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第二章 有理數(shù)及其運(yùn)算
回顧與思考
北師版（2024）七年級(jí)上冊(cè)
復(fù)習(xí)目標(biāo)
1、復(fù)習(xí)整理有理數(shù)有關(guān)概念，正確理解有理數(shù)的五個(gè)重要概念：有理數(shù)、數(shù)軸、相反數(shù)、絕對(duì)值、倒數(shù)；
2、會(huì)進(jìn)行有理數(shù)的分類，結(jié)合數(shù)軸理解有理數(shù)的相關(guān)概念，學(xué)會(huì)用數(shù)軸比較數(shù)的大小、解決一些數(shù)學(xué)問題；
3、會(huì)用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值較大的數(shù)；
4、正確理解近似數(shù)及有效數(shù)字的概念，會(huì)按題目要求取近似數(shù).
回顧思考
1.請(qǐng)你構(gòu)思一個(gè)生活中的場(chǎng)景，使其中盡可能多地包含負(fù)數(shù)、數(shù)軸、絕對(duì)值、有理數(shù)的運(yùn)算等內(nèi)容。
如：小明借小張2元錢，每月利息3分小明去小張家還錢小張家在數(shù)軸往左20米小明家在數(shù)軸往右15米.小明到小張家.還錢數(shù)等于- 2元的絕對(duì)值2元加上2乘于百分之三十的積.
回顧思考
2.舉例說明你是怎樣獲得有理數(shù)加法或減法的運(yùn)算法則的。
例如:
(+8)+(+2)=+(8+2)=10, (-1)+(-2)=-(1+2)=-3，
說明加法中同號(hào)相加，取相同符號(hào)，并把絕對(duì)值相加;
(-12)+(+2)=-(12-2)=-10, (+8)+(-1)=+(8-1)=7，
說明異號(hào)兩數(shù)相加，絕對(duì)值不等時(shí)取絕對(duì)值較大加數(shù)的符號(hào)，并用較大絕對(duì)值減去較小絕對(duì)值;
(-5)+(+5)=0， 說明異號(hào)兩數(shù)相加,絕對(duì)值相等時(shí)和為0;
(-4)+0=-4, 說明- -個(gè)數(shù)和0相加仍得這個(gè)數(shù).
6-(-8)=6+8=14，說明有理數(shù)減法中，減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù).
回顧思考
3.舉例說明有理數(shù)的運(yùn)算與小學(xué)學(xué)過的有關(guān)數(shù)的運(yùn)算有什么聯(lián)系。
例如：有理數(shù)的運(yùn)算與小學(xué)學(xué)過的數(shù)的運(yùn)算在加、減、乘、除等基本運(yùn)算規(guī)則上是一致的。例如，有理數(shù)的加法與小學(xué)加法一樣，都是將兩個(gè)數(shù)相加得到一個(gè)新的數(shù)，只是運(yùn)算對(duì)象擴(kuò)展.到了有理數(shù)范圍。同樣，減法、乘法和除法也遵循相同的規(guī)則，只是運(yùn)算對(duì)象變成了有理數(shù)。
回顧思考
4.生活中你遇到過用科學(xué)記數(shù)法表示的“大數(shù)”嗎 請(qǐng)查找資料，制作一份與“大數(shù)”有關(guān)的知識(shí)小報(bào)，并在班級(jí)內(nèi)分享。
●如一天有8.64x104s,-年如果按365天計(jì)算，用科學(xué)記數(shù)法表示一年有3.1536x 107 s。
小報(bào):(1)定義:把一個(gè)大于10的數(shù)表示成ax 10”的形式(1≤a<10,n是正整數(shù)),這種記數(shù)方法叫作科學(xué)記數(shù)法。
(2)好處:①科學(xué)記數(shù)法的形式是由兩個(gè)數(shù)的乘積組成的。②用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)時(shí),不改變數(shù)的符號(hào),只是改變數(shù)的書寫形式而已。可以方便地表示日常生活中遇到的一些極大的數(shù),如6100000000,這樣的數(shù)，讀、寫都很不.方便,我們可以免去寫這么多重復(fù)的0,將其表示為6.1x 109的形式。
回顧思考
5.梳理本章內(nèi)容，用適當(dāng)?shù)姆绞匠尸F(xiàn)全章知識(shí)結(jié)構(gòu)，并與同伴進(jìn)行交流。
有
理
數(shù)
有理數(shù)的分類
按定義分
按正、負(fù)分
數(shù)有理數(shù)運(yùn)算
運(yùn)算法則
數(shù)軸
相反數(shù)
運(yùn)算律
數(shù)有理數(shù)的有關(guān)概念
倒數(shù)
科學(xué)記數(shù)法
絕對(duì)值
典例講解
例1 下列敘述正確的有(　　)
①零是整數(shù)中最小的數(shù)；②有理數(shù)中沒有最大的數(shù)；③正數(shù)的絕對(duì)值是負(fù)數(shù)；④正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)．
A．3個(gè) B．4個(gè) C．1個(gè) D．2個(gè)
D
典例講解
[解析] 以前學(xué)過的數(shù)除0以外都是正數(shù)，正數(shù)前面加上“－”就是負(fù)數(shù)，然后再看它們是整數(shù)還是分?jǐn)?shù)．
典例講解
解：如圖，將a，－a，b，－b表示在數(shù)軸上，
所以b＜－a＜a＜－b.
例3 設(shè)a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，用“＜”號(hào)把a(bǔ)，-a，b，-b連接起來.
[解析] 數(shù)形結(jié)合，不僅可以看出數(shù)字字母的大小關(guān)系，更有利于尋找和表示相反數(shù).
例4 用科學(xué)記數(shù)法表示-1304000，應(yīng)記作____________;
典例講解
考查：科學(xué)記數(shù)法
把一個(gè)大于10的數(shù)表示成a×10n的形式
（其中a大于或等于1且小于10，n是正整數(shù)），
對(duì)于小于-10的數(shù)也可以類似表示.
1304000

n等于原數(shù)的整數(shù)部分的位數(shù)減1
A. 0.1（精確到0.1）
典例講解
B. 0.05（精確到千分位）
C. 0.05（精確到百分位）
D. 0.0502（精確到0.0001）
例5 用四舍五入法按要求對(duì)0.05019分別取近似值，
其中錯(cuò)誤的是（ ）
B
典例講解
例6 計(jì)算：
典例講解
[解析] 注意有理數(shù)的混合運(yùn)算一定要按照運(yùn)算順序，同時(shí)每一步要注意運(yùn)算符號(hào).
典例講解
例7 計(jì)算：
[解析] 注意運(yùn)算律的使用技巧，避免出錯(cuò)，尤其是符號(hào)問題.
典例講解
例8 已知有理數(shù)，，且，，求的值．
代入可得原式=
由題意知a=-2，b=3；
課堂總結(jié)
你學(xué)到了什么？
你悟到了什么？
你又有什么質(zhì)疑和發(fā)現(xiàn)？
謝謝
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有理數(shù)及其運(yùn)算 回顧與反思學(xué)案
一、復(fù)習(xí)目標(biāo)
1、復(fù)習(xí)整理有理數(shù)有關(guān)概念，正確理解有理數(shù)的五個(gè)重要概念：有理數(shù)、數(shù)軸、相反數(shù)、絕對(duì)值、倒數(shù)；
2、會(huì)進(jìn)行有理數(shù)的分類，結(jié)合數(shù)軸理解有理數(shù)的相關(guān)概念，學(xué)會(huì)用數(shù)軸比較數(shù)的大小、解決一些數(shù)學(xué)問題；
3、會(huì)用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值較大的數(shù)；
4、正確理解近似數(shù)及有效數(shù)字的概念，會(huì)按題目要求取近似數(shù).
二、回顧與思考
1.請(qǐng)你構(gòu)思一個(gè)生活中的場(chǎng)景，使其中盡可能多地包含負(fù)數(shù)、數(shù)軸、絕對(duì)值、有理數(shù)的運(yùn)算等內(nèi)容。
2.舉例說明你是怎樣獲得有理數(shù)加法或減法的運(yùn)算法則的。
3.舉例說明有理數(shù)的運(yùn)算與小學(xué)學(xué)過的有關(guān)數(shù)的運(yùn)算有什么聯(lián)系。
4.生活中你遇到過用科學(xué)記數(shù)法表示的“大數(shù)”嗎 請(qǐng)查找資料，制作一份與“大數(shù)”有關(guān)的知識(shí)小報(bào)，并在班級(jí)內(nèi)分享。
5.梳理本章內(nèi)容，用適當(dāng)?shù)姆绞匠尸F(xiàn)全章知識(shí)結(jié)構(gòu)，并與同伴進(jìn)行交流。
三、典例講解
例1 下列敘述正確的有(　　)
①零是整數(shù)中最小的數(shù)；②有理數(shù)中沒有最大的數(shù)；③正數(shù)的絕對(duì)值是負(fù)數(shù)；④正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)．
A．3個(gè) B．4個(gè) C．1個(gè) D．2個(gè)
例2 把下列各數(shù)填在相應(yīng)的括號(hào)內(nèi)：-16，,2，-12，-0.92，,0,3,0.1008，-4.95.
例3 設(shè)a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，用“＜”號(hào)把a(bǔ)，-a，b，-b連接起來.
例4 用科學(xué)記數(shù)法表示-1304000，應(yīng)記作____________;
例5 用四舍五入法按要求對(duì)0.05019分別取近似值，其中錯(cuò)誤的是（ ）
A. 0.1（精確到0.1） B. 0.05（精確到千分位）
C. 0.05（精確到百分位） D. 0.0502（精確到0.0001）
例6 計(jì)算：
例7 計(jì)算：
例8 已知有理數(shù)ab<0，a+b>0，且|a|=2，|b|=3，求|a |÷2b的值．
課堂總結(jié)
通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你有什么收獲？
布置作業(yè)
完成對(duì)應(yīng)的課后練習(xí)
課后練習(xí)
基礎(chǔ)練習(xí)
1、小華5月份體重增長(zhǎng)，記作．小穎體重減少，記作（ ）
A． B． C． D．
2、若（3﹣m）2+|n+2|＝0，則m+n的值為（　　）
A．1 B．﹣1 C．5 D．不確定
3、如果ab＜0，且a+b＞0，那么（　　）
A．a(chǎn)＞0，b＞0 B．a(chǎn)＜0，b＜0
C．a(chǎn)，b異號(hào)且負(fù)數(shù)的絕對(duì)值較小
D．a(chǎn)，b異號(hào)且負(fù)數(shù)的絕對(duì)值較大
4、比較大小： ．（填“”“”或“”）
5、算式﹣8﹣3+1﹣7按“和”的意義讀作　 　；按“運(yùn)算”的意義讀作　 ．
6、|a|＝3，|b|＝，且a＞b，則＝　 　．
7、把下列各數(shù)填入相應(yīng)的括號(hào)內(nèi)：，8， ， ，，，2，0，3.14，，，0.618，
正數(shù)：{　　　　　　　　　　　}；
負(fù)數(shù)：{　　　　　　　　　　　}；
整數(shù)：{　　　　　　　　　　　}；
分?jǐn)?shù)：{　　　　　　　　　　　}．
8、將下列各數(shù)在數(shù)軸上表示出來，并按從小到大的順序排列．（用“”號(hào)連接起來）
，1，0，，，3．
9、計(jì)算．
（1）﹣3+6﹣7； （2）； （3）（﹣4）2﹣23．
10、某出租車駕駛員從公司出發(fā)，在南北向的人民路上連續(xù)接送6批客人，行駛路程記錄如下（規(guī)定向南為正，向北為負(fù)，單位：km）：
第1批 第2批 第3批 第4批 第5批 第6批
5km 2km ﹣4km ﹣3km 10km ﹣5km
（1）接送完第6批客人后，該駕駛員在公司的什么方向，距離公司多少千米？
（2）若該出租車的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為：每千米按1.8元收費(fèi)，在這過程中該駕駛員共收到車費(fèi)多少元？
（3）若該出租車每千米耗油0.2升，那么他回到公司共耗油多少升？
能力提升
11、運(yùn)用分配律計(jì)算時(shí)，你認(rèn)為下列變形最簡(jiǎn)便的是（ ）
A． B．
C． D．
12、下列各式中，正確的是（　　）
A．（﹣2）3＝﹣6 B．
C． D．（﹣2）4＝﹣24
13、若|x﹣2|+（y+3）2＝0，則yx＝　 　．
14、對(duì)于近似數(shù)8.10×10﹣3，它有　　個(gè)有效數(shù)字．
15、計(jì)算：
（1）； （2）﹣14﹣（1﹣0.5）×．
16、小明定義了一種新的運(yùn)算“◎”，他寫出了一些按照“◎”運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算的算式：
（+2）◎（+7）＝+9，（﹣3）◎（﹣7）＝+10，
（﹣4）◎（+6）＝﹣10，（+5）◎（﹣8）＝﹣13，
0◎（﹣9）＝+9，（+8）◎0＝+8．
（1）請(qǐng)用文字語言歸納◎運(yùn)算的法則：
兩個(gè)非零數(shù)進(jìn)行“◎”運(yùn)算時(shí)，　 　；
特別地，0和任何數(shù)進(jìn)行“◎”運(yùn)算，或任何數(shù)和0進(jìn)行“◎”運(yùn)算，　 　．
（2）計(jì)算：（﹣11）◎[（﹣5）◎0]＝　 　．（括號(hào)的作用與在有理數(shù)運(yùn)算中一致）
（3）若整數(shù)a、b滿足a≤b，且a◎b＝2，求a、b的值．
答案版
1、小華5月份體重增長(zhǎng)，記作．小穎體重減少，記作（ ）B
A． B． C． D．
2、若（3﹣m）2+|n+2|＝0，則m+n的值為（　　）
A．1 B．﹣1 C．5 D．不確定
解：∵（3﹣m）2+|n+2|＝0，
∴3﹣m＝0，n+2＝0，
解得m＝3，n＝﹣2，
∴m+n＝3﹣2＝1．選：A．
3、如果ab＜0，且a+b＞0，那么（　　）
A．a(chǎn)＞0，b＞0 B．a(chǎn)＜0，b＜0
C．a(chǎn)，b異號(hào)且負(fù)數(shù)的絕對(duì)值較小
D．a(chǎn)，b異號(hào)且負(fù)數(shù)的絕對(duì)值較大
解：∵ab＜0，且a+b＞0，
∴a，b異號(hào)且負(fù)數(shù)的絕對(duì)值較小．選：C．
4、比較大小： ．（填“”“”或“”）
解：∵，
∴，答案為：．
5、算式﹣8﹣3+1﹣7按“和”的意義讀作　﹣8、﹣3、1、﹣7的和　；按“運(yùn)算”的意義讀作　﹣8減3加1減7　．
解：算式﹣8﹣3+1﹣7按“和”的意義讀作﹣8、﹣3、1、﹣7的和；按“運(yùn)算”的意義讀作﹣8減3加1減7．
答案為：﹣8、﹣3、1、﹣7的和；﹣8減3加1減7．
6、|a|＝3，|b|＝，且a＞b，則＝　6或﹣6　．
解：∵|a|＝3，|b|＝，
∴a＝±3，b＝，
又知a＞b，
∴a＝3，b＝或﹣．
故＝6或﹣6．
答案為：6或﹣6．
7、把下列各數(shù)填入相應(yīng)的括號(hào)內(nèi)：，8， ， ，，，2，0，3.14，，，0.618，
正數(shù)：{　　　　　　　　　　　}；
負(fù)數(shù)：{　　　　　　　　　　　}；
整數(shù)：{　　　　　　　　　　　}；
分?jǐn)?shù)：{　　　　　　　　　　　}．
解正數(shù)：{8，，，2，3.14，，0.618}；
負(fù)數(shù)：{，，，，}；
整數(shù)：{，8，2，0，，}；
分?jǐn)?shù)：{，，，，3.14，，0.618}．
8、將下列各數(shù)在數(shù)軸上表示出來，并按從小到大的順序排列．（用“”號(hào)連接起來）
，1，0，，，3．
解：把各數(shù)表示在數(shù)軸上，如圖所示：
用“”連接為：．
9、計(jì)算．
解：（1）﹣3+6﹣7＝﹣4；
（2）；
（3）（﹣4）2﹣23＝16﹣8＝8．
10、某出租車駕駛員從公司出發(fā)，在南北向的人民路上連續(xù)接送6批客人，行駛路程記錄如下（規(guī)定向南為正，向北為負(fù)，單位：km）：
第1批 第2批 第3批 第4批 第5批 第6批
5km 2km ﹣4km ﹣3km 10km ﹣5km
（1）接送完第6批客人后，該駕駛員在公司的什么方向，距離公司多少千米？
（2）若該出租車的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為：每千米按1.8元收費(fèi)，在這過程中該駕駛員共收到車費(fèi)多少元？
（3）若該出租車每千米耗油0.2升，那么他回到公司共耗油多少升？
解：（1）5+2﹣4﹣3+10﹣5＝5（km），
答：接送完第6批客人后，該駕駛員在公司南方，距離公司5千米；
（2）1.8×（5+2+|﹣4|+|﹣3|+10+|﹣5|）＝52.2（元），
答：在這過程中該駕駛員共收到車費(fèi)52.2元；
（3）由題意可得，（5+2+|﹣4|+|﹣3|+10+|﹣5|+5）×0.2＝6.8（升），
答：在這過程中該駕駛員共收到車費(fèi)6.8升．
能力提升
11、運(yùn)用分配律計(jì)算時(shí)，你認(rèn)為下列變形最簡(jiǎn)便的是（ ）B
A． B．
C． D．
12、下列各式中，正確的是（　　）
A．（﹣2）3＝﹣6 B．
C． D．（﹣2）4＝﹣24
解：A．（﹣2）3＝﹣8≠﹣6，故A錯(cuò)誤；
B．≠﹣，故B錯(cuò)誤；
C．，故C正確；
D．（﹣2）4＝24≠﹣24，故D錯(cuò)誤．選：C．
13、若|x﹣2|+（y+3）2＝0，則yx＝　9　．
解：∵x、y滿足|x﹣2|+（y+3）2＝0，∴x﹣2＝0，x＝2；y+3＝0，y＝﹣3；則yx＝（﹣3）2＝9．答案為：9．
14、對(duì)于近似數(shù)8.10×10﹣3，它有　3　個(gè)有效數(shù)字．
解：近似數(shù)8.10×10﹣3，它有3個(gè)有效數(shù)字，答案為：3．
15、計(jì)算：
解：（1）
＝18﹣6××
＝18﹣1
＝17；
（2）﹣14﹣（1﹣0.5）×
＝﹣1﹣××（2﹣9）
＝﹣1﹣×（﹣7）
＝﹣1+
＝．
16、小明定義了一種新的運(yùn)算“◎”，他寫出了一些按照“◎”運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算的算式：
（+2）◎（+7）＝+9，（﹣3）◎（﹣7）＝+10，
（﹣4）◎（+6）＝﹣10，（+5）◎（﹣8）＝﹣13，
0◎（﹣9）＝+9，（+8）◎0＝+8．
（1）請(qǐng)用文字語言歸納◎運(yùn)算的法則：
兩個(gè)非零數(shù)進(jìn)行“◎”運(yùn)算時(shí)，　同號(hào)為正，異號(hào)為負(fù)，并把絕對(duì)值相加　；
特別地，0和任何數(shù)進(jìn)行“◎”運(yùn)算，或任何數(shù)和0進(jìn)行“◎”運(yùn)算，　結(jié)果為正，結(jié)論為這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值　．
（2）計(jì)算：（﹣11）◎[（﹣5）◎0]＝　﹣16　．（括號(hào)的作用與在有理數(shù)運(yùn)算中一致）
（3）若整數(shù)a、b滿足a≤b，且a◎b＝2，求a、b的值．
解：（1）兩個(gè)非零數(shù)進(jìn)行“◎”運(yùn)算時(shí)，同號(hào)為正，異號(hào)為負(fù)，并把絕對(duì)值相加；
特別地，0和任何數(shù)進(jìn)行“◎”運(yùn)算，或任何數(shù)和0進(jìn)行“◎”運(yùn)算，結(jié)果為正，取這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值；
故答案為：同號(hào)為正，異號(hào)為負(fù)，并把絕對(duì)值相加；結(jié)果為正，取這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值．
（2）（﹣11）◎[（﹣5）◎0]
＝（﹣11）◎5
＝﹣16，
答案為：﹣16；
（3）當(dāng)a，b同號(hào)時(shí)，
∵整數(shù)a、b滿足a≤b，且a◎b＝2，1+1＝2，|﹣1|+|﹣1|＝2，|﹣2|+0＝2
∴a＝b＝1或a＝b＝﹣1；
當(dāng)a，b中有一個(gè)為0時(shí)，
∵整數(shù)a、b滿足a≤b，
∴a＝0或b＝0，
∵a◎b＝2，
∴b＝2，a＝0或a＝﹣2，b＝0，
綜上，a＝b＝1或a＝b＝﹣1或a＝0，b＝2或a＝﹣2，b＝0．
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