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第05講 數列求和
(
考綱導向
小
)
考點要求 考題統計 考情分析
(1) 等差、等比數列的前n項和公式 (2) 數列求和的幾種常用方法 2024年甲卷15分2024年乙卷15分2024年天津卷15分2023年I卷12分2023年II卷12分2023年甲卷12分2022年I卷12分2022年天津卷15分
（1）本講為高考命題熱點，題型以解答題為主； （2）重點是等差、等比數列的前n項和公式和數列求和的幾種常用方法，主要考查公式法求和，分組求和法、倒序相加法、錯位相減法和裂項相消法等常用的求和方法，要熟練掌握每種方法的適應類型和解題步驟；注意計算過程不要出錯.
(
考試要求
小
)
1、熟練掌握等差、等比數列的前n項和公式；
2、掌握非等差、非等比數列求和的幾種常用方法；
(
考點突破考綱解讀
)
(
考點梳理
小
)
知識點1:公式法
適用類型：等差數列-- (一次型)，等比數列--（指數型）；
⑴ 等差數列的求和公式: ；
⑵ 等比數列的求和公式: ；
知識點2:分組求和法
適用類型：等差數列等比數列，通項中含因式，周期數列；
在通項公式為等差數列+等比數列，通項中含因式，周期數列等直接運用公式求和有困難時常用，將“和式”中的“同類項”先合并在一起，再分別運用公式法求和.
知識點3:倒序相加法
適用類型：首末兩項的和是一個 ；
在數列求和中，如果和式到首尾距離相等的兩項和有其共性或數列的通項與組合數相關聯，那么?？煽紤]選用倒序相加法，即等差數列求和公式
知識點4:錯位相減法
適用類型： × ；
若通項是“差比數列”的求和，可以用錯位相減法進行求和，設等差數列公差為，等比數列公比為，具體求解步驟為如下：
（1）寫出求和表達式
（2）兩邊同時乘以等比數列的 ，進行錯位：
（3）兩式相減，得：
（4）進行等比數列求和，在化簡計算得出結果；
（5）將代入驗證，答案正確。
知識點5:裂項相消法
適用類型：通項為可分為相鄰兩項差；
如果數列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關聯，那么常選用裂項相消法求和，常用裂項形式有：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4）；
（5）為等差數列，公差為，則；
(
題型展示
小
)
題型一: 公式法和分組求和法
【例1】（2023·全國新Ⅱ卷）已知為等差數列，，記，分別為數列，的前n項和，，．
(1)求的通項公式；
(2)證明：當時，．
【變式1】已知是等差數列，是等比數列，且．
（1）求的通項公式；
（2）設，求數列的通項公式．
題型二: 裂項相消法求和
【例2】（2022·全國新Ⅰ卷）記為數列的前n項和，已知是公差為的等差數列．
(1)求的通項公式；
(2)證明：．
【變式2】為數列{}的前項和.已知＞0，=.
（Ⅰ）求{}的通項公式；
（Ⅱ）設 ,求數列{}的前項和.
題型三: 錯位相減法求和
【例3】（2024·全國甲卷）記為數列的前項和，已知．
(1)求的通項公式；
(2)設，求數列的前項和．
【變式3】設為數列的前n項和，已知．
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前n項和．
(
考場演練
)
【真題1】（2024·天津）已知數列是公比大于0的等比數列．其前項和為．若．
(1)求數列前項和；
(2)設，．
（?。┊敃r，求證：；
（ⅱ）求．
【真題2】（2024·全國甲卷）記為數列的前項和，已知．
(1)求的通項公式；
(2)設，求數列的前項和．
【真題3】（2024·全國乙卷）已知等比數列的前項和為，且.
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前n項和.
【真題4】（2023·全國甲卷）設為數列的前n項和，已知．
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前n項和．
【真題5】（2023·全國新Ⅱ卷）已知為等差數列，，記，分別為數列，的前n項和，，．
(1)求的通項公式；
(2)證明：當時，．
【真題6】（2023·全國新Ⅰ卷）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．
(1)求第2次投籃的人是乙的概率；
(2)求第次投籃的人是甲的概率；
(3)已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數為，求．
【真題7】（2022·全國新Ⅰ卷）（2022·全國新Ⅰ卷）記為數列的前n項和，已知是公差為的等差數列．
(1)求的通項公式；
(2)證明：．
【真題8】（2022·天津）設是等差數列，是等比數列，且．
(1)求與的通項公式；
(2)設的前n項和為，求證：；
(3)求．
【真題9】（2020·天津）已知為等差數列，為等比數列，．
（Ⅰ）求和的通項公式；
（Ⅱ）記的前項和為，求證：；
（Ⅲ）對任意的正整數，設求數列的前項和．
【真題10】（2020·浙江）已知是等差數列，是等比數列，且．
（1）求的通項公式；
（2）設，求數列的通項公式．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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第05講 數列求和
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考綱導向
小
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考點要求 考題統計 考情分析
(1) 等差、等比數列的前n項和公式 (2) 數列求和的幾種常用方法 2024年甲卷15分2024年乙卷15分2024年天津卷15分2023年I卷12分2023年II卷12分2023年甲卷12分2022年I卷12分2022年天津卷15分
（1）本講為高考命題熱點，題型以解答題為主； （2）重點是等差、等比數列的前n項和公式和數列求和的幾種常用方法，主要考查公式法求和，分組求和法、倒序相加法、錯位相減法和裂項相消法等常用的求和方法，要熟練掌握每種方法的適應類型和解題步驟；注意計算過程不要出錯.
(
考試要求
小
)
1、熟練掌握等差、等比數列的前n項和公式；
2、掌握非等差、非等比數列求和的幾種常用方法；
(
考點突破考綱解讀
)
(
考點梳理
小
)
知識點1:公式法
適用類型：等差數列--(一次型)，等比數列--（指數型）；
⑴ 等差數列的求和公式:
⑵ 等比數列的求和公式:
知識點2:分組求和法
適用類型：等差數列等比數列，通項中含因式，周期數列；
在通項公式為等差數列+等比數列，通項中含因式，周期數列等直接運用公式求和有困難時常用，將“和式”中的“同類項”先合并在一起，再分別運用公式法求和.
知識點3:倒序相加法
適用類型：首末兩項的和是一個常數；
在數列求和中，如果和式到首尾距離相等的兩項和有其共性或數列的通項與組合數相關聯，那么?？煽紤]選用倒序相加法，即等差數列求和公式
知識點4:錯位相減法
適用類型：等差數列×等比數列；
若通項是“差比數列”的求和，可以用錯位相減法進行求和，設等差數列公差為，等比數列公比為，具體求解步驟為如下：
（1）寫出求和表達式
（2）兩邊同時乘以等比數列的公比，進行錯位：
（3）兩式相減，得：
（4）進行等比數列求和，在化簡計算得出結果；
（5）將代入驗證，答案正確。
知識點5:裂項相消法
適用類型：通項為可分為相鄰兩項差；
如果數列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關聯，那么常選用裂項相消法求和，常用裂項形式有：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）為等差數列，公差為，則
(
題型展示
小
)
題型一: 公式法和分組求和法
【例1】（2023·全國新Ⅱ卷）已知為等差數列，，記，分別為數列，的前n項和，，．
(1)求的通項公式；
(2)證明：當時，．
【答案】(1)；(2)證明見解析.
【解析】
（1）設等差數列的公差為，而，
則，
于是，解得，，
數列的通項公式是.
（2）由（1）知，，，
當為偶數時，，，
當時，，因此，
當為奇數時，，
當時，，，
當時，.
【變式1】已知是等差數列，是等比數列，且．
（1）求的通項公式；
（2）設，求數列的通項公式．
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）等比數列的公比，，，
設等差數列的公差為，，，，即，
（2）由（1）知，，,，
．
題型二: 裂項相消法求和
【例2】（2022·全國新Ⅰ卷）記為數列的前n項和，已知是公差為的等差數列．
(1)求的通項公式；
(2)證明：．
【答案】(1)(2)見解析
【解析】
（1）∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數列，
∴,∴,∴當時，，
∴,整理得：,即,
∴，也成立，
∴的通項公式；
（2）
∴
【變式2】為數列{}的前項和.已知＞0，=.
（Ⅰ）求{}的通項公式；
（Ⅱ）設 ,求數列{}的前項和.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（I）由，可知，
兩式相減得，即
，則是首項為3，公差d＝2的等差數列，
∴的通項公式an＝3+2（n﹣1）＝2n+1：
（Ⅱ）∵an＝2n+1，
∴bn（），
∴數列{bn}的前n項和Tn（）（）.
題型三: 錯位相減法求和
【例3】（2024·全國甲卷）記為數列的前項和，已知．
(1)求的通項公式；
(2)設，求數列的前項和．
【答案】(1)，(2)
【解析】
（1）當時，，解得．
當時，，所以即，
而，故，故，∴數列是以4為首項，為公比的等比數列，
.
（2）,
故，
，.
【變式3】設為數列的前n項和，已知．
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前n項和．
【答案】(1)(2)
【解析】
（1），當時，，即；
當時，，即，
當時，，，
化簡得：，當時，，即，
當時都滿足上式，．
（2），，
，兩式相減得，
，
，即，．
(
考場演練
)
【真題1】（2024·天津）已知數列是公比大于0的等比數列．其前項和為．若．
(1)求數列前項和；
(2)設，．
（ⅰ）當時，求證：；
（ⅱ）求．
【答案】(1)；(2)①證明見詳解；②
【解析】
（1）設等比數列的公比為，
，即，可得或（舍去），
.
（2）（i）由（1）可知，且，
當時，則，即
可知，，
可得，
當且僅當時，等號成立，；
（ii）由（1）可知：，若，則；
若，則，當時，，可知為等差數列，
可得，
，
且，符合上式，綜上所述：.
【真題2】（2024·全國甲卷）記為數列的前項和，已知．
(1)求的通項公式；
(2)設，求數列的前項和．
【答案】(1)，(2)
【解析】
（1）當時，，解得．
當時，，所以即，
而，故，故，∴數列是以4為首項，為公比的等比數列，
.
（2）,
故，
，.
【真題3】（2024·全國乙卷）已知等比數列的前項和為，且.
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前n項和.
【答案】(1)(2)
【解析】
（1）,故，
即故等比數列的公比為，
故，故，故.
（2）由等比數列求和公式得，
數列的前n項和
.
【真題4】（2023·全國甲卷）設為數列的前n項和，已知．
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前n項和．
【答案】(1)(2)
【解析】
（1），當時，，即；
當時，，即，
當時，，，
化簡得：，當時，，即，
當時都滿足上式，．
（2），，
，兩式相減得，
，
，即，．
【真題5】（2023·全國新Ⅱ卷）已知為等差數列，，記，分別為數列，的前n項和，，．
(1)求的通項公式；
(2)證明：當時，．
【答案】(1)；(2)證明見解析.
【解析】
（1）設等差數列的公差為，而，
則，
于是，解得，，
數列的通項公式是.
（2）由（1）知，，，
當為偶數時，，，
當時，，因此，
當為奇數時，，
當時，，，
當時，.
【真題6】（2023·全國新Ⅰ卷）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．
(1)求第2次投籃的人是乙的概率；
(2)求第次投籃的人是甲的概率；
(3)已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數為，求．
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】
（1）記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，
.
（2）設，依題可知，，則
，
即，
構造等比數列，設，解得，則，
又，所以是首項為，公比為的等比數列，
即．
（3），，
當時，，
故．
【真題7】（2022·全國新Ⅰ卷）（2022·全國新Ⅰ卷）記為數列的前n項和，已知是公差為的等差數列．
(1)求的通項公式；
(2)證明：．
【答案】(1)(2)見解析
【解析】
（1）∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數列，
∴,∴,∴當時，，
∴,整理得：,即,
∴，也成立，
∴的通項公式；
（2）
∴
【真題8】（2022·天津）設是等差數列，是等比數列，且．
(1)求與的通項公式；
(2)設的前n項和為，求證：；
(3)求．
【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)
【解析】
（1）設公差為d，公比為，則，
由可得（舍去），；
（2）證明：要證，
即證，即證，即證，
，；
（3）
，
，
設，
則，
作差得，
，.
【真題9】（2020·天津）已知為等差數列，為等比數列，．
（Ⅰ）求和的通項公式；
（Ⅱ）記的前項和為，求證：；
（Ⅲ）對任意的正整數，設求數列的前項和．
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.
【解析】
(Ⅰ)設等差數列的公差為，等比數列的公比為q.
由，，可得d=1，的通項公式為.
由，又q≠0，可得，解得q=2，
的通項公式為.
(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)可得，，，
，.
(Ⅲ)當n為奇數時，，
當n為偶數時，，
對任意的正整數n，有，
和 ①
由①得 ②
由①②得，
由于，.
.
數列的前2n項和為.
【真題10】（2020·浙江）已知是等差數列，是等比數列，且．
（1）求的通項公式；
（2）設，求數列的通項公式．
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）等比數列的公比，，，
設等差數列的公差為，，，，即，
（2）由（1）知，，,，
．
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