資源簡介

《坐標系與參數方程》考查模式與專題應試策略
一、考查模式
1、解答題：題序——第23題（Ⅰ）（Ⅱ）、分值——10分
2、新課標Ⅰ卷文、理科同題
新課標Ⅱ卷文、理科同題
新課標Ⅰ卷、新課標Ⅱ卷不同
3、知識點的考查
全國高考新課標卷《坐標系與參數方程》主要考查平面直角坐標系中的伸縮變換、直線和圓的極坐標方程；常見曲線（直線、圓、橢圓）的參數方程及參數方程的簡單應用．以極坐標、參數方程與普通方程的互化為主要考查形式，同時考查直線與曲線位置關系等解析幾何知識．
考查內容
2015新課標Ⅰ卷
1.直線和圓的直角坐標方程化為極坐標方程；
2.弦長（直線與圓）．
2015新課標Ⅱ卷
1.圓的極坐標方程化為直角坐標方程；
2. .直線和圓的交點，圓與圓交點；
3.直線的參數方程化為極坐標方程；
4.兩點間的距離（極坐標）．
2014新課標Ⅰ卷
1.直線的參數方程化為普通方程；
2.橢圓的普通方程化為參數方程；
3.橢圓的參數方程的應用；
4.點到直線的距離．
2014新課標Ⅱ卷
1.圓的極坐標方程化為參數方程；
2.直線與圓的交點的坐標．
2013新課標Ⅰ卷
1.圓的參數方程化為普通方程；
2.圓的直角坐標方程化為極坐標方程；
3.圓與圓交點．
2013新課標Ⅱ卷
1.圓的參數方程；
2.求軌跡的參數方程；
3.曲線是否過原點．
2012新課標卷
1.極坐標化為直角坐標；
2.橢圓的參數方程的應用；
3.兩點間的距離（直角坐標）．
2011新課標卷
1.求軌跡的參數方程；
2.圓的參數方程化為極坐標方程；
3.兩點間的距離（極坐標）．
2010新課標卷
1.直線的參數方程化為普通方程；
2.圓的參數方程化為普通方程；
3.直線與圓的交點；
4.求軌跡的參數方程．
2009新課標卷
1.圓的參數方程化為普通方程；
2.橢圓的參數方程化為普通方程；
3.直線的參數方程化為普通方程；
4. 點到直線的距離．
2008新課標卷
1. 直線的參數方程化為普通方程；
2. 圓的參數方程化為普通方程；
3.直線與圓的位置關系（點到直線的距離）；
4. 伸縮變換；
5. 直線與橢圓的位置關系（方程）．
2007新課標卷
1.圓的極坐標方程化為直角坐標方程；
2.圓與圓交點．
（1）考查化歸與轉化的思想
①極坐標方程與直角坐標方程的互化
②參數方程與普通方程的互化
③極坐標方程與參數方程的互化
2015
新課標Ⅰ卷
直角坐標方程極坐標方程
2015
新課標Ⅱ卷
極坐標方程直角坐標方程
參數方程極坐標方程
（為參數，，）
（，，）
2014
新課標Ⅰ卷
普通方程參數方程
參數方程普通方程
（為參數）
（為參數）
2014
新課標Ⅱ卷
極坐標方程直角坐標方程（普通方程）參數方程
，（）
（為參數，）
2013
新課標Ⅰ卷
參數方程普通方程（直角坐標方程）極坐標方程
(為參數）
2013
新課標Ⅱ卷
2012新課標卷
極坐標直角坐標
點的極坐標為，
點的直角坐標為
．
2011新課標卷
參數方程極坐標方程
為參數）
（為參數）
2010新課標卷
參數方程普通方程
（t為參數）
（為參數）
（為參數）
2009新課標卷
參數方程普通方程
（t為參數）
（為參數）
（t為參數）
2008新課標卷
參數方程普通方程
（為參數）
（t為參數）
（為參數）
（t為參數）
2007新課標卷
極坐標方程直角坐標方程
．
（2）考查數形結合的思想
2015新課標Ⅰ卷
2014新課標Ⅰ卷
2014新課標Ⅱ卷
（3）重點考查圓的極坐標方程、圓的參數方程（2014新課標Ⅰ卷、2009新課標卷考查橢圓，2008、2012新課標卷考查圓與橢圓）
（4）考查伸縮變換
2011新課標卷
2008新課標卷
在直角坐標系中，曲線的參數方程為為參數），為上的動點，點滿足，點的軌跡為曲線．
（Ⅰ）求的方程；
已知曲線：（為參數），
曲線：（t為參數）．
（Ⅱ）若把，上各點的縱坐標都壓縮為原來的一半，分別得到曲線，．寫出，的參數方程．與公共點的個數和與公共點的個數是否相同？說明你的理由．
（Ⅱ）的普通方程為
．
點坐標為，
故當變化時，點軌跡的參數方程為
（為參數），
點軌跡的普通方程為，
故點軌跡是圓心為，半徑為的圓．
（Ⅱ）壓縮后的參數方程分別為
：（為參數）；
：（t為參數）．
化為普通方程為：：，
：，
聯立消元得，
其判別式，
所以壓縮后的直線與橢圓仍然只有一個公共點，和與公共點個數相同．
（5）考查軌跡的參數方程
2013新課標Ⅱ卷
2011新課標卷
2010新課標卷
已知動點都在曲線（為參數）上，對應參數分別為與，，為的中點．
（Ⅰ）求的軌跡的參數方程；
在直角坐標系中，曲線的參數方程為為參數），為上的動點，點滿足，點的軌跡為曲線．
（Ⅰ）求的方程；
已知直線：（t為參數），圓：（為參數）．
（Ⅱ）過坐標原點作的垂線，垂足為，為的中點，當變化時，求點軌跡的參數方程，并指出它是什么曲線．
（Ⅰ）依題意有
，
，
因此
．
的軌跡的參數方程為
（為參數，）．
（Ⅰ）設，則由條件知．由于點在上，
所以

即 ，
從而的參數方程為
（為參數）．
（Ⅱ）的普通方程為
．
直線的方程為
，
由，得點坐標為
，
故當變化時，點軌跡的參數方程為（為參數），
點軌跡的普通方程為
，
故點軌跡是圓心為，半徑為的圓．
（6）考查極坐標系下兩點間距離
2015新課標Ⅰ卷
2015新課標Ⅱ卷
2011新課標卷
（Ⅱ）若直線的極坐標方程為（），設與的交點為,，求△的面積．?
（Ⅱ）若與相交于點，與相交于點，求的最大值．
（Ⅱ）射線與的異于極點的交點為，與的異于極點的交點為，求．
（Ⅱ）將代入
，得，
解得=，=，
，
因為的半徑為1，
則△的面積為
=．
（Ⅱ）曲線的極坐標方程為 （，），其中．
的極坐標為，
的極坐標為，
，
當時，取得最大值，最大值為4．
（Ⅱ）曲線的極坐標方程為，
曲線的極坐標方程為
．
射線與的交點的極徑為，
射線與的交點的極徑為．
所以．
（7）未涉及直線的參數方程中參數幾何意義
二、二輪復習的專題應試策略
2003年4月，我國頒布了由國家教育部制訂的《普通高中數學課程標準（實驗）》以下簡稱《課程標準》，《課程標準》依據“構建共同基礎，提供發展平臺；提供多樣課程，適應個性選擇”等十條基本理念，螺旋上升地在必修與選修模塊中設置了解析幾何內容．《課程標準》建構的解析幾何課程體系，是以坐標法為核心，依據“直線與方程-----圓與方程----圓錐曲線與方程---坐標系與參數方程”為順序，螺旋上升、循序漸進地展開內容。作為解析幾何初步、平面向量、三角函數等內容的綜合應用和進一步深化，《課程標準》再一次將坐標系與參數方程作為高中數學數學學習內容，以專題“坐標系與參數方程”列入高中數學選修課（任選），體現了新課程重視數學的整體性以及部分內容中學與大學學習內容相互銜接和融合的原則．
新課標全國卷把對《參數方程和極坐標》的內容考查作為解析幾何初步、平面向量、三角函數等內容的綜合應用和進一步深化的主旨不變．整體難度不大．學生復習時對試題難度的把握一定要恰當，不宜深挖，力求基礎扎實，復習時緊扣大綱要求，不做偏題難題．抓好基礎概念、定理、公式等基礎知識的復習，強調數學思想方法，關注數學思維活動，提高學生認知水平．
新課標全國卷把對《參數方程和極坐標》的內容考查比福建卷要求高，考查也比較全面，較多關注在普通方程條件下不易解決的問題，較多體現參數方程及極坐標方程在某種情形下的優勢．
《福建省2016屆高三畢業班數學學科教學指導意見》——————
《坐標系與參數方程》重點考查兩種坐標的關系與互化，普通方程與參數方程的關系與互化，簡單圖形的極坐標方程，直線、圓和橢圓的參數方程的應用．復習中，
一要能夠選擇參數寫出直線、圓與橢圓的參數方程并了解參數的意義，會用直線、圓與橢圓的參數方程解決簡單的問題；
二要能夠在極坐標系中用極坐標表示點的位置及有關曲線的方程，能進行極坐標和直角坐標的互化；
三要關注參數方程和極坐標方程在某些情景下解題的優越性，會解決在普通方程下不易解決的問題．
1．研讀《考試大綱》和《考試說明》
2016 年全國新課標數學學科《考試大綱》和《考試說明》文理科和 2015年對比，在內容、能力要求、時間、分值（含選修比例）、題型題量、包括考試說明后面的題型示例等幾個方面都沒有發生變化，這是新的高考模式出臺前高考穩定的表現．
《考試大綱》
《考試說明》
（1）坐標系
①理解坐標系的作用．
②了解在平面直角坐標系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況．
③能在極坐標系中用極坐標表示點的位置，理解在極坐標系和平面直角坐標系中表示點的位置的區別，能進行極坐標和直角坐標的互化．
④能在極坐標系中給出簡單圖形的方程.通過比較這些圖形在極坐標系和平面直角坐標系中的方程，理解用方程表示平面圖形時選擇適當坐標系的意義．
⑤了解柱坐標系、球坐標系中表示空間中點的位置的方法，并與空間直角坐標系中表示點的位置的方法相比較，了解它們的區別．
（2）參數方程
①了解參數方程，了解參數的意義．
②能選擇適當的參數寫出直線、圓和圓錐曲線的參數方程．
③了解平擺線、漸開線的生成過程，并能推導出它們的參數方程．
④了解其他擺線的生成過程，了解擺線在實際中的應用，了解擺 線在表示行星運動軌道中的作用．
（1）了解坐標系的作用，
了解在平面直角坐標系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況．
（2）了解極坐標系的基本概念，會在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，能進行極坐標和直角坐標的互化．
（3）能在極坐標系中給出簡單圖形表示的極坐標方程．
（4）了解參數方程，了解參數的意義．
（5）能選擇適當的參數寫出直線、圓和橢圓的參數方程．
題型示例1
題型示例2
已知圓錐曲線 （為參數）和
定點，、是圓錐曲線的左、右焦點．
（Ⅰ）求經過點垂直于直線的直線的參數方程；
（Ⅱ）以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求直線的極坐標方程．
和的極坐標方程分別為
．
（Ⅰ）把和的極坐標方程化為直角坐標方程；
（Ⅱ）求經過，交點的直線的直角坐標方程．
（Ⅰ）圓錐曲線 （為參數）
化為普通方程．
所以、，
直線的斜率，
于是經過點垂直于直線的直線的斜率，直線的傾斜角是，
所以直線的參數方程是（為參數），即（為參數）．
以極點為原點，極軸為軸正半軸，建立平面直角坐標系，兩坐標系中取相同的長度單位．
（Ⅰ），，
由得．
所以．
即為的直角坐標方程．
同理為的直角坐標方程．
（Ⅱ）解法一：直線的斜率，
直線的傾斜角是，
設是直線上任一點，則
，
，
直線的極坐標方程為
．
解法二：直線的直角坐標方程是，將代入上式，
得直線的極坐標方程為，即 ．
（Ⅱ）解法一： 由解得
，．
即，交于點和．
過交點的直線的直角坐標方程為．
解法二：由，
（1）-（2）得，
過交點的直線的直角坐標方程為．
2．研究高考真題
《坐標系與參數方程》是新課標新增內容,是解析幾何初步、平面向量、三角函數等內容的綜合應用和進一步深化.從2007年到至今已經走過整整九年的考試歷程，為了更好地服務于高三教學備考，還必須從歷年的全國卷真題去研究和總結，研究它的命題規律，深刻理解全國卷的命題的思路和思想，把握命題動向.
3．回歸課本
高考命題“源于課本，高于課本”是一條不變的“真理”， 高考數學試題雖然不可能考查單純背誦、記憶的內容，也很少考查課本上的原題，考察九年《坐標系與參數方程》考題，分析對比，不難發現許多題目都能在課本上找到它的“影子”，大多數試題的產生都是以課本中的例習題、探究和思考為源題，進行引申、拓寬和變化的結果．
復習應回歸課本，講清概念的根和源，領會課本中各知識點的內在聯系，揭示問題的實質，特別是所蘊含的思想方法這條暗線，應注重知識整體結構，形成知識網絡，加強學生對核心概念與核心數學思想的理解與掌握，達到增強知識理解、培養數學思維能力的目的．
回歸課本時要有意將必修2中《直線與圓方程》一章的例習題以極坐標或參數“包裝”后，重新審視新情景下所設置的問題如何作答，教師的功夫花在組合、加工課本題，使其與高考題充分的“逼真”.
（1）夯實基礎
過極點的直線的極坐標方程
2015新課標Ⅰ卷：直線的極坐標方程為（）；2011新課標卷：射線
圓心在極點的圓或過極點的圓的極坐標方程
2012新課標卷：曲線的極坐標方程是
2015新課標Ⅱ卷：：
2014新課標Ⅱ卷：半圓的極坐標方程為，
2007新課標卷考試說明題型示例：極坐標方程為
2013新課標Ⅰ卷、2015新課標Ⅱ卷：曲線：
2007新課標卷考試說明題型示例： 的極坐標方程分別為
（2）典型例題、習題的復習
（2012新課標卷）已知曲線的參數方程是為參數，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程是．正方形的頂點都在上，且，，，依逆時針次序排列，點的極坐標為．
（Ⅰ）求點的直角坐標；
（Ⅱ）設為上任意一點，求的取值范圍．
解（Ⅰ）點的極坐標為，
點的直角坐標為．
（Ⅱ）設，則（）．

．
∵，∴的取值范圍是．
2014新課標Ⅰ卷
2009新課標卷
（Ⅱ）在曲線上任取一點，到的距離
，
，
其中，．
當時，取得最大值，最大值為；
當時，取得最小值，最小值為．
（Ⅱ）當時，、，故．
為直線，到的距離
，
其中，．
當（）時，取得最小值．
（3）數學思想方法
坐標法
化歸與轉化的思想
數形結合的思想
（4）理解和掌握基本考點
考點1：伸縮變換
考點2：簡單圖形的極坐標方程：過極點的直線、圓心在極點的圓或過極點的圓
考點3：極坐標方程與直角坐標方程的互化，判斷曲線類型
考點4：極坐標方程中、的幾何意義，會用的幾何意義解決有關距離問題
考點5：直線、圓、橢圓（中心在原點）的參數方程
考點6：參數方程與普通方程的互化，判斷曲線類型
考點6：直線、圓、橢圓（中心在原點）的參數方程（設曲線上點的坐標）
考點7：求軌跡的參數方程
考點8：極坐標方程與曲線的參數方程的互化
考點9：直線參數方程（為參數）中參數的幾何意義
在涉及圓、橢圓的有關最值問題時，若能將動點的坐標用參數表示出來，借助相應的參數方程，可以有效地簡化運算，從而提高解題的速度．
4．滲透化歸與轉化的思想
知識無論新舊，重要的是理解和轉化．點的極坐標與直角坐標的互化，曲線的參數方程和普通方程的互化，是做好題目的關鍵，需多加練習．
以極點為原點，極軸為軸正半軸，建立平面直角坐標系．
考試說明題型示例（題目）
以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，兩坐標系中取相同的長度單位．
考試說明題型示例（參考答案）
（1）極坐標方程與直角坐標方程的互化
（2007新課標 題型示例）和的極坐標方程分別為．
（Ⅰ）把和的極坐標方程化為直角坐標方程；
（Ⅱ）求經過，交點的直線的直角坐標方程．
解：以極點為原點，極軸為軸正半軸，建立平面直角坐標系，兩坐標系中取相同的長度單位．
（Ⅰ），，由得．所以．
即為的直角坐標方程．
同理為的直角坐標方程．
（Ⅱ）解法一 由解得，．
即，交于點和．
過交點的直線的直角坐標方程為．
解法二 由，（1）-（2）得，
過交點的直線的直角坐標方程為．
（2）參數方程與普通方程的互化（關注轉化的等價性）
（3）極坐標方程與參數方程的互化
2015新課標Ⅱ卷
：（為參數，）其中 （，），其中
“關注參數方程和極坐標方程在某些情景下解題的優越性，會解決在普通方程下不易解決的問題．”——《福建省2016屆高三畢業班數學學科教學指導意見》
（2014新課標Ⅰ卷）已知曲線：，直線：（為參數）．
（Ⅰ）寫出曲線的參數方程，直線的普通方程；
（Ⅱ）過曲線上任一點作與夾角為的直線，交于點，
求的最大值與最小值．
解（Ⅰ）曲線的參數方程為：（為參數），
直線的普通方程為：．
（Ⅱ）在曲線上任取一點，到的距離為，
則，其中，．
當時，取得最大值，最大值為；
當時，取得最小值，最小值為．
2015新課標Ⅰ
2015新課標Ⅱ
2013新課標Ⅰ
（Ⅱ）將代入
，得，
解得=，=，
－=，
因為的半徑為1，
則△的面積為
=．
（Ⅱ）曲線的極坐標方程為 （，），其中．
的極坐標為，
的極坐標為
，
．
當時，取得最大值，最大值為4．
（Ⅱ）將代入
，得，化簡得，
所以或，
又，可得
，
所以與的交點的極坐標分別為
（），．
5．滲透數形結合的思想
2015新課標Ⅰ卷
2014新課標Ⅰ卷
2014新課標Ⅱ卷
（Ⅱ）解法一：將代入
，
得，
解得=，=，
－=，
因為的半徑為1，
則△的面積為
=．
（Ⅱ）在曲線上任取一點，
到的距離為
，
，
其中，．
當時，
取得最大值，最大值為；
當時，
取得最小值，最小值為．
（Ⅱ）設．
由（I）知是以為圓心，1為半徑的上半圓．
因為在點處的切線與垂直，所以直線與的斜率相同， ，．
故的直角坐標為
，
即．
6．由于《極坐標與參數方程》是解析幾何初步、平面向量、三角函數等內容的綜合應用和進一步深化，因此應從數學學科知識的整體性的角度進行《坐標系與參數方程》的復習．
（1）直線與圓
（2）三角函數
（3）解三角形
如輔助角公式：，其中，．
2014新課標Ⅰ卷
題型示例
已知曲線：，直線：（為參數）．
（Ⅰ）寫出曲線的參數方程，直線的普通方程；
（Ⅱ）過曲線上任一點作與夾角為的直線，交于點，求的最大值與最小值．
已知圓錐曲線 （為參數）和定點，、是圓錐曲線的左、右焦點．
（Ⅰ）求經過點垂直于直線的直線的參數方程；
（Ⅱ）以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求直線的極坐標方程．
（Ⅱ）在曲線上任取一點，到的距離為，
則，
其中，．
當時，取得最大值，最大值為；當時，取得最小值，最小值為．
直線的斜率，直線的傾斜角是，
設是直線上任一點，則，
，
直線的極坐標方程為
．
7．強化訓練
（1）精選習題
新課標Ⅰ卷
新課標Ⅱ卷
福建理
2015
（Ⅰ）求，的極坐標方程；
（Ⅱ）若直線的極坐標方程為（），設與的交點為,，求△的面積．?
（Ⅰ）求與交點的直角坐標；
（Ⅱ）若與相交于點，與相交于點，求的最大值．
（Ⅰ）求圓的普通方程及直線的直角坐標方程；
(Ⅱ)設圓心到直線的距離等于2，求的值．（沒有涉及選修4-4知識的考查）
2014
（Ⅰ）寫出曲線的參數方程，直線的普通方程；
（Ⅱ）過曲線上任一點作與夾角為的直線，交于點，求的最大值與最小值．
（Ⅰ）求的參數方程；
（Ⅱ）設點在上，在處的切線與直線：垂直，根據（Ⅰ）中你得到的參數方程，確定的坐標．
（Ⅰ）求直線和圓的普通方程；
（Ⅱ）若直線與圓有公共點，求實數的取值范圍．（沒有涉及選修4-4知識的考查）
（2）優化解題思維
高考是在限定的時間內完成限定的內容，解題思路要優化選擇，解題方法要簡捷途徑，解題過程要最佳方案，解題失誤要最小化，這就要在平時的練習過程中注意通過一題多解找最優解，使解題思維具有靈活性、流暢性、深刻性．
（3）重視解題規范的培養
由于高考評分參考答案標準較為簡潔，學生書寫要做到說清問題，表達有條理，根據所問問題寫出關鍵步驟即可．
2016年福建省普通高中畢業班單科質量檢查
理科數學評分細節說明
（23）（Ⅰ）只要能正確得到“曲線的普通方程為“， 即給3分；
只要能正確得到“曲線的極坐標方程為”， 即給2分；不考慮“過程分”．
8．考試技巧
（1）模擬訓練
高考要求學生從第（22）、（23）、（24）三題中任選一題作答．注意：只能做所選定的題目．如果多做，則按所做的第一個題目計分，作答時請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑．
（2）解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．合理、簡潔、準確
（3）如果學生學習坐標系與參數方程，建議選擇“（23）坐標系與參數方程”，因為該題較易得滿分．
（4）極坐標與參數方程單就考查內容來說，一般是直線、圓、橢圓的三種方程（普通方程、參數方程、極坐標方程）的互化；利用參數方程、極坐標方程的特點優化交點坐標的求解、線段長度的計算等，難度一般不太大，要讓學生樹立信心拿滿分．
（5）“（23）坐標系與參數方程”應視為解答題的第一題，要讓學生在模擬考試、質量檢查、高考中在完成選擇題、填空題后進行解答．

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