資源簡介

5.4.2　正弦函數、余弦函數的性質
第1課時　周期性與奇偶性
[學習目標]　1．理解周期函數的概念，能熟練地求出簡單三角函數的周期．(數學抽象、邏輯推理)
2．會根據之前所學結合函數的圖象研究三角函數的奇偶性，能正確判斷一些三角函數的變式的奇偶性．(直觀想象)
[討論交流]　預習教材P201－P202，并思考以下問題：
問題1．周期函數的定義是什么？
問題2．如何利用周期函數的定義求正弦、余弦函數的周期？
問題3．正弦、余弦函數是否具有奇偶性？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　正弦函數、余弦函數的周期
探究問題　觀察下面正弦函數的圖象，可以發現橫坐標每隔2π個單位長度，對應點的縱坐標都相同，這就是正弦函數值具有的“周而復始”的變化規律．如何用數學語言描述這一現象？
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[新知生成]
1．函數的周期性
一般地，設函數f (x)的定義域為D，如果存在一個____________，使得對每一個x∈D都有x＋T∈D，且________，那么函數f (x)就叫做周期函數．________叫做這個函數的周期．
2．最小正周期
如果在周期函數f (x)的所有周期中存在一個____________，那么這個最小正數就叫做f (x)的最小正周期．
3．正弦函數是________，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π．
4．余弦函數是________，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π．
[典例講評]　1．求下列三角函數的最小正周期T：
(1)f (x)＝7sin 2x，x∈R；
[嘗試解答]___________________________________________________________
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(2)f (x)＝cos ；
(3)f (x)＝|sin x|．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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　求三角函數周期的方法
(1)定義法：利用周期函數的定義求解．
(2)圖象法：畫出函數圖象，通過圖象直接觀察即可．
(3)公式法：對形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(A，ω，φ是常數，A≠0，ω≠0)的函數，T＝．
提醒：y＝|A sin (ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝．
[學以致用]　1．(1)若函數f (x)＝cos 的最小正周期為π，則ω＝(　　)
A．1　　　B．±1　　　C．2　　　D．±2
(2) 函數y＝|cos x|的最小正周期為______．
探究2　正弦函數、余弦函數的奇偶性
[新知生成]
函數 y＝sin x y＝cos x
圖象 圖象關于______對稱 圖象關于____軸對稱
奇偶性 ______ ________
對稱性 (1)對稱中心為____________； (2)對稱軸x＝________________ (1)對稱中心為_____________； (2)對稱軸x＝_______________
[典例講評]　2．判斷下列函數的奇偶性：
(1)f (x)＝sin ；
(2)f (x)＝x2cos ；
(3)f (x)＝．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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1．判斷函數奇偶性應把握好的兩個方面：
一看函數的定義域是否關于原點對稱．
二看f (x)與f (－x)的關系．
2．對于三角函數奇偶性的判斷，有時可根據誘導公式先將函數式化簡后再判斷．
3．與三角函數奇偶性有關的結論
(1)要使y＝A sin (ωx＋φ)(Aω≠0)為奇函數，則φ＝kπ(k∈Z)．
(2)要使y＝A sin (ωx＋φ)(Aω≠0)為偶函數，則φ＝kπ＋(k∈Z)．
(3)要使y＝A cos (ωx＋φ)(Aω≠0)為奇函數，則φ＝kπ＋(k∈Z)．
(4)要使y＝A cos (ωx＋φ)(Aω≠0)為偶函數，則φ＝kπ(k∈Z)．
[學以致用]　2．判斷下列函數的奇偶性：
(1)f (x)＝x sin (π－x)；
(2)f (x)＝cos sin ．
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探究3　三角函數奇偶性與周期性的綜合應用
[典例講評]　3．定義在R上的函數f (x)既是偶函數，又是周期函數，若f (x)的最小正周期為π，且當x∈時，f (x)＝sin x，則f ＝(　　)
A．－　　　B．　　　C．　　　D．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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[母題探究]　
1．在本例條件中，把“偶函數”變成“奇函數”，其他不變，則f 的值為________．
2．若本例中條件變為定義在R上的函數f (x)既是偶函數，又是周期函數，f ＝－f (x)，f ＝1，則f 的值為______．
　處理三角函數奇偶性和周期性的綜合應用問題立足一點：把待求向已知轉化．
(1)周期性的作用在于大化小．
(2)奇偶性的作用在于負化正．
兩者相互作用，便可把待求轉化到已知區間中，最終用代入法求值．
[學以致用]　3．(1)設函數f (x)(x∈R)滿足f (－x)＝f (x)，f (x＋2)＝f (x)，則函數y＝f (x)的圖象是(　　)
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
(2)函數y＝f (x)是R上的周期為3的偶函數，且f (－2)＝3，則f (2 024)＝________．
1．設函數f (x)＝sin ，則f (x)的最小正周期為(　　)
A．　　　B．π　　　C．2π　　　D．4π
2．函數f (x)＝sin (－x)的奇偶性是(　　)
A．奇函數
B．偶函數
C．既是奇函數又是偶函數
D．既不是奇函數也不是偶函數
3．已知a∈R，函數f (x)＝sin x－|a|，x∈R為奇函數，則a＝________．
4．已知f (x)為奇函數，且周期為，若f ＝－1，則f ＝________．
1．知識鏈：(1)周期函數的概念，三角函數的周期．
(2)三角函數的奇偶性．
(3)三角函數周期性、奇偶性的綜合應用．
2．方法鏈：定義法、公式法、數形結合法．
3．警示牌：求函數y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常數，且A≠0，ω≠0)的最小正周期時，誤認為T＝．
1/6第2課時　單調性與最值
[學習目標]　1．會求函數y＝A sin (ωx＋φ)及y＝A cos (ωx＋φ)的單調區間．(數學運算)
2．能利用單調性比較函數值的大小以及求函數的最值、值域等問題．(邏輯推理、數學運算)
[討論交流]　預習教材P204－P207，并思考以下問題：
問題1．正弦、余弦函數的單調區間分別是什么？
問題2．正弦、余弦函數的最值分別是多少？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　正弦函數、余弦函數的單調性與最值
探究問題1　觀察正弦函數y＝sin x，x∈的圖象，當x由－增大到時，曲線是如何變化的？相應函數值又是怎樣變化的？
探究問題2　觀察余弦函數y＝cos x，x∈[－π，π]的圖象，當x由－π增大到π時，曲線是如何變化的？相應函數值又是怎樣變化的？
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[新知生成]
正弦函數、余弦函數的單調性與最值(表中k∈Z)
正弦函數 余弦函數
圖象
值域 ________ ________
單調性 在______________上單調遞增，在________________上單調遞減 在________上單調遞增，在________上單調遞減
最值 當x＝________時，ymax＝1；當x＝________時，ymin＝－1 當x＝________時，ymax＝1；當x＝__________時，ymin＝－1
[典例講評]　1．求函數y＝2sin 的單調區間．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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[母題探究]　
1．求函數f (x)＝2sin ，x∈[0，2π]的單調區間．
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2．求函數y＝sin 的單調遞增區間．
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　求解與正弦、余弦函數有關的單調區間的兩個技巧
(1)數形結合法：結合正弦、余弦函數的圖象，熟記它們的單調區間．
(2)整體代換：在求形如y＝A sin (ωx＋φ)(其中A，ω，φ為常數，且A≠0，ω>0)的函數的單調區間時，應采用整體代換，將“ωx＋φ”看作一個整體“z”，即通過求y＝A sin z的單調區間而求出原函數的單調區間．求形如y＝A cos (ωx＋φ)(其中A，ω，φ為常數，且A≠0，ω>0)的函數的單調區間的方法同上．
提醒：復合函數的單調性遵循“同增異減”的規律．
[學以致用]　1．求下列函數的單調區間：
(1)y＝sin ；
(2)y＝2cos ．
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探究2　利用三角函數的單調性比較大小
[典例講評]　2．利用三角函數的單調性，比較下列各組數的大小：
(1)cos ，cos ；
(2)cos 1，sin 1；
(3)sin 164°與cos 110°．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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　比較三角函數值大小的步驟
(1)異名函數化為同名函數．
(2)利用誘導公式把已知角轉化到同一單調區間上．
(3)利用函數的單調性比較大小．
[學以致用]　2．(源于湘教版教材)利用三角函數的單調性，比較下列各組數的大小：
(1)sin (－1)，sin (－1.1)；
(2)cos ，cos ．
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探究3　正、余弦函數的最值(值域)問題
[典例講評]　3．求下列函數的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值時x的值．
(1)y＝－4sin x＋5；
(2)y＝cos2x－sinx＋1．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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　三角函數最值問題的3種常見類型及求解方法
(1)形如y＝a sin x(或y＝a cos x)型，可利用正弦函數(或余弦函數)的________，注意對________的討論．
(2)形如y＝A sin (ωx＋φ)＋b(或y＝A cos (ωx＋φ)＋b)型，可先由定義域求得________的范圍，然后求得______________的范圍，最后求得最值．
(3)形如y＝a sin2x＋b sinx＋c(a≠0)型，可利用換元思想，設t＝________，轉化為二次函數y＝________求最值，t的范圍需要根據________來確定．
[學以致用]　3．(1)函數y＝cos ，x∈的值域是(　　)
A． 　　　 B．
C． 　　　 D．
(2)函數y＝sin2x－4sinx的最大值為______．
1．下列命題中正確的是(　　)
A．y＝cos x在第一象限和第四象限內單調遞減
B．y＝sin x在第一象限和第三象限內單調遞增
C．y＝cos x在上單調遞減
D．y＝sin x在上單調遞增
2．函數y＝2－sin x的最大值及取最大值時x的值為(　　)
A．ymax＝3，x＝
B．ymax＝1，x＝＋2kπ(k∈Z)
C．ymax＝3，x＝－＋2kπ(k∈Z)
D．ymax＝3，x＝＋2kπ(k∈Z)
3．sin ________sin (填“＞”或“＜”)．
4．函數f (x)＝cos 的單調遞減區間是____________．
1．知識鏈：(1)正弦、余弦函數的單調性與最值．
(2)正弦、余弦函數單調性的應用．
2．方法鏈：整體代換、換元法．
3．警示牌：單調區間漏寫k∈Z；求值域時忽視sin x，cos x本身具有的范圍．
2/6(共43張PPT)
第2課時　單調性與最值
第五章　三角函數
5.4　三角函數的圖象與性質
5.4.2　正弦函數、余弦函數的性質
[學習目標]　1．會求函數y＝A sin (ωx＋φ)及y＝A cos (ωx＋φ)的單調區間．(數學運算)
2．能利用單調性比較函數值的大小以及求函數的最值、值域等問題．(邏輯推理、數學運算)
[討論交流]　預習教材P204－P207，并思考以下問題：
問題1．正弦、余弦函數的單調區間分別是什么？
問題2．正弦、余弦函數的最值分別是多少？
整體感知
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　正弦函數、余弦函數的單調性與最值
探究問題1　觀察正弦函數y＝sin x，x∈的圖象，當x由－增大到時，曲線是如何變化的？相應函數值又是怎樣變化的？
探究建構
提示：當x由－增大到時，曲線逐漸上升，sin x的值由－1增大到1．
當x由增大到時，曲線逐漸下降，sin x的值由1減小到－1．
探究問題2　觀察余弦函數y＝cos x，x∈[－π，π]的圖象，當x由－π增大到π時，曲線是如何變化的？相應函數值又是怎樣變化的？
提示：當x由－π增大到0時，曲線逐漸上升，cos x的值由－1增大到1．
當x由0增大到π時，曲線逐漸下降，cos x的值由1減小到－1．
[新知生成]
正弦函數、余弦函數的單調性與最值(表中k∈Z)
正弦函數 余弦函數
圖象



值域 ____________ ____________
[－1，1]
[－1，1]
正弦函數 余弦函數
單調性 在____________________上單調遞增， 在____________________上單調遞減 在________________上單調遞增，在______________上單調遞減
最值 當x＝________時，ymax＝1；當x＝_________時，ymin＝－1 當x＝____時，ymax＝1；
當x＝________時，ymin＝－1
[－π＋2kπ，2kπ]
[2kπ，π＋2kπ]
＋2kπ
2kπ
π＋2kπ
【鏈接·教材例題】
例5　求函數y＝sin ，x∈[－2π，2π]的單調遞增區間．
分析：令z＝，x∈[－2π，2π]，當自變量x的值增大時，z的值也隨之增大，因此若函數y＝sin z在某個區間上單調遞增，則函數y＝sin 在相應的區間上也一定單調遞增．
解：令z＝，x∈[－2π，2π]，則x∈．
因為y＝sin z，z∈的單調遞增區間是，且由
－，得－．
所以，函數y＝sin ，x∈[－2π，2π]的單調遞增區間是．
[典例講評]　1．求函數y＝2sin 的單調區間．
[解]　令z＝x－，則y＝2sin z．∵z＝x－是增函數，
∴y＝2sin z單調遞增時，函數y＝2sin 也單調遞增．
由z∈(k∈Z)，
得x－∈(k∈Z)，
即x∈(k∈Z)，
故函數y＝2sin 的單調遞增區間為
(k∈Z)．
同理可求函數y＝2sin 的單調遞減區間為(k∈Z)．
[母題探究]　
1．求函數f (x)＝2sin ，x∈[0，2π]的單調區間．
[解]　由例題知f (x)＝2sin 的單調遞增區間為(k∈Z)．又∵x∈[0，2π]，∴0≤x≤≤x≤2π，
同理函數f (x)＝2sin ，x∈[0，2π]的單調遞減區間為．
∴函數f (x)＝2sin ，x∈[0，2π]的單調遞增區間為，，單調遞減區間為．
2．求函數y＝sin 的單調遞增區間．
[解]　y＝sin ＝－sin ，令z＝x－，而y＝－sin z的單調遞增區間是，k∈Z，
∴令＋2kπ≤x－＋2kπ，k∈Z，
得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
∴函數y＝sin 的單調遞增區間為[＋2k，]，k∈Z．
反思領悟　求解與正弦、余弦函數有關的單調區間的兩個技巧
(1)數形結合法：結合正弦、余弦函數的圖象，熟記它們的單調區間．
(2)整體代換：在求形如y＝A sin (ωx＋φ)(其中A，ω，φ為常數，且A≠0，ω>0)的函數的單調區間時，應采用整體代換，將“ωx＋φ”看作一個整體“z”，即通過求y＝A sin z的單調區間而求出原函數的單調區間．求形如y＝A cos (ωx＋φ)(其中A，ω，φ為常數，且A≠0，ω>0)的函數的單調區間的方法同上．
提醒：復合函數的單調性遵循“同增異減”的規律．
[學以致用]　1．求下列函數的單調區間：
(1)y＝sin ；(2)y＝2cos ．
[解]　(1)y＝sin ＝－sin ，
由2kπ－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
由2kπ＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以函數y＝sin 的單調遞增區間是，k∈Z，單調遞減區間是，k∈Z．
(2)由2kπ≤3x－≤2kπ＋π，k∈Z，得，k∈Z，
由2kπ－π≤3x－≤2kπ，k∈Z，得，k∈Z，
所以函數y＝2cos 的單調遞增區間是，k∈Z，單調遞減區間是，k∈Z．
探究2　利用三角函數的單調性比較大小
【鏈接·教材例題】
例4　不通過求值，比較下列各組數的大小：
(1)sin 與sin ；(2)cos 與cos ．
分析：可利用三角函數的單調性比較兩個同名三角函數值的大小．為此，先用誘導公式將已知角化為同一單調區間內的角，然后再比較大小．
解：(1)因為－<－<－<0，
正弦函數y＝sin x在區間上單調遞增，
所以sin ．
(2)cos ＝cos ＝cos ，cos ＝cos ＝cos ．
因為0<<π，且函數y＝cos x在區間[0，π]上單調遞減，
所以cos ，即cos ．
[典例講評]　2．利用三角函數的單調性，比較下列各組數的大小：
(1)cos ，cos ；(2)cos 1，sin 1；(3)sin 164°與cos 110°．
[解]　(1)cos ＝cos ，cos ＝cos ，
因為0<<π，又y＝cos x在[0，π]上單調遞減，
所以cos ，即cos ．
(2)因為cos 1＝sin ，又0<－1<1<，且y＝sin x在上單調遞增，
所以sin (3)sin 164°＝sin(180°－16°)＝sin 16°，
cos 110°＝cos(90°＋20°)＝－sin 20°＝sin(－20°)．
因為y＝sin x在上單調遞增，
所以sin(－20°)反思領悟　比較三角函數值大小的步驟
(1)異名函數化為同名函數．
(2)利用誘導公式把已知角轉化到同一單調區間上．
(3)利用函數的單調性比較大小．
[學以致用]　2．(源于湘教版教材)利用三角函數的單調性，比較下列各組數的大小：
(1)sin (－1)，sin (－1.1)；
(2)cos ，cos ．
[解]　(1)由于－<－1.1<－1<，
且y＝sin x在區間上單調遞增，
因此sin (－1)>sin (－1.1)．
(2)由于π<<2π，且y＝cos x在區間[π，2π]上單調遞增，因此cos ．
【教用·備選題】
下列關系式中正確的是(　　)
A．sin 11°C．sin 11°A　[因為sin 168°＝sin 12°，cos 10°＝sin 80°，所以只需比較
sin 11°，sin 12°，sin 80°的大小．因為y＝sin x在上單調遞增，
所以sin 11°√
【鏈接·教材例題】
例3　下列函數有最大值、最小值嗎？如果有，請寫出取最大值、最小值時自變量x的集合，并求出最大值、最小值．
(1)y＝cos x＋1，x∈R；
(2)y＝－3sin 2x，x∈R．
探究3　正、余弦函數的最值(值域)問題
解：容易知道，這兩個函數都有最大值、最小值．
(1)使函數y＝cos x＋1，x∈R取得最大值的x的集合，就是使函數y＝cos x，x∈R取得最大值的x的集合{x|x＝2kπ，k∈Z}；
使函數y＝cos x＋1，x∈R取得最小值的x的集合，就是使函數y＝
cos x，x∈R取得最小值的x的集合{x|x＝(2k＋1)π，k∈Z}．
函數y＝cos x＋1，x∈R的最大值是1＋1＝2；最小值是－1＋1＝0．
(2)令z＝2x，使函數y＝－3sin z，z∈R取得最大值的z的集合，就是使y＝sin z，z∈R取得最小值的z的集合
．
由2x＝z＝－＋2kπ，得x＝－＋kπ．
所以，使函數y＝－3sin 2x，x∈R取得最大值的x的集合是
．
同理，使函數y＝－3sin 2x，x∈R取得最小值的x的集合是
．
函數y＝－3sin 2x，x∈R的最大值是3，最小值是－3．
[典例講評]　3．求下列函數的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值時x的值．
(1)y＝－4sin x＋5；(2)y＝cos2x－sin x＋1．
[解]　(1)函數y＝－4sin x＋5取最大值和最小值時，y＝sin x正好取最小值和最大值，
當x＝－＋2kπ(k∈Z)時，ymax＝9；
當x＝＋2kπ(k∈Z)時，ymin＝1．
(2)令t＝sin x，則cos2x＝1－sin2x＝1－t2，
所以y＝－t2－t＋2，t∈[－1，1]．
所以y＝－t2－t＋2＝－＋，t∈[－1，1]．
當t＝－，即sin x＝－＋2kπ(k∈Z)或x＝－＋2kπ(k∈Z)時，ymax＝；
當t＝1，即sin x＝1，x＝＋2kπ(k∈Z)時，ymin＝0．
發現規律　三角函數最值問題的3種常見類型及求解方法
(1)形如y＝a sin x(或y＝a cos x)型，可利用正弦函數(或余弦函數)的______，注意對______的討論．
(2)形如y＝A sin (ωx＋φ)＋b(或y＝A cos (ωx＋φ)＋b)型，可先由定義域求得________的范圍，然后求得_________________________的范圍，最后求得最值．
(3)形如y＝a sin2x＋b sin x＋c(a≠0)型，可利用換元思想，設t＝_______，轉化為二次函數y＝__________求最值，t的范圍需要根據______來確定．
有界性
a正負
ωx＋φ
sin (ωx＋φ)(或cos (ωx＋φ))
sin x
at2＋bt＋c
定義域
[學以致用]　3．(1)函數y＝cos ，x∈的值域是(　　)
A． 　B．　　C． 　　D．
(2)函數y＝sin2x－4sin x的最大值為_____．
(1)C　(2)5　[(1)當0≤x≤時，，
∴－1≤cos ．
(2)y＝sin2x－4sin x＝(sin x－2)2－4．∵－1≤sin x≤1，
∴當sin x＝－1時，y取到最大值5．]
√
5　
【教用·備選題】　求使下列函數取得最大值和最小值時的x的值，并求出函數的最大值和最小值．
(1)y＝－sin2x＋sin x＋；
(2)y＝cos2x－sin x，x∈．
[解]　(1)y＝－sin2x＋sin x＋＝－＋2．
因為－1≤sin x≤1，所以當sin x＝，
即x＝2kπ＋(k∈Z)或x＝2kπ＋(k∈Z)時，函數取得最大值，ymax＝2；
當sin x＝－1，即x＝2kπ＋(k∈Z)時，函數取得最小值，
ymin＝．
(2)y＝cos2x－sin x＝1－sin2x－sin x＝－＋．
因為－，所以－≤sin x≤，
所以當sin x＝－，即x＝－時，函數取得最大值，ymax＝；
當sin x＝，即x＝時，函數取得最小值，ymin＝．
1．下列命題中正確的是(　　)
A．y＝cos x在第一象限和第四象限內單調遞減
B．y＝sin x在第一象限和第三象限內單調遞增
C．y＝cos x在上單調遞減
D．y＝sin x在上單調遞增
2
4
3
題號
1
應用遷移
√
D　[對于y＝cos x，該函數的單調遞減區間為[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z，故A錯誤，C錯誤；對于y＝sin x，該函數的單調遞增區間為，k∈Z，故B錯誤，D正確．]
2．函數y＝2－sin x的最大值及取最大值時x的值為(　　)
A．ymax＝3，x＝
B．ymax＝1，x＝＋2kπ(k∈Z)
C．ymax＝3，x＝－＋2kπ(k∈Z)
D．ymax＝3，x＝＋2kπ(k∈Z)
2
3
題號
1
4
√
C　[∵y＝2－sin x，∴當sin x＝－1時，ymax＝3，此時x＝－＋2kπ(k∈Z)．]
3．sin ________sin (填“＞”或“＜”)．
2
3
題號
4
1
＞　[sin ＝sin ＝sin ，
因為0＜，y＝sin x在上單調遞增，
所以sin ＜sin ，即sin ＞sin ．]
＞　
4．函數f (x)＝cos (2x－)的單調遞減區間是___________________.
2
4
3
題號
1
(k∈Z)　[令2kπ≤2x－≤π＋2kπ(k∈Z)，
得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
即f (x)＝cos 的單調遞減區間是(k∈Z)．]
(k∈Z)　
1．知識鏈：(1)正弦、余弦函數的單調性與最值．
(2)正弦、余弦函數單調性的應用．
2．方法鏈：整體代換、換元法．
3．警示牌：單調區間漏寫k∈Z；求值域時忽視sin x，cos x本身具有的范圍．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．如何求y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的單調區間？
[提示]　把ωx＋φ看成一個整體，由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范圍，所得區間即為單調遞增區間，由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范圍，所得區間即為單調遞減區間．若ω＜0，先利用誘導公式把ω轉化為正數后，再利用上述整體思想求出相應的單調區間．
2．如何利用函數單調性比較sin α與sin β的大小關系？
3．求三角函數最值或值域的常用方法有哪些？
[提示]　比較三角函數值的大小，先利用誘導公式把問題轉化為同一單調區間上的同名三角函數值的大小比較，再利用單調性作出判斷．
[提示]　單調性法、配方法或換元法等．
課時分層作業(五十)
點擊頁面進入…
單調性與最值
（WORD版）
鞏固課堂所學 · 激發學習思維
夯實基礎知識 · 熟悉命題方式
自我檢測提能 · 及時矯正不足
本節課掌握了哪些考點？
本節課還有什么疑問點？
課后訓練
學習反思
課時小結
THANKS課時分層作業(四十九)　周期性與奇偶性
一、選擇題
1．函數f (x)＝x＋sin x，x∈R(　　)
A．是奇函數，但不是偶函數
B．是偶函數，但不是奇函數
C．既是奇函數，又是偶函數
D．既不是奇函數，也不是偶函數
2．下列函數，最小正周期為2π的是(　　)
A．y＝sin B．y＝sin 2x
C．y＝ D．y＝|sin 2x|
3．函數y＝f (x)是定義在R上周期為2的奇函數，若f (－0.5)＝－1，則f (2.5)＝(　　)
A．－1 　　　B．1　　　 C．0 　　　D．0.5
4．函數y＝cos (k>0)的最小正周期不大于2，則正整數k的最小值應是(　　)
A．10 　　　B．11　　　 C．12 　　　D．13
5．(多選)設函數f (x)＝sin ，x∈R，則關于f (x)的說法正確的是(　　)
A．最小正周期為π
B．最小正周期為
C．奇函數
D．偶函數
二、填空題
6．寫出一個最小正周期為2的奇函數f (x)＝________．
7．設f (x)是定義域為R，最小正周期為的函數，若f (x)＝則＝________．
8．已知f (x)在R上是奇函數，且滿足f (x＋4)＝f (x)，當x∈(0，2)時，f (x)＝2x2，則f (7)＝________．
三、解答題
9．已知函數y＝sin x＋．
(1)畫出函數的簡圖；
(2)此函數是周期函數嗎？若是，求出其最小正周期．
10．已知定義在R上的奇函數f (x)滿足f (2＋x)＝f (－x)，若f (－1)＝2，
則f (2 025)＝(　　)
A．－4 　　　B．－2　　　 C．0 　　　D．2
11．圖象為如圖的函數可能是(　　)
A．y＝x·cos x B．y＝x·sin x
C．y＝x·|cos x| D．y＝x·2x
12．函數f (x)＝x3＋sin x＋1(x∈R)，若f (a)＝2，則f (－a)的值為(　　)
A．3 　　　B．0　　　 C．－1 　　　D．－2
13．若函數f (x)＝sin (2x＋φ)(－π<φ<π)在R上是偶函數，則φ＝________．
14．若定義在R上的函數f (x)滿足f (x)·f (x＋2)＝13．
(1)證明函數f (x)是周期函數；
(2)若f (1)＝2，求f (99)的值．
15．已知函數f (x)＝cos x，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 025)的值．
3/3課時分層作業(五十)　單調性與最值
一、選擇題
1．函數y＝sin x，x∈，則y的取值范圍是(　　)
A． 　　 B．
C． 　 D．
2．(多選)已知函數f (x)＝sin 在x0處取得最值，則x0可能是(　　)
A．－ 　　　B． 　　　C． 　　　D．
3．(2021·新高考Ⅰ卷)下列區間中，函數f (x)＝7sin 單調遞增的區間是(　　)
A． 　　　 B．
C． 　　　 D．
4．設a＝sin 33°，b＝sin 35°，c＝cos 40°，則(　　)
A．a>b>c 　　　 B．b>c>a　
C．c>b>a 　　　 D．c>a>b
5．函數y＝4cos2x＋4cos x－2的值域是(　　)
A．[－2，6] 　　　 B．[－3，6]
C．[－2，4] 　　　 D．[－3，8]
二、填空題
6．函數y＝sin 取最大值時自變量的取值集合是________．
7．sin 1，sin 2，sin 3按從小到大排列的順序為________．
8．若函數y＝sin x在區間[0，a]上單調遞增，則a的取值范圍為________．
三、解答題
9．已知函數f (x)＝cos ，x∈，求：
(1)f (x)的最大值和最小值；
(2)f (x)的單調遞減區間．
10．已知α，β為銳角三角形的兩個內角，則以下結論正確的是(　　)
A．sin αC．cos αcos β
11．(多選)下列不等式中成立的是(　　)
A．sin 1cos 2
C．cos (－70°)>sin 18° D．sin >sin
12．函數y＝的單調遞減區間是________．
13．若函數f (x)＝sin ωx(0＜ω＜2)在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，則ω＝________，f (x)在上的值域為________．
14．求函數y＝sin2x＋a cosx＋的最大值．
15．已知函數f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)為R上的偶函數，其圖象關于點M對稱，且在區間上是單調函數，求φ和ω的值．
3/3(共39張PPT)
第1課時　周期性與奇偶性
第五章　三角函數
5.4　三角函數的圖象與性質
5.4.2　正弦函數、余弦函數的性質
[學習目標]　1．理解周期函數的概念，能熟練地求出簡單三角函數的周期．(數學抽象、邏輯推理)
2．會根據之前所學結合函數的圖象研究三角函數的奇偶性，能正確判斷一些三角函數的變式的奇偶性．(直觀想象)
整體感知
[討論交流]　預習教材P201－P202，并思考以下問題：
問題1．周期函數的定義是什么？
問題2．如何利用周期函數的定義求正弦、余弦函數的周期？
問題3．正弦、余弦函數是否具有奇偶性？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　正弦函數、余弦函數的周期
探究問題　觀察下面正弦函數的圖象，可以發現橫坐標每隔2π個單位長度，對應點的縱坐標都相同，這就是正弦函數值具有的“周而復始”的變化規律．如何用數學語言描述這一現象？
探究建構
提示：sin (α＋2kπ)＝sin α，cos (α＋2kπ)＝cos α，其中k∈Z．
[新知生成]
1．函數的周期性
一般地，設函數f (x)的定義域為D，如果存在一個__________，使得對每一個x∈D都有x＋T∈D，且______________，那么函數f (x)就叫做周期函數．__________叫做這個函數的周期．
非零常數T
f (x＋T)＝f (x)
非零常數T
2．最小正周期
如果在周期函數f (x)的所有周期中存在一個__________，那么這個最小正數就叫做f (x)的最小正周期．
3．正弦函數是________，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π．
4．余弦函數是________，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π．
最小的正數
周期函數
周期函數
【教用·微提醒】　(1)關鍵詞“每一個x”體現了對定義域中每一個值都得成立．
(2)周期函數的周期不唯一，任何T的非零整數倍都是函數的周期．
(3)并不是所有的周期函數都存在最小正周期．如f (x)＝C(C為常數，x∈R)，是周期函數，但沒有最小正周期．
c
【鏈接·教材例題】
例2　求下列函數的周期：
(1)y＝3sin x，x∈R；
(2)y＝cos 2x，x∈R；
(3)y＝2sin ，x∈R．
c
分析：通常可以利用三角函數的周期性，通過代數變形，得出等式
f (x＋T )＝f (x)而求出相應的周期．
對于(2)，應從余弦函數的周期性出發，通過代數變形得出cos 2(x＋T )
＝cos 2x，x∈R；
對于(3)，應從正弦函數的周期性出發，通過代數變形得出
sin ＝sin ，x∈R．
c
解：(1) x∈R，有3sin (x＋2π)＝3sin x．
由周期函數的定義可知，原函數的周期為2π．
(2)令z＝2x，由x∈R得z∈R，且y＝cos z的周期為2π，即
cos (z＋2π)＝cos z，
于是cos (2x＋2π)＝cos 2x，
所以cos 2(x＋π)＝cos 2x，x∈R．
由周期函數的定義可知，原函數的周期為π．
c
(3)令z＝，由x∈R得z∈R，且y＝2sin z的周期為2π，即
2sin (z＋2π)＝2sin z，
于是2sin ＝2sin ，
所以2sin ＝2sin ．
由周期函數的定義可知，原函數的周期為4π．
c
[典例講評]　1．求下列三角函數的最小正周期T：
(1) f (x)＝7sin 2x，x∈R；
(2) f (x)＝cos ；
(3) f (x)＝|sin x|．
[解]　(1)因為7sin [2(x＋π)]＝7sin (2x＋2π)＝7sin 2x，由周期函數的定義知，y＝7sin 2x的最小正周期為π．
(2)法一(定義法)：
∵f (x)＝cos ＝cos ＝cos
＝f (x＋π)，即f (x＋π)＝f (x)，
∴函數f (x)＝cos 的最小正周期T＝π．
法二(公式法)：∵f (x)＝cos ，∴ω＝2．
又T＝＝π．∴函數f (x)＝cos 的最小正周期T＝π．
(3)法一(定義法)：∵f (x)＝|sin x|，
∴f (x＋π)＝|sin (x＋π)|＝|sin x|＝f (x)，
∴f (x)的最小正周期為π．
法二(圖象法)：
作出函數f (x)＝|sin x|的圖象如圖所示．
由圖象可知T＝π．
反思領悟　求三角函數周期的方法
(1)定義法：利用周期函數的定義求解．
(2)圖象法：畫出函數圖象，通過圖象直接觀察即可．
(3)公式法：對形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(A，ω，φ是常數，A≠0，ω≠0)的函數，T＝．
提醒：y＝|A sin (ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝．
[學以致用]　1．(1)若函數f (x)＝cos 的最小正周期為π，則ω＝(　　)
A．1　　　B．±1　　　C．2　　　D．±2
(2) 函數y＝|cos x|的最小正周期為_____．
(1)D　(2)π　[(1)因為f (x)的最小正周期為π，所以＝π，解得ω＝±2．
(2)y＝|cos x|的圖象如圖(實線部分)所示．
由圖象可知，y＝|cos x|的周期為π．]
√
π
探究2　正弦函數、余弦函數的奇偶性
[新知生成]
函數 y＝sin x y＝cos x
圖象 圖象關于____對稱 圖象關于__軸對稱
奇偶性 ______ ______
對稱性 (1)對稱中心為____________； (2)對稱軸x＝_____________ (1)對稱中心為
________________；
(2)對稱軸x＝__________
原點
y
奇函數
偶函數
(kπ，0)(k∈Z)
kπ＋，k∈Z
(k∈Z)
kπ，k∈Z
[典例講評]　2．判斷下列函數的奇偶性：
(1) f (x)＝sin ；(2) f (x)＝x2cos ；
(3) f (x)＝．
[解]　(1)顯然x∈R，f (x)＝cos x，f (－x)＝cos ＝cos x＝f (x)，
∴函數f (x)是偶函數．
(2)f (x)＝x2cos ＝－x2sin x，
因為任意x∈R，都有－x∈R．
又f (－x)＝－(－x)2sin (－x)＝x2sin x＝－f (x)，
所以函數f (x)＝x2cos 是奇函數．
(3)∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1，∴x∈R且x≠2kπ－，k∈Z．
∵定義域不關于原點對稱，
∴該函數既不是奇函數也不是偶函數．
反思領悟　
1．判斷函數奇偶性應把握好的兩個方面：
一看函數的定義域是否關于原點對稱．
二看f (x)與f (－x)的關系．
2．對于三角函數奇偶性的判斷，有時可根據誘導公式先將函數式化簡后再判斷．
3．與三角函數奇偶性有關的結論
(1)要使y＝A sin (ωx＋φ)(Aω≠0)為奇函數，則φ＝kπ(k∈Z)．
(2)要使y＝A sin (ωx＋φ)(Aω≠0)為偶函數，則φ＝kπ＋(k∈Z)．
(3)要使y＝A cos (ωx＋φ)(Aω≠0)為奇函數，則φ＝kπ＋(k∈Z)．
(4)要使y＝A cos (ωx＋φ)(Aω≠0)為偶函數，則φ＝kπ(k∈Z)．
[學以致用]　2．判斷下列函數的奇偶性：
(1)f (x)＝x sin (π－x)；
(2)f (x)＝cos sin ．
[解]　(1)f (x)＝x sin (π－x)＝x sin x的定義域為R．由于f (－x)＝
－x sin (－x)＝－x(－sin x)＝x sin x＝f (x)，故f (x)為偶函數．
(2)f (x)的定義域為R，由已知可得f (x)＝sin x cos x．
因為f (－x)＝sin (－x)cos (－x)＝－sin x cos x＝－f (x)，
所以f (x)為奇函數．
探究3　三角函數奇偶性與周期性的綜合應用
[典例講評]　3．定義在R上的函數f (x)既是偶函數，又是周期函數，若f (x)的最小正周期為π，且當x∈時，f (x)＝sin x，則f ＝(　　)
A．－　　　C．－
D　[＝f ＝f ＝f ＝f ＝f ＝sin ．]
√
[母題探究]　
1．在本例條件中，把“偶函數”變成“奇函數”，其他不變，
則f 的值為________．
－　[＝f ＝f ＝f
＝f ＝－f ＝－sin ．]
－　
2．若本例中條件變為定義在R上的函數f (x)既是偶函數，又是周期函數，f ＝－f (x)，f ＝1，則f 的值為_____．
1　[∵f ＝－f (x)，∴f (x＋π)＝－f ＝－[－f (x)]＝f (x)，
∴f (x)的周期T＝π，
∴f ＝f ＝f ＝f ＝1．]
1　
反思領悟　處理三角函數奇偶性和周期性的綜合應用問題立足一點：把待求向已知轉化．
(1)周期性的作用在于大化小．
(2)奇偶性的作用在于負化正．
兩者相互作用，便可把待求轉化到已知區間中，最終用代入法求值．
[學以致用]　3．(1)設函數f (x)(x∈R)滿足f (－x)＝f (x)，f (x＋2)＝
f (x)，則函數y＝f (x)的圖象是(　　)
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
√
(2)函數y＝f (x)是R上的周期為3的偶函數，且f (－2)＝3，則f (2 024)＝_____．
(1)B　(2)3　[(1)由f (－x)＝f (x)，則f (x)是偶函數，圖象關于y軸對稱．
由f (x＋2)＝f (x)，則f (x)的周期為2．故選B．
(2)∵f (x)為周期是3的偶函數，
∴f (2 024)＝f (3×674＋2)＝f (2)＝f (－2)＝3．]
3　
【教用·備選題】　已知f (x)是以π為周期的偶函數，且x∈時，f (x)＝1－sin x，求當x∈時f (x)的解析式．
[解]　當x∈時，3π－x∈，
因為x∈時，f (x)＝1－sin x，
所以f (3π－x)＝1－sin (3π－x)＝1－sin x．
又f (x)是以π為周期的偶函數，所以f (3π－x)＝f (－x)＝f (x)，
所以f (x)的解析式為f (x)＝1－sin x，x∈．
1．設函數f (x)＝sin ，則f (x)的最小正周期為(　　)
A．　　　B．π　　　C．2π　　　D．4π
2
4
3
題號
1
應用遷移
√
D　[函數f (x)＝sin 的最小正周期T＝＝4π．故選D．]
2．函數f (x)＝sin (－x)的奇偶性是(　　)
A．奇函數
B．偶函數
C．既是奇函數又是偶函數
D．既不是奇函數也不是偶函數
2
3
題號
1
4
√
A　[∵f (x)＝sin (－x)＝－sin x，∴f (－x)＝sin x．
∴f (－x)＝－f (x)，∴f (x)為奇函數．故選A．]
3．已知a∈R，函數f (x)＝sin x－|a|，x∈R為奇函數，則a＝____.
2
3
題號
4
1
0　
0　[因為f (x)＝sin x－|a|，x∈R為奇函數，
所以f (0)＝sin 0－|a|＝0，所以a＝0．]
4．已知f (x)為奇函數，且周期為，若f ＝－1，則f ＝__.
2
4
3
題號
1
1　
1　[∵T＝，且f (x)為奇函數，
∴f ＝f ＝f ＝－f ＝－(－1)＝1．]
1．知識鏈：(1)周期函數的概念，三角函數的周期．
(2)三角函數的奇偶性．
(3)三角函數周期性、奇偶性的綜合應用．
2．方法鏈：定義法、公式法、數形結合法．
3．警示牌：求函數y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常數，且A≠0，ω≠0)的最小正周期時，誤認為T＝．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．若f (x＋T)＝f (x)，x∈R，則f (x)是周期函數嗎？
[提示]　不一定．若T≠0，則f (x)是周期函數，否則不是．
2．你能寫出計算f (x)＝A sin (ωx＋φ)與g(x)＝A cos (ωx＋φ)(其中A≠0，ω≠0)的最小正周期的公式嗎？
[提示]　函數f (x)＝A sin (ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)與g(x)＝A cos (ωx＋φ)
(A≠0，ω≠0)的最小正周期都為T＝．
3．你能歸納一下正弦函數與余弦函數的奇偶性和對稱性嗎？
[提示]　正弦函數為奇函數，其圖象關于原點對稱；余弦函數為偶函數，其圖象關于y軸對稱．
正弦曲線、余弦曲線既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形．
課時分層作業(四十九)
點擊頁面進入…
周期性與奇偶性
（WORD版）
鞏固課堂所學 · 激發學習思維
夯實基礎知識 · 熟悉命題方式
自我檢測提能 · 及時矯正不足
本節課掌握了哪些考點？
本節課還有什么疑問點？
課后訓練
學習反思
課時小結
THANKS第2課時　單調性與最值
[學習目標]　1．會求函數y＝A sin (ωx＋φ)及y＝A cos (ωx＋φ)的單調區間．(數學運算)
2．能利用單調性比較函數值的大小以及求函數的最值、值域等問題．(邏輯推理、數學運算)
[討論交流]　預習教材P204－P207，并思考以下問題：
問題1．正弦、余弦函數的單調區間分別是什么？
問題2．正弦、余弦函數的最值分別是多少？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　正弦函數、余弦函數的單調性與最值
探究問題1　觀察正弦函數y＝sin x，x∈的圖象，當x由－增大到時，曲線是如何變化的？相應函數值又是怎樣變化的？
提示：當x由－增大到時，曲線逐漸上升，sin x的值由－1增大到1．
當x由增大到時，曲線逐漸下降，sin x的值由1減小到－1．
探究問題2　觀察余弦函數y＝cos x，x∈[－π，π]的圖象，當x由－π增大到π時，曲線是如何變化的？相應函數值又是怎樣變化的？
提示：當x由－π增大到0時，曲線逐漸上升，cos x的值由－1增大到1．
當x由0增大到π時，曲線逐漸下降，cos x的值由1減小到－1．
[新知生成]
正弦函數、余弦函數的單調性與最值(表中k∈Z)
正弦函數 余弦函數
圖象
值域 [－1，1] [－1，1]
單調性 在[＋2kπ，]上單調遞增，在[＋2kπ，]上單調遞減 在[－π＋2kπ，2kπ]上單調遞增，在[2kπ，π＋2kπ]上單調遞減
最值 當x＝＋2kπ時，ymax＝1；當x＝－＋2kπ時，ymin＝－1 當x＝2kπ時，ymax＝1；當x＝π＋2kπ時，ymin＝－1
【鏈接·教材例題】
例5　求函數y＝sin ，x∈[－2π，2π]的單調遞增區間．
分析：令z＝，x∈[－2π，2π]，當自變量x的值增大時，z的值也隨之增大，因此若函數y＝sin z在某個區間上單調遞增，則函數y＝sin 在相應的區間上也一定單調遞增．
解：令z＝，x∈[－2π，2π]，則x∈．
因為y＝sin z，z∈的單調遞增區間是，且由
－，
得－．
所以，函數y＝sin ，x∈[－2π，2π]的單調遞增區間是．
[典例講評]　1．求函數y＝2sin 的單調區間．
[解]　令z＝x－，則y＝2sin z．
∵z＝x－是增函數，
∴y＝2sin z單調遞增時，
函數y＝2sin 也單調遞增．
由z∈(k∈Z)，
得x－∈(k∈Z)，
即x∈(k∈Z)，
故函數y＝2sin 的單調遞增區間為(k∈Z)．
同理可求函數y＝2sin 的單調遞減區間為(k∈Z)．
[母題探究]　
1．求函數f (x)＝2sin ，x∈[0，2π]的單調區間．
[解]　由例題知f (x)＝2sin 的單調遞增區間為(k∈Z)．
又∵x∈[0，2π]，∴0≤x≤≤x≤2π，
同理函數f (x)＝2sin ，x∈[0，2π]的單調遞減區間為．
∴函數f (x)＝2sin ，x∈[0，2π]的單調遞增區間為，，單調遞減區間為．
2．求函數y＝sin 的單調遞增區間．
[解]　y＝sin ＝－sin ，令z＝x－，而y＝－sin z的單調遞增區間是，k∈Z，
∴令＋2kπ≤x－＋2kπ，k∈Z，
得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
∴函數y＝sin 的單調遞增區間為[＋2k，]，k∈Z．
　求解與正弦、余弦函數有關的單調區間的兩個技巧
(1)數形結合法：結合正弦、余弦函數的圖象，熟記它們的單調區間．
(2)整體代換：在求形如y＝A sin (ωx＋φ)(其中A，ω，φ為常數，且A≠0，ω>0)的函數的單調區間時，應采用整體代換，將“ωx＋φ”看作一個整體“z”，即通過求y＝A sin z的單調區間而求出原函數的單調區間．求形如y＝A cos (ωx＋φ)(其中A，ω，φ為常數，且A≠0，ω>0)的函數的單調區間的方法同上．
提醒：復合函數的單調性遵循“同增異減”的規律．
[學以致用]　1．求下列函數的單調區間：
(1)y＝sin ；
(2)y＝2cos ．
[解]　(1)y＝sin ＝－sin ，
由2kπ－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
由2kπ＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以函數y＝sin 的單調遞增區間是，k∈Z，單調遞減區間是，k∈Z．
(2)由2kπ≤3x－≤2kπ＋π，k∈Z，得，k∈Z，
由2kπ－π≤3x－≤2kπ，k∈Z，得，k∈Z，
所以函數y＝2cos 的單調遞增區間是，k∈Z，單調遞減區間是，k∈Z．
探究2　利用三角函數的單調性比較大小
【鏈接·教材例題】
例4　不通過求值，比較下列各組數的大小：
(1)sin 與sin ；
(2)cos 與cos ．
分析：可利用三角函數的單調性比較兩個同名三角函數值的大小．為此，先用誘導公式將已知角化為同一單調區間內的角，然后再比較大小．
解：(1)因為－<－<－<0，
正弦函數y＝sin x在區間上單調遞增，
所以sin ．
(2)cos ＝cos ＝cos ，
cos ＝cos ＝cos ．
因為0<<π，且函數y＝cos x在區間[0，π]上單調遞減，
所以cos ，
即cos ．
[典例講評]　2．利用三角函數的單調性，比較下列各組數的大小：
(1)cos ，cos ；
(2)cos 1，sin 1；
(3)sin 164°與cos 110°．
[解]　(1)cos ＝cos ，cos ＝cos ，
因為0<<π，
又y＝cos x在[0，π]上單調遞減，
所以cos ，
即cos ．
(2)因為cos 1＝sin ，又0<－1<1<，且y＝sin x在上單調遞增，
所以sin (3)sin 164°＝sin(180°－16°)＝sin 16°，
cos 110°＝cos(90°＋20°)＝－sin 20°＝sin(－20°)．
因為y＝sin x在上單調遞增，
所以sin(－20°)即cos 110°　比較三角函數值大小的步驟
(1)異名函數化為同名函數．
(2)利用誘導公式把已知角轉化到同一單調區間上．
(3)利用函數的單調性比較大小．
[學以致用]　2．(源于湘教版教材)利用三角函數的單調性，比較下列各組數的大小：
(1)sin (－1)，sin (－1.1)；
(2)cos ，cos ．
[解]　(1)由于－<－1.1<－1<，
且y＝sin x在區間上單調遞增，
因此sin (－1)>sin (－1.1)．
(2)由于π<<2π，且y＝cos x在區間[π，2π]上單調遞增，因此cos ．
【教用·備選題】
下列關系式中正確的是(　　)
A．sin 11°B．sin 168°C．sin 11°D．sin 168°A　[因為sin 168°＝sin 12°，cos 10°＝sin 80°，所以只需比較sin 11°，sin 12°，sin 80°的大小．因為y＝sin x在上單調遞增，
所以sin 11°即sin 11°探究3　正、余弦函數的最值(值域)問題
【鏈接·教材例題】
例3　下列函數有最大值、最小值嗎？如果有，請寫出取最大值、最小值時自變量x的集合，并求出最大值、最小值．
(1)y＝cos x＋1，x∈R；
(2)y＝－3sin 2x，x∈R．
解：容易知道，這兩個函數都有最大值、最小值．
(1)使函數y＝cos x＋1，x∈R取得最大值的x的集合，就是使函數y＝cos x，x∈R取得最大值的x的集合
{x|x＝2kπ，k∈Z}；
使函數y＝cos x＋1，x∈R取得最小值的x的集合，就是使函數y＝cos x，x∈R取得最小值的x的集合
{x|x＝(2k＋1)π，k∈Z}．
函數y＝cos x＋1，x∈R的最大值是1＋1＝2；最小值是－1＋1＝0．
(2)令z＝2x，使函數y＝－3sin z，z∈R取得最大值的z的集合，就是使y＝sin z，z∈R取得最小值的z的集合
．
由2x＝z＝－＋2kπ，得x＝－＋kπ．
所以，使函數y＝－3sin 2x，x∈R取得最大值的x的集合是
．
同理，使函數y＝－3sin 2x，x∈R取得最小值的x的集合是
．
函數y＝－3sin 2x，x∈R的最大值是3，最小值是－3．
[典例講評]　3．求下列函數的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值時x的值．
(1)y＝－4sin x＋5；
(2)y＝cos2x－sin x＋1．
[解]　(1)函數y＝－4sin x＋5取最大值和最小值時，y＝sin x正好取最小值和最大值，
當x＝－＋2kπ(k∈Z)時，ymax＝9；
當x＝＋2kπ(k∈Z)時，ymin＝1．
(2)令t＝sin x，則cos2x＝1－sin2x＝1－t2，
所以y＝－t2－t＋2，t∈[－1，1]．
所以y＝－t2－t＋2＝－＋，t∈[－1，1]．
當t＝－，即sin x＝－＋2kπ(k∈Z)或x＝－＋2kπ(k∈Z)時，ymax＝；
當t＝1，即sin x＝1，x＝＋2kπ(k∈Z)時，ymin＝0．
　三角函數最值問題的3種常見類型及求解方法
(1)形如y＝a sin x(或y＝a cos x)型，可利用正弦函數(或余弦函數)的有界性，注意對a正負的討論．
(2)形如y＝A sin (ωx＋φ)＋b(或y＝A cos (ωx＋φ)＋b)型，可先由定義域求得ωx＋φ的范圍，然后求得sin (ωx＋φ)(或cos (ωx＋φ))的范圍，最后求得最值．
(3)形如y＝a sin2x＋b sin x＋c(a≠0)型，可利用換元思想，設t＝sin x，轉化為二次函數y＝at2＋bt＋c求最值，t的范圍需要根據定義域來確定．
[學以致用]　3．(1)函數y＝cos ，x∈的值域是(　　)
A． 　　　 B．
C． 　　　 D．
(2)函數y＝sin2x－4sin x的最大值為________．
(1)C　(2)5　[(1)當0≤x≤時，，
∴－1≤cos ．
(2)y＝sin2x－4sin x＝(sin x－2)2－4．
∵－1≤sin x≤1，
∴當sin x＝－1時，y取到最大值5．]
【教用·備選題】　求使下列函數取得最大值和最小值時的x的值，并求出函數的最大值和最小值．
(1)y＝－sin2x＋sin x＋；
(2)y＝cos2x－sin x，x∈．
[解]　 (1)y＝－sin2x＋sin x＋＝－＋2．
因為－1≤sin x≤1，所以當sin x＝，
即x＝2kπ＋(k∈Z)或x＝2kπ＋(k∈Z)時，函數取得最大值，ymax＝2；
當sin x＝－1，即x＝2kπ＋(k∈Z)時，函數取得最小值，ymin＝．
(2)y＝cos2x－sin x＝1－sin2x－sin x
＝－＋．
因為－，所以－≤sin x≤，
所以當sin x＝－，即x＝－時，函數取得最大值，ymax＝；當sin x＝，即x＝時，函數取得最小值，ymin＝．
1．下列命題中正確的是(　　)
A．y＝cos x在第一象限和第四象限內單調遞減
B．y＝sin x在第一象限和第三象限內單調遞增
C．y＝cos x在上單調遞減
D．y＝sin x在上單調遞增
D　[對于y＝cos x，該函數的單調遞減區間為[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z，故A錯誤，C錯誤；對于y＝sin x，該函數的單調遞增區間為，k∈Z，故B錯誤，D正確．]
2．函數y＝2－sin x的最大值及取最大值時x的值為(　　)
A．ymax＝3，x＝
B．ymax＝1，x＝＋2kπ(k∈Z)
C．ymax＝3，x＝－＋2kπ(k∈Z)
D．ymax＝3，x＝＋2kπ(k∈Z)
C　[∵y＝2－sin x，∴當sin x＝－1時，ymax＝3，此時x＝－＋2kπ(k∈Z)．]
3．sin ________sin (填“＞”或“＜”)．
＞　[sin ＝sin ＝sin ，
因為0＜，y＝sin x在上單調遞增，所以sin ＜sin ，
即sin ＞sin ．]
4．函數f (x)＝cos (2x－)的單調遞減區間是____________．
(k∈Z)　[令2kπ≤2x－≤π＋2kπ(k∈Z)，
得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
即f (x)＝cos 的單調遞減區間是(k∈Z)．]
1．知識鏈：(1)正弦、余弦函數的單調性與最值．
(2)正弦、余弦函數單調性的應用．
2．方法鏈：整體代換、換元法．
3．警示牌：單調區間漏寫k∈Z；求值域時忽視sin x，cos x本身具有的范圍．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．如何求y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的單調區間？
[提示]　把ωx＋φ看成一個整體，由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范圍，所得區間即為單調遞增區間，由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范圍，所得區間即為單調遞減區間．若ω＜0，先利用誘導公式把ω轉化為正數后，再利用上述整體思想求出相應的單調區間．
2．如何利用函數單調性比較sin α與sin β的大小關系？
[提示]　比較三角函數值的大小，先利用誘導公式把問題轉化為同一單調區間上的同名三角函數值的大小比較，再利用單調性作出判斷．
3．求三角函數最值或值域的常用方法有哪些？
[提示]　單調性法、配方法或換元法等．
課時分層作業(五十)　單調性與最值
一、選擇題
1．函數y＝sin x，x∈，則y的取值范圍是(　　)
A． 　　 B．
C． 　 D．
B　[由y＝sin x的單調性知，在上函數單調遞增，在上函數單調遞減，
又sin ，sin ＝1，sin ，
故y∈．故選B．]
2．(多選)已知函數f (x)＝sin 在x0處取得最值，則x0可能是(　　)
A．－ 　　　B． 　　　C． 　　　D．
AC　[當x0＋＋kπ，k∈Z時，f (x) 取得最值．取k＝0，－1，則x0＝或－符合題意．]
3．(2021·新高考Ⅰ卷)下列區間中，函數f (x)＝7sin 單調遞增的區間是(　　)
A． 　　　 B．
C． 　　　 D．
A　[法一(常規求法)：令－＋2kπ≤x－＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z．取k＝0，則－≤x≤．因為?，所以區間是函數f (x)的單調遞增區間．故選A．
法二(判斷單調性法)：當0＜x＜時，－＜x－，所以f (x)在上單調遞增，故A正確；當＜x＜π時，＜x－，所以f (x)在上不單調，故B不正確；當π＜x＜時，＜x－，所以f (x)在上單調遞減，故C不正確；當＜x＜2π時，＜x－，所以f (x)在上不單調，故D不正確．
故選A．]
4．設a＝sin 33°，b＝sin 35°，c＝cos 40°，則(　　)
A．a>b>c 　　　 B．b>c>a　
C．c>b>a 　　　 D．c>a>b
C　[因為函數y＝sin x在上單調遞增，
又c＝cos 40°＝sin 50°，且50°>35°>33°，
則sin 50°>sin 35°>sin 33°，即c>b>a．故選C．]
5．函數y＝4cos2x＋4cos x－2的值域是(　　)
A．[－2，6] 　　　 B．[－3，6]
C．[－2，4] 　　　 D．[－3，8]
B　[y＝4cos2x＋4cos x－2＝(2cos x＋1)2－3．
因為cos x∈[－1，1]，所以當cos x＝－時，ymin＝－3，當cos x＝1時，ymax＝6，因此值域是[－3，6]，故選B．]
二、填空題
6．函數y＝sin 取最大值時自變量的取值集合是________．
　[當＋2kπ，k∈Z，即x＝＋4kπ，k∈Z時，函數取最大值．]
7．sin 1，sin 2，sin 3按從小到大排列的順序為________．
sin 3y＝sin x在上單調遞增，且0<π－3<1<π－2<，
∴sin (π－3)故sin 38．若函數y＝sin x在區間[0，a]上單調遞增，則a的取值范圍為________．
　[因為函數y＝sin x在區間上單調遞增，所以[0，a] ，
所以0三、解答題
9．已知函數f (x)＝cos ，x∈，求：
(1)f (x)的最大值和最小值；
(2)f (x)的單調遞減區間．
[解]　(1)∵x∈，
∴2x－∈，
易知y＝cos x在上單調遞增，
在上單調遞減，
故當2x－＝0，即x＝時，f (x)max＝1．
當2x－，即x＝時f (x)min＝－．
(2)由函數y＝cos x的圖象知，y＝cos x在上的單調遞減區間為．
令0≤2x－，解得≤x≤，故f (x)的單調遞減區間為．
10．已知α，β為銳角三角形的兩個內角，則以下結論正確的是(　　)
A．sin αC．cos αcos β
B　[因為α，β是銳角三角形的兩個內角，故有α＋β>，所以0<－β<α<，
所以cos α11．(多選)下列不等式中成立的是(　　)
A．sin 1cos 2
C．cos (－70°)>sin 18° 　 D．sin >sin
AC　[對于A，因為0<1<，y＝sin x在上單調遞增，所以sin 1對于B，因為<π，y＝cos x在上單調遞減，所以cos 對于C，cos (－70°)＝cos 70°＝sin 20°>sin 18°，故C正確；
對于D，sin ＝sin ，sin ＝sin ，故D錯誤．故選AC．]
12．函數y＝的單調遞減區間是________．
，k∈Z　[由－2sin x≥0得sin x≤0，解得x∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z．
根據復合函數單調性同增異減可知，
函數y＝的單調遞減區間是，k∈Z．]
13．若函數f (x)＝sin ωx(0＜ω＜2)在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，則ω＝________，f (x)在上的值域為________．
　[0，1]　[根據題意知f (x)在x＝處取得最大值1，
∴sin ＝1，∴＝2kπ＋，k∈Z，
即ω＝6k＋，k∈Z．
又0＜ω＜2，∴ω＝．
又f (x)＝sin x，x∈，∴x∈，
∴當x＝，即x＝時，f (x)max＝1．
當x＝0，即x＝0時，f (x)min＝0，
∴f (x)在上的值域為[0，1]．]
14．求函數y＝sin2x＋a cos x＋a－(0≤x≤)的最大值．
[解]　y＝1－cos2x＋a cos x＋a－＝－＋a－，
∵0≤x≤，∴0≤cos x≤1，
∴當0≤a≤2時，ymax＝a－；
當a>2時，ymax＝a－；
當a<0時，ymax＝a－．
15．已知函數f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)為R上的偶函數，其圖象關于點M對稱，且在區間上是單調函數，求φ和ω的值．
[解]　由f (x)是偶函數，
得φ＝kπ＋，k∈Z．
因為0≤φ≤π，所以φ＝．
由f (x)的圖象關于點M對稱，得f ＝0．
因為f ＝sin ＝cos ，
所以cos ＝0．
又因為ω>0，所以＋kπ，k∈N，
即ω＝k，k∈N．
當k＝0時，ω＝，此時f (x)＝sin 在上單調遞減；
當k＝1時，ω＝2，此時f (x)＝sin 在上單調遞減；
當k≥2時，ω≥，此時f (x)＝sin 在上不是單調函數．
綜上，ω＝或ω＝2.
15/155.4.2　正弦函數、余弦函數的性質
第1課時　周期性與奇偶性
[學習目標]　1．理解周期函數的概念，能熟練地求出簡單三角函數的周期．(數學抽象、邏輯推理)
2．會根據之前所學結合函數的圖象研究三角函數的奇偶性，能正確判斷一些三角函數的變式的奇偶性．(直觀想象)
[討論交流]　預習教材P201－P202，并思考以下問題：
問題1．周期函數的定義是什么？
問題2．如何利用周期函數的定義求正弦、余弦函數的周期？
問題3．正弦、余弦函數是否具有奇偶性？
[自我感知]　經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．
探究1　正弦函數、余弦函數的周期
探究問題　觀察下面正弦函數的圖象，可以發現橫坐標每隔2π個單位長度，對應點的縱坐標都相同，這就是正弦函數值具有的“周而復始”的變化規律．如何用數學語言描述這一現象？
提示：sin (α＋2kπ)＝sin α，cos (α＋2kπ)＝cos α，其中k∈Z．
[新知生成]
1．函數的周期性
一般地，設函數f (x)的定義域為D，如果存在一個非零常數T，使得對每一個x∈D都有x＋T∈D，且f (x＋T )＝f (x)，那么函數f (x)就叫做周期函數．非零常數T叫做這個函數的周期．
2．最小正周期
如果在周期函數f (x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做f (x)的最小正周期．
3．正弦函數是周期函數，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π．
4．余弦函數是周期函數，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π．
【教用·微提醒】　(1)關鍵詞“每一個x”體現了對定義域中每一個值都得成立．
(2)周期函數的周期不唯一，任何T的非零整數倍都是函數的周期．
(3)并不是所有的周期函數都存在最小正周期．如f (x)＝C(C為常數，x∈R)，是周期函數，但沒有最小正周期．
【鏈接·教材例題】
例2　求下列函數的周期：
(1)y＝3sin x，x∈R；
(2)y＝cos 2x，x∈R；
(3)y＝2sin ，x∈R．
分析：通常可以利用三角函數的周期性，通過代數變形，得出等式f (x＋T)＝f (x)而求出相應的周期．
對于(2)，應從余弦函數的周期性出發，通過代數變形得出cos 2(x＋T)＝cos 2x，x∈R；
對于(3)，應從正弦函數的周期性出發，通過代數變形得出sin ＝sin ，x∈R．
解：(1) x∈R，有
3sin (x＋2π)＝3sin x．
由周期函數的定義可知，原函數的周期為2π．
(2)令z＝2x，由x∈R得z∈R，且y＝cos z的周期為2π，即
cos (z＋2π)＝cos z，
于是cos (2x＋2π)＝cos 2x，
所以cos 2(x＋π)＝cos 2x，x∈R．
由周期函數的定義可知，原函數的周期為π．
(3)令z＝，由x∈R得z∈R，且y＝2sin z的周期為2π，即
2sin (z＋2π)＝2sin z，
于是2sin ＝2sin ，
所以2sin ＝2sin ．
由周期函數的定義可知，原函數的周期為4π．
[典例講評]　1．求下列三角函數的最小正周期T：
(1)f (x)＝7sin 2x，x∈R；
(2)f (x)＝cos ；
(3)f (x)＝|sin x|．
[解]　(1)因為7sin [2(x＋π)]＝7sin (2x＋2π)＝7sin 2x，由周期函數的定義知，y＝7sin 2x的最小正周期為π．
(2)法一(定義法)：
∵f (x)＝cos ＝cos ＝cos ＝f (x＋π)，
即f (x＋π)＝f (x)，
∴函數f (x)＝cos 的最小正周期T＝π．
法二(公式法)：∵f (x)＝cos ，∴ω＝2．
又T＝＝π．∴函數f (x)＝cos 的最小正周期T＝π．
(3)法一(定義法)：∵f (x)＝|sin x|，
∴f (x＋π)＝|sin (x＋π)|＝|sin x|＝f (x)，
∴f (x)的最小正周期為π．
法二(圖象法)：
作出函數f (x)＝|sin x|的圖象如圖所示．
由圖象可知T＝π．
　求三角函數周期的方法
(1)定義法：利用周期函數的定義求解．
(2)圖象法：畫出函數圖象，通過圖象直接觀察即可．
(3)公式法：對形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(A，ω，φ是常數，A≠0，ω≠0)的函數，T＝．
提醒：y＝|A sin (ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝．
[學以致用]　1．(1)若函數f (x)＝cos 的最小正周期為π，則ω＝(　　)
A．1　　　B．±1　　　C．2　　　D．±2
(2) 函數y＝|cos x|的最小正周期為________．
(1)D　(2)π　[(1)因為f (x)的最小正周期為π，所以＝π，解得ω＝±2．
(2)y＝|cos x|的圖象如圖(實線部分)所示．
由圖象可知，y＝|cos x|的周期為π．]
探究2　正弦函數、余弦函數的奇偶性
[新知生成]
函數 y＝sin x y＝cos x
圖象 圖象關于原點對稱 圖象關于y軸對稱
奇偶性 奇函數 偶函數
對稱性 (1)對稱中心為(kπ，0)(k∈Z)； (2)對稱軸x＝kπ＋，k∈Z (1)對稱中心為(k∈Z)； (2)對稱軸x＝kπ，k∈Z
[典例講評]　2．判斷下列函數的奇偶性：
(1)f (x)＝sin ；
(2)f (x)＝x2cos ；
(3)f (x)＝．
[解]　(1)顯然x∈R，f (x)＝cos x，
f (－x)＝cos ＝cos x＝f (x)，
∴函數f (x)是偶函數．
(2)f (x)＝x2cos ＝－x2sin x，
因為任意x∈R，都有－x∈R．
又f (－x)＝－(－x)2sin (－x)＝x2sin x＝－f (x)，
所以函數f (x)＝x2cos 是奇函數．
(3)∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1，
∴x∈R且x≠2kπ－，k∈Z．
∵定義域不關于原點對稱，
∴該函數既不是奇函數也不是偶函數．
　
1．判斷函數奇偶性應把握好的兩個方面：
一看函數的定義域是否關于原點對稱．
二看f (x)與f (－x)的關系．
2．對于三角函數奇偶性的判斷，有時可根據誘導公式先將函數式化簡后再判斷．
3．與三角函數奇偶性有關的結論
(1)要使y＝A sin (ωx＋φ)(Aω≠0)為奇函數，則φ＝kπ(k∈Z)．
(2)要使y＝A sin (ωx＋φ)(Aω≠0)為偶函數，則φ＝kπ＋(k∈Z)．
(3)要使y＝A cos (ωx＋φ)(Aω≠0)為奇函數，則φ＝kπ＋(k∈Z)．
(4)要使y＝A cos (ωx＋φ)(Aω≠0)為偶函數，則φ＝kπ(k∈Z)．
[學以致用]　2．判斷下列函數的奇偶性：
(1)f (x)＝x sin (π－x)；
(2)f (x)＝cos sin ．
[解]　(1)f (x)＝x sin (π－x)＝x sin x的定義域為R．由于f (－x)＝－x sin (－x)＝－x(－sin x)＝x sin x＝f (x)，故f (x)為偶函數．
(2)f (x)的定義域為R，
由已知可得f (x)＝sin x cos x．
因為f (－x)＝sin (－x)cos (－x)＝－sin x cos x＝－f (x)，所以f (x)為奇函數．
探究3　三角函數奇偶性與周期性的綜合應用
[典例講評]　3．定義在R上的函數f (x)既是偶函數，又是周期函數，若f (x)的最小正周期為π，且當x∈時，f (x)＝sin x，則f ＝(　　)
A．－　　　B．　　　C．　　　D．
D　[＝f ＝f ＝f ＝f ＝f ＝sin ．]
[母題探究]　
1．在本例條件中，把“偶函數”變成“奇函數”，其他不變，則f 的值為________．
－　[＝f ＝f ＝f
＝f ＝－f ＝－sin ．]
2．若本例中條件變為定義在R上的函數f (x)既是偶函數，又是周期函數，f ＝－f (x)，f ＝1，則f 的值為________．
1　[∵f ＝－f (x)，
∴f (x＋π)＝－f ＝－[－f (x)]＝f (x)，
∴f (x)的周期T＝π，
∴f ＝f ＝f ＝f ＝1．]
　處理三角函數奇偶性和周期性的綜合應用問題立足一點：把待求向已知轉化．
(1)周期性的作用在于大化小．
(2)奇偶性的作用在于負化正．
兩者相互作用，便可把待求轉化到已知區間中，最終用代入法求值．
[學以致用]　3．(1)設函數f (x)(x∈R)滿足f (－x)＝f (x)，f (x＋2)＝f (x)，則函數y＝f (x)的圖象是(　　)
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
(2)函數y＝f (x)是R上的周期為3的偶函數，且f (－2)＝3，則f (2 024)＝________．
(1)B　(2)3　[(1)由f (－x)＝f (x)，則f (x)是偶函數，圖象關于y軸對稱．
由f (x＋2)＝f (x)，則f (x)的周期為2．故選B．
(2)∵f (x)為周期是3的偶函數，
∴f (2 024)＝f (3×674＋2)＝f (2)＝f (－2)＝3．]
【教用·備選題】　已知f (x)是以π為周期的偶函數，且x∈時，f (x)＝1－sin x，求當x∈時f (x)的解析式．
[解]　當x∈時，3π－x∈，
因為x∈時，f (x)＝1－sin x，
所以f (3π－x)＝1－sin (3π－x)＝1－sin x．
又f (x)是以π為周期的偶函數，
所以f (3π－x)＝f (－x)＝f (x)，
所以f (x)的解析式為f (x)＝1－sin x，x∈．
1．設函數f (x)＝sin ，則f (x)的最小正周期為(　　)
A．　　　B．π　　　C．2π　　　D．4π
D　[函數f (x)＝sin 的最小正周期T＝＝4π．故選D．]
2．函數f (x)＝sin (－x)的奇偶性是(　　)
A．奇函數
B．偶函數
C．既是奇函數又是偶函數
D．既不是奇函數也不是偶函數
A　[∵f (x)＝sin (－x)＝－sin x，∴f (－x)＝sin x．
∴f (－x)＝－f (x)，∴f (x)為奇函數．故選A．]
3．已知a∈R，函數f (x)＝sin x－|a|，x∈R為奇函數，則a＝________．
0　[因為f (x)＝sin x－|a|，x∈R為奇函數，
所以f (0)＝sin 0－|a|＝0，所以a＝0．]
4．已知f (x)為奇函數，且周期為，若f ＝－1，則f ＝________．
1　[∵T＝，且f (x)為奇函數，
∴f ＝f ＝f ＝－f ＝－(－1)＝1．]
1．知識鏈：(1)周期函數的概念，三角函數的周期．
(2)三角函數的奇偶性．
(3)三角函數周期性、奇偶性的綜合應用．
2．方法鏈：定義法、公式法、數形結合法．
3．警示牌：求函數y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常數，且A≠0，ω≠0)的最小正周期時，誤認為T＝．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．若f (x＋T)＝f (x)，x∈R，則f (x)是周期函數嗎？
[提示]　不一定．若T≠0，則f (x)是周期函數，否則不是．
2．你能寫出計算f (x)＝A sin (ωx＋φ)與g(x)＝A cos (ωx＋φ)(其中A≠0，ω≠0)的最小正周期的公式嗎？
[提示]　函數f (x)＝A sin (ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)與g(x)＝A cos (ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的最小正周期都為T＝．
3．你能歸納一下正弦函數與余弦函數的奇偶性和對稱性嗎？
[提示]　正弦函數為奇函數，其圖象關于原點對稱；余弦函數為偶函數，其圖象關于y軸對稱．
正弦曲線、余弦曲線既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形．
課時分層作業(四十九)　周期性與奇偶性
一、選擇題
1．函數f (x)＝x＋sin x，x∈R(　　)
A．是奇函數，但不是偶函數
B．是偶函數，但不是奇函數
C．既是奇函數，又是偶函數
D．既不是奇函數，也不是偶函數
A　[由f (－x)＝－x－sin x＝－(x＋sin x)＝－f (x)可知f (x)是奇函數．故選A．]
2．下列函數，最小正周期為2π的是(　　)
A．y＝sin 　　　 B．y＝sin 2x
C．y＝ 　　　 D．y＝|sin 2x|
C　[函數y＝sin 的最小正周期為T＝＝4π，故A不符合；函數y＝sin 2x，其最小正周期為T＝＝π，故B不符合；因為函數y＝sin 的最小正周期為T＝4π，所以函數y＝的最小正周期為2π，故C符合；
因為函數y＝sin 2x的最小正周期為T＝＝π，所以函數y＝，故D不符合．故選C．]
3．函數y＝f (x)是定義在R上周期為2的奇函數，若f (－0.5)＝－1，則f (2.5)＝(　　)
A．－1 　　　B．1 　　　C．0 　　　D．0.5
B　[f (x)是周期為2的奇函數，
f (－0.5)＝－f (0.5)＝－1，f (0.5)＝1，
所以f (2.5)＝f (2＋0.5)＝f (0.5)＝1．
故選B．]
4．函數y＝cos (k>0)的最小正周期不大于2，則正整數k的最小值應是(　　)
A．10 　　　B．11 　　　C．12 　　　D．13
D　[因為T＝≤2，
所以k≥4π，又k∈Z，所以正整數k的最小值為13．]
5．(多選)設函數f (x)＝sin ，x∈R，則關于f (x)的說法正確的是(　　)
A．最小正周期為π 　　　 B．最小正周期為
C．奇函數 　　　 D．偶函數
AD　[f (x)＝sin ＝－cos 2x，最小正周期T＝＝π，排除B，故A正確；
由f (－x)＝－cos (－2x)＝－cos 2x＝f (x)，
可知函數f (x)＝sin 為偶函數，排除C，故D正確．故選AD．]
二、填空題
6．寫出一個最小正周期為2的奇函數f (x)＝________．
sin πx(答案不唯一)　[基本初等函數中既為周期函數又為奇函數的函數為y＝sin x，∴此題可考慮在此基礎上調整周期使其滿足題意．由此可知f (x)＝sin ωx且T＝ f (x)＝sin πx．]
7．設f (x)是定義域為R，最小正周期為的函數，若f (x)＝則f ＝________．
　[＝f (×(－3)＋)
＝f ＝sin ．]
8．已知f (x)在R上是奇函數，且滿足f (x＋4)＝f (x)，當x∈(0，2)時，f (x)＝2x2，則f (7)＝________．
－2　[因為f (x＋4)＝f (x)，所以函數的周期是4．
因為f (x)在R上是奇函數，且當x∈(0，2)時，f (x)＝2x2，所以f (7)＝f (7－8)＝f (－1)＝－f (1)＝－2．]
三、解答題
9．已知函數y＝sin x＋．
(1)畫出函數的簡圖；
(2)此函數是周期函數嗎？若是，求出其最小正周期．
[解]　(1)y＝sin x＋
＝
該函數的圖象如圖所示：
(2)由圖象知該函數是周期函數，且最小正周期是2π．
10．已知定義在R上的奇函數f (x)滿足f (2＋x)＝f (－x)，若f (－1)＝2，則f (2 025)＝(　　)
A．－4 　　　B．－2 　　　C．0 　　　D．2
B　[因為定義在R上的奇函數f (x)滿足f (2＋x)＝f (－x)，所以f (2＋x)＝f (－x)＝－f (x)，
所以f (4＋x)＝－f (2＋x)＝f (x)，
所以f (x)是周期為4的周期函數．
所以f (2 025)＝f (1)＝－f (－1)＝－2．]
11．圖象為如圖的函數可能是(　　)
A．y＝x·cos x 　　　 B．y＝x·sin x
C．y＝x·|cos x| 　　　 D．y＝x·2x
A　[根據圖象可看到函數為奇函數，并且與x軸交點不止一個，而y＝x·sin x是偶函數，y＝x·2x既不是奇函數也不是偶函數，由此可排除B，D；當x＞0時，y＝x·|cos x|≥0，由此可排除C．故選A．]
12．函數f (x)＝x3＋sin x＋1(x∈R)，若f (a)＝2，則f (－a)的值為(　　)
A．3 　　　B．0 　　　C．－1 　　　D．－2
B　[可構造g(x)＝x3＋sin x(x∈R)，則g(x)＝x3＋sin x(x∈R)為奇函數，由g(－x)＝－g(x)得f (－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1，又f (a)＝g(a)＋1＝2，所以g(a)＝1．所以f (－a)＝0．也可研究題中f (a)與所求的f (－a)之間的關系，得f (－a)＋f (a)＝2．]
13．若函數f (x)＝sin (2x＋φ)(－π<φ<π)在R上是偶函數，則φ＝________．
或－　[∵函數f (x)＝sin (2x＋φ)在R上是偶函數，∴φ＝kπ＋，k∈Z，
又－π<φ<π，∴φ＝(k＝0時)，或φ＝－(k＝－1時)．]
14．若定義在R上的函數f (x)滿足f (x)·f (x＋2)＝13．
(1)證明函數f (x)是周期函數；
(2)若f (1)＝2，求f (99)的值．
[解]　(1)證明：因為f (x)·f (x＋2)＝13，所以f (x＋2)＝，所以f (x＋4)＝＝f (x)，所以函數f (x)是周期為4的周期函數．
(2)由(1)得f (99)＝f (3＋4×24)＝f (3)＝．
15．已知函數f (x)＝cos x，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 025)的值．
[解]　因為f (1)＝cos ，f (2)＝cos ，f (3)＝cos π＝－1，f (4)＝cos ，f (5)＝cos ，f (6)＝cos 2π＝1，
所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝0，
即每連續六項的和均為0．
所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 025)
＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝－1．
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