋)＝tan ，
tan ＝tan ＝tan ，
因為－，
y＝tan x在上單調(diào)遞增，
所以tan ，
即tan ．]
【鏈接·教材例題】
例6　求函數(shù)y＝tan 的定義域、周期及單調(diào)區(qū)間．
分析：利用正切函數(shù)的性質(zhì)，通過代數(shù)變形可以得出相應(yīng)的結(jié)論．
解：自變量x的取值應(yīng)滿足
≠kπ＋，k∈Z，
即x≠2k＋，k∈Z．
所以，函數(shù)的定義域是．
設(shè)z＝，又tan (z＋π)＝tan z，
所以tan ＝tan ，
即tan ＝tan ．
因為 x∈都有
tan ＝tan ，
所以，函數(shù)的周期為2．
由－＋kπ<＋kπ，k∈Z解得
－＋2k因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z．
1．函數(shù)f (x)＝tan 的最小正周期是(　　)
A．2π 　　　B．4π 　　　C．2 　　　D．4
C　[f (x)的最小正周期為＝2．故選C．]
2．函數(shù)y＝2tan (－x)是(　　)
A．奇函數(shù)
B．偶函數(shù)
C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)
D．既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)
A　[y＝2tan (－x)＝－2tan x，為奇函數(shù)．]
3．函數(shù)y＝tan 在一個周期內(nèi)的圖象是(　　)
A　　　　　　　B
C　　　　　　　D
A　[法一：利用“三點兩線法”列表、描點、連線的方法畫簡圖比較．
法二：當(dāng)x＝時，tan ＝0，排除C、D．
當(dāng)x＝時，tan ＝tan ，無意義，排除B．故選A．]
4．不等式tan x>－1的解集是________．
　[正切函數(shù)最小正周期為π，在上單調(diào)遞增，tan ＝－1，
所以不等式tan x>－1的解集為．]
1．知識鏈：(1)正切函數(shù)圖象的畫法．
(2)正切函數(shù)的性質(zhì)．
2．方法鏈：整體代換、公式法、換元法．
3．警示牌：(1)最小正周期T＝．
(2)對稱中心為(k∈Z)．
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
你能歸納比較正切函數(shù)與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)嗎？
[提示]　
性質(zhì) 正切函數(shù)(y＝tan x) 正弦函數(shù)(y＝sin x)、余弦函數(shù)(y＝cos x)
定義域 R
值域 R [－1，1]
最值 無 最大值為1
最小值為－1
單調(diào)性 僅有單調(diào)遞增區(qū)間，不存在單調(diào)遞減區(qū)間 單調(diào)遞增區(qū)間、單調(diào)遞減區(qū)間均存在
奇偶性 奇函數(shù) 正弦函數(shù)是奇函數(shù)
余弦函數(shù)是偶函數(shù)
周期性 T＝π T＝2π
對稱性 有無數(shù)個對稱中心，不存在對稱軸 對稱中心和對稱軸均有無數(shù)個
課時分層作業(yè)(五十一)　正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象
一、選擇題
1．y＝tan x(　　)
A．在整個定義域上單調(diào)遞增
B．在整個定義域上單調(diào)遞減
C．在每一個開區(qū)間(k∈Z)上單調(diào)遞增
D．在每一個閉區(qū)間(k∈Z)上單調(diào)遞增
C　[函數(shù)y＝tan x是周期函數(shù)，在每一個開區(qū)間(k∈Z)上單調(diào)遞增，但在整個定義域上不是單調(diào)函數(shù)．故選C．]
2．函數(shù)f (x)＝|tan 2x|是(　　)
A．周期為π的奇函數(shù)　　 B．周期為π的偶函數(shù)
C．周期為的奇函數(shù) 　　 D．周期為的偶函數(shù)
D　[f (－x)＝|tan (－2x)|＝|tan 2x|＝f (x)，為偶函數(shù)，T＝．]
3．函數(shù)f (x)＝tan ωx(ω>0)的圖象上的相鄰兩支曲線截直線y＝1所得的線段長為，則ω的值是(　　)
A．1　　　B．2 　　　C．4　　　D．8
C　[由題意可得f (x)的最小正周期為，則，又∵ω>0，∴ω＝4．]
4．設(shè)a＝tan 1，b＝tan 2，c＝tan 3，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　)
A．a(chǎn)>c>b 　　　 B．c>b>a
C．a(chǎn)>b>c 　　　 D．b>c>a
A　[由題意得，
函數(shù)y＝tan x在上單調(diào)遞增且tan x>0，
在上單調(diào)遞增且tan x<0，
因為<2<3<π，
所以tan 20，
所以a>c>b．故選A．]
5．(多選)已知函數(shù)f (x)＝tan ，則下列命題中正確的有(　　)
A．f (x)的最小正周期為
B．f (x)的定義域為
C．f (x)圖象的對稱中心為，k∈Z
D．f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z
ACD　[由題知，函數(shù)f (x)＝tan ，
所以f (x)的最小正周期為T＝，故A正確；
f (x)的定義域滿足2x－＋kπ，k∈Z，
即x≠(k∈Z)，
所以f (x)的定義域為，故B錯誤；
f (x)圖象的對稱中心應(yīng)滿足2x－，k∈Z，
即x＝，k∈Z．
所以f (x)圖象的對稱中心為，k∈Z，故C正確；
f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間應(yīng)滿足－＋kπ<2x－＋kπ，k∈Z，即，k∈Z，
所以f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z，故D正確．故選ACD．]
二、填空題
6．若函數(shù)y＝3tan 的最小正周期是，則ω＝________．
±2　[由可知ω＝±2．]
7．函數(shù)y＝tan2x－2tan x＋2的最小值為________．
1　[y＝(tan x－1)2＋1，由于tan x∈R，所以當(dāng)tan x＝1時，此函數(shù)取最小值1．]
8．比較大小：tan ________tan ．
>　[因為tan ＝tan ，tan ＝tan ，
又0<，
y＝tan x在上單調(diào)遞增，
所以tan ，
即tan ．]
三、解答題
9．設(shè)函數(shù)f (x)＝tan ．
(1)求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間及對稱中心；
(2)求不等式－1≤f (x)≤的解集．
[解]　(1)由－＋kπ<＋kπ(k∈Z)，
得－＋2kπ所以函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z)，無單調(diào)遞減區(qū)間．
由(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，
故函數(shù)f (x)的對稱中心是(k∈Z)．
(2)由－1≤tan ，
得－＋kπ≤＋kπ(k∈Z)，
解得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)．
所以不等式－1≤f (x)≤的解集是．
10．函數(shù)y＝tan x＋sin x－內(nèi)的圖象是(　　)
A　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　D
D　[當(dāng)＜x＜π，tan x＜sin x，y＝2tan x＜0；
當(dāng)x＝π時，y＝0；
當(dāng)π＜x＜時，tan x＞sin x，y＝2sin x．故選D．]
11．已知函數(shù)y＝tan ωx在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則(　　)
A．0<ω≤1 　　　 B．－1≤ω<0
C．ω≥1 　　　 D．ω≤－1
B　[∵y＝tan ωx在內(nèi)單調(diào)遞減，
∴ω<0且T＝≥π，
∴－1≤ω<0．]
12．(多選)下列不等式中，正確的是(　　)
A．tan B．tan >tan
C．tan 4D．tan 281°>tan 665°
AB　[已知正切函數(shù)y＝tan x在上單調(diào)遞增，
∵tan ＝tan ＝tan ，且－<－，
∴tan ，故A正確；
∵tan ＝tan ＝tan ，
tan ＝tan ＝tan ，
且－<－<－，
∴tan ，故B正確；
∵<3<π<4<，
∴tan 4>0>tan 3，故C錯誤；
∵tan 281°＝tan (360°－79°)＝tan (－79°)，
tan 665°＝tan (720°－55°)＝tan (－55°)，
且－90°<－79°<－55°<0°，
∴tan 281°13．已知函數(shù)f (x)＝a sin x＋b tan x－1(a，b∈R)，若f (－2)＝2 023，則f (2)＝________．
－2 025　[依題意，f (x)的定義域為，關(guān)于原點對稱，
設(shè)g(x)＝f (x)＋1＝a sin x＋b tan x，
則g(－x)＝a sin (－x)＋b tan (－x)＝－(a sin x＋b tan x)＝－g(x)，所以g(x)為奇函數(shù)，則有f (2)＋1＋f (－2)＋1＝g(2)＋g(－2)＝0，而f (－2)＝2 023，所以f (2)＝－2 025．]
14．畫出函數(shù)y＝|tan x|＋tan x的圖象，并根據(jù)圖象求出函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)區(qū)間、最小正周期．
[解]　因為y＝|tan x|＋tan x
＝
所以畫出函數(shù)y＝|tan x|＋tan x的圖象，如圖所示：
則該函數(shù)的定義域是，值域是[0，＋∞)，單調(diào)遞增區(qū)間是，k∈Z，最小正周期是π．
15．已知函數(shù)f (x)，任意x1，x2∈(x1≠x2)，給出下列結(jié)論：
①f (x＋π)＝f (x)；②f (－x)＝f (x)；③f (0)＝1；④>0；⑤f >．
當(dāng)f (x)＝tan x時，正確結(jié)論的序號為________．
①④　[由于f (x)＝tan x的周期為π，故①正確；
函數(shù)f (x)＝tan x為奇函數(shù)，故②不正確；
f (0)＝tan 0＝0，故③不正確；
④表明函數(shù)在上單調(diào)遞增，而f (x)＝tan x在區(qū)間上單調(diào)遞增，故④正確；
⑤由函數(shù)f (x)＝tan x的圖象可知，設(shè)A＝，B＝f ，
故函數(shù)在區(qū)間上有f ，
在區(qū)間上有f ，故⑤不正確．]
14/14課時分層作業(yè)(五十一)　正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象
一、選擇題
1．y＝tan x(　　)
A．在整個定義域上單調(diào)遞增
B．在整個定義域上單調(diào)遞減
C．在每一個開區(qū)間(k∈Z)上單調(diào)遞增
D．在每一個閉區(qū)間(k∈Z)上單調(diào)遞增
2．函數(shù)f (x)＝|tan 2x|是(　　)
A．周期為π的奇函數(shù)
B．周期為π的偶函數(shù)
C．周期為的奇函數(shù)
D．周期為的偶函數(shù)
3．函數(shù)f (x)＝tan ωx(ω>0)的圖象上的相鄰兩支曲線截直線y＝1所得的線段長為，則ω的值是(　　)
A．1 　　　B．2　　　 C．4 　　　D．8
4．設(shè)a＝tan 1，b＝tan 2，c＝tan 3，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　)
A．a(chǎn)>c>b B．c>b>a
C．a(chǎn)>b>c D．b>c>a
5．(多選)已知函數(shù)f (x)＝tan ，則下列命題中正確的有(　　)
A．f (x)的最小正周期為
B．f (x)的定義域為
C．f (x)圖象的對稱中心為，k∈Z
D．f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z
二、填空題
6．若函數(shù)y＝3tan 的最小正周期是，則ω＝________．
7．函數(shù)y＝tan2x－2tan x＋2的最小值為______．
8．比較大小：tan ________tan ．
三、解答題
9．設(shè)函數(shù)f (x)＝tan ．
(1)求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間及對稱中心；
(2)求不等式－1≤f (x)≤的解集．
10．函數(shù)y＝tan x＋sin x－內(nèi)的圖象是(　　)
A　　　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　　D
11．已知函數(shù)y＝tan ωx在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則(　　)
A．0<ω≤1 B．－1≤ω<0
C．ω≥1 D．ω≤－1
12．(多選)下列不等式中，正確的是(　　)
A．tan B．tan >tan
C．tan 4D．tan 281°>tan 665°
13．已知函數(shù)f (x)＝a sin x＋b tan x－1(a，b∈R)，若f (－2)＝2 023，則f (2)＝________．
14．畫出函數(shù)y＝|tan x|＋tan x的圖象，并根據(jù)圖象求出函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)區(qū)間、最小正周期．
15．已知函數(shù)f (x)，任意x1，x2∈(x1≠x2)，給出下列結(jié)論：
①f (x＋π)＝f (x)；②f (－x)＝f (x)；③f (0)＝1；④>0；
⑤f >．
當(dāng)f (x)＝tan x時，正確結(jié)論的序號為________．
3/3(共38張PPT)
5.4.3　正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象
第五章　三角函數(shù)
5.4　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1．了解正切函數(shù)圖象的畫法，理解并掌握正切函數(shù)的性質(zhì)．(直觀想象、數(shù)學(xué)抽象)
2．能利用正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決有關(guān)問題．(直觀想象、數(shù)學(xué)運算)
[討論交流]　預(yù)習(xí)教材P209－P212，并思考以下問題：
問題1．如何借助單位圓畫正切函數(shù)圖象？
問題2．正切函數(shù)的性質(zhì)有哪些？
整體感知
[自我感知]　經(jīng)過認(rèn)真的預(yù)習(xí)，結(jié)合對本節(jié)課的理解和認(rèn)識，請畫出本節(jié)課的知識邏輯體系．
探究1　正切函數(shù)的定義域、周期性與奇偶性
探究問題1　結(jié)合與正切有關(guān)的誘導(dǎo)公式：tan (π＋α)＝tan α，
tan (－α)＝－tan α，說明正切函數(shù)有什么性質(zhì)？
探究建構(gòu)
提示：tan (π＋x)＝tan x說明y＝tan x是周期函數(shù)，tan (－x)＝
－tan x說明y＝tan x是奇函數(shù)．
[新知生成]
正切函數(shù)y＝tan x，x∈R且x≠kπ＋，k∈Z，是__函數(shù)，也是____函數(shù)，其最小正周期是__．
奇
周期
π
[典例講評]　1．(1)函數(shù)f (x)＝tan 的最小正周期為(　　)
A． 　　　B． 　　　C．π 　　　D．2π
(2)函數(shù)y＝的定義域為_________________．
(1)A　(2)　[(1)函數(shù)f (x)＝tan (ωx＋φ)的最小正周期T＝，直接利用公式，可得T＝．故選A．
√
(2)由題意可知，要使tan x有意義，則x≠＋k，k∈Z．
又分母tan x≠0，解得x≠kπ，k∈Z．
綜合可得x≠，k∈Z．
所以y＝的定義域為．]
反思領(lǐng)悟　與正切函數(shù)有關(guān)的周期性、奇偶性解題策略
(1)一般地，函數(shù)y＝A tan (ωx＋φ)(Aω≠0)的最小正周期為T＝，常常利用此公式來求周期．
(2)判斷函數(shù)的奇偶性要先求函數(shù)的定義域，判斷其是否關(guān)于原點對稱．若不對稱，則該函數(shù)無奇偶性；若對稱，再判斷f (－x)與f (x)的關(guān)系．
[學(xué)以致用]　1．函數(shù)f (x)＝cos ＋tan x為(　　)
A．奇函數(shù)　　　　　 B．偶函數(shù)
C．非奇非偶函數(shù) 　　　 D．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)
A　[f (x)＝cos ＋tan x＝sin x＋tan x，其定義域為，定義域關(guān)于原點對稱，f (－x)＝sin (－x)＋tan (－x)＝－sin x－tan x＝－f (x)，故函數(shù)f (x)為奇函數(shù)．]
√
探究2　正切函數(shù)的圖象及性質(zhì)
探究問題2　如圖，在單位圓中，切線AT交OB于T，則AT與tan x有什么關(guān)系？由此想一下，如何畫y＝tan x，x∈的圖象？
提示：AT＝tan x．
當(dāng)x∈時，線段AT的長度就是相應(yīng)角x的正切值．我們可以利用線段AT畫出函數(shù)y＝tan x，x∈的圖象，如圖所示．
探究問題3　利用函數(shù)的圖象，你能確定正切曲線的對稱中心嗎？
提示：對稱中心，k∈Z．
[新知生成]
正切函數(shù)的圖象
解析式 y＝tan x
正切曲線

對稱中心
漸近線 正切曲線是由被與y軸平行的一系列直線_______________所隔開的無窮多支形狀相同的曲線組成的
，k∈Z
x＝＋kπ，k∈Z
【教用·微提醒】　畫正切函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的簡圖，常用“三點兩線”法，三點：，(0，0)，，兩線：x＝－，x＝．
[典例講評]　2．(1)圖中的圖形分別是①y＝|tan x|；②y＝tan x；③y＝tan (－x)；④y＝tan |x|在x∈內(nèi)的大致圖象，那么由a到d對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式應(yīng)是(　　)
a　　　　　　　　b
c　　　　　　　　d
A．①②③④ 　　　 B．①③④②
C．③②④① 　　　 D．①②④③
√
(2)(多選)與函數(shù)y＝tan 的圖象不相交的一條直線是(　　)
A．x＝ 　　　 B．x＝－
C．x＝ 　　　 D．x＝－
√
√
(1)D　(2)AD　[(1)y＝tan (－x)＝－tan x在上是單調(diào)遞減的，只有圖象d符合，即d對應(yīng)③．故選D．
(2)令2x－＋kπ，k∈Z，
得x＝，k∈Z，∴直線x＝，k∈Z與函數(shù)y＝tan (2x－)的圖象不相交，令k＝－1，得x＝－，
令k＝0，得x＝．]
反思領(lǐng)悟　解決與正切函數(shù)有關(guān)的圖象識別問題的常用方法
(1)作圖法：先作出相關(guān)函數(shù)的圖象，再對照選項確定正確答案．
(2)性質(zhì)法：研究相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)(特別是定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、對稱性、特殊點、函數(shù)值變化規(guī)律等)，排除相關(guān)選項，從而確定正確答案．
[學(xué)以致用]　2．(1)y＝a(a為常數(shù))與y＝tan 3x圖象相交時，相鄰兩交點間的距離為(　　)
A．π 　　　 B． 　　　 C． 　　　 D．π
(2)函數(shù)y＝tan (x＋)的一個對稱中心是(　　)
A．(0，0) 　　　B． 　　　C． 　　　D．(π，0)
√
√
(1)C　(2)C　[(1)y＝tan 3x的周期為，所以y＝a(a為常數(shù))與y＝tan 3x圖象相交時，相鄰兩交點間的距離為．
(2)令x＋，k∈Z，得x＝，k∈Z，
所以函數(shù)y＝tan 的對稱中心是，k∈Z．
令k＝2，可得函數(shù)的一個對稱中心為．]
探究3　正切函數(shù)的單調(diào)性、值域
[新知生成]
單調(diào)性 正切函數(shù)在每一個區(qū)間(k∈Z)上都單調(diào)遞增
值域 正切函數(shù)沒有最大值和最小值，故正切函數(shù)的值域是實數(shù)集R
【教用·微提醒】　正切函數(shù)在每一個區(qū)間(k∈Z)上是單調(diào)遞增的，但在整個定義域上不具有單調(diào)性．
[典例講評]　3．已知函數(shù)f (x)＝3tan ．
(1)求f (x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)試比較f (π)與f 的大小．
[解]　(1)因為f (x)＝3tan ＝－3tan ，
所以f (x)的最小正周期T＝＝4π．
由kπ－因為y＝3tan 在(k∈Z)上單調(diào)遞增，
所以f (x)＝3tan 的單調(diào)遞減區(qū)間為
(k∈Z)．
(2)f (π)＝3tan ＝3tan ＝－3tan ，
f ＝3tan ＝3tan ＝－3tan ，
因為0<，
且y＝tan x在上單調(diào)遞增，
所以tan ，所以f (π)>f ．
反思領(lǐng)悟　1．運用正切函數(shù)單調(diào)性比較大小的方法
(1)運用函數(shù)的周期性或誘導(dǎo)公式將角化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)．
(2)運用單調(diào)性比較大小關(guān)系．
2．求函數(shù)y＝tan (ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間的方法
當(dāng)ω>0時，先把ωx＋φ看成一個整體，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可；當(dāng)ω<0時，先用誘導(dǎo)公式把ω化為正值再求單調(diào)區(qū)間．
[學(xué)以致用]　3．(源自湘教版教材)利用函數(shù)的單調(diào)性，比較下列各組數(shù)的大小：
(1)tan (－3)，tan (－3.1)；(2)tan ，tan ．
[解]　(1)由于 －－π<－3.1<－3<－π，
且函數(shù)y＝tan x 在區(qū)間上單調(diào)遞增，
因此tan (－3.1)(2)由于－＋π<＋π，且函數(shù)y＝tan x在區(qū)間上單調(diào)遞增，因此tan ．
【教用·備選題】　利用正切函數(shù)的單調(diào)性比較下列各組中兩個正切值的大小．
①tan 220°________tan 200°；②tan ________tan ．
①>　②>　[①tan 220°＝tan 40°，tan 200°＝tan 20°，
因為y＝tan x在上單調(diào)遞增，所以tan 220°>tan 200°．
>
>
②tan ＝tan (π＋)＝tan ，tan ＝tan ＝tan ，
因為－，
y＝tan x在上單調(diào)遞增，
所以tan ，
即tan ．]
【鏈接·教材例題】
例6　求函數(shù)y＝tan 的定義域、周期及單調(diào)區(qū)間．
分析：利用正切函數(shù)的性質(zhì)，通過代數(shù)變形可以得出相應(yīng)的結(jié)論．
解：自變量x的取值應(yīng)滿足≠kπ＋，k∈Z，
即x≠2k＋，k∈Z．
所以，函數(shù)的定義域是．
設(shè)z＝，又tan (z＋π)＝tan z，
所以tan ＝tan ，
即tan ＝tan ．
因為 x∈都有
tan ＝tan ，
所以，函數(shù)的周期為2．
由－＋kπ<＋kπ，k∈Z解得－＋2k因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z．
1．函數(shù)f (x)＝tan 的最小正周期是(　　)
A．2π 　　　B．4π 　　　C．2 　　　D．4
2
4
3
題號
1
應(yīng)用遷移
√
C　[f (x)的最小正周期為＝2．故選C．]
2．函數(shù)y＝2tan (－x)是(　　)
A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)
C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D．既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)
2
3
題號
1
4
√
A　[y＝2tan (－x)＝－2tan x，為奇函數(shù)．]
3．函數(shù)y＝tan 在一個周期內(nèi)的圖象是(　　)
2
3
題號
4
1
A　[法一：利用“三點兩線法”列表、描點、連線的方法畫簡圖比較．
法二：當(dāng)x＝時，tan ＝0，排除C、D．
當(dāng)x＝時，tan ＝tan ，無意義，排除B．故選A．]
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
√
4．不等式tan x>－1的解集是______________________________．
2
4
3
題號
1
　[正切函數(shù)最小正周期為π，在上單調(diào)遞增，tan ＝－1，
所以不等式tan x>－1的解集為．]
　
1．知識鏈：(1)正切函數(shù)圖象的畫法．
(2)正切函數(shù)的性質(zhì)．
2．方法鏈：整體代換、公式法、換元法．
3．警示牌：(1)最小正周期T＝．
(2)對稱中心為(k∈Z)．
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
你能歸納比較正切函數(shù)與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)嗎？
[提示]　
性質(zhì) 正切函數(shù)(y＝tan x) 正弦函數(shù)(y＝sin x)、余弦函數(shù)(y＝cos x)
定義域 R
值域 R [－1，1]
最值 無 最大值為1
最小值為－1
單調(diào)性 僅有單調(diào)遞增區(qū)間，不存在單調(diào)遞減區(qū)間 單調(diào)遞增區(qū)間、單調(diào)遞減區(qū)間均存在
奇偶性 奇函數(shù) 正弦函數(shù)是奇函數(shù)
余弦函數(shù)是偶函數(shù)
周期性 T＝π T＝2π
對稱性 有無數(shù)個對稱中心，不存在對稱軸 對稱中心和對稱軸均有無數(shù)個
課時分層作業(yè)(五十一)
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正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象
（WORD版）
鞏固課堂所學(xué) · 激發(fā)學(xué)習(xí)思維
夯實基礎(chǔ)知識 · 熟悉命題方式
自我檢測提能 · 及時矯正不足
本節(jié)課掌握了哪些考點？
本節(jié)課還有什么疑問點？
課后訓(xùn)練
學(xué)習(xí)反思
課時小結(jié)
THANKS5.4.3　正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1．了解正切函數(shù)圖象的畫法，理解并掌握正切函數(shù)的性質(zhì)．(直觀想象、數(shù)學(xué)抽象)
2．能利用正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決有關(guān)問題．(直觀想象、數(shù)學(xué)運算)
[討論交流]　預(yù)習(xí)教材P209－P212，并思考以下問題：
問題1．如何借助單位圓畫正切函數(shù)圖象？
問題2．正切函數(shù)的性質(zhì)有哪些？
[自我感知]　經(jīng)過認(rèn)真的預(yù)習(xí)，結(jié)合對本節(jié)課的理解和認(rèn)識，請畫出本節(jié)課的知識邏輯體系．
探究1　正切函數(shù)的定義域、周期性與奇偶性
探究問題1　結(jié)合與正切有關(guān)的誘導(dǎo)公式：tan (π＋α)＝tan α，tan (－α)＝－tan α，說明正切函數(shù)有什么性質(zhì)？
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
[新知生成]
正切函數(shù)y＝tan x，x∈R且x≠kπ＋，k∈Z，是____函數(shù)，也是________函數(shù)，其最小正周期是 ____．
[典例講評]　1．(1)函數(shù)f (x)＝tan 的最小正周期為(　　)
A． 　　　B． 　　　C．π 　　　D．2π
(2)函數(shù)y＝的定義域為________．
[嘗試解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
　與正切函數(shù)有關(guān)的周期性、奇偶性解題策略
(1)一般地，函數(shù)y＝A tan (ωx＋φ)(Aω≠0)的最小正周期為T＝，常常利用此公式來求周期．
(2)判斷函數(shù)的奇偶性要先求函數(shù)的定義域，判斷其是否關(guān)于原點對稱．若不對稱，則該函數(shù)無奇偶性；若對稱，再判斷f (－x)與f (x)的關(guān)系．
[學(xué)以致用]　1．函數(shù)f (x)＝cos ＋tan x為(　　)
A．奇函數(shù)
B．偶函數(shù)
C．非奇非偶函數(shù)
D．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)
探究2　正切函數(shù)的圖象及性質(zhì)
探究問題2　如圖，在單位圓中，切線AT交OB于T，則AT與tan x有什么關(guān)系？由此想一下，如何畫y＝tan x，x∈的圖象？
探究問題3　利用函數(shù)的圖象，你能確定正切曲線的對稱中心嗎？
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
[新知生成]
正切函數(shù)的圖象
解析式 y＝tan x
正切曲線
對稱中心 ________________
漸近線 正切曲線是由被與y軸平行的一系列直線 ________________所隔開的無窮多支形狀相同的曲線組成的
[典例講評]　2．(1)圖中的圖形分別是①y＝|tan x|；②y＝tan x；③y＝tan (－x)；④y＝tan |x|在x∈內(nèi)的大致圖象，那么由a到d對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式應(yīng)是(　　)
a　　　　　　　　　　b
c　　　　　　　　　　d
A．①②③④ B．①③④②
C．③②④① D．①②④③
(2)(多選)與函數(shù)y＝tan 的圖象不相交的一條直線是(　　)
A．x＝ B．x＝－
C．x＝ D．x＝－
[嘗試解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
　解決與正切函數(shù)有關(guān)的圖象識別問題的常用方法
(1)作圖法：先作出相關(guān)函數(shù)的圖象，再對照選項確定正確答案．
(2)性質(zhì)法：研究相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)(特別是定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、對稱性、特殊點、函數(shù)值變化規(guī)律等)，排除相關(guān)選項，從而確定正確答案．
[學(xué)以致用]　2．(1)y＝a(a為常數(shù))與y＝tan 3x圖象相交時，相鄰兩交點間的距離為(　　)
A．π　　　B．　　　C．　　　D．π
(2)函數(shù)y＝tan 的一個對稱中心是(　　)
A．(0，0) B．
C． D．(π，0)
探究3　正切函數(shù)的單調(diào)性、值域
[新知生成]
單調(diào)性 正切函數(shù)在每一個區(qū)間(＋kπ，)(k∈Z)上都單調(diào)遞增
值域 正切函數(shù)沒有最大值和最小值，故正切函數(shù)的值域是實數(shù)集R
[典例講評]　3．已知函數(shù)f (x)＝3tan ．
(1)求f (x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
[嘗試解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
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_____________________________________________________________________
(2)試比較f (π)與f 的大小．
[嘗試解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
　
1．運用正切函數(shù)單調(diào)性比較大小的方法
(1)運用函數(shù)的周期性或誘導(dǎo)公式將角化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)．
(2)運用單調(diào)性比較大小關(guān)系．
2．求函數(shù)y＝tan (ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間的方法
當(dāng)ω>0時，先把ωx＋φ看成一個整體，解＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可；當(dāng)ω<0時，先用誘導(dǎo)公式把ω化為正值再求單調(diào)區(qū)間．
[學(xué)以致用]　3．(源自湘教版教材)利用函數(shù)的單調(diào)性，比較下列各組數(shù)的大小：
(1)tan (－3)，tan (－3.1)；
(2)tan ，tan ．
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
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1．函數(shù)f (x)＝tan 的最小正周期是(　　)
A．2π　　　B．4π　　　C．2　　　D．4
2．函數(shù)y＝2tan (－x)是(　　)
A．奇函數(shù)
B．偶函數(shù)
C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)
D．既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)
3．函數(shù)y＝tan 在一個周期內(nèi)的圖象是(　　)
A　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　D
4．不等式tan x>－1的解集是________．
1．知識鏈：(1)正切函數(shù)圖象的畫法．
(2)正切函數(shù)的性質(zhì)．
2．方法鏈：整體代換、公式法、換元法．
3．警示牌：(1)最小正周期T＝．
(2)對稱中心為(k∈Z)．
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