資源簡介

第5講 一次方程（組）及其應用
知識精講練
①能根據現實情境理解方程的意義（新增），能針對具體問題列出方程（改動）；理解方程解的意義（新增）.
②掌握代入（刪除）消元法和加減消元法（刪除），能解二元一次方程組.
知識點1 等式的性質
數學表達 在解方程中的應用
性質1 等式兩邊都加（或減）同一個數（或式子），結果仍相等，即如果,那么① 移項
性質2 等式兩邊都乘同一個數，或都除以同一個不為0的數，結果仍相等，即如果,那么② ;如果,那么③ 去分母，系數化為1
知識點2 一元一次方程及其解法
概念 只含有一個未知數，未知數的次數都是1，等號兩邊都是整式的方程，一般形式為，是常數，且
解法步驟 （1）去分母：去分母不要漏乘常數項； （2）去括號：括號前的數要乘括號里的每一項，括號前是“-”號時，去括號后，括號里的每一項都要變號; （3）移項：移項一定要變號; （4）合并同類項：系數相加時，不能漏掉符號; （5）系數化為1：分子與分母不要顛倒
知識點3 二元一次方程（組）及其解法
二元一次方程 概念 含有兩個未知數，并且含有未知數的項的次數都是1的整式方程
二元一次方程組 概念 方程組中有兩個未知數，含有每個未知數的項的次數都是1，并且一共有兩個方程
二元一次方程組的解 二元一次方程組的兩個方程的公共解
二元一次方程組的解法 基本思路 二元一次方程組一元一次方程
消元方法 代入消元法 運用類型：①方程組中一個方程的常數項為0；②方程組中某個未知數的系數是1或
加減消元法 運用類型：①方程組中同一未知數的系數的絕對值相等或成整數倍；②方程組中同一未知數的系數不相同也不互為相反數，找同一未知數系數的最小公倍數
二元一次方程組解的應用 若是關于，的二元一次方程組的解，則
知識點4 一次方程（組）的實際應用
一般步驟 （1）審清題意；（2）設關鍵未知數;（3）尋找等量關系列方程; （4）解方程（組），求未知數;（5）檢驗解是否正確且符合題意; （6）規范作答
常見類型及關系式 購買問題 總價單價×數量， 甲單價×甲數量乙單價×乙數量總價， 甲數量乙數量總數量
銷售問題 售價標價×折扣， 銷售額售價×銷量， 利潤售價-進價， 利潤率， 總利潤單件利潤×銷量
工程問題 工作總量工作效率×工作時間； 工作總量各部分工作量之和
行程問題 基本關系式：路程速度×時間 （1）相遇問題：甲走的路程乙走的路程全程 （2）追及問題: ①同地不同時：先行者走的路程追及者走的路程 ②同時不同地：前面人走的路程兩地間的距離后面人走的路程
配套問題 如果件甲產品與件乙產品配成一套,那么甲產品數的倍等于乙產品數的倍
考點小練
1．下列說法正確的是（ ）
A. 若，則 B. 若，則
C. 若，則 D. ，則
2．
（1） 若是關于的一元一次方程，則的值為__________；
（2） 若是關于的一元一次方程的解，則__________.
3．解方程：.
4．已知是方程的一組解，那么的值是________.
5．已知關于，的方程組的解滿足，則________.
6．解方程組：.
． 4烏魯木齊模擬]某工程甲單獨完成要25天，乙單獨完成要20天.若乙先單獨干10天，剩下的由甲單獨完成，設甲、乙一共用天完成，則可列方程為______________________.
8．[2024宜賓改編]元朝朱世杰所著的《算學啟蒙》中，記載了這樣一道題，其大意是：快馬每天行240里，慢馬每天行150里，慢馬先行12天，問快馬幾天可追上慢馬？則快馬追上慢馬的天數是__________.
9．某書店購進甲、乙兩種圖書共100本，甲、乙兩種圖書的進價分別為每本10元、30元，甲、乙兩種圖書的標價分別定為每本15元、40元.
（1） 若書店恰好用了2300元購進這100本圖書，則購進甲圖書__________本，購進乙圖書__________本；
（2） 在（1）的條件下，在銷售時，該書店考慮到要迅速將圖書售完，于是甲圖書打八折，乙圖書也打折進行促銷，為使甲、乙兩種圖書全部銷售完后共獲利460元，則乙圖書應打__折出售.
新疆6年中考真題及拓展
命題點1 解一次方程（組）［2024.17（1）］
1．[2024新疆17（1）題6分]解方程：.
拓展訓練
2．解方程組：.
）的實際應用（6年2考）
3．[2021新疆8題]某校舉行籃球賽，每場比賽都要分出勝負，每隊勝一場得2分，負一場得1分．八年級一班在16場比賽中得26分．設該班勝場，負場，則根據題意，下列方程組中正確的是（ ）
A. B.
C. D.
4．[2023新疆17（2）題]金秋時節，新疆瓜果飄香，某水果店種水果每千克5元，種水果每千克8元，小明買了，兩種水果共7千克，花了41元.，兩種水果各買了多少千克？
訓練
5．[2024赤峰]用1塊型鋼板可制成3塊型鋼板和4塊型鋼板；用1塊型鋼板可制成5塊型鋼板和2塊型鋼板.現在需要58塊型鋼板、40塊型鋼板，問恰好用型鋼板、型鋼板各多少塊？如果設用型鋼板塊，用型鋼板塊，則可列方程組為（ ）
A. B.
C. D.
6．[2024北京]為防治污染，保護和改善生態環境，自2023年7月1日起，我國全面實施汽車國六排放標準階段（以下簡稱“標準”）.對某型號汽車，“標準”要求類物質排放量不超過，，兩類物質排放量之和不超過.已知該型號某汽車的，兩類物質排放量之和原為.經過一次技術改進，該汽車的類物質排放量降低了，類物質排放量降低了，，兩類物質排放量之和為.判斷這次技術改進后該汽車的類物質排放量是否符合“標準”，并說明理由.第5講 一次方程（組）及其應用
知識精講練
①能根據現實情境理解方程的意義（新增），能針對具體問題列出方程（改動）；理解方程解的意義（新增）.
②掌握代入（刪除）消元法和加減消元法（刪除），能解二元一次方程組.
知識點1 等式的性質
數學表達 在解方程中的應用
性質1 等式兩邊都加（或減）同一個數（或式子），結果仍相等，即如果,那么① 移項
性質2 等式兩邊都乘同一個數，或都除以同一個不為0的數，結果仍相等，即如果,那么② ;如果,那么③ 去分母，系數化為1
知識點2 一元一次方程及其解法
概念 只含有一個未知數，未知數的次數都是1，等號兩邊都是整式的方程，一般形式為，是常數，且
解法步驟 （1）去分母：去分母不要漏乘常數項； （2）去括號：括號前的數要乘括號里的每一項，括號前是“-”號時，去括號后，括號里的每一項都要變號; （3）移項：移項一定要變號; （4）合并同類項：系數相加時，不能漏掉符號; （5）系數化為1：分子與分母不要顛倒
知識點3 二元一次方程（組）及其解法
二元一次方程 概念 含有兩個未知數，并且含有未知數的項的次數都是1的整式方程
二元一次方程組 概念 方程組中有兩個未知數，含有每個未知數的項的次數都是1，并且一共有兩個方程
二元一次方程組的解 二元一次方程組的兩個方程的公共解
二元一次方程組的解法 基本思路 二元一次方程組一元一次方程
消元方法 代入消元法 運用類型：①方程組中一個方程的常數項為0；②方程組中某個未知數的系數是1或
加減消元法 運用類型：①方程組中同一未知數的系數的絕對值相等或成整數倍；②方程組中同一未知數的系數不相同也不互為相反數，找同一未知數系數的最小公倍數
二元一次方程組解的應用 若是關于，的二元一次方程組的解，則
知識點4 一次方程（組）的實際應用
一般步驟 （1）審清題意；（2）設關鍵未知數;（3）尋找等量關系列方程; （4）解方程（組），求未知數;（5）檢驗解是否正確且符合題意; （6）規范作答
常見類型及關系式 購買問題 總價單價×數量， 甲單價×甲數量乙單價×乙數量總價， 甲數量乙數量總數量
銷售問題 售價標價×折扣， 銷售額售價×銷量， 利潤售價-進價， 利潤率， 總利潤單件利潤×銷量
工程問題 工作總量工作效率×工作時間； 工作總量各部分工作量之和
行程問題 基本關系式：路程速度×時間 （1）相遇問題：甲走的路程乙走的路程全程 （2）追及問題: ①同地不同時：先行者走的路程追及者走的路程 ②同時不同地：前面人走的路程兩地間的距離后面人走的路程
配套問題 如果件甲產品與件乙產品配成一套,那么甲產品數的倍等于乙產品數的倍
考點小練
1．下列說法正確的是（ ）
A. 若，則 B. 若，則
C. 若，則 D. ，則
【答案】A
2．
（1） 若是關于的一元一次方程，則的值為__________；
（2） 若是關于的一元一次方程的解，則__________.
【答案】（1）
（2）
3．解方程：.
解：去分母，得，
去括號，得，
移項，得，
合并同類項，得，
解得.
4．已知是方程的一組解，那么的值是________.
【答案】
5．已知關于，的方程組的解滿足，則________.
【答案】
6．解方程組：.
解：把①變形為，
把③代入②,得，
解得.
把代入①,得,
所以方程組的解為.
7．[2024烏魯木齊模擬]某工程甲單獨完成要25天，乙單獨完成要20天.若乙先單獨干10天，剩下的由甲單獨完成，設甲、乙一共用天完成，則可列方程為______________________.
【答案】
8．[2024宜賓改編]元朝朱世杰所著的《算學啟蒙》中，記載了這樣一道題，其大意是：快馬每天行240里，慢馬每天行150里，慢馬先行12天，問快馬幾天可追上慢馬？則快馬追上慢馬的天數是__________.
【答案】
9．某書店購進甲、乙兩種圖書共100本，甲、乙兩種圖書的進價分別為每本10元、30元，甲、乙兩種圖書的標價分別定為每本15元、40元.
（1） 若書店恰好用了2300元購進這100本圖書，則購進甲圖書__________本，購進乙圖書__________本；
（2） 在（1）的條件下，在銷售時，該書店考慮到要迅速將圖書售完，于是甲圖書打八折，乙圖書也打折進行促銷，為使甲、乙兩種圖書全部銷售完后共獲利460元，則乙圖書應打__折出售.
【答案】（1） ；
（2） 九
新疆6年中考真題及拓展
命題點1 解一次方程（組）［2024.17（1）］
1．[2024新疆17（1）題6分]解方程：.
解：去括號，得，
移項，得，
合并同類項，得.
拓展訓練
2．解方程組：.
解：，由①，得，
將③代入②，得，
解得，將代入③，得，
原方程組的解為.
命題點2 一次方程（組）的實際應用（6年2考）
3．[2021新疆8題]某校舉行籃球賽，每場比賽都要分出勝負，每隊勝一場得2分，負一場得1分．八年級一班在16場比賽中得26分．設該班勝場，負場，則根據題意，下列方程組中正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
4．[2023新疆17（2）題]金秋時節，新疆瓜果飄香，某水果店種水果每千克5元，種水果每千克8元，小明買了，兩種水果共7千克，花了41元.，兩種水果各買了多少千克？
解：設小明購買種水果千克，種水果千克，
由題意，得，
解得.
答：小明購買種水果5千克，種水果2千克.
拓展訓練
5．[2024赤峰]用1塊型鋼板可制成3塊型鋼板和4塊型鋼板；用1塊型鋼板可制成5塊型鋼板和2塊型鋼板.現在需要58塊型鋼板、40塊型鋼板，問恰好用型鋼板、型鋼板各多少塊？如果設用型鋼板塊，用型鋼板塊，則可列方程組為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
6．[2024北京]為防治污染，保護和改善生態環境，自2023年7月1日起，我國全面實施汽車國六排放標準階段（以下簡稱“標準”）.對某型號汽車，“標準”要求類物質排放量不超過，，兩類物質排放量之和不超過.已知該型號某汽車的，兩類物質排放量之和原為.經過一次技術改進，該汽車的類物質排放量降低了，類物質排放量降低了，，兩類物質排放量之和為.判斷這次技術改進后該汽車的類物質排放量是否符合“標準”，并說明理由.
解：這次技術改進后該汽車的類物質排放量符合“標準”，理由如下：
設該汽車技術改進前的類物質排放量為，則該汽車技術改進前的類物質排放量為，
根據題意，得，
解得，
這次技術改進后該汽車的類物質排放量為.
“標準”要求類物質排放量不超過，
這次技術改進后該汽車的類物質排放量符合“標準”.

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