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專題五　綜合與實踐(2024年新增題型)
(2024·福建)在手工制作課上,老師提供了如圖1所示的矩形卡紙ABCD,要求大家利用它制作一個底面為正方形的禮品盒.小明按照如圖2所示的方式裁剪(其中AE=FB),恰好得到紙盒的展開圖,并利用該展開圖折成一個禮品盒,如圖3所示.
(1)直接寫出的值.
(2)如果要求折成的禮品盒的兩個相對的面上分別印有“吉祥”和“如意”,如圖4所示,那么應選擇的紙盒展開圖圖樣是(　　)
(3)今有三種不同型號的矩形卡紙,其規格、單價如下表所示:
卡紙型號 型號Ⅰ 型號Ⅱ 型號Ⅲ
規格/cm 30×40 20×80 80×80
單價/元 3 5 20
現以小明設計的紙盒展開圖(圖2)為基本樣式,適當調整AE,EF的比例,制作棱長為10cm的正方體禮品盒.如果要制作27個這樣的禮品盒,請你合理選擇上述卡紙(包括卡紙的型號及相應型號卡紙的張數),并在卡紙上畫出設計示意圖(包括一張卡紙可制作幾個禮品盒,其展開圖在卡紙上的分布情況),給出所用卡紙的總費用.
(要求:①同一型號的卡紙如果需要不止一張,只要在一張卡紙上畫出設計方案;②沒有用到的卡紙,不要在該型號的卡紙上作任何設計;③所用卡紙的數量及總費用直接填在自行設計的表格上;④本題將綜合考慮“利用卡紙的合理性”和“所用卡紙的總費用”給分,總費用最低的才能得滿分;⑤試卷上的卡紙僅供作草稿用)
(2024·福州模擬)“天圓地方”觀起源于中國古人對宇宙天地的最初認識,后來發展成為中國傳統文化的重要思想,在我國古代應用廣泛.例如,世界文化遺產“天壇”(如圖1),秦統一貨幣“秦半兩”(如圖2).“天圓地方”的宇宙圖式具有一種極具意味的形式美和意境美,這種觀念成為現代各種設計活動的靈感來源.為了讓同學們更深入地了解“天圓地方”的數學之美,老師設計了如下學習項目活動單:
學習項目主題:景區圓形水池開發方案設計
初步感知:
(1)已知☉O的半徑為,求其內接正方形的邊長.
設計活動一:
(2)如圖3,某風景區有一個直徑為10米的圓形水池(即☉O),某噴泉設計公司給出如下方案:在池內沿中軸線設計兩個正方形噴泉陣(即正方形ABCD和正方形CEFG),剩余區域進行自然水景生態美化.由于景區開發資金有限,噴泉陣又造價較高,為了節約成本,請求出兩個正方形噴泉陣面積之和的最小值以及此時AC的長.
設計活動二:
(3)某演藝公司也對(2)中的圓形水池提出開發方案:為了增強景區的娛樂性和交互性,可以建造一個水上演藝舞臺(如圖4),池內沿中軸線PQ設計兩個無縫連接的前置矩形舞臺AA'D'D和后置矩形舞臺EE'F'F,AA'⊥PQ于點B,FF'⊥PQ于點G,AA'=2AD,FF'=2EF,為了確保夜間演出的舞臺效果,需要給舞臺AA'和FF'處全部安裝LED燈帶,為做出預算,請求出燈帶(AA'+FF')的最大值和最小值.
參考答案
例1　解析:(1)2.
提示:如圖1,
上述圖形折疊后變成圖2,
由折疊和題意可知,GH=AE+FB,AH=DH,
∵四邊形EFNM是正方形,∴EM=EF,即 AG=EF,
∴GH+AG=AE+FB+EF,即AH=AB.
∵AH=DH,
∴==2,
∴的值為2.
(2)C.
提示:根據幾何體的展開圖可知,“吉”和“如”在相對的面上,“祥”和“意”在相對的面上,而相對的面上的字中間相隔一個幾何圖形,且字體相反,
∴C選項符合題意.
(3)需要卡紙型號的數量及總費用如下表所示.理由如下:
卡紙型號 型號Ⅰ 型號Ⅱ 型號Ⅲ
需要卡紙的數量/張 1 3 2
需要卡紙的總費用/元 58
根據(1)和題意可得卡紙每格的邊長為5cm,如圖3,則要制作一個邊長為10cm的正方體的展開圖如下:
∴每張型號Ⅲ卡紙可制作10個正方體,如圖4:
每張型號Ⅱ卡紙可制作2個正方體,如圖5:
每張型號Ⅰ卡紙可制作1個正方體,如圖6:
∴可選擇型號Ⅲ卡紙2張,型號Ⅱ卡紙3張,型號Ⅰ卡紙1張,則10×2+2×3+1×1=27(個),
∴所用卡紙總費用為20×2+5×3+3×1=58(元).
說明:本參考答案僅給出一種解法供參考.
例2　解析:(1)如圖1,連接AC.
∵四邊形ABCD是☉O的內接正方形,
∴AC是直徑.
∵☉O的半徑為,即AC=2,
∴AB=CB=2.
(2)設AC=x米,則CF=(10-x)米,
設兩個正方形噴泉陣的面積和為y平方米,
則y=x2+(10-x)2=x2-10x+50=(x-5)2+25.
∵1>0,∴當x=5時,y有最小值,最小值為25,
∴兩個正方形的面積和的最小值為25平方米,此時AC的長為5米.
(3)如圖2,設PQ交EE'于點C,連接AC,CF'.設AD=a米.EF=b米.
∵PQ是直徑,PQ⊥AA',PQ⊥FF',∴AB=A'B,FG=F'G.
∵AA'=2AD,FF'=2EF,
∴AB=A'B=AD=a米,FG=F'G=FE=b米.
又∵∠BAD=∠ADC=∠ABC=90°,
∴四邊形ABCD是正方形.
同理可證四邊形A'BCD',四邊形CGF'E',四邊形CEFG都是正方形,
∴∠ACB=∠GCF'=45°,
∴A,C,F'共線,
∴AC=a米,CF'=b米,
∴AF'=(a+b)米.
∵AA'+FF'=2(a+b)米,
∴當AF'的值最大時,AA'+FF'的值最大,當AF'的值最小時,AA'+FF'的值最小.
∵當AF'是直徑時,AF'的值最大,此時 (a+b)=10,
∴a+b=5,
∴AA'+FF'的最大值為10 米.
如圖3,當點E落在☉O上時,AF'的值最小,連接AO,OF,AF',此時OC=OG.
在Rt△OFG中,OF=5米.FG=CG=2OG,
∴OG=OC=米,FG=2米.
設AB=BC=m米,則m2+(m+)2=52,
解得m=(負根已經舍去),
∴AA'+FF'=2AB+2FG=2+4=6米,
∴AA'+FF'的最小值為6米.

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