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第01講 三角函數(shù)概念與誘導(dǎo)公式
(
考綱導(dǎo)向
小
)
考點(diǎn)要求 考題統(tǒng)計(jì) 考情分析
(1) 弧度制和三角函數(shù)概念 (2) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 (3) 誘導(dǎo)公式及其應(yīng)用 2024年甲卷5分2023年甲卷5分2023年乙卷5分2022年甲卷5分2022年浙江卷5分2021年I卷5分2021年甲卷5分2020年浙江卷5分
（1）本講為高考命題熱點(diǎn)，題型以選擇題、填空題為主； （2）重點(diǎn)是借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義，理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，掌握誘導(dǎo)公式；主要考查利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡求值和利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡求值； （3）注意公式的正用和逆用，熟記公式.
(
考試要求
小
)
1、了解任意角的概念和弧度制；
2、能進(jìn)行弧度與角度的互化，體會引入弧度制的必要性；
3、借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義.
4、理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：
5、掌握誘導(dǎo)公式，并會簡單應(yīng)用.
(
考點(diǎn)突破考綱解讀
)
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考點(diǎn)梳理
小
)
知識點(diǎn)1: 任意角和弧度制
1、角的定義
（1）任意角定義：一條射線繞著它的端點(diǎn) 所成的圖形叫做角；
（2）分類：按旋轉(zhuǎn)方向分為 、 、 ；按終邊位置分為 和 ；
（3）象限角表示
1）第一象限角的集合： ；
2）第二象限角的集合： ；
3）第三象限角的集合： ；
4）第四象限角的集合： ；
（4）軸線角表示
1）終邊在軸上角的集合：；
2）終邊在軸上角的集合：；
3）終邊在坐標(biāo)軸上角的集合： ；
（5）終邊相同的角：與終邊相同的角的集合：
2、弧度制
（1）定義：把等于 的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，記作；
（2）弧度制與角度制的換算：；
3、扇形弧長和面積公式
（1）圓：周長 ，面積 ；
（2）扇形：弧長 ，面積 ；
知識點(diǎn)2: 三角函數(shù)概念
4、三角函數(shù)的定義
（1）定義：角終邊上任一點(diǎn)，設(shè)，則：
（2）符號：一全正，二正弦，三正切，四余弦；
5、特殊角的三角函數(shù)值
角度
弧度
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知識點(diǎn)3: 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式
1、同角關(guān)系式
（1）平方關(guān)系： ；
常用：1）知一求二，
2）平方搭橋：
（2）商數(shù)關(guān)系： ；
常用：弦切互化（分式齊次，分子分母同除）
知識點(diǎn)4: 誘導(dǎo)公式
2、誘導(dǎo)公式
（1）作用：化簡，大角化小角，負(fù)角化正角，最好化成特殊角；
（2）使用謹(jǐn)記：出現(xiàn)軸上角才用誘導(dǎo)公式；
（3）公式口訣：“ ”！
（4）本質(zhì)：三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的本質(zhì)是與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系；
（5）誘導(dǎo)公式
角
正弦
余弦
正切 / /
(
題型展示
小
)
題型一: 三角函數(shù)概念
【例1】已知直線的圖像如圖所示，則角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【變式1】終邊在軸的正半軸上的角的集合是（ ）
A． B．
C． D．
題型二: 同角三角函數(shù)基本關(guān)系
【例2】（2024·全國甲卷）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2】已知，，則 ．
題型三: 誘導(dǎo)公式及其化簡求值
【例3】若，則 ， ．
【變式3】函數(shù)f(x)=sin(x+)+cos(x )的最大值為（ ）
A． B．1 C． D．
(
考場演練
)
【真題1】（2024·全國甲卷）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【真題2】（2023·全國乙卷）若，則 ．
【真題3】（2023·全國甲卷）若為偶函數(shù)，則 ．
【真題4】（2022·浙江）若，則 ， ．
【真題5】（2022·全國甲卷）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長度的“會圓術(shù)”，如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點(diǎn)，D在上，．“會圓術(shù)”給出的弧長的近似值s的計(jì)算公式：．當(dāng)時，（ ）
A． B． C． D．
【真題6】（2021·全國甲卷）若，則（ ）
A． B． C． D．
【真題7】（2021·全國新Ⅰ卷）若，則（ ）
A． B． C． D．
【真題8】（2020·浙江）已知圓錐的側(cè)面積（單位：） 為2π，且它的側(cè)面積展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面半徑（單位：）是 ．
【真題9】（2020·全國）若α為第四象限角，則（ ）
A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0
【真題10】（2020·全國）已知，且，則（ ）
A． B． C． D．
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第01講 三角函數(shù)概念與誘導(dǎo)公式
(
考綱導(dǎo)向
小
)
考點(diǎn)要求 考題統(tǒng)計(jì) 考情分析
(1) 弧度制和三角函數(shù)概念 (2) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 (3) 誘導(dǎo)公式及其應(yīng)用 2024年甲卷5分2023年甲卷5分2023年乙卷5分2022年甲卷5分2022年浙江卷5分2021年I卷5分2021年甲卷5分2020年浙江卷5分
（1）本講為高考命題熱點(diǎn)，題型以選擇題、填空題為主； （2）重點(diǎn)是借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義，理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，掌握誘導(dǎo)公式；主要考查利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡求值和利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡求值； （3）注意公式的正用和逆用，熟記公式.
(
考試要求
小
)
1、了解任意角的概念和弧度制；
2、能進(jìn)行弧度與角度的互化，體會引入弧度制的必要性；
3、借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義.
4、理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：
5、掌握誘導(dǎo)公式，并會簡單應(yīng)用.
(
考點(diǎn)突破考綱解讀
)
(
考點(diǎn)梳理
小
)
知識點(diǎn)1: 任意角和弧度制
1、角的定義
（1）任意角定義：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形叫做角；
（2）分類：按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角、零角；按終邊位置分為象限角和軸線角；
（3）象限角表示
1）第一象限角的集合：
2）第二象限角的集合：
3）第三象限角的集合：
4）第四象限角的集合：
（4）軸線角表示
1）終邊在軸上角的集合：
2）終邊在軸上角的集合：
3）終邊在坐標(biāo)軸上角的集合：
（5）終邊相同的角：與終邊相同的角的集合：
2、弧度制
（1）定義：把等于半徑的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，記作；
（2）弧度制與角度制的換算：；
3、扇形弧長和面積公式
（1）圓：周長，面積；
（2）扇形：弧長，面積
知識點(diǎn)2: 三角函數(shù)概念
4、三角函數(shù)的定義
（1）定義：角終邊上任一點(diǎn)，設(shè)，則：
（2）符號：一全正，二正弦，三正切，四余弦；
5、特殊角的三角函數(shù)值
角度
弧度
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知識點(diǎn)3: 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式
1、同角關(guān)系式
（1）平方關(guān)系：
常用：1）知一求二，
2）平方搭橋：
（2）商數(shù)關(guān)系：
常用：弦切互化（分式齊次，分子分母同除）
知識點(diǎn)4: 誘導(dǎo)公式
2、誘導(dǎo)公式
（1）作用：化簡，大角化小角，負(fù)角化正角，最好化成特殊角；
（2）使用謹(jǐn)記：出現(xiàn)軸上角才用誘導(dǎo)公式；
（3）公式口訣：“奇變偶不變，符號看象限”！
（4）本質(zhì)：三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的本質(zhì)是與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系；
（5）誘導(dǎo)公式
角
正弦
余弦
正切 / /
(
題型展示
小
)
題型一: 三角函數(shù)概念
【例1】已知直線的圖像如圖所示，則角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】D
【解析】
結(jié)合圖像易知，，，則角是第四象限角；答案為D.
【變式1】終邊在軸的正半軸上的角的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
終邊在軸正半軸上的角的集合是；答案為A.
題型二: 同角三角函數(shù)基本關(guān)系
【例2】（2024·全國甲卷）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
，
，，
；答案為B.
【變式2】已知，，則 ．
【答案】
【解析】
兩式兩邊平方相加得：，．
題型三: 誘導(dǎo)公式及其化簡求值
【例3】若，則 ， ．
【答案】，.
【解析】
∵，∴，即，
又，將代入得：
，解得
【變式3】函數(shù)f(x)=sin(x+)+cos(x )的最大值為（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】
，
則,函數(shù)的最大值為；選A.
(
考場演練
)
【真題1】（2024·全國甲卷）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
，
，，
；答案為B.
【真題2】（2023·全國乙卷）若，則 ．
【答案】
【解析】
，則，
又，則，
且，解得或（舍去），
；故答案為：.
【真題3】（2023·全國甲卷）若為偶函數(shù)，則 ．
【答案】2
【解析】
為偶函數(shù)，定義域?yàn)椋?br/>，即，
則，故，
，
，又定義域?yàn)椋瑸榕己瘮?shù)，
；故答案為：2.
【真題4】（2022·浙江）若，則 ， ．
【答案】，.
【解析】
∵，∴，即，
又，將代入得：
，解得，
則；答案為；.
【真題5】（2022·全國甲卷）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長度的“會圓術(shù)”，如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點(diǎn)，D在上，．“會圓術(shù)”給出的弧長的近似值s的計(jì)算公式：．當(dāng)時，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
如圖，連接，
是的中點(diǎn)，
，
又，三點(diǎn)共線，
即，
又，
，則故，
；答案為B.
【真題6】（2021·全國甲卷）若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
，
，，，解得，
，；答案為A.
【真題7】（2021·全國新Ⅰ卷）若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
將式子齊次化：
；答案為C．
【真題8】（2020·浙江）已知圓錐的側(cè)面積（單位：） 為2π，且它的側(cè)面積展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面半徑（單位：）是 ．
【答案】
【解析】
設(shè)圓錐底面半徑為，母線長為，則
，解得；故答案為：
【真題9】（2020·全國）若α為第四象限角，則（ ）
A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0
【答案】D
【解析】
由α為第四象限角，可得，
此時的終邊落在第三、四象限及軸的非正半軸上，；答案為D.
【真題10】（2020·全國）已知，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
，
即，解得或（舍去），
又；答案為A.
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