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第01講 導數的概念及其意義、導數的運算
(
考綱導向
小
)
考點要求 考題統計 考情分析
(1) 導數的概念及幾何意義 (2) 基本初等函數的導數 (2)導數的運算和復合函數的導數 2024年I卷，5分 2024年甲卷，5分 2023年甲卷，5 分 2022年I卷，5分 2022年II卷，5分 2021年甲卷，5 分 2021年I卷，5分 2021年II卷，5分 2020年I卷，5分 2020年II卷，5分 （1）本講為高考命題熱點，題型以選擇題、填空題為主，考查內容、題型、難度均變化不大，頻率很高； （2）重點是導數的概念、掌握基本初等函數的導數，理解導數的幾何意義，能夠用導數公式和導數的運算法則求函數的導數；主要導數的基本計算，利用導數的幾何意義求切線，求公切線； （3）求導公式和運算法則，復合函數求導一定要非常熟練！
(
考試要求
小
)
1、了解導數的概念、掌握基本初等函數的導數；
2、通過函數圖像，理解導數的幾何意義；
3、能夠用導數公式和導數的運算法則求簡單函數的導數；
4、能求簡單的復合函數（形如）的導數.
(
考點突破考綱解讀
)
(
考點梳理
小
)
知識點1:導數的概念及幾何意義
1、導數定義
（1）平均變化率：
函數從到的平均變化率為：；
（2）瞬時變化率：
函數在處的瞬時變化率為：；
（3）導數定義：在點處的導數，記作；
2、導數的幾何意義
函數在點處的導數的幾何意義是在點處切線的斜率;
（1）切點：；
（2）斜率：；
（3）切線方程：；
知識點2:基本初等函數的導數
1、基本初等函數的導數
（1）常函數：
（2）冪函數：
（3）指數函數：
（4）對數函數：
（5）三角函數：
知識點3:導數的運算
1、導數的運算法則
（1）數乘：【常數不用導】
（2）加減：【各自導再加減】
（3）乘法：【前導后不導加上前不導后導】
（4）除法：【上導下不導減去上不導下導 除以下不導的平方】
2、復合函數的導數
復合函數的導數和函數的導數間的關系為.
(
題型展示
小
)
題型一:導數的基本計算
【例1】設函數，若，則 ．
【答案】1
【詳解】
（1）求導：
，
（2）代入：
，
（3）求解：
，
答案為.
【變式1】已知函數為的導函數，則的值為 .
【答案】3
【詳解】
（1）求導：
（2）代入：
題型二:導數的幾何意義
【例2】（2022·全國新Ⅰ卷）若曲線有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是 ．
【答案】
【詳解】
（1）求導數：，
（2）設切點，求切線方程
設切點為,可得
，
，
，
（3）原點代入得求方程
∵切線過原點，代入得：
，
（4）利用判別式求參數
∵切線有兩條，
或，
∴的取值范圍是,故答案為
【變式2】（2020·全國）函數的圖像在點處的切線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
，，，，
切線的方程為，即；答案為B.
題型三:兩曲線的公切線
【例3】（2024·全國新Ⅰ卷）若曲線在點處的切線也是曲線的切線，則 .
【答案】
【詳解】
由得，，
故曲線在處的切線方程為；
由得，
設切線與曲線相切的切點為，
由兩曲線有公切線得，解得，則切點為，
切線方程為，
根據兩切線重合,，解得.
故答案為：
【變式3】若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則 ．
【答案】
【詳解】
對函數求導得，對求導得，
設直線與曲線相切于點，與曲線相切于點則，由點在切線上得，
由點在切線上得，這兩條直線表示同一條直線，
.
(
考場演練
)
【真題1】（2024·全國新Ⅰ卷）若曲線在點處的切線也是曲線的切線，則 .
【答案】
【詳解】
由得，，
故曲線在處的切線方程為；
由得，
設切線與曲線相切的切點為，
由兩曲線有公切線得，解得，則切點為，
切線方程為，
根據兩切線重合,，解得；故答案為.
【真題2】（2024·全國甲卷）設函數，則曲線在點處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
（1）求導：
，
（2）代入求斜率：
，
（3）求切線方程：
，
（4）求面積：
令，則，令，則，
；
切線與兩坐標軸所圍成的三角形面積為，答案為A.
【真題3】（2023·全國甲卷）曲線在點處的切線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
（1）設切線方程：
設曲線在點處的切線方程為，
；
（2）求導代入得斜率：
，
；
（3）代入化簡：
答案為C.
【真題4】（2022·全國新Ⅱ卷）曲線過坐標原點的兩條切線的方程為 ， ．
【答案】，.
【詳解】
（1）化成分段函數
，
（2）分類討論
1）時，，設切點為，求導求斜率得，
，
切線方程為：
，
又切線過坐標原點，代入原點：
，
代入，切線方程為，
；
2）時，設切點為，求導求斜率得，
，
代入斜率，切線方程為，
，
又切線過坐標原點，代入原點，
，
代入，切線方程為：
；
故答案為；.
【真題5】（2022·全國新Ⅰ卷）若曲線有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是 ．
【答案】
【詳解】
（1）求導數：，
（2）設切點，求切線方程
設切點為,可得，，
，
（3）原點代入得求方程
∵切線過原點，代入得：
，
（4）利用判別式求參數
∵切線有兩條，
或，
∴的取值范圍是,故答案為
【真題6】（2021·全國甲卷）曲線在點處的切線方程為 ．
【答案】
【詳解】
由題，當時，，故點在曲線上．
求導得：，．
故切線方程為；答案為．
【真題7】（2021·全國新Ⅱ卷）已知函數，函數的圖象在點和點的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點，則取值范圍是 ．
【答案】
【詳解】
由題意，，則，
點和點，,
，
，
，同理,
；故答案為：
【真題8】（2021·全國新Ⅰ卷）若過點可以作曲線的兩條切線，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
方法1
在曲線上任取一點，對函數求導得，
曲線在點處的切線方程為，即，
點在直線上，可得，
令，則.
當時，，此時函數單調遞增，
當時，，此時函數單調遞減，
，直線與曲線的圖象有兩個交點，則，
當時，，當時，，作出函數的圖象如圖所示：
由圖可知，當時，直線與曲線的圖象有兩個交點.答案為D.
方法2 圖象法
畫出函數曲線的圖象如圖所示，
根據直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.由此可知.
答案為D.
【真題9】（2020·全國）設函數，若，則 ．
【答案】1
【詳解】
（1）求導：
，
（2）代入：
，
（3）求解：
，
答案為.
【真題10】（2020·全國）函數的圖像在點處的切線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
，，，，
切線的方程為，即；答案為B.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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第01講 導數的概念及其意義、導數的運算
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考綱導向
小
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考點要求 考題統計 考情分析
(1) 導數的概念及幾何意義 (2) 基本初等函數的導數 (2)導數的運算和復合函數的導數 2024年I卷，5分 2024年甲卷，5分 2023年甲卷，5 分 2022年I卷，5分 2022年II卷，5分 2021年甲卷，5 分 2021年I卷，5分 2021年II卷，5分 2020年I卷，5分 2020年II卷，5分 （1）本講為高考命題熱點，題型以選擇題、填空題為主，考查內容、題型、難度均變化不大，頻率很高； （2）重點是導數的概念、掌握基本初等函數的導數，理解導數的幾何意義，能夠用導數公式和導數的運算法則求函數的導數；主要導數的基本計算，利用導數的幾何意義求切線，求公切線； （3）求導公式和運算法則，復合函數求導一定要非常熟練！
(
考試要求
小
)
1、了解導數的概念、掌握基本初等函數的導數；
2、通過函數圖像，理解導數的幾何意義；
3、能夠用導數公式和導數的運算法則求簡單函數的導數；
4、能求簡單的復合函數（形如）的導數.
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考點突破考綱解讀
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考點梳理
小
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知識點1:導數的概念及幾何意義
1、導數定義
（1）平均變化率：
函數從到的平均變化率為： ；
（2）瞬時變化率：
函數在處的瞬時變化率為： ；
（3）導數定義：在點處的導數，記作；
2、導數的幾何意義
函數在點處的導數的幾何意義是 ;
（1）切點：；
（2）斜率：；
（3）切線方程： ；
知識點2:基本初等函數的導數
1、基本初等函數的導數
（1）常函數：；
（2）冪函數： ；
（3）指數函數：；
（4）對數函數：；
（5）三角函數：；
知識點3:導數的運算
1、導數的運算法則
（1）數乘： 【常數不用導】
（2）加減： 【各自導再加減】
（3）乘法： 【前導后不導加上前不導后導】
（4）除法： 【上導下不導減去上不導下導 除以下不導的平方】
2、復合函數的導數
復合函數的導數和函數的導數間的關系為.
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題型展示
小
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題型一:導數的基本計算
【例1】設函數，若，則 ．
【變式1】已知函數為的導函數，則的值為 .
題型二:導數的幾何意義
【例2】（2022·全國新Ⅰ卷）若曲線有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是 ．
【變式2】（2020·全國）函數的圖像在點處的切線方程為（ ）
A． B． C． D．
題型三:兩曲線的公切線
【例3】（2024·全國新Ⅰ卷）若曲線在點處的切線也是曲線的切線，則 .
【變式3】若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則 ．
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考場演練
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【真題1】（2024·全國新Ⅰ卷）若曲線在點處的切線也是曲線的切線，則 .
【真題2】（2024·全國甲卷）設函數，則曲線在點處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為（ ）
A． B． C． D．
【真題3】（2023·全國甲卷）曲線在點處的切線方程為（ ）
A． B． C． D．
【真題4】（2022·全國新Ⅱ卷）曲線過坐標原點的兩條切線的方程為 ， ．
【真題5】（2022·全國新Ⅰ卷）若曲線有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是 ．
【真題6】（2021·全國甲卷）曲線在點處的切線方程為 ．
【真題7】（2021·全國新Ⅱ卷）已知函數，函數的圖象在點和點的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點，則取值范圍是 ．
【真題8】（2021·全國新Ⅰ卷）若過點可以作曲線的兩條切線，則（ ）
A． B． C． D．
【真題9】（2020·全國）設函數，若，則 ．
【真題10】（2020·全國）函數的圖像在點處的切線方程為（ ）
A． B． C． D．
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