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/ 讓教學更有效 精品試卷 |數學
第01講 統計
(
考綱導向
小
)
考點要求 考題統計 考情分析
(1) 簡單隨機抽樣 (2) 統計圖表 (2) 樣本的數字特征 2024年Ⅱ卷5分2023年II卷5分2023年I卷5分2022年甲卷5分2022年乙卷5分2022年天津卷5分2021年I卷5分
（1）本講為高考命題熱點，題型以單選題、多選題、填空題為主； （2）重點是簡單隨機抽樣的方法，統計圖表以及用樣本估計整體；主要考查分層隨機抽樣，用統計圖表對總體進行估計，求個數據的第百分位數，用數字特征估計總體集中趨勢和總體離散程度.
(
考試要求
小
)
1、了解獲取成對數據的基本途徑；
2、會用簡單隨機抽樣的方法從總體中抽取樣本，了解分層隨機抽樣；
3、能根據實際問題的特點選擇恰當的統計圖表，體會使用統計圖表的重要性；
4、會用統計圖表對總體進行估計，會求個數據的第百分位數；
5、能用數字特征估計總體集中趨勢和總體離散程度.
(
考點突破考綱解讀
)
(
考點梳理
小
)
知識點1: 隨機抽樣
1、總體、個體、樣本
（1）總體：調查對象的 ；
（2）個體：組成總體的 調查對象；
（3）樣本：在抽樣調查中，從總體中抽取的那部分個體；
（4）樣本容量：樣本中包含個體的數量；
2、簡單隨機抽樣
常用方法： 和 ；
3、分層隨機抽樣
分層隨機抽樣：按一個或多個變量把總體劃分成若干子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體，在每個子總體中獨立地進行 ，再把抽取的樣本合在一起作為總樣本的方法；
層：每一個子總體叫做 ；
知識點2: 統計圖表
1、統計圖表
（1）常見的統計圖表
1）條形圖；2）扇形圖；3）折線圖；4） ；
（2）作頻率分布直方圖的步驟：
1）求極差，決定組距與組數；
2）將數據分組；
3）列頻率分布表；
4）畫頻率分布直方圖；
知識點3: 用樣本估計整體
1、百分位數
一組數據中的第百分位數是使得至少有的數據 它，且至少有的數據大于或等于它；
2、平均數、中位數和眾數
（1）平均數：；
（2）中位數：將一組數據 或從大到小的順序排列，處在 或最中間兩個數據的 ；
（3）眾數：一組數據中出現次數 的數據；
3、方差和標準差
（1）方差：或；
（2）標準差：；
4、總體（樣本）方差和總體（樣本）標準差
（1）一般式：如果總體中所有個體的變量值分別是，總體的平均數為，則總體方差為
（2）加權式：如果總體的個變量中，不同的值共有個，不妨記為，其中出現的頻數為，則總體方差為
(
題型展示
小
)
題型一: 隨機抽樣
【例1】某校高一年級有900名學生，其中女生400名，按男女比例用分層抽樣的方法，從該年級學生中抽取一個容量為45的樣本，則應抽取的男生人數為 .
【變式1】某學校為了了解三年級、六年級、九年級這三個年級之間的學生視力是否存在顯著差異，擬從這三個年級中按人數比例抽取部分學生進行調查，則最合理的抽樣方法是（ ）
A．抽簽法 B．系統抽樣法 C．分層抽樣法 D．隨機數法
題型二: 統計圖表
【例2】從一批零件中抽取80個，測量其直徑（單位：），將所得數據分為9組：，并整理得到如下頻率分布直方圖，則在被抽取的零件中，直徑落在區間內的個數為（ ）
A．10 B．18 C．20 D．36
【變式2】汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況. 下列敘述中正確的是（ ）
A．消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米
B．以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多
C．甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，消耗10升汽油
D．某城市機動車最高限速80千米/小時. 相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油
題型三: 樣本的數字特征
【例3】（2023·全國新Ⅰ卷）有一組樣本數據，其中是最小值，是最大值，則（ ）
A．的平均數等于的平均數
B．的中位數等于的中位數
C．的標準差不小于的標準差
D．的極差不大于的極差
【變式3】（2021·全國新Ⅰ卷）有一組樣本數據，，…，，由這組數據得到新樣本數據，，…，，其中(為非零常數，則（ ）
A．兩組樣本數據的樣本平均數相同
B．兩組樣本數據的樣本中位數相同
C．兩組樣本數據的樣本標準差相同
D．兩組樣本數據的樣本極差相同
(
考場演練
)
【真題1】（2024·全國新Ⅱ卷）某農業研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產量（單位：kg）并整理如下表
畝產量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200）
頻數 6 12 18 30 24 10
根據表中數據，下列結論中正確的是（ ）
A．100塊稻田畝產量的中位數小于1050kg
B．100塊稻田中畝產量低于1100kg的稻田所占比例超過80%
C．100塊稻田畝產量的極差介于200kg至300kg之間
D．100塊稻田畝產量的平均值介于900kg至1000kg之間
【真題2】（2023·全國新Ⅰ卷）有一組樣本數據，其中是最小值，是最大值，則（ ）
A．的平均數等于的平均數
B．的中位數等于的中位數
C．的標準差不小于的標準差
D．的極差不大于的極差
【真題3】（2023·全國新Ⅱ卷）某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結果共有（ ）．
A．種 B．種
C．種 D．種
【真題4】（2022·全國乙卷）分別統計了甲、乙兩位同學16周的各周課外體育運動時長（單位：h），得如下莖葉圖：
則下列結論中錯誤的是（ ）
A．甲同學周課外體育運動時長的樣本中位數為7.4
B．乙同學周課外體育運動時長的樣本平均數大于8
C．甲同學周課外體育運動時長大于8的概率的估計值大于0.4
D．乙同學周課外體育運動時長大于8的概率的估計值大于0.6
【真題5】（2022·全國甲卷）某社區通過公益講座以普及社區居民的垃圾分類知識．為了解講座效果，隨機抽取10位社區居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：
則（ ）
A．講座前問卷答題的正確率的中位數小于
B．講座后問卷答題的正確率的平均數大于
C．講座前問卷答題的正確率的標準差小于講座后正確率的標準差
D．講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差
【真題6】（2022·天津）為研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進行臨床試驗，所有志愿者的舒張壓數據（單位：）的分組區間為，將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，…，第五組，右圖是根據試驗數據制成的頻率分布直方圖．已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數為（ ）
A．8 B．12 C．16 D．18
【真題7】（2021·天津）從某網絡平臺推薦的影視作品中抽取部，統計其評分數據，將所得個評分數據分為組：、、、，并整理得到如下的頻率分布直方圖，則評分在區間內的影視作品數量是（ ）
A． B． C． D．
【真題8】（2021·全國甲卷）為了解某地農村經濟情況，對該地農戶家庭年收入進行抽樣調查，將農戶家庭年收入的調查數據整理得到如下頻率分布直方圖：
根據此頻率分布直方圖，下面結論中不正確的是（ ）
A．該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶比率估計為6%
B．該地農戶家庭年收入不低于10.5萬元的農戶比率估計為10%
C．估計該地農戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元
D．估計該地有一半以上的農戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間
【真題9】（2020·全國新Ⅱ卷）（多選）我國新冠肺炎疫情進入常態化，各地有序推進復工復產，下面是某地連續11天復工復產指數折線圖，下列說法正確的是（ ）
A．這11天復工指數和復產指數均逐日增加;
B．這11天期間，復產指數增量大于復工指數的增量;
C．第3天至第11天復工復產指數均超過80%;
D．第9天至第11天復產指數增量大于復工指數的增量;
【真題10】（2017·江蘇）某工廠生產甲、乙、丙、丁四種不同型號的產品，產量分別為200,400,300,100件，為檢驗產品的質量，現用分層抽樣的方法從以上所有的產品中抽取60件進行檢驗，則應從丙種型號的產品中抽取 件.
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第01講 統計
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考綱導向
小
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考點要求 考題統計 考情分析
(1) 簡單隨機抽樣 (2) 統計圖表 (2) 樣本的數字特征 2024年Ⅱ卷5分2023年II卷5分2023年I卷5分2022年甲卷5分2022年乙卷5分2022年天津卷5分2021年I卷5分
（1）本講為高考命題熱點，題型以單選題、多選題、填空題為主； （2）重點是簡單隨機抽樣的方法，統計圖表以及用樣本估計整體；主要考查分層隨機抽樣，用統計圖表對總體進行估計，求個數據的第百分位數，用數字特征估計總體集中趨勢和總體離散程度.
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考試要求
小
)
1、了解獲取成對數據的基本途徑；
2、會用簡單隨機抽樣的方法從總體中抽取樣本，了解分層隨機抽樣；
3、能根據實際問題的特點選擇恰當的統計圖表，體會使用統計圖表的重要性；
4、會用統計圖表對總體進行估計，會求個數據的第百分位數；
5、能用數字特征估計總體集中趨勢和總體離散程度.
(
考點突破考綱解讀
)
(
考點梳理
小
)
知識點1: 隨機抽樣
1、總體、個體、樣本
（1）總體：調查對象的全體；
（2）個體：組成總體的每一個調查對象；
（3）樣本：在抽樣調查中，從總體中抽取的那部分個體；
（4）樣本容量：樣本中包含個體的數量；
2、簡單隨機抽樣
常用方法：抽簽法和隨機數法；
3、分層隨機抽樣
分層隨機抽樣：按一個或多個變量把總體劃分成若干子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體，在每個子總體中獨立地進行簡單隨機抽樣，再把抽取的樣本合在一起作為總樣本的方法；
層：每一個子總體叫做層；
知識點2: 統計圖表
1、統計圖表
（1）常見的統計圖表
1）條形圖；2）扇形圖；3）折線圖；4）頻率分布直方圖；
（2）作頻率分布直方圖的步驟：
1）求極差，決定組距與組數；
2）將數據分組；
3）列頻率分布表；
4）畫頻率分布直方圖；
知識點3: 用樣本估計整體
1、百分位數
一組數據中的第百分位數是使得至少有的數據小于或等于它，且至少有的數據大于或等于它；
2、平均數、中位數和眾數
（1）平均數：；
（2）中位數：將一組數據從小到大或從大到小的順序排列，處在最中間的一個數據或最中間兩個數據的平均數；
（3）眾數：一組數據中出現次數最多的數據；
3、方差和標準差
（1）方差：或；
（2）標準差：；
4、總體（樣本）方差和總體（樣本）標準差
（1）一般式：如果總體中所有個體的變量值分別是，總體的平均數為，則總體方差為
（2）加權式：如果總體的個變量中，不同的值共有個，不妨記為，其中出現的頻數為，則總體方差為
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題型展示
小
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題型一: 隨機抽樣
【例1】某校高一年級有900名學生，其中女生400名，按男女比例用分層抽樣的方法，從該年級學生中抽取一個容量為45的樣本，則應抽取的男生人數為 .
【答案】
【解析】
設應抽取的男生人數為為，有，應抽取25人.
【變式1】某學校為了了解三年級、六年級、九年級這三個年級之間的學生視力是否存在顯著差異，擬從這三個年級中按人數比例抽取部分學生進行調查，則最合理的抽樣方法是（ ）
A．抽簽法 B．系統抽樣法 C．分層抽樣法 D．隨機數法
【答案】C
【解析】
按照各種抽樣方法的適用范圍可知，應使用分層抽樣；選C.
題型二: 統計圖表
【例2】從一批零件中抽取80個，測量其直徑（單位：），將所得數據分為9組：，并整理得到如下頻率分布直方圖，則在被抽取的零件中，直徑落在區間內的個數為（ ）
A．10 B．18 C．20 D．36
【答案】B
【解析】
根據直方圖，直徑落在區間之間的零件頻率為：，
則區間內零件的個數為：；答案為B.
【變式2】汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況. 下列敘述中正確的是（ ）
A．消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米
B．以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多
C．甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，消耗10升汽油
D．某城市機動車最高限速80千米/小時. 相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油
【答案】D
【解析】
對A，由圖象可知當速度大于40km/h時，乙車的燃油效率大于5km/L，
∴當速度大于40km/h時，消耗1升汽油，乙車的行駛距離大于5km，A錯；
對B，由圖象可知當速度相同時，甲車的燃油效率最高，即當速度相同時，消耗1升汽油，
甲車的行駛路程最遠，∴以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最少，B錯；
對C，由圖象可知當速度為80km/h時，甲車的燃油效率為10km/L，
即甲車行駛10km時，耗油1升，故行駛1小時，路程為80km，燃油為8升，故C錯誤；
對D，由圖象可知當速度小于80km/h時，丙車的燃油效率大于乙車的燃油效率，
∴用丙車比用乙車更省油，故D正確；答案為D．
題型三: 樣本的數字特征
【例3】（2023·全國新Ⅰ卷）有一組樣本數據，其中是最小值，是最大值，則（ ）
A．的平均數等于的平均數
B．的中位數等于的中位數
C．的標準差不小于的標準差
D．的極差不大于的極差
【答案】BD
【解析】
對A：設的平均數為，的平均數為，
則，
沒有確定的大小關系，無法判斷的大小，
例如：，可得；例如，可得；
例如，可得；A錯；
對B：設，知的中位數與的中位數均為，B正確；
對C：是最小值，是最大值，的波動性不大于的波動性，C錯；
對D：設，則，當且僅當時，等號成立，D正確；答案為BD.
【變式3】（2021·全國新Ⅰ卷）有一組樣本數據，，…，，由這組數據得到新樣本數據，，…，，其中(為非零常數，則（ ）
A．兩組樣本數據的樣本平均數相同
B．兩組樣本數據的樣本中位數相同
C．兩組樣本數據的樣本標準差相同
D．兩組樣本數據的樣本極差相同
【答案】CD
【解析】
對A：且，平均數不相同，A錯；
對B：若第一組中位數為，則第二組的中位數為，不相同，B錯；
對C：，方差相同，C正確；
對D：由極差的定義知：若第一組的極差為，則第二組的極差為，極差相同，D正確；答案為CD.
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考場演練
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【真題1】（2024·全國新Ⅱ卷）某農業研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產量（單位：kg）并整理如下表
畝產量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200）
頻數 6 12 18 30 24 10
根據表中數據，下列結論中正確的是（ ）
A．100塊稻田畝產量的中位數小于1050kg
B．100塊稻田中畝產量低于1100kg的稻田所占比例超過80%
C．100塊稻田畝產量的極差介于200kg至300kg之間
D．100塊稻田畝產量的平均值介于900kg至1000kg之間
【答案】C
【解析】
對 A, 根據頻數分布表可知, ,產量的中位數不小于 , A 錯；
對B，畝產量不低于的頻數為，低于的稻田占比為，B錯；
對C，稻田畝產量的極差最大為，最小為，C正確；
對D，平均值為，D錯；
答案為C.
【真題2】（2023·全國新Ⅰ卷）有一組樣本數據，其中是最小值，是最大值，則（ ）
A．的平均數等于的平均數
B．的中位數等于的中位數
C．的標準差不小于的標準差
D．的極差不大于的極差
【答案】BD
【解析】
對A：設的平均數為，的平均數為，
則，
沒有確定的大小關系，無法判斷的大小，
例如：，可得；例如，可得；
例如，可得；A錯；
對B：設，知的中位數與的中位數均為，B正確；
對C：是最小值，是最大值，的波動性不大于的波動性，C錯；
對D：設，則，當且僅當時，等號成立，D正確；答案為BD.
【真題3】（2023·全國新Ⅱ卷）某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結果共有（ ）．
A．種 B．種
C．種 D．種
【答案】D
【解析】
根據分層抽樣的定義知初中部共抽取人，高中部共抽取，
根據組合公式和分步計數原理則不同的抽樣結果共有種；答案為D.
【真題4】（2022·全國乙卷）分別統計了甲、乙兩位同學16周的各周課外體育運動時長（單位：h），得如下莖葉圖：
則下列結論中錯誤的是（ ）
A．甲同學周課外體育運動時長的樣本中位數為7.4
B．乙同學周課外體育運動時長的樣本平均數大于8
C．甲同學周課外體育運動時長大于8的概率的估計值大于0.4
D．乙同學周課外體育運動時長大于8的概率的估計值大于0.6
【答案】C
【解析】
對A，甲同學周課外體育運動時長的樣本中位數為，A正確；
對B，乙：，
B正確；
對C，甲同學周課外體育運動時長大于的概率的估計值，C錯；
對D，乙同學周課外體育運動時長大于的概率的估計值，D正確；答案為C
【真題5】（2022·全國甲卷）某社區通過公益講座以普及社區居民的垃圾分類知識．為了解講座效果，隨機抽取10位社區居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：
則（ ）
A．講座前問卷答題的正確率的中位數小于
B．講座后問卷答題的正確率的平均數大于
C．講座前問卷答題的正確率的標準差小于講座后正確率的標準差
D．講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差
【答案】B
【解析】
對A，講座前中位數為, 錯；
對B，講座后問卷答題的正確率只有一個是個,剩下全部大于等于,
講座后問卷答題的正確率的平均數大于,B對；
對C，講座前問卷答題的正確率更加分散,
講座前問卷答題的正確率的標準差大于講座后正確率的標準差,C錯；
對D，講座后問卷答題的正確率的極差為，
講座前問卷答題的正確率的極差為,錯；答案為B.
【真題6】（2022·天津）為研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進行臨床試驗，所有志愿者的舒張壓數據（單位：）的分組區間為，將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，…，第五組，右圖是根據試驗數據制成的頻率分布直方圖．已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數為（ ）
A．8 B．12 C．16 D．18
【答案】B
【解析】
志愿者的總人數為＝50，第三組人數為50×0.36＝18，
有療效的人數為18－6＝12；答案為B.
【真題7】（2021·天津）從某網絡平臺推薦的影視作品中抽取部，統計其評分數據，將所得個評分數據分為組：、、、，并整理得到如下的頻率分布直方圖，則評分在區間內的影視作品數量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由頻率分布直方圖可知，評分在區間內的影視作品數量為；答案為D.
【真題8】（2021·全國甲卷）為了解某地農村經濟情況，對該地農戶家庭年收入進行抽樣調查，將農戶家庭年收入的調查數據整理得到如下頻率分布直方圖：
根據此頻率分布直方圖，下面結論中不正確的是（ ）
A．該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶比率估計為6%
B．該地農戶家庭年收入不低于10.5萬元的農戶比率估計為10%
C．估計該地農戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元
D．估計該地有一半以上的農戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間
【答案】C
【解析】
組距為1，高度等于頻率樣，本頻率直方圖中的頻率即可作為總體的相應比率的估計值；
該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶的比率估計值為,A正確；
該地農戶家庭年收入不低于10.5萬元的農戶比率估計值為,B正確；
該地農戶家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的比例估計值,D正確；
該地農戶家庭年收入的平均值的估計值為
(萬元)，超過6.5萬元，C錯；答案為C.
【真題9】（2020·全國新Ⅱ卷）（多選）我國新冠肺炎疫情進入常態化，各地有序推進復工復產，下面是某地連續11天復工復產指數折線圖，下列說法正確的是（ ）
A．這11天復工指數和復產指數均逐日增加;
B．這11天期間，復產指數增量大于復工指數的增量;
C．第3天至第11天復工復產指數均超過80%;
D．第9天至第11天復產指數增量大于復工指數的增量;
【答案】CD
【解析】
對A，第1天到第2天復工指數減少，第7天到第8天復工指數減少，
第10天到第11復工指數減少，第8天到第9天復產指數減少，A錯；
對B，第一天的復產指標與復工指標的差大于第11天的復產指標與復工指標的差，
這11天期間，復產指數增量小于復工指數的增量，故B錯誤;
對C，第3天至第11天復工復產指數均超過80%，C正確;
對D，第9天至第11天復產指數增量大于復工指數的增量，D正確;
【真題10】（2017·江蘇）某工廠生產甲、乙、丙、丁四種不同型號的產品，產量分別為200,400,300,100件，為檢驗產品的質量，現用分層抽樣的方法從以上所有的產品中抽取60件進行檢驗，則應從丙種型號的產品中抽取 件.
【答案】18
【解析】
應從丙種型號的產品中抽取件，故答案為18．
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