資源簡(jiǎn)介

自主學(xué)習(xí)單
知識(shí)技能梳理
在中考中，尺規(guī)作圖一直是命題熱點(diǎn)。在有的省市的試卷中會(huì)考查尺規(guī)作圖的識(shí)別，利用所做的線的性質(zhì)來(lái)解決幾何問(wèn)題。近些年來(lái)很多試卷當(dāng)中，尺規(guī)作圖一般出現(xiàn)在解答題的位置，直接考察尺規(guī)作圖，不要求寫出具體做法，但需要保留作圖痕跡。
尺規(guī)作圖的命題一般相對(duì)簡(jiǎn)單。幾乎所有的尺規(guī)作圖基本上都是基于常見(jiàn)的五種基本作圖基礎(chǔ)之上。但總有一部分學(xué)生，因?yàn)槲宸N基本作圖方法沒(méi)掌握好，就丟了分?jǐn)?shù)。
尺規(guī)作圖的概念
在幾何里，把限定用直尺（沒(méi)有刻度的）和圓規(guī)來(lái)畫(huà)圖的作法，稱為尺規(guī)作圖，
五種基本作圖
1.作一條線段等于已知線段：
2.作已知角的平分線：
3.作已知線段的垂直平分線：
4.作一個(gè)角等于已知角：
5.過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線【點(diǎn)在線上、點(diǎn)在線外】。
模塊一：五種尺規(guī)作圖復(fù)習(xí)
1.作一條線段等于已知線段
已知：如圖所示線段a.
求作：線段AB，使AB = a.
作法：
(1)作射線AP；
(2)在射線AP上截取AB=a.則線段AB就是所求作的圖形。
作線段的垂直平分線（中垂線）或中點(diǎn)
已知：如圖，線段MN.
求作：線段MN的垂直平分線.
作法：
(1)分別以M、N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于P，Q；
(2)連接PQ交MN于O．
則直線PQ就是線段MN的垂直平分線。
3.作已知角的平分線
已知：如圖，∠AOB.
求作：射線OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）.
作法：
(1)以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，分別交OA，OB于M，N；
(2)分別以M、N為圓心，大于的線段長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交∠AOB內(nèi)于P；
作射線OP。
則射線OP就是∠AOB的角平分線。
4.作一個(gè)角等于已知角
已知：∠AOB.
求作：∠A′O′B′,使∠A′O′B′=∠AOB.
作法：
1）作射線O′A′；
2）以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，交OA于M，交OB于N；
3）以O(shè)′為圓心，以O(shè)M的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交O′A′于M′；
4）以M′為圓心，以MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交前弧于N′；
5）連接O′N′并延長(zhǎng)到B′。
則∠A′O′B′就是所求作的角。
5.過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線
已知點(diǎn)在直線上
已知：直線l、及直線l上一點(diǎn)C
求作：直線l的垂線，使得垂線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C
作法：
(1)以點(diǎn)C為圓心，任一線段的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交直線l于點(diǎn)A、B；
(2)以點(diǎn)A 、B為圓心,以大于CB長(zhǎng)為半徑在直線一側(cè)畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)D；
(3)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、D作直線CD．
直線CD即為所求．
已知點(diǎn)在直線外
已知：直線l、及直線l外一點(diǎn)C
求作：直線l的垂線，使得直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C
作法：
(1)以點(diǎn)C為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交直線l于點(diǎn)A、B；
(2)分別以點(diǎn)A、 B為圓心，以CB長(zhǎng)為半徑在直線另一側(cè)畫(huà)弧，兩弧于點(diǎn)D．
(3)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、D作直線CD．
直線CD即為所求．
模塊二：分題型練習(xí)
作相等線段出現(xiàn)等腰三角形
例1．已知銳角∠AOB＝40°，如圖，按下列步驟作圖：①在OA邊取一點(diǎn)D，以O(shè)為圓心，OD長(zhǎng)為半徑畫(huà)，交OB于點(diǎn)C，連接CD．②以D為圓心，DO長(zhǎng)為半徑畫(huà)，交OB于點(diǎn)E，連接DE．則∠CDE的度數(shù)為（　?。?br/>A．20° B．30° C．40° D．50°
針對(duì)訓(xùn)練：
1．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB≠AC．用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)在BC邊上找一點(diǎn)D，使△ACD為等腰三角形．下列作法不正確的是（　?。?br/>A． B．
C． D．
2．如圖，在△ABC中，AB＝BC＝3，∠BAC＝30°，分別以點(diǎn)A，C為圓心，AC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D，連接DA，DC，則四邊形ABCD的面積為（　?。?br/>A．6 B．
C．9 D．
3．如圖，△ABC是不等邊三角形，DE＝BC，以D，E為兩個(gè)頂點(diǎn)作位置不同的三角形，使所作的三角形與△ABC全等，這樣的三角形最多可以畫(huà)出 　 　個(gè)．
角平分線及性質(zhì)應(yīng)用
例2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，按以下步驟作圖：①以B為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交BA、BC于M、N兩點(diǎn)；②分別以M、N為圓心，以大于MN的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P；③作射線BP，交邊AC于D點(diǎn)．若AB＝10，BC＝6，則線段CD的長(zhǎng)為（　　）
A．3 B． C． D．
針對(duì)訓(xùn)練：
1．△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，若按如圖的尺規(guī)作圖方法作出線段BD，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　?。?br/>A．AD＝BD B．C△BCD＝AB+BC
C．∠BDC＝72° D．S△ABD：S△BCD＝BC：AC
2．如圖，已知直角△ABC，①以點(diǎn)A為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AC于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N；②分別以M，N為圓心，以大于MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在∠ABC的內(nèi)部相交于點(diǎn)P；③作射線AP交BC于點(diǎn)D；④分別以A，D為圓心，以大于AD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于G，H兩點(diǎn)；⑤作直線GH，分別交AC，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)．
依據(jù)以上作圖，若AF＝3，CE＝1，則CD的長(zhǎng)是（　?。?br/>A． B．2 C． D．3
中垂線及性質(zhì)應(yīng)用
例3．如圖，在 ABCD中，AD＝4，對(duì)角線BD＝8，分別以點(diǎn)A、B為圓心，以大于AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)E和點(diǎn)F，作直線EF，交對(duì)角線BD于點(diǎn)G，連接GA，GA恰好垂直于邊AD，則GA的長(zhǎng)是（　?。?br/>A．2 B．3 C．4 D．5
針對(duì)訓(xùn)練：
下列三幅圖都是“作已知三角形的高”的尺規(guī)作圖過(guò)程，其中作圖正確的是（　　）
A．（1）（2）（3）B．（1）（2） C．（1）（3） D．（2）（3）
2．如圖，已知每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1，A，B兩點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)趫D中找一個(gè)頂點(diǎn)C，使△ABC為等腰三角形，則這樣的頂點(diǎn)C有 　 　個(gè)．
模塊三：綜合應(yīng)用
角平分線+中垂線綜合
兩個(gè)城鎮(zhèn)A、B與兩條公路ME，MF位置如圖所示，其中ME是東西方向公路．現(xiàn)電信部門需在C處修建一座信號(hào)發(fā)射塔，要求發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等，到兩條公路ME，MF的距離也必須相等，且在∠FME的內(nèi)部，請(qǐng)?jiān)趫D中，用尺規(guī)作圖找出符合條件的點(diǎn)C．（不寫已知、求作、作法，只保留作圖痕跡）
針對(duì)訓(xùn)練：
如圖所示，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，可以判斷以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（　?。?br/>ED＝CD B．AC＝AE
∠EDB＝∠CAB D．∠DAC＝∠B
中垂線與將軍飲馬模型
例2. ∠AOB在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，且∠AOB＝60°，在∠AOB內(nèi)有一點(diǎn)P（4，3），M，N分別是OA，OB邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接PM，PN，MN，則△PMN周長(zhǎng)的最小值是　 ?。?br/>針對(duì)訓(xùn)練：
要在街道旁修建一個(gè)奶站，向居民區(qū)A、B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短？小聰根據(jù)實(shí)際情況，以街道旁為x軸，建立了如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，測(cè)得A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，5），則從A、B兩點(diǎn)到奶站距離之和的最小值是　 ?。?br/>角平分線加三角形綜合
例3.某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)了尺規(guī)作圖、等腰三角形和相似三角形的有關(guān)知識(shí)后，在等腰△ABC中，其中AB＝AC，如圖Ⅰ，進(jìn)行了如下操作：
第一步，以點(diǎn)A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交BA的延長(zhǎng)線和AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，如圖Ⅱ；
第二步，分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于EF的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)D，作射線AD；
第三步，以D為圓心，DA的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交射線AE于點(diǎn)G；
（1）填空；寫出∠CAD與∠GAD的大小關(guān)系為 　 　；
（2）①請(qǐng)判斷AD與BC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
②當(dāng)AB＝AC＝6，BC＝2時(shí)，連接DG，請(qǐng)直接寫出　 　；
（3）如圖Ⅲ，根據(jù)以上條件，點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M為射線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PM，PC，當(dāng)∠CPM＝∠B時(shí)，求AM的長(zhǎng)．
針對(duì)訓(xùn)練：
下面是某數(shù)學(xué)興趣小組探究用不同方法作一個(gè)角的平分線的討論片段，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．
小明：如圖1，（1）分別在射線OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（點(diǎn)C，E不重合）；（2）分別作線段CE，DF的垂直平分線l1，l2，交點(diǎn)為P，垂足分別為點(diǎn)G，H；（3）作射線OP，射線OP即為∠AOB的平分線． 簡(jiǎn)述理由如下： 由作圖知，∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，則∠POG＝∠POH，即射線OP是∠AOB的平分線． 小軍：我認(rèn)為小明的作圖方法很有創(chuàng)意，但是太麻煩了，可以改進(jìn)如下，如圖2，（1）分別在射線OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（點(diǎn)C，E不重合）；（2）連接DE，CF，交點(diǎn)為P；（3）作射線OP．射線OP即為∠AOB的平分線． ……
任務(wù)：
（1）小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依據(jù)是 　 ?。ㄌ钚蛱?hào)）．
①SSS②SAS③AAS④ASA⑤HL
（2）小軍作圖得到的射線OP是∠AOB的平分線嗎？請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由．
（3）如圖3，已知∠AOB＝60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在射線OA，OB上，且OE＝OF1．點(diǎn)C，D分別為射線OA，OB上的動(dòng)點(diǎn)，且OC＝OD，連接DE，CF，交點(diǎn)為P，當(dāng)∠CPE＝30°時(shí)，直接寫出線段OC的長(zhǎng)．
圓與尺規(guī)作圖綜合
例4. 已知直線l及直線l外一點(diǎn)P．如圖，
（1）在直線l上取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，OP長(zhǎng)為半徑畫(huà)半圓，交直線l于A，B兩點(diǎn)；
（2）連接PA，以點(diǎn)B為圓心，AP長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交半圓于點(diǎn)Q；
（3）作直線PQ，連接BP．
根據(jù)以上作圖過(guò)程及所作圖形，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（　?。?br/>A．AP＝BQ B．PQ∥AB
C．∠ABP＝∠PBQ D．∠APQ+∠ABQ＝180°
針對(duì)訓(xùn)練：
如圖，在單位長(zhǎng)度為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)O，A，B均在格點(diǎn)上，OA＝3，AB＝2，
以O(shè)為圓心，OA為半徑畫(huà)圓，請(qǐng)按下列步驟完成作圖，并回答問(wèn)題：
①過(guò)點(diǎn)A作切線AC，且AC＝4（點(diǎn)C在A的上方）；
②連接OC，交⊙O于點(diǎn)D；
③連接BD，與AC交于點(diǎn)E．
（1）求證：DB為⊙O的切線；
（2）求AE的長(zhǎng)度．《第1講 尺規(guī)作圖》答案
模塊一：五種尺規(guī)作圖復(fù)習(xí)
1.作一條線段等于已知線段
已知：如圖所示線段a.
求作：線段AB，使AB = a.
作法：
(1)作射線AP；
(2)在射線AP上截取AB=a.則線段AB就是所求作的圖形。
作線段的垂直平分線（中垂線）或中點(diǎn)
已知：如圖，線段MN.
求作：線段MN的垂直平分線.
作法：
(1)分別以M、N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于P，Q；
(2)連接PQ交MN于O．
則直線PQ就是線段MN的垂直平分線。
3.作已知角的平分線
已知：如圖，∠AOB.
求作：射線OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）.
作法：
(1)以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，分別交OA，OB于M，N；
(2)分別以M、N為圓心，大于的線段長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交∠AOB內(nèi)于P；
作射線OP。
則射線OP就是∠AOB的角平分線。
4.作一個(gè)角等于已知角
已知：∠AOB.
求作：∠A′O′B′,使∠A′O′B′=∠AOB.
作法：
1）作射線O′A′；
2）以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，交OA于M，交OB于N；
3）以O(shè)′為圓心，以O(shè)M的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交O′A′于M′；
4）以M′為圓心，以MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交前弧于N′；
5）連接O′N′并延長(zhǎng)到B′。
則∠A′O′B′就是所求作的角。
5.過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線
已知點(diǎn)在直線上
已知：直線l、及直線l上一點(diǎn)C
求作：直線l的垂線，使得垂線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C
作法：
(1)以點(diǎn)C為圓心，任一線段的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交直線l于點(diǎn)A、B；
(2)以點(diǎn)A 、B為圓心,以大于CB長(zhǎng)為半徑在直線一側(cè)畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)D；
(3)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、D作直線CD．
直線CD即為所求．
已知點(diǎn)在直線外
已知：直線l、及直線l外一點(diǎn)C
求作：直線l的垂線，使得直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C
作法：
(1)以點(diǎn)C為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交直線l于點(diǎn)A、B；
(2)分別以點(diǎn)A、 B為圓心，以CB長(zhǎng)為半徑在直線另一側(cè)畫(huà)弧，兩弧于點(diǎn)D．
(3)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、D作直線CD．
直線CD即為所求．
模塊二：分題型練習(xí)
作相等線段出現(xiàn)等腰三角形
例1．已知銳角∠AOB＝40°，如圖，按下列步驟作圖：①在OA邊取一點(diǎn)D，以O(shè)為圓心，OD長(zhǎng)為半徑畫(huà)，交OB于點(diǎn)C，連接CD．②以D為圓心，DO長(zhǎng)為半徑畫(huà)，交OB于點(diǎn)E，連接DE．則∠CDE的度數(shù)為（　?。?br/>A．20° B．30° C．40° D．50°
【解答】解：由作法得OD＝OC，DO＝DE，
∵OD＝OC，
∴∠OCD＝∠ODC（180°﹣∠COD）（180°﹣40°）＝70°，
∵DO＝DE，
∴∠DEO＝∠DOE＝40°，
∵∠OCD＝∠CDE+∠DEC，
∴∠CDE＝70°﹣40°＝30°．
故選：B．
針對(duì)訓(xùn)練：
1．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB≠AC．用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)在BC邊上找一點(diǎn)D，使△ACD為等腰三角形．下列作法不正確的是（　?。?br/>A． B．
C． D．
【解答】解：A、由作圖可知AD是△ABC的角平分線，推不出△ADC是等腰三角形，本選項(xiàng)符合題意．
B、由作圖可知CA＝CD，△ADC是等腰三角形，本選項(xiàng)不符合題意．
C、由作圖可知DA＝CD，△ADC是等腰三角形，本選項(xiàng)不符合題意．
D、由作圖可知DA＝CD，△ADC是等腰三角形，本選項(xiàng)不符合題意．
故選：A．
2．如圖，在△ABC中，AB＝BC＝3，∠BAC＝30°，分別以點(diǎn)A，C為圓心，AC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D，連接DA，DC，則四邊形ABCD的面積為（　?。?br/>A．6 B．
C．9 D．
【解答】解：連接BD交AC于O，
∵AD＝CD，AB＝BC，
∴BD垂直平分AC，
∴BD⊥AC，AO＝CO，
∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC＝30°，
∵AC＝AD＝CD，
∴△ACD是等邊三角形，
∴∠DAC＝∠DCA＝60°，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADB＝∠CDB＝30°，
∵AB＝BC＝3，
∴AD＝CDAB＝3，
∴四邊形ABCD的面積＝S△DAB+S△DCB＝2×（3×3），
故選：D．
3．如圖，△ABC是不等邊三角形，DE＝BC，以D，E為兩個(gè)頂點(diǎn)作位置不同的三角形，使所作的三角形與△ABC全等，這樣的三角形最多可以畫(huà)出 　 　個(gè)．
【解答】解：如圖，可以作出這樣的三角形4個(gè)．
角平分線及性質(zhì)應(yīng)用
例2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，按以下步驟作圖：①以B為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交BA、BC于M、N兩點(diǎn)；②分別以M、N為圓心，以大于MN的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P；③作射線BP，交邊AC于D點(diǎn)．若AB＝10，BC＝6，則線段CD的長(zhǎng)為（　?。?br/>A．3 B． C． D．
【解答】解：由作法得BD平分∠ABC，
過(guò)D點(diǎn)作DE⊥AB于E，如圖，則DE＝DC，
在Rt△ABC中，AC8，
∵S△ABD+S△BCD＝S△ABC，
∴ DE×10 CD×66×8，
即5CD+3CD＝24，
∴CD＝3．
故選：A．
針對(duì)訓(xùn)練：
1．△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，若按如圖的尺規(guī)作圖方法作出線段BD，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　?。?br/>A．AD＝BD B．C△BCD＝AB+BC
C．∠BDC＝72° D．S△ABD：S△BCD＝BC：AC
【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
由作圖痕跡發(fā)現(xiàn)BD平分∠ABC，
∴∠A＝∠ABD＝∠DBC＝36°，
∴AD＝BD，∠BDC＝72°，故A、C正確，不符合題意；
S△ABD：S△BCD＝AD：CD＝BC：CD，故D錯(cuò)誤，符合題意；
△BCD的周長(zhǎng)＝BC+CD+BD＝BC+AC＝AB+BC，故B正確，不符合題意．
故選：D．
2．如圖，已知直角△ABC，①以點(diǎn)A為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AC于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N；②分別以M，N為圓心，以大于MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在∠ABC的內(nèi)部相交于點(diǎn)P；③作射線AP交BC于點(diǎn)D；④分別以A，D為圓心，以大于AD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于G，H兩點(diǎn)；⑤作直線GH，分別交AC，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)．
依據(jù)以上作圖，若AF＝3，CE＝1，則CD的長(zhǎng)是（　?。?br/>A． B．2 C． D．3
【解答】解：由作法得AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，
連接DE，如圖，
∵AD平分∠EAF，AD⊥EF，
∴AE＝AF＝3，
∵EF垂直平分AD，
∴ED＝AE＝3，
在Rt△CDE中，CD2．
故選：A．
中垂線及性質(zhì)應(yīng)用
例3．如圖，在 ABCD中，AD＝4，對(duì)角線BD＝8，分別以點(diǎn)A、B為圓心，以大于AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)E和點(diǎn)F，作直線EF，交對(duì)角線BD于點(diǎn)G，連接GA，GA恰好垂直于邊AD，則GA的長(zhǎng)是（　?。?br/>A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：設(shè)BG＝x，則DG＝8﹣x，
由作圖可知：EF是線段AB的垂直平分線，
∴AG＝BG＝x，
在Rt△DAG中，AD2+AG2＝DG2，即42+x2＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，即AG＝3，
故選：B．
針對(duì)訓(xùn)練：
下列三幅圖都是“作已知三角形的高”的尺規(guī)作圖過(guò)程，其中作圖正確的是（　　）
A．（1）（2）（3）B．（1）（2） C．（1）（3） D．（2）（3）
【解答】解：圖（1）和圖（2）中，由“到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上”可知，AJ垂直平分GH，BC垂直平分AK，故作圖正確；
圖（3）中，依據(jù)“直徑所對(duì)的圓周角等于90°”可知，BC所對(duì)的圓周角為直角，故作圖正確；
故選：A．
2．如圖，已知每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1，A，B兩點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)趫D中找一個(gè)頂點(diǎn)C，使△ABC為等腰三角形，則這樣的頂點(diǎn)C有 　 　個(gè)．
【解答】解：當(dāng)AB為底時(shí)，作AB的垂直平分線，可找出格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)有5個(gè)，
當(dāng)AB為腰時(shí)，分別以A、B點(diǎn)為頂點(diǎn)，以AB為半徑作弧，可找出格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)有3個(gè)；
∴這樣的頂點(diǎn)C有8個(gè)．
故答案為：8．
模塊三：綜合應(yīng)用
角平分線+中垂線綜合
兩個(gè)城鎮(zhèn)A、B與兩條公路ME，MF位置如圖所示，其中ME是東西方向公路．現(xiàn)電信部門需在C處修建一座信號(hào)發(fā)射塔，要求發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等，到兩條公路ME，MF的距離也必須相等，且在∠FME的內(nèi)部，請(qǐng)?jiān)趫D中，用尺規(guī)作圖找出符合條件的點(diǎn)C．（不寫已知、求作、作法，只保留作圖痕跡）
【解答】解：如圖：
點(diǎn)C即為所求作的點(diǎn)．
針對(duì)訓(xùn)練：
如圖所示，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，可以判斷以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（　　）
ED＝CD B．AC＝AE
∠EDB＝∠CAB D．∠DAC＝∠B
【解答】解：∵根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡可知AD是∠BAC的角平分線，AB⊥DE，
∴ED=CD，∠DAC=∠DAB，∠EDB=90°-∠B，
在Rt△AED和Rt△ACD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△ACD(HL)，
∴AC=AE，
∵△ABC是直角三角形，
∴∠CAB=90°-∠B，
∴∠EDB=∠CAB，
∵AB⊥DE，但DE不一定平分AB，
∴∠DAB不一定等于∠B，
∴∠DAC不一定等于∠B，
故選：D．
中垂線與最短路線問(wèn)題
例2. ∠AOB在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，且∠AOB＝60°，在∠AOB內(nèi)有一點(diǎn)P（4，3），M，N分別是OA，OB邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接PM，PN，MN，則△PMN周長(zhǎng)的最小值是　 ?。?br/>【解答】解：分別作P關(guān)于射線OA、射線OB的對(duì)稱點(diǎn)P′與點(diǎn)P″，連接P′P″，與OA、OB分別交于M、N兩點(diǎn)，
此時(shí)△PMN周長(zhǎng)最小，最小值為P′P″的長(zhǎng)，
連接OP′，OP″，OP，
∵OA、OB分別為PP′，PP″的垂直平分線，P（4，3），
∴OP′＝OP＝OP″5，且∠POA＝∠P′OA，∠POB＝∠P″OB，
∵∠AOB＝∠AOP+∠BOP＝60°，
∴∠P′OP″＝120°，
過(guò)O作OQ⊥P′P″，可得P′Q＝P″Q，∠OP′Q＝∠OP″Q＝30°，
∴OQ，P′Q＝P″Q，
∴P′P″＝2P′Q＝25，
則△PMN周長(zhǎng)的最小值是5．
故答案為：5．
針對(duì)訓(xùn)練：
要在街道旁修建一個(gè)奶站，向居民區(qū)A、B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短？小聰根據(jù)實(shí)際情況，以街道旁為x軸，建立了如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，測(cè)得A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，5），則從A、B兩點(diǎn)到奶站距離之和的最小值是　 ?。?br/>【解答】解：點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A1的坐標(biāo)是（0，﹣3），過(guò)點(diǎn)B向x軸作垂線與過(guò)A1和x軸平行的直線交于C，
則A1C＝6，BC＝8，
∴A1B10
∴從A、B兩點(diǎn)到奶站距離之和的最小值是10．
故填10．
角平分線加三角形綜合
例3.某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)了尺規(guī)作圖、等腰三角形和相似三角形的有關(guān)知識(shí)后，在等腰△ABC中，其中AB＝AC，如圖Ⅰ，進(jìn)行了如下操作：
第一步，以點(diǎn)A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交BA的延長(zhǎng)線和AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，如圖Ⅱ；
第二步，分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于EF的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)D，作射線AD；
第三步，以D為圓心，DA的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交射線AE于點(diǎn)G；
（1）填空；寫出∠CAD與∠GAD的大小關(guān)系為 　 ??；
（2）①請(qǐng)判斷AD與BC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
②當(dāng)AB＝AC＝6，BC＝2時(shí)，連接DG，請(qǐng)直接寫出　 ??；
（3）如圖Ⅲ，根據(jù)以上條件，點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M為射線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PM，PC，當(dāng)∠CPM＝∠B時(shí)，求AM的長(zhǎng)．
【解答】解：（1）由作圖步驟可得AD為∠GAC的角平分線，
∴∠CAD＝∠GAD，
故答案為：∠CAD＝∠GAD；
（2）①AD∥BC，理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，且∠GAC＝∠B+∠C＝2∠C，
∵∠GAC＝∠CAD+∠GAD＝2∠CAD，
∴∠C＝∠DAC，
∴AD∥BC；
②∵∠CAD＝∠GAD∠GAC，
∴∠B＝∠C∠GAC，
∵∠CAD＝∠GAD∠GAC，
∴∠GAD＝B＝∠C，
又∵AD＝GD，
∴∠GAD＝∠AGD，
∴∠GAD＝∠AGD＝B＝∠C，
∴△ADG∽△BAC，
∴，
即：，
∵AB＝6 BC＝2，
∴3，
故答案為：3．
（3）如圖所示，延長(zhǎng)CP交MA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，
∵AM∥BC，
∴∠3＝∠4+∠5，
∵∠B＝∠4+∠5，
∴∠3＝∠B，
∵∠CPM＝∠B，
∴∠CPM＝∠3，
又∵∠1＝∠2，∠2+∠3+∠M＝180°，∠1+∠CPM+∠5＝180°，
∴∠M＝∠5，
又∵AQ∥BC，
∴∠Q＝∠PCB，∠PAQ＝∠B，
又∵P為AB的中點(diǎn)，
∴AP＝PB，
∴△PAQ≌△PBC（AAS），
∴AQ＝BC＝2，
又∵∠APC＝∠B+∠4＝∠APM+∠CPM，∠B＝∠CPM，
∴∠4＝∠APM，
又∵∠Q＝∠4，
∴∠APM＝∠Q，
又∵∠M＝∠5，
∴△APM∽△AQC，
∴，
∵AB＝6，AP＝3，AC＝6，
∴AM9，
答：AM的長(zhǎng)為9．
針對(duì)訓(xùn)練：
下面是某數(shù)學(xué)興趣小組探究用不同方法作一個(gè)角的平分線的討論片段，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．
小明：如圖1，（1）分別在射線OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（點(diǎn)C，E不重合）；（2）分別作線段CE，DF的垂直平分線l1，l2，交點(diǎn)為P，垂足分別為點(diǎn)G，H；（3）作射線OP，射線OP即為∠AOB的平分線． 簡(jiǎn)述理由如下： 由作圖知，∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，則∠POG＝∠POH，即射線OP是∠AOB的平分線． 小軍：我認(rèn)為小明的作圖方法很有創(chuàng)意，但是太麻煩了，可以改進(jìn)如下，如圖2，（1）分別在射線OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（點(diǎn)C，E不重合）；（2）連接DE，CF，交點(diǎn)為P；（3）作射線OP．射線OP即為∠AOB的平分線． ……
任務(wù)：
（1）小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依據(jù)是 　 ?。ㄌ钚蛱?hào)）．
①SSS②SAS③AAS④ASA⑤HL
（2）小軍作圖得到的射線OP是∠AOB的平分線嗎？請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由．
（3）如圖3，已知∠AOB＝60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在射線OA，OB上，且OE＝OF1．點(diǎn)C，D分別為射線OA，OB上的動(dòng)點(diǎn)，且OC＝OD，連接DE，CF，交點(diǎn)為P，當(dāng)∠CPE＝30°時(shí)，直接寫出線段OC的長(zhǎng)．
【解答】解：（1）如圖1，由作圖得，OC＝OD，OE＝OF，PG垂直平分CE，PH垂直平分DF，
∴∠PGO＝∠PHO＝90°，
∵OE﹣OC＝OF﹣OD，
∴CE＝DF，
∵CGCE，DHDF，
∴CG＝DH，
∴OC+CG＝OD+DH，
∴OG＝OH，
∵OP＝OP，
∴Rt△PGO≌Rt△PHO（HL），
故答案為：⑤．
（2）射線OP是∠AOB的平分線，理由如下：
如圖2，∵OC＝OD，∠DOE＝∠COF，OE＝OF，
∴△DOE≌△COF（SAS），
∴∠PEC＝∠PFD，
∵∠CPE＝∠DPF，CE＝DF，
∴△CPE≌△DPF（AAS），
∴PE＝PF，
∵OE＝OF，∠PEO＝∠PFO，PE＝PF，
∴△OPE≌△OPF（SAS），
∴∠POE＝∠POF，即∠POA＝∠POB，
∴射線OP是∠AOB的平分線．
（3）如圖3，OC＜OE，連接OP，作PM⊥OA，則∠PMO＝∠PME＝90°，
由（2）得，OP平分∠AOB，∠PEC＝∠PFD，
∴∠PEC+30°＝∠PFD+30°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠POE＝∠POF∠AOB＝30°，
∵∠CPE＝30°，
∴∠OCP＝∠PEC+∠CPE＝∠PEC+30°，
∠OPC＝∠PFD+∠POF＝∠PFD+30°，
∴∠OCP＝∠OPC（180°﹣∠POE）（180°﹣30°）＝75°，
∴OC＝OP，∠OPE＝75°+30°＝105°，
∴∠OPM＝90°﹣30°＝60°，
∴∠MPE＝105°﹣60°＝45°，
∴∠MEP＝90°﹣45°＝45°，
∴MP＝ME，
設(shè)MP＝ME＝m，則OM＝MP tan60°m，
由OE1，得mm1，解得m＝1，
∴MP＝ME＝1，
∴OP＝2MP＝2，
∴OC＝OP＝2；
如圖4，OC＞OE，連接OP，作PM⊥OA，則∠PMO＝∠PMC＝90°，
同理可得，∠POE＝∠POF∠AOB＝30°，∠OEP＝∠OPE＝75°，∠OPM＝60°，∠MPC＝∠MCP＝45°，
∴OE＝OP1，
∵M(jìn)C＝MPOPOE，
∴OM＝MP tan60°，
∴OC＝OM+MC2．
綜上所述，OC的長(zhǎng)為2或2．
圓與尺規(guī)作圖綜合
例4. 已知直線l及直線l外一點(diǎn)P．如圖，
（1）在直線l上取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，OP長(zhǎng)為半徑畫(huà)半圓，交直線l于A，B兩點(diǎn)；
（2）連接PA，以點(diǎn)B為圓心，AP長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交半圓于點(diǎn)Q；
（3）作直線PQ，連接BP．
根據(jù)以上作圖過(guò)程及所作圖形，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（　?。?br/>A．AP＝BQ B．PQ∥AB
C．∠ABP＝∠PBQ D．∠APQ+∠ABQ＝180°
【解答】解：．∵
∴AP＝BQ，
∴PQ∥AB，∠PAB＝∠QBA，
∴∠APQ+∠PAB＝180°．
∴APQ+ABQ＝180°．
所以A、B、D選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：C．
針對(duì)訓(xùn)練：
如圖，在單位長(zhǎng)度為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)O，A，B均在格點(diǎn)上，OA＝3，AB＝2，
以O(shè)為圓心，OA為半徑畫(huà)圓，請(qǐng)按下列步驟完成作圖，并回答問(wèn)題：
①過(guò)點(diǎn)A作切線AC，且AC＝4（點(diǎn)C在A的上方）；
②連接OC，交⊙O于點(diǎn)D；
③連接BD，與AC交于點(diǎn)E．
（1）求證：DB為⊙O的切線；
（2）求AE的長(zhǎng)度．
【解答】解：如圖：
（1）∵AC是圓的切線，
∴∠OAC＝90°，
∴OC＝5，
由題意得：OD＝AO＝3，OB＝OC＝5，∠AOC＝∠DOB，
∴△AOC≌△DOB（SAS），
∴∠ODB＝∠OAC＝90°，
∵OD是圓的半徑，
∴DB為⊙O的切線；
（2）∵∠CDE＝∠CAO＝90°，∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAO，
∴，
即：，
解得：CE＝2.5，
∴AE＝AC﹣CE＝4﹣2.5＝1.5．

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