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/ 讓教學更有效 精品試卷 |數學
第01講 計數原理
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考綱導向
小
)
考點要求 考題統計 考情分析
(1) 分類加法計數原理 (2) 分步乘法計數原理 2024年甲卷5分2023年甲卷5分2023年乙卷5分2023年I卷5分2023年II卷5分2022年I卷5分2022年II卷5分
（1）本講為高考命題熱點，題型以選擇題為主； （2）重點是理解分類加法計數原理和分步乘法計數原理，主要考查運用分類加法計數原理和分步乘法計數原理結合排列組合知識分析和解決一些簡單的實際排列和組合問題.
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考試要求
小
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1、理解分類加法計數原理和分步乘法計數原理；
2、會用分類加法計數原理和分步乘法計數原理分析和解決一些簡單的實際問題。
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考點突破考綱解讀
)
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考點梳理
小
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知識點1: 分類加法計數原理
1、分類加法計數原理
（1）完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種不同的方法，那么完成這件事共有 種不同的方法；
（2）推廣：；
知識點2: 分布乘法計數原理
1、分布乘法計數原理
（1）完成一件事需要兩個步驟，在第1個步驟中有種不同的方法，在第2個步驟中有種不同的方法，那么完成這件事共有 種不同的方法；
（2）推廣：；
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題型展示
小
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題型一: 分類加法計數原理
【例1】用數字1，2，3，4，5組成沒有重復數字的五位數，其中奇數的個數為（ ）
A．24 B．48
C．60 D．72
【變式1】（2023·全國甲卷）現有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（ ）
A．120 B．60 C．30 D．20
題型二: 分步乘法計數原理
【例2】要安排3名學生到2個鄉村做志愿者，每名學生只能選擇去一個村，每個村里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有（ ）
A．2種 B．3種 C．6種 D．8種
【變式2】（2023·全國乙卷）甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（ ）
A．30種 B．60種 C．120種 D．240種
題型三: 兩個原理綜合應用
【例3】如圖，小明從街道的E處出發，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數為
A．24 B．18 C．12 D．9
【變式3】定義“規范01數列”如下：共有2m項，其中m項為0，m項為1，且對任意，中0的個數不少于1的個數.若m=4，則不同的“規范01數列”共有（ ）
A．18個 B．16個
C．14個 D．12個
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考場演練
)
【真題1】（2024·全國甲卷）甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（ ）
A． B． C． D．
【真題2】（2023·全國甲卷）現有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（ ）
A．120 B．60 C．30 D．20
【真題3】（2023·全國I卷）某校文藝部有4名學生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學生來自不同年級的概率為（ ）
A． B． C． D．
【真題4】（2023·全國乙卷）甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（ ）
A．30種 B．60種 C．120種 D．240種
【真題5】（2023·全國新Ⅱ卷）某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結果共有（ ）．
A．種 B．種
C．種 D．種
【真題6】（2022·全國新Ⅱ卷）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（ ）
A．12種 B．24種 C．36種 D．48種
【真題7】（2022·全國新Ⅰ卷）從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數，則這2個數互質的概率為（ ）
A． B． C． D．
【真題8】（2021·全國乙卷）將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（ ）
A．60種 B．120種 C．240種 D．480種
【真題9】（2021·全國甲卷）將3個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（ ）
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
【真題10】（2021·全國II卷）將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（ ）
A． B． C． D．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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第01講 計數原理
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考綱導向
小
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考點要求 考題統計 考情分析
(1) 分類加法計數原理 (2) 分步乘法計數原理 2024年甲卷5分2023年甲卷5分2023年乙卷5分2023年I卷5分2023年II卷5分2022年I卷5分2022年II卷5分
（1）本講為高考命題熱點，題型以選擇題為主； （2）重點是理解分類加法計數原理和分步乘法計數原理，主要考查運用分類加法計數原理和分步乘法計數原理結合排列組合知識分析和解決一些簡單的實際排列和組合問題.
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考試要求
小
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1、理解分類加法計數原理和分步乘法計數原理；
2、會用分類加法計數原理和分步乘法計數原理分析和解決一些簡單的實際問題。
(
考點突破考綱解讀
)
(
考點梳理
小
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知識點1: 分類加法計數原理
1、分類加法計數原理
（1）完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法；
（2）推廣：；
知識點2: 分布乘法計數原理
1、分布乘法計數原理
（1）完成一件事需要兩個步驟，在第1個步驟中有種不同的方法，在第2個步驟中有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法；
（2）推廣：；
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題型展示
小
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題型一: 分類加法計數原理
【例1】用數字1，2，3，4，5組成沒有重復數字的五位數，其中奇數的個數為（ ）
A．24 B．48
C．60 D．72
【答案】D
【解析】
要組成沒有重復數字的五位奇數，個位數可以分為為1或3或5共三類，
個位數為1：種，個位數為3：種，個位數為5：種，奇數的個數為，選D.
【變式1】（2023·全國甲卷）現有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（ ）
A．120 B．60 C．30 D．20
【答案】B
【解析】
記五名志愿者為，
根據恰有1人在這兩天都參加可以把這1人分類為分別是這5類，
在這兩天都參加：從剩余的4人抽取2人，共有種，
同理：在這兩天都參加也各有種，
恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式種；答案為B.
題型二: 分步乘法計數原理
【例2】要安排3名學生到2個鄉村做志愿者，每名學生只能選擇去一個村，每個村里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有（ ）
A．2種 B．3種 C．6種 D．8種
【答案】C
【解析】
第1步，將3名學生分成兩個組，有種分法，
第2步，將2組學生安排到2個村，有種安排方法，
不同的安排方法共有種；答案為C
【變式2】（2023·全國乙卷）甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（ ）
A．30種 B．60種 C．120種 D．240種
【答案】C
【解析】
第1步，確定相同得讀物，共有種情況，
第2步，兩人各自的另外一種讀物相當于在剩余的5種讀物里，選出兩種進行排列，共有種，
根據分步乘法公式則共有種；答案為C.
題型三: 兩個原理綜合應用
【例3】如圖，小明從街道的E處出發，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數為
A．24 B．18 C．12 D．9
【答案】B
【解析】
第1步，從E到F：最短的走法一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，
每種最短走法，即是從4段中選出2段走東向的，選出2段走北向的，故共有C42C22＝6種；
第2步，同理從F到G，最短的走法，有C31C22＝3種走法．
∴小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數為6×3＝18種走法；答案為B．
【變式3】定義“規范01數列”如下：共有2m項，其中m項為0，m項為1，且對任意，中0的個數不少于1的個數.若m=4，則不同的“規范01數列”共有（ ）
A．18個 B．16個
C．14個 D．12個
【答案】C
【解析】
由題意，得必有，，則具體的排法列表如下：
,01010011;010101011,共14個；
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考場演練
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【真題1】（2024·全國甲卷）甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
當甲排在排尾，乙排第一位，丙有種排法，丁就種，共種；
當甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有種排法，丁就種，共種；
甲排在排尾共種方法，同理乙排在排尾共種方法，共種排法符合題意；
基本事件總數是，丙不在排頭，甲或乙在排尾的概率為；答案為B.
【真題2】（2023·全國甲卷）現有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（ ）
A．120 B．60 C．30 D．20
【答案】B
【解析】
記五名志愿者為，
根據恰有1人在這兩天都參加可以把這1人分類為分別是這5類，
在這兩天都參加：從剩余的4人抽取2人，共有種，
同理：在這兩天都參加也各有種，
恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式種；答案為B.
【真題3】（2023·全國I卷）某校文藝部有4名學生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學生來自不同年級的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，總的基本事件有件，
其中這2名學生來自不同年級的基本事件有，
這2名學生來自不同年級的概率為；答案為D.
【真題4】（2023·全國乙卷）甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（ ）
A．30種 B．60種 C．120種 D．240種
【答案】C
【解析】
第1步，確定相同得讀物，共有種情況，
第2步，兩人各自的另外一種讀物相當于在剩余的5種讀物里，選出兩種進行排列，共有種，
則共有種；答案為C.
【真題5】（2023·全國新Ⅱ卷）某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結果共有（ ）．
A．種 B．種
C．種 D．種
【答案】D
【解析】
根據分層抽樣的定義知初中部共抽取人，高中部共抽取，
不同的抽樣結果共有種；答案為D.
【真題6】（2022·全國新Ⅱ卷）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（ ）
A．12種 B．24種 C．36種 D．48種
【答案】B
【解析】
丙丁要在一起，先把丙丁捆綁，看做一個元素，
連同乙，戊看成三個元素排列,有種排列方式；
為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個元素的中間兩個位置選一個位置插入，有2種方式；
注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，
故安排這5名同學共有：種不同的排列方式；答案為B
【真題7】（2022·全國新Ⅰ卷）從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數，則這2個數互質的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數，共有種不同的取法，
若兩數不互質，不同的取法有：，共7種，
故所求概率；答案為D.
【真題8】（2021·全國乙卷）將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（ ）
A．60種 B．120種 C．240種 D．480種
【答案】C
【解析】
第1步，先從5名志愿者中任選2人，組成一個小組，有種；
第2步，同其余三人，看成四個元素，四個不同的元素在四個不同的位置的排列方法數有4！種，
共有種不同的分配方案；答案為C.
【真題9】（2021·全國甲卷）將3個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（ ）
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
【答案】C
【解析】
將3個1和2個0隨機排成一行，可以是：
，共10種排法，
其中2個0不相鄰的排列方法為：，共6種方法，
2個0不相鄰的概率為；答案為C.
【真題10】（2021·全國II卷）將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
利用插空法，4個1產生5個空，
若2個0相鄰，則有種排法，若2個0不相鄰，則有種排法，
2個0不相鄰的概率為；答案為C.
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