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初中幾何結論總結及常用方法
一．基本概念。
直線的基本性質：（1）兩條直線的位置關系（在同一平面內）：相交與平行；（2）兩直線相交，只有一個交點；（3）直線公理：經過兩點有且只有一條直線，即兩點確定一條直線。
2．線段的有關內容：（1）線段中點：點M在線段上，且把線段AB分成相等的兩條線段AM與BM，點M就是線段AB的中點。AM＝BM＝AB.
（2）線段公理：兩點之間的所有連線中，線段最短。
3．角（1）角的定義：有公共端點的兩條射線組成的圖形。公共端點是角的頂點。（2）角的表示：①三個大寫字母及符號“∠”表示
②.用一個數字或阿拉伯字母表示
角也看成是有由一條射線繞著它的端點旋轉而成。
平角：一條射線繞它的端點旋轉，當終邊和始邊成一條直線時所成的角。
周角：終邊繼續旋轉，當它又和始邊重合時所成的角.
(3)角的分類：銳角、直角、鈍角。
（4）角的單位換算：1周角＝2平角＝4直角＝360。 1平角＝2直角＝180。
1直角＝90。 1。＝60，＝3600，， 1，＝60，，
（5）余角、補角及其性質：
互余：如果兩個角和是直角，這兩個角叫做互為余角，簡稱互余。
互補：如果兩個角的和是平角，這兩個角叫做互為補角，簡稱互補。
性質： 同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的補角相等。
（6）對頂角：、兩條直線相交后所得的只有一個公共頂點而沒有公共邊（或是一個角的兩條邊分別是另一個角兩條邊的反向延長線）的兩個角叫做對頂角。
對頂角性質：對頂角相等。
4．平行線：在同一個平面內，不相交的兩條直線。
（1）性質1：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。
（2）性質2：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行
（即平行于聽一條直線的兩條直線平行。）
（3）平行線判別方法：①同位角相等，兩直線平行；
②內錯角相等，兩直線平行；③同旁內角互補，兩直線平行。
（4）平行線性質：①兩直線平行，同位角相等；
②兩直線平行，內錯角相等；③兩直線平行，同旁內角互補。
5.垂直：如果兩條直線相交成直角，那么這兩條直線互相垂直。
性質1：平面內，過一點有且只有一條直線已知直線垂直。
性質2：直線外一點與直線上各點連接的所以線段中，垂線段最短。
6．三角形的有關概念
（1）三角形：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形。三角形ABC記作“△ABC”
（2）三角形中的三條重要線段：角平分線、中線、高。
三角形的中線：三角形中，連結一個頂點和它所對邊的中點的連線段叫做三角形的中線。
三角形的高線：過一個頂點作垂直于它對邊所在直線的線段。
三角形的角平分線：三角形頂點到其內角的角平分線交對邊的點連的一條線段
注意：①三角形的角平分線、中線、高都是線段；②三角形的角平分線、中線都在三角形內部交于一點；③三角形的高可能在三角形的內部（銳角三角形）、外部（鈍角三角形）、邊上（直角三角形），它們（或延長線）相交于一點。
7．三角形三邊之間的關系：（1）三角形的任意兩邊之和大于第三邊；（2）三角形的任意兩邊之差小于第三邊。
8．三角形內、外角關系： （1）三角形的內角和等于180。； （2）三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角和； （3）三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角； （4）三角形的外角和等于360。
9．三角形的分類（根據角）：直角三角形和斜三角形（鈍角三角形和銳角三角形）。
三角形的分類（根據邊）：不等邊三角形和等腰三角形（①底和腰不等的等腰三角形；②等邊三角形。
10．全等三角形：
（1）定義：兩個能夠重合的三角形。△ABC與△DEF全等，記作△ABC≌△DEF。（表示對應角頂點的字母寫在對應位置上。）
（2）全等三角形的性質：①全等三角形的對應邊和對應角相等；②全等三角形的對應線段（角平分線、中線、高）相等，周長相等，面積相等。
（3）全等三角形的判別方法：一般三角形：
①三邊對應相等的兩個三角形全等。SSS
②兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等。ASA
③兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等。AAS
④兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等。SAS
直角三角形：SSS，SAS，ASA，AAS，HL
HL定理：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等。
11.角的平分線：從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線就是這個角的平分線。
（1）角平分線的性質：①角平分線的定義； ②角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； ③三角形的三條角平分線相交與一點，且這一點到三條邊的距離相等。
（2）角平分線的判別方法：①角平分線的定義；②在一個角的內部，且到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上。
12．垂直平分線：經過線段中點，并且垂直于這條線段的直線。
（1）垂直平分線的性質：①垂直平分線的定義；②線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等；③三角形三條邊的垂直平分線相交與一點，且這一點到三個頂點的距離相等。
（2）垂直平分線的判定方法：①垂直平分線的定義；②到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上。
13．等腰三角形：有兩條邊相等的三角形。
(1)等腰三角形的性質：①等腰三角形的定義；②等腰三角形的兩個底角相等；（等邊對等角）③（3）等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。（三線合一）
(2)等腰三角形的判別方法：①等腰三角形的定義；②有兩個角相等的三角形。（等角對等邊）
(3)等邊三角形：三條邊都相等的三角形。
(4)等邊三角形的性質：①等邊三角形的定義；②等腰三角形的所有性質。
③等邊三角形的三個角都相等，且等于60。。
(5)等邊三角形的判別：①等邊三角形的定義；②有一個角等于60。的等腰三角形；③三個角都相等的三角形。
14．直角三角形：有一個角等于90。的三角形。
（1）直角三角形的性質：①勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。ａ2+ｂ2＝ｃ2（ａ、ｂ為直角邊ｃ為斜邊）； ②在直角三角形中，如果一個銳角等于30。，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半； ③直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半；④直角三角形兩個銳角互余。
（2）直角三角形的判別方法：（1）直角三角形的定義；（2）HL定理；（3）三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方。
15.三角形的中位線：連接三角形任意兩邊中點的線段。
性質：三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半。
16．多邊形的內角和、外角和：（1）n邊形的內角和為（n-2）×180。；
（2）n邊形的外角和為360。。
17．平行四邊形：兩組對邊分別平行的四邊形。 平行四邊形不相鄰的兩個頂點連成的線段叫它的對角線。四邊形ABCD是平行四邊形，記作“ ABCD”。
（1）．平行四邊形的性質：①平行四邊形的兩組對邊分別相等；②平行四邊形的兩組對邊分別平行；③平行四邊形的對角分別相等；④平行四邊形的對角線互相平分。
（2）平行四邊形的判別：①兩組對邊分別平行的四邊形；②兩組對邊分別相等的四邊形；③一組對邊平行且相等的四邊形；④對角線互相平分的四邊形。
（3）平面鑲嵌：同一種正多邊形可以鑲嵌的有：正三角形、正方形、正六邊形；不同的多邊形只有滿足在同頂點各個內角和是360。才能鑲嵌。
18．平行線之間的距離：若兩條直線互相平行，則其中一條直線上任意兩點到另一條直線的距離相等，這個距離稱為平行線之間的距離。 性質：平行線之間的垂線段處處相等。
19．菱形：一組鄰邊相等的平行四邊形。
（1）菱形的性質：①平行四邊形的所有性質；②菱形的定義；③菱形的四條邊相等；④對角線垂直，且每一條對角線平分一組對角；⑤S=對角線之積。
（2）菱形的判別方法：①一組鄰邊相等的平行四邊形；②對角線互相垂直的平行四邊形；③四條邊都相等的四邊形。
20．矩形：有一個內角是直角的平行四邊形。
（1）矩形的性質：①平行四邊形的所有性質。②矩形的對角線相等③四個角都是直角。
（2）矩形的判別方法：①有一個角是直角的平行四邊形；（2）對角線相等的平行四邊形；③有三個角是直角的四邊形。
21．正方形：一組鄰邊相等的矩形。
（1）正方形的性質：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質。
（2）正方形的判別方法：①一組鄰邊相等的矩形。②對角線垂直的矩形。
③對角線相等的菱形④一個角是直角的菱形。
22．梯形：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形。平行的兩邊叫做梯形的底，不平行的兩邊叫做梯形的腰。夾在兩底之間的垂線段叫做梯形的高。
梯形的分類：①一般梯形；②等腰梯形；③直角梯形。
23．等腰梯形：兩腰相等的梯形。 直角梯形：一條腰和底垂直的梯形。
（1）等腰梯形的性質：①等腰梯形兩腰相等；②等腰梯形同一底上的兩個內角相等；③等腰梯形的對角線相等。
（2）等腰梯形的判別方法：①兩腰相等的梯形；②同一底上的兩個角相等的梯形。
24．梯形的中位線：連接兩腰中點的線段。
性質：梯形的中位線平行于上下底且等于上下底之和的一半。
25．梯形的面積：S＝（a +b）×h＝l×h(其中a,b分別為上下底長，h為高，l中位線線長)
26．梯形中常用的輔助線：①作高；②平移腰；③平移對角線；④過一腰中點作輔助線。
27．五種基本作圖：（1）作一條線段等于已知線段：（2）作一個角等于已知角；
（3）平分已知角；（4）經過一點作已知直線的垂線；（5）作線段的垂直平分線。
28．圓的定義：（1）在一個平面內，線段OA繞它的一個端點O旋轉一周，另一個端點A隨之旋轉所形成的圖形。（2）圓可以看做是平面內到定點的距離等于定長的點的集合。圓的位置由圓心決定，圓的大小由半徑決定。
29．圓的有關概念：（1）弦：聯結圓上任意兩點的線段；（2）直徑：經過圓心的弦；（3）弧：圓上任意兩點間的部分；（4）優弧：大于半圓的弧；（5）劣弧：小于半圓的弧；（6）圓心角：頂點在圓心的教；（7）圓周角：頂點在圓上，角的兩邊和圓相交的角；（8）同心圓：圓心相同，半徑不相等的兩個圓；（9）等圓：能夠互相重合的兩個圓；（10）等弧：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧。
30．圓心角、弧、弦的關系：（1）圓心角的度數等于它所對的弧的度數；（2）在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組都分別相等。
31．過三點的圓：（1）不在同一條直線上的三點確定一個圓；（2）三角形的外接圓圓心（外心）是三邊垂直平分線的交點。
32．垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。
33．圓周角：（1）同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于該弧所對的圓心角的一半；（2）直徑（或半圓）所對的圓周角為直角，90。的圓周角所對的弦是直徑。
34．點與圓的位置關系：如果圓的半徑為r,某一點到圓心的距離為d,那么:
(1)點在圓外(d>r ;(2)點在圓上(d＝r;(3)點在圓內(d35.直線和原的位置關系:設r為圓的半徑,d為圓心到直線的距離.
(1)直線和圓相離(d>r ,即直線和圓沒有交點;(2)直線和圓相切(d＝r,即直線和圓只有一個交點;(3)直線和圓相交(d36.圓的切線(1)定義:和圓有唯一公共點的直線叫做圓的切線;
(2)切線的判定定理;經過半徑的外端切垂直于這條半徑的直線是圓的切線;
(3)切線的性質:圓的切線垂直于過切點的半徑; (4)切線長的定義:在經過圓外一點的切線上,這點和切點之間的線段長叫做這點到圓的切線長;
(5)切線長的性質:從圓外一點引圓的兩條切線,她們的切線長相等,這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角; (6)三角形的內切圓: 與三角形各邊都相切的圓;內切圓的圓心叫三角形的內心,內心是這個三角形三條角平分線的交點.
37.兩圓的位置關系:設R, r 為兩圓的半徑,d為圓心距.
(1)兩圓外離(d>R+r,即兩圓沒有公共點;
(2)兩圓外切(d＝R+r ,即兩圓只有一個公共點;
(3)兩圓相交(R-r (4)兩圓內切(d＝R-r(R>r),即兩圓只有一個公共點;
(5)兩圓內含(d< R-r(R>r),即兩圓沒有公共點.
38.兩圓相切時,切點一定在連心線上;兩圓相交時,連心線垂直平分兩圓的公共弦.
39.圓中有關計算公式(1)C＝2∏R(C是周長,R是半徑);S＝∏R2(S是圓面積)
(2)在半徑為R,圓心角為n。弧長l＝;S扇＝·∏R2＝l·R
(3)圓錐的母線長為l,底面圓半徑為r ,則S圓錐側＝·2∏r·l＝∏rl
①圓錐的側面展開圖是扇形;②圓柱的側面展開是矩形.
40.軸對稱和軸對稱圖形:(1)軸對稱的定義:把一個圖形沿著某條直線對折后能與另一個圖形重合,我們就說這兩個圖形關于這條直線成軸對稱.
(2)軸對稱圖形:把一個圖形沿著某條直線對折后,能與本身重合的圖形叫軸對稱圖形; (3)軸對稱的性質: ①成軸對稱的兩個圖形是全等形; ②成軸對稱的對應點連線段被對稱軸垂直平分;③成軸對稱的對應點線段的交點在對稱軸上.
41.中心對稱和中心對稱圖形:(1)中心對稱的定義:把一個圖形繞著一點旋轉180。后,能與另一個圖形重合,我們就說這兩個圖形關于這一點成中心對稱;
(2)中心對稱圖形：在平面內，一個圖形繞某個點旋轉180。，如果旋轉前后的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形。這個點叫做它的對稱中心;
(3)中心對稱圖形的性質：①成中心對稱的兩個圖形是全等形; ②中心對稱圖的對應點連線都經過對稱中心,且都被對稱中心平分。
42.平移: (1)定義：在平面內，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移。 (2)平移的性質：①平移后的圖形與原來的圖形是全等形; ②經過平移，對應點所連的線段平行且相等。③平移后對應點所連的線段平行(或在同一條直線上)且相等，對應角相等,其線段的長度就是平移的距離,從原圖形上的點到 平移后圖形上的對應點射線的方向,就是平移的方向.
(3)圖形平移的主要因素是平移距離和平移方向.
43. 旋轉：在平面內，將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉動一個角度，這樣的圖形運動稱為旋轉。這個定點稱為旋轉中心，轉動的角稱為旋轉角。 旋轉的性質：（1）旋轉后的圖形與原來圖形是全等形；對應線段相等；對應角相等；（2）
對應點到旋轉中心的距離相等，每一點都繞旋轉中心沿相同方向轉動了相同的角度；（3）任意一對對應點與旋轉中心的連線所成的角都是旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等。
44．比例：（1）若＝，則b叫做a 與c的比例中項；
（2）若＝,則線段a,b,c,d叫做成比例線段；
（3）若＝，則＝；若＝＝…＝＝k（b+d+…+f≠0）,則＝＝k.
45.相似：相似三角形：三角對應相等、三邊對應成比例的兩個三角形。△ABC與△DEF相似，記作△ABC∽△DEF 。 相似三角形的對應角相等，對應邊成比例。
（1）三角形相似判定方法：①兩角對應相等的兩個三角形相似；②兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似；③三邊對應成比例的兩個三角形相似；④平行與三角形以邊的直線與其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似。
（2）性質：①相似三角形的周長之比等于相似比，面積比等于相似比的平方，相似三角形對應高的比、對應角平分線的比和對應中線的比都等于相似比；②若兩個多邊形相似，則對應邊成比例，對應角相等，所有對應線段的比等于相似比。
46.位似：兩個多邊形相似，且對應點的連線交于一點，像這樣的相似叫做位似，這兩個圖形叫位似圖形，而對應頂點連線的交點叫做位似中心。
位似圖形的性質：位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比。
47.黃金分割：點C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果 ＝，那么稱線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫黃金比。AC ＝AB AC：AB＝：1 ≈0.618：1。
48.投影：（1）平行投影：由平行光線形成的投影是平行投影，如太陽光線的投影。
（2）中心投影：由同一點發出的光線形成的投影是中心投影，如路燈，手電筒的光線的投影。
（3）平行投影的物高與影長成正比，而中心投影不具有這個性質。
49.視圖：（1）主視圖：從正面看到的圖形；
（2）俯視圖：從上面看到的圖形；（3）左視圖：從左面看到的圖形。
二．常見證明方法：
1證明線段相等：（1） 利用全等三角形：要證的兩線段是全等三角形的對應邊。（2） 利用平行四邊形：證兩線是平行四邊形的對邊，或是對角線被交點分成的兩線段相等。（3） 利用等腰三角形，證明兩線是同一三角形兩等角所對的邊。（4） 利用三角形一邊的平行線平分另一邊： 證明兩線是經過三角形一邊中點平行于另一邊的直線分第三邊所成的兩線段。（5） 利用第三線搭橋，要證A=B，可改證A=M，B=M，從而有A=B。（6） 利用已知的等線轉換：可由等線的同倍或同份相等或等線的和與差相等，化得求證的兩線段相等。（7） 利用圓中的等量：證兩線是同圓或等圓所對的弦或圓心等距的兩弦或圓外一點到圓上的切線，垂直于直徑的弦被直徑平分的兩線段。（8 利用比例：證兩線段是兩前項（或兩后項）相等的比例中的兩后項（兩前項）。（9） 利用直角三角形中的等量：證兩線段是直角三角形斜邊中點與三個頂點的距離。（10） 利用中垂線和角平分線的性質：證兩線是線段垂直平分線上點到線段兩端的距離或是角平分線上的點但角的兩邊的距離。（11） 利用反證法：假設兩線不相等，在此基礎上進行推理、論證，產生矛盾，從而達到證明的目的。（12）利用同一法：在圖形中先作作兩條相等的線段，然后證明所作的線段與題目要證的線段重合。（13） 利用正弦定理：若題目所證的兩線在同一個三角形或兩個三角形中，可利用正弦定理證明。
2．角相等的方法：
（1）對頂角相等?
（2）平行線間內錯角相等，同位角相等
（3）如果一個角的兩邊與另一角的兩邊分別對應平行，并且方向相同，那么這兩個角相等。
（4）同角或等角的補角相等；同角或等角的余角相等；平行四邊形的對角相等.
（5）全等或相似圖形的對應角；平行線同位角內錯角相等；等腰三角形兩底角相等.等腰梯形底角相等；平行四邊形棱形等的對角相等；同名三角函數值相等的角可能相等或互補.
（6）等腰三角形的兩底角相等。
（7）角平分線的判定。
初中幾何常見輔助線作法歌訣匯編[轉]
人說幾何很困難，難點就在輔助線。
輔助線，如何添？把握定理和概念。
還要刻苦加鉆研，找出規律憑經驗。
圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。
也可將圖對折看，對稱以后關系現。
角平分線平行線，等腰三角形來添。
角平分線加垂線，三線合一試試看。
線段垂直平分線，常向兩端把線連。
要證線段倍與半，延長縮短可試驗。
三角形中兩中點，連接則成中位線。
三角形中有中線，延長中線等中線。
平行四邊形出現，對稱中心等分點。
梯形里面作高線，平移一腰試試看。
平行移動對角線，補成三角形常見。
證相似，比線段，添線平行成習慣。
等積式子比例換，尋找線段很關鍵。
直接證明有困難，等量代換少麻煩。
斜邊上面作高線，比例中項一大片。
半徑與弦長計算，弦心距來中間站。
圓上若有一切線，切點圓心半徑連。
切線長度的計算，勾股定理最方便。
要想證明是切線，半徑垂線仔細辨。
是直徑，成半圓，想成直角徑連弦。
弧有中點圓心連，垂徑定理要記全。
圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點連。
弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。
要想作個外接圓，各邊作出中垂線。
還要作個內接圓，內角平分線夢圓。
如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。
內外相切的兩圓，經過切點公切線。
若是添上連心線，切點肯定在上面。
要作等角添個圓，證明題目少困難。
輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。
假如圖形較分散，對稱旋轉去實驗。
基本作圖很關鍵，平時掌握要熟練。
解題還要多心眼，經常總結方法顯。
切勿盲目亂添線，方法靈活應多變。
分析綜合方法選，困難再多也會減。
虛心勤學加苦練，成績上升成直線。

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