資源簡介

第五章 一元一次方程
5.1.1 從算式到方程
【學習目標】
1．讓學生在掌握算式和簡單方程的基礎上，過渡到一元一次方程的學習；
2．理解方程的意義，會根據實際情境列方程；
3．掌握方程的解的概念，會判斷方程的解；
4．掌握一元一次方程的概念，會判斷所給方程是否為一元一次方程.
【學習重難點】
重點：掌握一元一次方程的概念．
難點：從實際問題中尋找等量關系，進而列出方程．
【教學內容】
新知探究1：方程的概念
甲、乙兩支登山隊沿同一條路線同時向一山峰進發，甲隊從距大本營1km的一號營地出發，每小時行進1.2km；乙隊從距大本營3km的二號營地出發，每小時行進0.8km，多長時間后，甲隊在途中追上乙隊？
你會用算術方法解決這個問題嗎？列算式試試.
甲、乙兩隊相距 km，
甲、乙兩隊的速度差是 km/h，
所以甲隊追上乙隊需要 h.
下面，我們引入一種新的方法來解決這個問題.
思考：在這個問題中，
已知： 甲乙兩隊的行進速度及甲乙兩隊到大本營的距離.
未知： 行進的時間和路程.
如果設兩隊的行進時間為x h，根據“路程=速度×時間”，甲隊和乙隊行進路程可以分別表示為1.2x km和0.8x km.
甲隊距大本營的路程：(1.2x+1)km
乙隊距大本營的路程：(0.8x+3)km
想一想，甲隊追上乙隊時，他們距大本營的路程之間有什么關系？
甲隊追上乙隊時，他們距大本營的路程相等.
比較：列算式和列方程
用算術方法解題時，列出的算式只含有已知數，對于較復雜的問題，列算式比較困難；
而方程是根據問題中的等量關系列出的等式，其中既含有已知數，又含有用字母表示的未知數，解決問題比較方便.
問題探究
問題1 用買12個大水杯的錢，可以買16個小水杯，大水杯的單價比小水杯的單價多5元，兩種水杯的單價各是多少元？
思考：本題的等量關系是什么？
設大水杯的單價為x元，那么小水杯的單價為(x-5)元.
根據“單價×數量=總價”，可以列方程
12x = 16(x-5).
由這個含有未知數x的等式可以求出大水杯的單價，進而可以求出小水杯的單價.
思考：若將小水杯的單價設為x元？你會列方程嗎？
設小水杯的單價為x元，那么大水杯的單價為 元.
根據“單價×數量=總價”，可以列方程
12(x+5) =16x.
由這個含有未知數x的等式可以求出小水杯的單價，進而可以求出大水杯的單價.
問題2 下圖是一枚長方形的慶祝中國共產黨成立100周年紀念幣，其面積是4 000mm2，長和寬的比為8:5(即寬是長的). 這枚紀念幣的長和寬分別是多少毫米？
如果設這枚紀念幣的長為x mm，則紀念幣的寬可以表示為x mm，依據長方形的面積公式，面積可以表示為x2 mm.已知紀念幣面積為4 000mm2，所以
x2 =4 000.
由這個含有未知數x的等式可以求出這枚紀念幣的長，進而可以求出紀念幣的寬.
像這樣，先設出字母表示未知數，然后根據問題中的相等關系，列出一個含有未知數的等式，這樣的等式叫作方程.
注意：方程必須滿足兩個條件：(1)是等式；(2)化簡后含有未知數. 二者缺一不可.
考點解析
例 下列式子中，是方程的有（ ）
① 8+2=10； ② 3x+y=10； ③ x-1； ④ - =1； ⑤ x ＞3；
⑥ x=1； ⑦ a2-1=0； ⑧ b2 ≠-1.
A.4個 B.5個 C.6個 D.7個
注意:方程一定是等式，但等式不一定是方程.
鞏固練習
1.下列各式中，是方程的是( )
A.4-5=-1 B.x+3y-1 C.s+2t= -5 D.a-6<3
2.下列各式中，不是方程的是 .(填序號)
①3x+1=4； ② x2+2x+1=0； ③ 4-3=1； ④ |x|-1=0；
⑤ 3x+1； ⑥ =a+1. ⑦ x>0.
3. 判斷下列各式哪些是方程？是的標記“√”，不是的標記“×”.
(1) 5x+3y-6x=37 ( ) (2) 4x-7 ( )
(3) 5x ≥ 3 ( ) (4) 1+2=3 ( )
(5) 6x2+x-2=0 ( ) (6) - - m=11 ( )
注意：
(1)方程中的未知數可以用字母x表示，也可以用其他字母表示，如y、z等.
(2)方程中未知數的個數可以是一個，也可以是兩個或兩個以上，如x+y=12等.
總結歸納
用算術方法解題時，列出的算式表示用算術方法解題的計算過程，其中只含有已知數，不含未知數；
而方程是根據問題中的相等關系列出的等式，其中既含有已知數，也含有用字母表示的未知數，這為解決許多問題帶來了方便.
通過今后的學習，你會逐步認識到：從算式到方程是數學的一大進步.
新知探究2：列方程
典例解析
例1 根據下列問題，設未知數并列出方程：
(1) 某校女生占全體學生數的52%，比男生多80人，這所學校有多少名學生？
思考：本題的等量關系是什么？
解：設這所學校的學生數為x，那么女生數為0.52x，男生數為(1-0.52)x，根據“女生比男生多80人”，列得方程0.52x - (1-0.52)x = 80.
(2) 如圖，一塊正方形綠地沿某一方向加寬5m，擴大后的綠地面積是500m2，求正方形綠地的邊長.
解：設正方形綠地的邊長為x m，依據
擴大后的綠地面積= 500m2
列得方程x(x+5)=500→x2+5x=500.
鞏固練習
1.《算法統宗》是我國古代數學著作，其中記載了一道數學問題,大意如下：用繩子測水井深度，若將繩子折成三等份，則井外余繩4尺；若將繩子折成四等份，則井外余繩 1尺.問繩長和井深各多少尺？設井深為x尺，則可列方程為 .
解析：根據將繩三折測之，繩多四尺，則繩長為：3(x+4)；
根據繩四折測之，繩多一尺，則繩長為：4(x+1).
故3(x+4)=4(x+1)．
2.甲、乙兩人分別從相距30千米的A，B兩地騎車相向而行，甲騎車的速度是 10千米/時，乙騎車的速度是8千米/時，甲先出發25分鐘后，乙騎車出發，問乙出發后多少小時兩人相遇？(只列方程)
莉莉：設乙出發后x小時兩人相遇，列出的方程為25×10+8x+10x=30.
請問莉莉列出的方程正確嗎？如果不正確，請說明理由并列出正確的方程.
解：莉莉列出的方程不正確.
理由：列方程時未統一單位.
正確方程：設乙出發后x小時兩人相遇，等量關系為：甲的路程+乙的路程=30千米依題意得×10+10x+8x=30.
總結提升
歸納 分析實際問題中的數量關系，利用其中的相等關系列出方程，是用數學解決實際問題的一種方法. 這個過程可以表示如下：
列方程的基本思路：
(1)理解題意，弄清已知是什么，未知是什么；
(2)找出題目中的相等關系；
(3)根據相等關系列方程。
準確找出相等關系是列方程的關鍵，一般可以從以下幾個方面入手：
(1) 根據周長、面積、體積等公式列方程；
(2) 根據題目中的不變量確定相等關系；
(3) 根據關鍵詞確定相等關系，如和差關系通常用
“一共有……”、“比……多………”、“比……少……”表示，
倍數關系通常用“是……的幾倍”表示.
課堂練習
根據下列問題，設未知數并列出方程：
1.甲種鉛筆每支1.4元，乙種鉛筆每支1.8元，用23元錢買這兩種鉛筆一共買了15支，兩種鉛筆各買了多少支？
解：設買甲種鉛筆x支，則有1.4x+1.8(15-x)=23.
2.有兩條電線，第一條長90m，第二條長40 m.要從第一條截下一段接在第二條上，使兩條電線長度相等求截下的那段電線的長度(兩條電線接頭部分的長度忽略不計).
解：設截下x m，則有90-x=40+x.
根據下列問題，設未知數并列出方程：
3.某圓環形狀的工件如圖所示，它的面積是200cm2，外沿大圓的半徑是10cm，內沿小圓的半徑是多少厘米
解：設內沿小圓半徑為x cm，則有等量關系：
大圓面積-小圓面積=200
可以列方程：π×102-πx2 = 200
新知探究3：方程的解
列方程是解決實際問題的重要方法，要想得到實際問題的解，還需要求出方程中未知數的值.
1.2x+1= 0.8x+3
嘗試將x=4，x=5，x=6分別代入方程左右兩邊，看看會有什么發現？
當x=4時，方程左邊：1.2×4+1=5.8；方程右邊：0.8×4+3=6.2.
當x=5時，方程左邊：1.2×5+1=7；方程右邊：0.8×5+3=7.
當x=6時，方程左邊：1.2×6+1=8.2；方程右邊：0.8×6+3=7.8.
可以發現只有當x=5時，方程左、右兩邊的值相等.
一般地，使方程左、右兩邊的值相的未知數的，叫作方程的解(solu-tion).例如，x=5就是方程 1.2x+1=0.8x+3的解.
求方程的解的過程，叫作解方程。
方程的解與解方程的區別與聯系
典例解析
例2 (1) x=2，x= 是方程 2x=3的解嗎？
解：當x=2時，
方程2x=3的左邊=2×2=4，右邊=3，方程左、右兩邊的值不相等，所以x=2不是方程2x=3的解.
當x= 時，
方程2x=3的左邊=2×=3，右邊=3，方程左、右兩邊的值相等，所以x= 是方程2x=3的解.
(2) x=10，x=20是方程12x=16(x-5)的解嗎？
解：當x=10時，
方程12x=16(x-5)的左邊=12×10=120，右邊=16 ×(10-5)=80，方程左、右兩邊的值不相等，所以x=10不是方程12x=16(x-5)的解.
當x=20時，
方程12x=16(x-5)的左邊=12×20=240，右邊=16×(20-5)=240，方程左、右兩邊的值相等，所以x=20是方程12x=16(x-5)的解.
總結提升
思考：x=60是方程x2=4 000的解嗎？x=80呢？
解：當x=60時，
方程左邊= ×602 = ×3 600=2 250.
方程右邊=4 000.
因為左邊≠右邊，所以x=60不是方程x2=4 000的解.
當x=80時，
方程左邊= ×802 = ×6400=4 000.
方程右邊=4 000.
因為左邊=右邊，所以x=80是方程x2=4 000的解.
新知探究4：一元一次方程
思考：觀察方程1.2x+1=0.8x+3，12x=16(x-5)，0.52x-(1-0.52)x=80，它們有什么共同特征？
共同特征：
1. 只含有一個未知數；
2. 未知數的次數是1；
3. 方程兩邊都是整式.
一般地，如果方程中只含有一個未知數(元)，且含有未知數的式子都是整式，未知數的次數都是1，這樣的方程叫作一元一次方程.
一元一次方程的三個特征：
1.只含有一個未知數；
2.等式兩邊都是整式；
3.未知數的次數都是1.
鞏固練習
1.下列哪些是一元一次方程
①2x ＋1； ②3x -5=5x＋4 ； ③-3x ＋1.8 = 3y； ④2x2＋5-2(x2+x)=3；
⑤x ＋2x -6=0； ⑥3a ＋9 ＞ 15； ⑦ = 1
2．已知下列方程：
①；②2x＝3；③ ；④x2-4x＝3；⑤x＝0；⑥3x+y＝0．
其中是一元一次方程的有 　 　（填序號）．
3.下列方程：①x=x+5；②x+2y=1；③x- =2；④0.2x=1；⑤x2-3x=18.其中一元一次方程的個數是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
注意：判斷一個方程是不是一元一次方程，不能只看形式，如果方程不是最簡形式，首先要將方程化簡、整理成最簡形式，然后根據一元一次方程的三個特征判斷。
課堂練習
1. 判斷x=2和x=4是不是方程2x-3=5 的解.
解：當x=2時，方程左邊=2×2-3=1，方程右邊=5；因為左邊≠右邊，所以x=2不是方程2x-3=5的解.
當x=4時，方程左邊=2×4-3=5，方程右邊=5；因為左邊=右邊，所以x=4是方程2x-3=5的解.
2. 下列等式中哪些是方程？哪些是一元一次方程？
①2+3=3+2；沒有未知數
②8y-9=9-y；
③ x2+2x+1＝4．未知數最高次數為2
解： ② ③為方程； ②為一元一次方程.
隨堂檢測
1. x =1是下列哪個方程的解 ( )
A.1-x = 2 B. 2x -1 =4 -3x
C. = x -2 D. x -4 =5x -2
2. 若 x =1是方程x2 -2mx +1=0的一個解，則m的值為( )
A. 0 B. 2 C. 1 D. -1
3.下列各式中，是方程的是( )
A.4-5=-1 B.x+3y-1 C.s+2t=-5 D.a-6<3
4.下列各式中，不是方程的是 .(填序號)
①3x+1=4； ②4-3=1； ③3x+1； ④x>0；
⑤x2+2x+1=0； ⑥|x|-1=0； ⑦ =a+1.
5. 某文具店一支鉛筆的售價為1.2元，一支圓珠筆的售價為2元．該店在“6·1”兒童節舉行文具優惠售賣活動，鉛筆按原價打8折出售，圓珠筆按原價打9折出售，結果兩種筆共賣出60支，賣得金額87元.求賣出鉛筆的支數.
解：設賣出鉛筆x支，則賣出圓珠筆(60-x)支.
等量關系：x支鉛筆的總價+(60-x)支圓珠筆的總價=87，
列方程：1.2×0.8x＋2×0.9 (60-x)=87.
6. 根據下列問題，找出等量關系，設未知數列出方程，并指出其是不是一元一次方程.
(1)環形跑道一周長400m，沿跑道跑多少周，可以跑3000m？
一周長×周數=總路程
解：設沿跑道跑x周.
400x=3000，
是一元一次方程.
(2)甲種鉛筆每支0.3 元，乙種鉛筆每支0.6 元，用 9 元錢買了兩種鉛筆共20 支，兩種鉛筆各買了多少支？
買甲種鉛筆用的錢+買乙種鉛筆用的錢=9元
甲種鉛筆支數+乙種鉛筆支數=20支
解：設甲種鉛筆買了x支，則乙種鉛筆買了(20-x)支.
0.3x+0.6(20-x)=9，是一元一次方程.
(3)一個梯形的下底比上底多2cm，高是5cm，面積是40cm2，求上底．
(上底＋下底) ×高=梯形面積
解：設上底為x cm，則下底為(x+2)cm.
(x＋x＋2) ×5=40
化簡：5x+5=40是一元一次方程.
7. 已知方程(m－2)x|m|－1＋3=m－5是關于x的一元一次方程，求m的值，并寫出其方程。
解：因為方程(m－2)x |m|－1 ＋3=m-5
所以|m|-1 = 1，且m-2≠0，得m = -2.
所以原方程為-4x +3 = -7.
課堂小結

展開更多......

收起↑