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第03講 基本不等式
目錄
第一部分：基礎知識 1
第二部分：高考真題回顧 2
第三部分：高頻考點一遍過 3
高頻考點一：基本不等式的內容及辨析 3
高頻考點二：利用基本不等式比較大小 3
高頻考點三：利用基本不等式求最值 4
角度1：利用基本不等式求積最大值 4
角度2：利用基本不等式求和最小值 5
角度3：二次與二次（一次）的商式的最值 5
角度4：“1”的妙用求最值 5
角度5：條件等式求最值 6
高頻考點四：基本不等式的恒成立問題 7
高頻考點五：利用基本不等式解決實際問題 8
第四部分：典型易錯題型 10
備注：利用基本不等式解題容易忽視“一正”，“三相等” 10
第五部分：新定義題（解答題） 10
第一部分：基礎知識
1、基本不等式（一正，二定，三相等，特別注意“一正”，“三相等”這兩類陷阱）
①如果，，，當且僅當時，等號成立．
②其中叫做正數，的幾何平均數；叫做正數，的算數平均數．
2、兩個重要的不等式
①（）當且僅當時，等號成立．
②（）當且僅當時，等號成立．
3、利用基本不等式求最值
①已知，是正數，如果積等于定值，那么當且僅當時，和有最小值；
②已知，是正數，如果和等于定值，那么當且僅當時，積有最大值；
4、常用技巧
利用基本不等式求最值的變形技巧——湊、拆（分子次數高于分母次數）、除（分子次數低于分母次數））、代（1的代入）、解（整體解）.
①湊：湊項，例：；
湊系數，例：；
②拆：例：；
③除：例：；
④1的代入：例：已知，求的最小值.
解析：.
⑤整體解：例：已知,是正數，且，求的最小值.
解析：，即，解得.
第二部分：高考真題回顧
1．（2022·全國·（甲卷文））已知，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全國·（甲卷文理））已知中，點D在邊BC上，．當取得最小值時， ．
3．（2022·全國·（新高考Ⅰ卷））記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：基本不等式的內容及辨析
典型例題
例題1．（2024上·陜西安康·高一校考期末）下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（多選）（2024·全國·高三專題練習）任取多組正數，通過大量計算得出結論：，當且僅當時，等號成立．若，根據上述結論判斷的值可能是（ ）
A． B． C．5 D．3
練透核心考點
1．（2024·全國·高一假期作業）下列不等式中等號可以取到的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（多選）（2024上·河南漯河·高一漯河高中校考階段練習）下列命題中正確的是（ ）
A．的最小值是2
B．當時，的最小值是3
C．當時，的最大值是5
D．若正數滿足，則的最小值為3
高頻考點二：利用基本不等式比較大小
典型例題
例題1．（2024·全國·高三專題練習）對于任意a，b∈R，下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．2
例題2．（2024下·福建·高一校聯考開學考試）杭州，作為2023年亞洲運動會的舉辦城市，以其先進的科技和創新能力再次吸引了全球的目光.其中首次采用“機器狗”在田徑賽場上運送鐵餅等，迅速成為了全場的焦點.已知購買臺“機器狗”的總成本為.
(1)若使每臺“機器狗”的平均成本最低，問應買多少臺
(2)現安排標明“汪1”、“汪2”、“汪3”的3臺“機器狗”在同一場次運送鐵餅，且運送的距離都是120米. 3臺“機器狗”所用時間（單位:秒）分別為，，. “汪1”有一半的時間以速度（單位:米/秒） 奔跑，另一半的時間以速度奔跑；“汪2”全程以速度奔跑；“汪3”有一半的路程以速度奔跑，另一半的路程以速度奔跑，其中，，且 則哪臺機器狗用的時間最少 請說明理由.
練透核心考點
1．（多選）（2024上·湖南常德·高三統考期末）已知，則下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（多選）（2024·全國·高三專題練習）十六世紀中葉，英國數學家哈利奧特用“”“”表示不等號，并逐漸被數學界所接受，不等號的引入對不等式發展影響深遠.若某同學從一樓到五樓原路往返的速度分別為和，記兩速度的算術平均值為，全程的平均速度為，則下列選項正確的是（ ）
A． B． C． D．
高頻考點三：利用基本不等式求最值
角度1：利用基本不等式求積最大值
典型例題
例題1．（2024上·安徽·高一校聯考期末）若正數滿足，則的最大值為（ ）
A．6 B．9 C． D．
例題2．（2024下·重慶·高三重慶巴蜀中學校考階段練習）已知，向量，則的最大值為 .
角度2：利用基本不等式求和最小值
典型例題
例題1．（2024上·安徽蕪湖·高一統考期末）若實數滿足，則的最小值為（ ）
A．1 B． C．2 D．
例題2．（2024上·廣西·高一校聯考期末）已知，則的最大值為（ ）
A．2 B．4 C．8 D．
例題3．（2024上·湖北·高一校聯考期末）已知，則的最小值為
角度3：二次與二次（一次）的商式的最值
典型例題
例題1．（2024·全國·高三專題練習）函數 的最大值為 .
例題2．（2024·全國·高三專題練習）函數的最小值為 ．
例題3．（2024·全國·高三專題練習）函數在上的最大值為 ．
角度4：“1”的妙用求最值
典型例題
例題1．（2024上·安徽·高一校聯考期末）已知正數，滿足，則的最小值是（ ）
A．6 B．16 C．20 D．18
例題2．（多選）（2024上·福建漳州·高一統考期末）已知，，且，則（ ）
A．的最大值為 B．的最小值為
C．的最小值為2 D．的最大值為8
角度5：條件等式求最值
典型例題
例題1．（2024下·重慶·高三重慶南開中學校考階段練習）對于正數，有，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例題2．（多選）（2024上·安徽合肥·高一合肥一中校考期末）已知正數滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
練透核心考點
1．（2024上·福建龍巖·高一福建省武平縣第一中學校聯考期末）已知，且，則的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．5
2．（多選）（2024下·吉林通化·高三梅河口市第五中學校考開學考試）已知，若，則（ ）
A． B．
C．的最大值為 D．的最小值為8
3．（多選）（2023上·安徽合肥·高一合肥市第六中學校考階段練習）已知，且，則（ ）
A．的最大值為 B．的最大值是
C．的最小值是8 D．的最小值是
4．（多選）（2023上·河南三門峽·高一校考階段練習）已知a，b為正實數，且，則（ ）
A．ab的最大值為4 B．的最小值為
C．的最小值為 D．的最小值為2
5．（2023上·重慶永川·高一重慶市永川中學校校考期末）已知，且，則的最小值是 .
6．（2023·全國·高三專題練習）當時，求函數的最小值.
高頻考點四：基本不等式的恒成立問題
典型例題
例題1．（2024上·山東濱州·高一統考期末）已知，，且，若恒成立，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2024上·重慶·高一校聯考期末）當，且滿足時，有恒成立，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
例題3．（2024上·江西萍鄉·高一統考期末）已知，函數，．
(1)若，求不等式的解集；
(2)求不等式的解集；
表中的數據，從以上三種函數模型中，選擇你認為最合適的一種函數模型，來表示該專賣店特價航模日銷售量（百個）與時間的關系，說明你的理由.
(2)借助你在（1）中選擇的模型，記該專賣店特價航模日銷售收入為（百元），其中，，預估該專賣店特價航模日銷售收入在一個月內的第幾天最低？
例題2．（2024上·江西上饒·高一統考期末）隨著我國經濟發展、醫療消費需求增長、人們健康觀念轉變以及人口老齡化進程加快等因素的影響，醫療器械市場近年來一直保持了持續增長的趨勢.上饒市醫療器械公司為了進一步增加市場競爭力，計劃改進技術生產某產品.已知生產該產品的年固定成本為400萬元，最大產能為100臺.每生產臺，需另投入成本萬元，且，由市場調研知，該產品每臺的售價為200萬元，且全年內生產的該產品當年能全部銷售完.
(1)寫出年利潤萬元關于年產量臺的函數解析式（利潤=銷售收入-成本）；
(2)當該產品的年產量為多少時，公司所獲利潤最大 最大利潤是多少
練透核心考點
1．（2024上·安徽亳州·高一統考期末）拉魯濕地國家級自然保護區位于西藏自治區首府拉薩市西北角，是國內最大的城市濕地自然保護區，也是世界上海拔最高、面積最大的城市天然濕地．其中央有一座涼亭，涼亭的俯瞰圖的平面圖是如圖所示的正方形結構，其中EFIJ和GHKL為兩個相同的矩形，俯瞰圖白色部分面積為20平方米．現計劃對下圖平面正方形染色，在四個角區域（即圖中陰影部分）用特等顏料，造價為200元/平方米，中間部分即正方形MNPQ區域使用一等顏料，造價為150元/平方米，在四個相同的矩形區域即EFNM，GHPN，PQJI，MQKL用二等顏料，造價為100元/平方米．
(1)設總造價為W元，MN的邊長為x米，AB的邊長為y米，試建立W關于x的函數關系式；
(2)計劃至少要投入多少元，才能完成平面染色．
2．（2024上·云南昭通·高一昭通市第一中學校聯考期末）某工廠生產某種產品，年固定成本為200萬元，可變成本萬元與年產量（件）的關系為
每件產品的售價為90萬元，且工廠每年生產的產品都能全部售完.
(1)將年盈利額（萬元）表示為年產量（件）的函數；
(2)求年盈利額的最大值及相應的年產量.
第四部分：典型易錯題型
備注：利用基本不等式解題容易忽視“一正”，“三相等”
1．（2024·全國·高二專題練習）已知函數當時，y取最大值b，則的值為（ ）
A．8 B． C．4 D．0
2．（多選）（2024上·安徽安慶·高一安慶一中校考期末）下列式子中最小值為4的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（多選）（2024上·山東臨沂·高一山東省臨沂第一中學期末）下列命題中正確的是（ ）
A．若，則 B．
C．若且，則 D．
第五部分：新定義題（解答題）
1．（2024·全國·高一假期作業）問題：正實數a，b滿足，求的最小值.其中一種解法是：，當且僅當且時，即且時取等號.學習上述解法并解決下列問題：
(1)若正實數x，y滿足，求的最小值；
(2)若實數a，b，x，y滿足，求證：；
(3)求代數式的最小值，并求出使得M最小的m的值.
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第03講 基本不等式
目錄
第一部分：基礎知識 1
第二部分：高考真題回顧 2
第三部分：高頻考點一遍過 5
高頻考點一：基本不等式的內容及辨析 5
高頻考點二：利用基本不等式比較大小 8
高頻考點三：利用基本不等式求最值 11
角度1：利用基本不等式求積最大值 11
角度2：利用基本不等式求和最小值 12
角度3：二次與二次（一次）的商式的最值 13
角度4：“1”的妙用求最值 14
角度5：條件等式求最值 15
高頻考點四：基本不等式的恒成立問題 20
高頻考點五：利用基本不等式解決實際問題 23
第四部分：典型易錯題型 28
備注：利用基本不等式解題容易忽視“一正”，“三相等” 28
第五部分：新定義題（解答題） 30
第一部分：基礎知識
1、基本不等式（一正，二定，三相等，特別注意“一正”，“三相等”這兩類陷阱）
①如果，，，當且僅當時，等號成立．
②其中叫做正數，的幾何平均數；叫做正數，的算數平均數．
2、兩個重要的不等式
①（）當且僅當時，等號成立．
②（）當且僅當時，等號成立．
3、利用基本不等式求最值
①已知，是正數，如果積等于定值，那么當且僅當時，和有最小值；
②已知，是正數，如果和等于定值，那么當且僅當時，積有最大值；
4、常用技巧
利用基本不等式求最值的變形技巧——湊、拆（分子次數高于分母次數）、除（分子次數低于分母次數））、代（1的代入）、解（整體解）.
①湊：湊項，例：；
湊系數，例：；
②拆：例：；
③除：例：；
④1的代入：例：已知，求的最小值.
解析：.
⑤整體解：例：已知,是正數，且，求的最小值.
解析：，即，解得.
第二部分：高考真題回顧
1．（2022·全國·（甲卷文））已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】法一：根據指對互化以及對數函數的單調性即可知，再利用基本不等式，換底公式可得，，然后由指數函數的單調性即可解出．
【詳解】［方法一］：（指對數函數性質）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.綜上，.
［方法二］：【最優解】（構造函數）
由，可得．
根據的形式構造函數 ，則，
令，解得 ，由 知 .
在 上單調遞增，所以 ，即 ，
又因為 ，所以 .
故選：A.
【點評】法一：通過基本不等式和換底公式以及對數函數的單調性比較，方法直接常用，屬于通性通法；
法二：利用的形式構造函數，根據函數的單調性得出大小關系，簡單明了，是該題的最優解．
2．（2022·全國·（甲卷文理））已知中，點D在邊BC上，．當取得最小值時， ．
【答案】/
【分析】設，利用余弦定理表示出后，結合基本不等式即可得解.
【詳解】[方法一]：余弦定理
設，
則在中，，
在中，，
所以
，
當且僅當即時，等號成立，
所以當取最小值時，.
故答案為：.
[方法二]：建系法
令 BD=t，以D為原點，OC為x軸，建立平面直角坐標系.
則C（2t,0），A（1，），B（-t,0）
[方法三]：余弦定理
設BD=x,CD=2x.由余弦定理得
，，
，，
令，則，
，
，
當且僅當，即時等號成立.
3．（2022·全國·（新高考Ⅰ卷））記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根據二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將化成，再結合，即可求出；
（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式將化成，然后利用基本不等式即可解出．
【詳解】（1）因為，即，
而，所以；
（2）由（1）知，，所以，
而，
所以，即有，所以
所以
．
當且僅當時取等號，所以的最小值為．
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：基本不等式的內容及辨析
典型例題
例題1．（2024上·陜西安康·高一校考期末）下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據各項所給條件，結合均值不等式分析、判斷作答.
【詳解】對于A，當時，，A不正確；
對于B，當時，，且，若，則，B不正確；
對于C，，則，即C不正確；
對于D，當時，由均值不等式得成立，當且僅當時取等號，則D正確.
故選：D
例題2．（多選）（2024·全國·高三專題練習）任取多組正數，通過大量計算得出結論：，當且僅當時，等號成立．若，根據上述結論判斷的值可能是（ ）
A． B． C．5 D．3
【答案】BD
【分析】利用已知結論求出的最大值進行判斷，為此需湊出三個正數的和為定值．
【詳】根據題意可得，
當且僅當，即時，等號成立．故的最大值為4．
從而AC不可能，BD可以取．
故選：BD．
練透核心考點
1．（2024·全國·高一假期作業）下列不等式中等號可以取到的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據基本不等式使用條件逐一檢驗取等條件即可得答案.
【詳解】解：對于A，因為，所以，當且僅當，即，故等號不成立，故A不符合；
對于B，因為，所以，當且僅當，即，故等號不成立，故B不符合；
對于C，因為，所以，當且僅當，即時取等號，故C符合；
對于D，因為，所以，當且僅當，即，故等號不成立，故D不符合.
故選：C.
2．（多選）（2024上·河南漯河·高一漯河高中校考階段練習）下列命題中正確的是（ ）
A．的最小值是2
B．當時，的最小值是3
C．當時，的最大值是5
D．若正數滿足，則的最小值為3
【答案】BCD
【分析】利用基本不等式對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】A選項，①，
但是無解，所以①等號不成立，所以A選項錯誤.
B選項，當時，，
，
當且僅當時等號成立，所以B選項正確.
C選項，當時，，
所以，
當且僅當時等號成立，所以C選項正確.
D選項，是正數，
，
當且僅當時等號成立，所以D選項正確.
故選：BCD
高頻考點二：利用基本不等式比較大小
典型例題
例題1．（2024·全國·高三專題練習）對于任意a，b∈R，下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】當時，可判斷A；當時，可判斷B；當時，可判斷C；利用均值不等式，可判斷D.
【詳解】選項A：當時，，，不成立，故A錯誤；
選項B：當時，，，不成立，故B錯誤；
選項C：當時，，不成立，故C錯誤；
選項D：由有意義，故，因此
由均值不等式，，當且僅當，即時等號成立
故D正確
故選：D
例題2．（2024下·福建·高一校聯考開學考試）杭州，作為2023年亞洲運動會的舉辦城市，以其先進的科技和創新能力再次吸引了全球的目光.其中首次采用“機器狗”在田徑賽場上運送鐵餅等，迅速成為了全場的焦點.已知購買臺“機器狗”的總成本為.
(1)若使每臺“機器狗”的平均成本最低，問應買多少臺
(2)現安排標明“汪1”、“汪2”、“汪3”的3臺“機器狗”在同一場次運送鐵餅，且運送的距離都是120米. 3臺“機器狗”所用時間（單位:秒）分別為，，. “汪1”有一半的時間以速度（單位:米/秒） 奔跑，另一半的時間以速度奔跑；“汪2”全程以速度奔跑；“汪3”有一半的路程以速度奔跑，另一半的路程以速度奔跑，其中，，且 則哪臺機器狗用的時間最少 請說明理由.
【答案】(1)
(2)“汪1”用的時間最少，理由見解析
【分析】（1）平均成本為，利用比較不等式，即可求解函數的最值；
（2）利用速度，時間和路程的關系，分別求解，，，再根據不等式，比較時間大小，即可求解.
【詳解】（1）由題意，購買臺“機器狗”的總成本為，
則每臺機器狗的平均成本為，
當且僅當時，即時，等號成立，
所以，若使每臺“機器狗”的平均成本最低，應買臺.
（2）由題意，“汪1”滿足，可得，
“汪2”滿足，可得，
“汪3”滿足，
，，
所以 ，
因為，，且，
所以可得，
則，
所以，所以 “汪1”用的時間最少.
練透核心考點
1．（多選）（2024上·湖南常德·高三統考期末）已知，則下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】根據不等式的性質和基本不等式判斷AB，利用特值法判斷CD．
【詳解】∵，∴ 即，∴，A正確；
由基本不等式知：，當且僅當時等號成立
又，∴
∴即,當且僅當時等號成立；
已知 ,故，B正確;
令，，C錯誤；
令，，分母為零無意義，D錯誤．
故選：AB．
2．（多選）（2024·全國·高三專題練習）十六世紀中葉，英國數學家哈利奧特用“”“”表示不等號，并逐漸被數學界所接受，不等號的引入對不等式發展影響深遠.若某同學從一樓到五樓原路往返的速度分別為和，記兩速度的算術平均值為，全程的平均速度為，則下列選項正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】利用基本不等式以及不等式的性質求解.
【詳解】設一樓到五樓的距離為，
由題知，A錯誤；
因為，
且，所以，所以，所以，
又因為，（因為，所以取不到等號），所以，B正確；
對C，因為，所以，
又因為，
所以，即，C正確；
對D，因為，
所以，即，D正確；
故選:BCD.
高頻考點三：利用基本不等式求最值
角度1：利用基本不等式求積最大值
典型例題
例題1．（2024上·安徽·高一校聯考期末）若正數滿足，則的最大值為（ ）
A．6 B．9 C． D．
【答案】C
【分析】由基本不等式求解即可.
【詳解】解：因為，
所以，
當且僅當時取等號．
故選：C．
例題2．（2024下·重慶·高三重慶巴蜀中學校考階段練習）已知，向量，則的最大值為 .
【答案】/0.125
【分析】根據向量的數量積的坐標運算可得，結合題意利用基本不等式，即可求得答案.
【詳解】由題意知，故，
又，所以，
故，當且僅當，結合，即時取等號，
故的最大值為，
故答案為：
角度2：利用基本不等式求和最小值
典型例題
例題1．（2024上·安徽蕪湖·高一統考期末）若實數滿足，則的最小值為（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】通過求出，代入所求式消元，運用基本不等式求解即得.
【詳解】由可知，則，代入得：，
當時等號成立，即當時，取得最小值.
故選：D.
例題2．（2024上·廣西·高一校聯考期末）已知，則的最大值為（ ）
A．2 B．4 C．8 D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式可得關于的一元二次不等式，解不等式即可.
【詳解】，則有，
可得，即4，當且僅當時，等號成立.
所以的最大值為4.
故選：B
例題3．（2024上·湖北·高一校聯考期末）已知，則的最小值為
【答案】
【分析】利用基本不等式求得正確答案.
【詳解】由于，所以，
所以
，
當且僅當時等號成立，
所以的最小值為.
故答案為：
角度3：二次與二次（一次）的商式的最值
典型例題
例題1．（2024·全國·高三專題練習）函數 的最大值為 .
【答案】/
【分析】首先化簡可得，由則可以利用基本不等式求最值即可.
【詳解】因為，則，
所以
≤，
當且僅當，即時等號成立，
所以的最大值為.
故答案為：.
例題2．（2024·全國·高三專題練習）函數的最小值為 ．
【答案】
【分析】將函數化為，利用基本不等式求其最小值，注意取值條件即可.
【詳解】由，又，
所以，當且僅當，即時等號成立，
所以原函數的最小值為.
故答案為：
例題3．（2024·全國·高三專題練習）函數在上的最大值為 ．
【答案】
【分析】令，則，則，利用基本不等式計算可得.
【詳解】解：因為，，令，則，
則，
當且僅當，即時，等號成立．
故的最大值為．
故答案為：
角度4：“1”的妙用求最值
典型例題
例題1．（2024上·安徽·高一校聯考期末）已知正數，滿足，則的最小值是（ ）
A．6 B．16 C．20 D．18
【答案】D
【分析】將所求的式子乘以“1”，然后利用基本不等式求解即可.
【詳解】因為正數，滿足，
則，
當且僅當，即時等號成立.
故選：D
例題2．（多選）（2024上·福建漳州·高一統考期末）已知，，且，則（ ）
A．的最大值為 B．的最小值為
C．的最小值為2 D．的最大值為8
【答案】BC
【分析】A選項，利用基本不等式直接進行求解；B選項，利用基本不等式“1”的妙用求出最值；C選項，兩邊平方后，利用基本不等式求出答案；D選項，變形得到，D錯誤.
【詳解】A選項，因為，由基本不等式得，
即，故A錯誤；
B選項，因為，
所以，
當且僅當，即時，等號成立，
故的最小值為，B正確；
C選項，兩邊平方得，
，其中，
當且僅當，即時，等號成立，
故，解得，
的最小值為2，C正確；
D選項，因為，，
所以，
故D錯誤.
故選：BC
角度5：條件等式求最值
典型例題
例題1．（2024下·重慶·高三重慶南開中學校考階段練習）對于正數，有，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據題意可得利用基本不等式可得，再結合二次函數不等式求解方法即可求解.
【詳解】由題可知：，
因為都是正數，所以（當且僅當時取等），
所以（當且僅當時取等），
化簡可得，解得，故C正確.
故選：C.
例題2．（多選）（2024上·安徽合肥·高一合肥一中校考期末）已知正數滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】利用不等式的性質可判定A項，結合基本不等式可判定B項，利用特殊值可判定C項，根據條件放縮得出，即可得出判定D項.
【詳解】對于A，，
所以選項正確；
對于B，由題，
當且僅當等號成立，故B選項正確；
對于C，可取特殊值滿足題意，則，故C選項錯誤；
對于D，，
即，則，故D正確.
故選：ABD
練透核心考點
1．（2024上·福建龍巖·高一福建省武平縣第一中學校聯考期末）已知，且，則的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．5
【答案】D
【分析】由已知可得，再根據基本不等式求解即可.
【詳解】由，得，
因為，所以，
則，
當且僅當，即時，等號成立，
所以的最小值是.
故選：D.
2．（多選）（2024下·吉林通化·高三梅河口市第五中學校考開學考試）已知，若，則（ ）
A． B．
C．的最大值為 D．的最小值為8
【答案】ABD
【分析】對于AB：根據題意消去，結合的取值范圍分析求解；對于C：根據基本不等式運算求解；對于D：根據“1”的靈活應用結合基本不等式分析求解.
【詳解】因為，，則，可得，
對于選項AB：因為，
所以，，故AB正確；
對于選項C：因為，
當且僅當時，等號成立，
所以的最大值為，故C錯誤；
對于選項D：因為，
當且僅當，即時，等號成立，
所以的最小值為8，故D正確；
故選：ABD.
3．（多選）（2023上·安徽合肥·高一合肥市第六中學校考階段練習）已知，且，則（ ）
A．的最大值為 B．的最大值是
C．的最小值是8 D．的最小值是
【答案】AC
【分析】利用基本不等式判斷AC；利用基本不等式“1”的妙用判斷B，利用消元法與基本不等式判斷D.
【詳解】對于A，，所以，，
當且僅當時，等號成立，故A正確；
對于B，，
當且僅當，即時，等號成立，故B錯誤；
對于C，，，
當且僅當且，即時，等號成立，故C正確；
對于D，由，得，由，得，
，
當且僅當，即時，等號成立，
此時，矛盾，故等號取不到，故錯誤，
故選：AC.
【點睛】易錯點睛：在應用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現錯誤．
4．（多選）（2023上·河南三門峽·高一校考階段練習）已知a，b為正實數，且，則（ ）
A．ab的最大值為4 B．的最小值為
C．的最小值為 D．的最小值為2
【答案】BD
【分析】根據基本不等式及“1”代換即可判斷各選項.
【詳解】對于A，，
因為（當且僅當時取“=”），
所以ab的最小值為4，A錯誤；
對于B，由，得（當且僅當時取“=”），B正確；
對于C，（當且僅當時，取“=”），C錯誤；
對于D，（當且僅當時，取“=”），D正確．
故選：BD．
5．（2023上·重慶永川·高一重慶市永川中學校校考期末）已知，且，則的最小值是 .
【答案】2
【分析】將條件等式因式分解可得，然后將待求式子通分并結合基本不等式可求解出最小值.
【詳解】因為，所以，
因為，所以，所以，
所以，
當且僅當，即時取等號，
所以最小值為，
故答案為：.
6．（2023·全國·高三專題練習）當時，求函數的最小值.
【答案】
【分析】將函數變形成，再利用重要不等式即可求出結果.
【詳解】因為，所以，
，
當且僅當，即時，等號成立，
所以函數的最小值為.
高頻考點四：基本不等式的恒成立問題
典型例題
例題1．（2024上·山東濱州·高一統考期末）已知，，且，若恒成立，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】將問題轉化為，利用“1”的代換以及基本不等式求解，從而得到，求解不等式，即可得到答案．
【詳解】因為不等式恒成立，
則，
因為，，由可得，
所以，
當且僅當，即，時取等號，
故，
所以，即，解得，
則實數的取值范圍是．
故選：B．
例題2．（2024上·重慶·高一校聯考期末）當，且滿足時，有恒成立，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把恒成立問題轉化成求最值問題，利用基本不等式求出的最小值，然后解二次不等式即可.
【詳解】因為即且，
所以，
當且僅當，即時等號成立，
因為不等式恒成立，所以，
即，解得，故的取值范圍為.
故選：A
例題3．（2024上·江西萍鄉·高一統考期末）已知，函數，．
(1)若，求不等式的解集；
(2)求不等式的解集；
(3)，不等式恒成立，求a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)答案見解析
(3)
【分析】（1）運用換元法求解不等式即可.
（2）討論參數范圍，求解不等式即可.
（3）運用分離參數法結合基本不等式求解參數范圍即可.
【詳解】（1）令，，即，解得或，所以或，解得；
（2）依題意得，，即，
當時，；當時，x的解集為空集；當時，；
（3）依題意得，因為，所以，
又，，當且僅當時，取得等號，所以，即．
練透核心考點
1．（2024上·陜西漢中·高一南鄭中學校聯考期末）“”是“不等式對于任意正實數恒成立”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】當時，利用基本不等式可證得，而得不到，可通過舉例驗證，利用充分條件，必要條件的概念即可判斷．
【詳解】當時，對于任意正實數，
．當且僅當時等號成立，
所以：是對于任意正實數恒成立的充分條件；
同理：若時，
，當且僅當時等號成立，
也成立，
故不是對于任意正實數恒成立的必要條件．
綜上：是對于任意正實數恒成立的充分不必要條件．
故選：A．
2．（2024上·青海西寧·高三統考期末）對滿足的任意正實數、，不等式恒成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，可算出，再將最小值代入，即可求解
【詳解】不等式恒成立
，，且
當且僅當，即時取等號
，即
解得
故實數的取值范圍是
故選：C
3．（2024上·上海青浦·高一統考期末）若對任意的，不等式恒成立，則實數的取值范圍是 .
【答案】
【分析】由題意可得對任意的恒成立，故只需，結合基本不等式求解即可，注意取等條件.
【詳解】由題意對任意的恒成立，
即對任意的恒成立，故只需，
而由基本不等式可得，等號成立當且僅當，
所以，即實數的取值范圍是.
故答案為：.
高頻考點五：利用基本不等式解決實際問題
典型例題
例題1．（2024上·福建漳州·高一統考期末）北京時間2023年10月26日11時14分，搭載神舟十七號載人飛船的長征二號遙十七運載火箭在酒泉衛星發射中心精準發射，約10分鐘后，神州十七號載人飛船與火箭成功分離，進入預定軌道，航天員乘組狀態良好，發射取得圓滿成功，這是我國載人航天工程立項實施以來的第30次發射任務，也是空間站階段的第2次載人飛行任務.航天工程對人們的生活產生方方面面的影響，有關部門對某航模專賣店的航模銷售情況進行調查發現：該專賣店每天銷售一款特價航模，在過去的一個月內（以30天計）的特價航模日銷售價格（元/個）與時間（一個月內的第天，下同）的函數關系近似表示為（常數）.該專賣店特價航模日銷售量（百個）與時間部分數據如下表所示：
（天） 2 7 14 23
（百個） 4 5 6 7
已知一個月內第7天該專賣店特價航模日銷售收入為350百元.
(1)給出以下三種函數模型：①，②，③.請你依據上表中的數據，從以上三種函數模型中，選擇你認為最合適的一種函數模型，來表示該專賣店特價航模日銷售量（百個）與時間的關系，說明你的理由.
(2)借助你在（1）中選擇的模型，記該專賣店特價航模日銷售收入為（百元），其中，，預估該專賣店特價航模日銷售收入在一個月內的第幾天最低？
【答案】(1)選擇模型③，理由見解析
(2)第13天最低.
【分析】（1）根據變化速度排除模型①，根據不對稱性排除模型②，代入數據計算，滿足條件，得到答案.
（2）確定，，利用均值不等式計算最值得到答案.
【詳解】（1）選擇模型③，理由如下：
表格中對應的數據勻速遞增時，對應的數據并未勻速變化，模型①不滿足題意；
因為表格中數據滿足，而模型②滿足，模型②不滿足題意；
對于模型③，將，代入模型③，有，解得，
此時，
經驗證，，均滿足，所以模型③滿足題意.
故選擇模型③.
（2），故，所以，
，
當且僅當，即時，等號成立，
所以預估該專賣店特價航模日銷售收入在一個月內的第13天最低.
例題2．（2024上·江西上饒·高一統考期末）隨著我國經濟發展、醫療消費需求增長、人們健康觀念轉變以及人口老齡化進程加快等因素的影響，醫療器械市場近年來一直保持了持續增長的趨勢.上饒市醫療器械公司為了進一步增加市場競爭力，計劃改進技術生產某產品.已知生產該產品的年固定成本為400萬元，最大產能為100臺.每生產臺，需另投入成本萬元，且，由市場調研知，該產品每臺的售價為200萬元，且全年內生產的該產品當年能全部銷售完.
(1)寫出年利潤萬元關于年產量臺的函數解析式（利潤=銷售收入-成本）；
(2)當該產品的年產量為多少時，公司所獲利潤最大 最大利潤是多少
【答案】(1)
(2)該產品的年產量為35（臺）時所獲利潤最大，最大利潤為2050（萬元）
【分析】（1）由已知條件，根據銷售收入和成本計算利潤；
（2）由利潤的函數解析式，結合函數性質和基本不等式，求最大值.
【詳解】（1）由題意可得，
所以.
（2）當時，，
當時，取最大值，（萬元）；
當時，，
當且僅當，即時，等號成立，即（萬元），因為，
故當該產品的年產量為35（臺）時所獲利潤最大，最大利潤為2050（萬元）.
練透核心考點
1．（2024上·安徽亳州·高一統考期末）拉魯濕地國家級自然保護區位于西藏自治區首府拉薩市西北角，是國內最大的城市濕地自然保護區，也是世界上海拔最高、面積最大的城市天然濕地．其中央有一座涼亭，涼亭的俯瞰圖的平面圖是如圖所示的正方形結構，其中EFIJ和GHKL為兩個相同的矩形，俯瞰圖白色部分面積為20平方米．現計劃對下圖平面正方形染色，在四個角區域（即圖中陰影部分）用特等顏料，造價為200元/平方米，中間部分即正方形MNPQ區域使用一等顏料，造價為150元/平方米，在四個相同的矩形區域即EFNM，GHPN，PQJI，MQKL用二等顏料，造價為100元/平方米．
(1)設總造價為W元，MN的邊長為x米，AB的邊長為y米，試建立W關于x的函數關系式；
(2)計劃至少要投入多少元，才能完成平面染色．
【答案】(1)
(2)元
【分析】（1）根據已知條件及矩形正方形的面積公式即可建立函數關系式；
（2）利用基本不等式求最小值，確定取值條件即可.
【詳解】（1）由題意得，陰影部分的面積為，
，化簡得，
顯然，所以．
則
，
故W關于x的函數關系式．
（2），
當且僅當時，即時，W有最小值，
所以當米時，元，
故計劃至少要投入元，才能完成平面染色．
2．（2024上·云南昭通·高一昭通市第一中學校聯考期末）某工廠生產某種產品，年固定成本為200萬元，可變成本萬元與年產量（件）的關系為
每件產品的售價為90萬元，且工廠每年生產的產品都能全部售完.
(1)將年盈利額（萬元）表示為年產量（件）的函數；
(2)求年盈利額的最大值及相應的年產量.
【答案】(1)
(2)當年產量為109件時該廠盈利額最大，最大為800萬元
【分析】（1）分得兩種情況進行研究，列出函數關系式，最后寫成分段函數的形式，從而得到答案；
（2）根據年盈利額的解析式，分段研究函數的最值，當時，利用二次函數求最值；當時，利用基本不等式求最值，最后比較兩個最值，即可得到答案．
【詳解】（1）∵當時，；
又當時，，
∴
（2）①當時，，
∴當時，L取得最大值，最大值為600；
②當時，
.
當且僅當，即當時，L取得最大值，最大值為800.
綜上，當年產量為109件時該廠盈利額最大，最大為800萬元.
第四部分：典型易錯題型
備注：利用基本不等式解題容易忽視“一正”，“三相等”
1．（2024·全國·高二專題練習）已知函數當時，y取最大值b，則的值為（ ）
A．8 B． C．4 D．0
【答案】B
【分析】根據基本不等式即可求解.
3．（多選）（2024上·山東臨沂·高一山東省臨沂第一中學期末）下列命題中正確的是（ ）
A．若，則 B．
C．若且，則 D．
【答案】ACD
【分析】由已知條件，利用基本不等式驗證各選項的結論是否正確.
【詳解】時有，則，
當且僅當，即時等號成立，A選項正確；
，
等號成立的條件是，即，顯然不能成立，
故的等號取不到，B選項錯誤；
若且，則，
當且僅當，即或時等號成立，C選項正確；
，
當且僅當，即時等號成立，D選項正確；
故選：ACD
第五部分：新定義題（解答題）
1．（2024·全國·高一假期作業）問題：正實數a，b滿足，求的最小值.其中一種解法是：，當且僅當且時，即且時取等號.學習上述解法并解決下列問題：
(1)若正實數x，y滿足，求的最小值；
(2)若實數a，b，x，y滿足，求證：；
(3)求代數式的最小值，并求出使得M最小的m的值.
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)時，取得最小值．
【分析】（1）利用“1”的代換湊配出積為定值，從而求得和的最小值；
（2）利用已知，，然后由基本不等式進行放縮：，再利用不等式的性質得出大小．并得出等號成立的條件．
（3）令，，構造，即以，即，然后利用（2）的結論可得．
【詳解】（1）因為,，
所以，
當且僅當，即時取等號，
所以的最小值是．
（2），
又，當且僅當時等號成立，
所以，
所以，當且僅當且同號時等號成立．此時滿足.
（3）令，，由得，
，
又，所以，
構造，
由，可得，因此，
由（2）知，
取等號時，且同正，
結合，解得，即，．
所以時，取得最小值．
【點睛】本題考查用基本不等式求最小值，考查方法的類比：“1”的代換．解題關鍵是“1”的代換，即利用，從而借助基本不等式得出大小關系，同時考查新知識（新結論）的應用，考查了學生的靈活運用數學知識的能力．對學生的創新性思維要求較高，本題屬于難題．
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